Высшая математика. Дифференциальное исчисление

Министерство науки и высшего образования
Российской Федерации

Федеральное государственное бюджетное образовательное
учреждение высшего образования

Томский государственный университет систем управления
и радиоэлектроники
(ТУСУР)

Л. И. Магазинников, А. Л. Магазинников

Высшая математика

Дифференциальное исчисление

Учебное пособие

Томск 2019

УДК
517(075.8)
ББК
22.161.1я73
М 123

Рецензенты:

Старенченко В. А., доктор физ.-мат. наук, профессор, зав. кафедрой высшей математики
Томского государственного архитектурно-строительного университета;
Ивлев Е. Т., кандидат физ.-мат. наук, профессор кафедры высшей математики Томского
политехнического университета.

Магазинников Л. И.
М 123
Высшая математика. Дифференциальное исчисление : учебное пособие /
Л. И. Магазинников, А. Л. Магазинников. — Томск, 2019. — 92 с.

ISBN 978-5-4332-0114-9

Пособие содержит теоретический материал и примеры решения задач по следующим
разделам математики: введение в математический анализ, дифференциальное исчисление
функций одной и многих переменных. Приведены задачи для самостоятельной работы с
указанием ответов.
Для студентов высших технических учебных заведений, а также для студентов, обучающихся с применением дистанционных образовательных технологий.

УДК
517(075.8)
ББК
22.161.1я73

ISBN
978-5-4332-0114-9
c⃝Магазинников Л. И.,
Магазинников А. Л., 2019

Оглавление

Предисловие
5

Введение
7

1
Введение в математический анализ
10
1.1
Множества. Операции над множествами . . . . . . . . . . . . . . . .
10
1.2
Числовые множества. Границы числовых множеств . . . . . . . . . .
11
1.2.1
Множества действительных чисел
. . . . . . . . . . . . . . .
11
1.2.2
Множества комплексных чисел . . . . . . . . . . . . . . . . .
13
1.3
Функции или отображения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
18
1.3.1
Понятие функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
18
1.3.2
Частные классы отображений . . . . . . . . . . . . . . . . . .
18
1.3.3
Основные элементарные функции . . . . . . . . . . . . . . . .
20
1.3.4
Суперпозиция (композиция)
отображений. Сложная и обратная функции . . . . . . . . . .
21
1.4
Системы окрестностей в R и Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
22
1.5
Предел функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
24
1.5.1
Понятие предела функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
24
1.5.2. Последовательность и её предел . . . . . . . . . . . . . . . . .
27
1.5.3
Определение предела функции на языке
последовательностей . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
29
1.5.4
Односторонние пределы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
1.5.5
Теоремы о пределах . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
1.6
Непрерывность функции в точке . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
1.6.1
Основные понятия и теоремы . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
1.6.2
Классификация точек разрыва . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
1.7
Замечательные пределы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
36
1.7.1
Первый замечательный предел
. . . . . . . . . . . . . . . . .
36
1.7.2
Второй замечательный предел и его следствия
. . . . . . . .
37
1.8
Бесконечно малые и бесконечно большие функции . . . . . . . . . .
40
1.8.1
Теоремы о свойствах бесконечно малых функций . . . . . . .
40
1.8.2
Сравнение бесконечно малых и бесконечно
больших функций . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
41
1.8.3
Свойства эквивалентных бесконечно малых функций . . . . .
42

Вопросы к разделу 1
44

2
Дифференциальное исчисление
46
2.1
Дифференцируемые отображения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
46
2.2
Строение производной матрицы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
47
2.3
Некоторые свойства производных . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
49
2.4
Производная по направлению
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
54
2.5
Производные высших порядков . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
55
2.6
Функции, заданные параметрически, и их дифференцирование
. . .
57
2.7
Функции, заданные неявно, и их дифференцирование . . . . . . . . .
59
2.8
Геометрический и механический смысл производной . . . . . . . . .
60

Оглавление

2.9
Уравнение касательной к кривой. Уравнения касательной
плоскости и нормали к поверхности . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
61
2.10 Дифференциал функции
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
64
2.11 Дифференциалы высших порядков
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
66
2.12 Формула Тейлора
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
67
2.13 Основные теоремы дифференциального исчисления . . . . . . . . . .
69
2.14 Правило Лопиталя . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
71
2.15 Условия постоянства функции. Условия монотонности функции . . .
73
2.16 Экстремумы
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
74
2.16.1 Необходимые условия экстремума
. . . . . . . . . . . . . . .
74
2.16.2 Достаточные условия экстремума . . . . . . . . . . . . . . . .
75
2.16.3 Отыскание наибольшего и наименьшего
значений функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
77
2.17 Выпуклость вверх и вниз графика функции
. . . . . . . . . . . . . .
79
2.18 Асимптоты графика функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
80
2.19 Общая схема исследования функции и построения графиков . . . . .
81

Вопросы к разделу 2
86

Заключение
88

Литература
89

Ответы
90

Предметный указатель
91

Предисловие

“Дифференциальное исчисление” — один из важнейших разделов математического анализа, в котором в самом общем виде изучается понятие функций. Функции являются инструментом изучения переменных величин. Под величиной понимается всё то, что можно измерить и выразить числом.
С развитием науки появились переменные величины в экономике, лингвистике, психологии, демографии и других дисциплинах, которые, казалось бы далеки
от математики. После этого стало возможным применять математические методы
и в этих дисциплинах. Один и тот же процесс характеризуют очень многие переменные величины. Возникает проблема изучения их взаимосвязи, выяснения как
изменение одной из них влияет на поведение других. Решение этой проблемы и
привело к появлению учения о функциях, в котором изучаются с самой общей
точки зрения всевозможные связи между переменными величинами.
Некоторые процессы характеризуются всего двумя переменными величинами.
При этом возникают функции от одного аргумента, довольно подробно изучаемые
в курсе математики средней школы. Первое знакомство с понятием функции в
вузе происходит в курсе линейной алгебры, в котором изучаются так называемые
линейные функции различных классов:
1) линейные формы — линейные функции n аргументов вида f(x1,x2,...,xn) =
= a1x1 +a2x2 +...+anxn, (ai = const);
2) линейные операторы, в которых каждому n-мерному вектору сопоставляется
m-мерный вектор, каждая координата которого является линейной формой;
3) билинейные формы — частный случай функции двух аргументов.
При изучении линейных операторов, а также билинейных и квадратичных
форм широко используется матричный аппарат. В разделе “Введение в математический анализ” происходит дальнейшее более глубокое изучение функций на основе
понятия предела. Современная теория пределов использует топологический подход, заключающийся в том, что на множествах строится каким-либо образом система окрестностей. Это позволяет дать определение предела в самом общем виде,
объединяя многие частные случаи. С использованием понятия предела подробно
изучается наиболее важный для приложений класс непрерывных функций.
Основная идея дифференциального исчисления — это линеаризация функции, т.е. представление её приближённо вблизи заданной точки в виде линейной
функции. Поэтому предпочтительнее в качестве исходного взять понятие дифференцируемой функции и дифференциала. При этом производная матрица появляется при введении понятия дифференциала сразу для функций всех видов
f : X ⊂ Rn → Y ⊂ Rm при различных значениях n и m. Это позволяет сделать изложение дифференциального исчисления компактным и более полно отражающим
его основные идеи.
Лишь в простейших случаях функция может быть задана в виде формулы, параметрически или неявно. Функция может быть задана некоторым интегралом, в
виде суммы ряда, дифференциальным уравнением и другими способами. Эти способы изучаются в других разделах математического анализа.
Весь материал разбит на четыре раздела. В первом из них изучаются первоначальные сведения о функциях, проводится их классификация как по размерности,
так и по свойствам. Для построения теории пределов сначала дано понятие окрестностей точки на прямой, плоскости и в пространстве произвольной размерности.
Изучаются типы окрестностей и формы их задания в виде неравенств для всевоз

Предисловие

можных случаев. Далее приводятся традиционные сведения из теории пределов и
непрерывности.
Второй раздел посвящён дифференциальному исчислению функций одной и
многих переменных. Основной задачей дифференциального исчисления является
изучение широкого класса функций путём выделения линейной её части. Поэтому в качестве первоначальных понятий в этом разделе взяты дифференцируемые
функции и дифференциал функций одной и многих переменных, а затем даны
определения производных.
В третьем разделе содержатся методические указания, в которых подробно
разобраны способы решения типовых задач по дифференциальному исчислению с
целью оказать помощь студентам в выполнении контрольной работы, помещённые
в четвёртом разделе.
Предусмотрена возможность автоматизированного самоконтроля при наличии
устройства “Символ” или его компьютерного аналога, разработанного в Томском
государственном университете систем управления и радиоэлектроники.

Введение

Для математического описания многих явлений природы потребовалось ввести
понятие переменной величины. Например, движение материальной точки можно
охарактеризовать двумя переменными величинами: временем t и длиной пути S,
пройденного точкой за время t. Величины t и S между собой взаимосвязаны. Каждому значению переменной t ставится в соответствие единственное значение переменной S. Принято говорить, что переменная S является функцией переменной
величины t. Кратко записывают: S = f(t). В математике не учитывают конкретное содержание переменных величин и изучают функции в общем виде: y = f(x).
Величину x называют независимой переменной или аргументом, а величину y —
зависимой переменной или функцией от x. Для каждой теоретической и прикладной науки характерны свои классы функций. Например, при изучении процессов
в экономике появляется целый ряд функций: производственная функция, функция
потребления, функция полезности и многие другие. В теории вероятностей наиболее важными являются функция распределения вероятностей и плотность распределения вероятностей. В математическом анализе изучают функции с общей
точки зрения, не связывая их с конкретным содержанием. Поэтому выводы, получаемые в математике, применимы во всех областях, где возникает необходимость
в использовании понятия функции.
Пусть имеем произвольную функцию y = f(x). Допустим, что некоторое значение x = x0 по какой-то причине является наиболее важным. Возникает задача: охарактеризовать поведение функции, если x будет приближаться к значению x0. Например, имеем функцию y = (1+x)1/x. Представляет интерес поведение величины
y, если x неограниченно приближается к нулю. Доказано, что в этом случае y приближается к числу Эйлера e = 2,71828... — одной из мировых констант. Это число
встречается во многих задачах и служит основанием для введения новых функций:

y = ex; y = loge x = lnx — натуральный логарифм; y = chx = ex +e−x

2
— гиперболи
ческий косинус; y = chx = ex −e−x

2
— гиперболический синус; y = thx = shx

chy — ги
перболический тангенс; y = cthx = chx

shy — гиперболический котангенс и других,

значительно расширяющих класс элементарных функций, изучаемых в средней
школе. Гиперболические функции находят применение при построении неевклидовых геометрий подобно тригонометрическим функциям в евклидовой геометрии.

а)
б)
в)

Допустим, что процесс характеризуется функцией y = sin2(x−1)

x−1
. Каково

поведение величины y, если x приближается к единице? Такие задачи в математике решают с помощью понятия предела функции y = f(x) при x, стремящемся

Введение

к x0. Пишут lim
x→x0 f(x). В зависимости от поведения функции при приближении к

точке x0 все функции можно разбить на два класса — непрерывные в точке x0
и имеющие разрыв в этой точке. На рисунке а) изображен график непрерывной
функции, а на рисунках б) и в) — разрывных.
Для непрерывных функций отыскание предела особых трудностей не представляет. Например, в случае lim
x→3(x2 +1) интуиция подсказывает, что этот предел равен

10, хотя мы пока еще не знаем точное определение предела. Приведенные ранее

функции y = (1+x)1/x и y = sin2(x−1)

x−1
относятся к классу разрывных функций в

точках x0 = 0 и x0 = 1 соответственно.
Понятие предела является одним из основных в курсе математического анализа. С его помощью вводятся многие другие понятия: производной, определенного
интеграла, числового и функционального рядов и т.д.
Еще одной характеристикой поведения функции y = f(x) в точке x0 является
скорость изменения величины y при изменении величины x. Например, если x —
количество внесенных удобрений, а y — урожайность, то важно знать, как изменение количества внесенных удобрений повлияет на урожайность. Для характеристики скорости поступим следующим образом. Зафиксируем как-либо аргумент x,
положив x = x0, и дадим ему приращение ∆x. В результате величина y также получит приращение ∆y = f(x0 +∆x)− f(x0). Ясно, что скорость возрастания величины
y тем выше, чем больше ∆y. В зависимости от характера изменения величины ∆y
при изменении ∆x все непрерывные функции делятся на два класса — дифференцируемые и недифференцируемые. Для дифференцируемых функций приращение
∆y можно представить в виде суммы двух слагаемых:

∆y = A∆x+α(∆x),

где A — константа, а второе слагаемое, т.е. функция α(∆x), стремится к нулю быстрее величины ∆x.
Первое слагаемое пропорционально ∆x. При малых ∆x приближенно можно
положить ∆y ≈ A∆x. При этом функцию y = f(x) вблизи точки x0 мы заменяем
приближенно очень простой линейной функцией ϕ(x) = Ax. Константа A равна

пределу lim
x→0
∆y
∆x. Этот предел называют производной функции f(x) в точке x0 и

обозначают f ′(x0). Если функция f(x) дифференцируема в точке x0, то существует
производная f ′(x0). В этом случае график функции y = f(x) имеет в точке x0 касательную прямую. Если же функция в точке x0 не дифференцируема, то касательной
нет. На рисунке г) изображен график дифференцируемой в точке x0 функции, а на
рисунке д) — недифференцируемой.

г)
д)

Введение
9

Можем записать ∆y = f ′(x0)∆x+α(∆x). Первое слагаемое f ′(x0)∆x обозначают
dy и называют дифференциалом функции f(x) в точке x0. Дифференциал функции
— это часть приращения функции, пропорциональная величине ∆x. Заменяя приращение функции дифференциалом, мы трудновычисляемую величину ∆y заменяем
приближенно дифференциалом, который находится очень просто при умении находить f ′(x0), а это не так уж сложно.
Понятия производной и дифференциала служат инструментом для дальнейшего
глубокого изучения функций, что является основной задачей дифференциального
исчисления — одного из разделов математического анализа.

Введение в математический анализ

1.1 Множества. Операции над множествами

Для сокращения записей мы будем часто использовать следующие символы
(кванторы).
Квантор общности ∀. Запись ∀x означает: всякий (любой) x.
Квантор существования ∃. Запись ∃x означает: существует x.
Понятие множества является первичным и определению не подлежит, его лишь
можно пояснить примерами. Множество считается заданным, если имеется правило, позволяющее установить относительно любого объекта, является ли он элементом этого множества или нет. Множество можно задать либо перечислением всех
его элементов, либо указанием свойства, которым обладают элементы этого множества и не обладают объекты, не являющиеся его элементами. Множества будем
обозначать большими буквами латинского алфавита: A,B,C,D,X,Y и т.д. Множество, не содержащее ни одного элемента, называется пустым и обозначается ⊘.
Запись a ∈ A означает, что элемент a принадлежит множеству A. Если a не принадлежит A, то пишут a ̸∈ A или a ¯∈A.
Говорят, что множество A входит в B (пишут A ⊂ B), если для ∀a ∈ A → a ∈ B.
В этом случае A называют подмножеством B.
Множества A и B называются равными (A = B), если A ⊂ B и B ⊂ A.
Над множествами определим следующие операции.
Объединением или суммой множеств A и B (обозначают A∪B, A+B) называют множество C, состоящее из всех элементов множеств A и B, не содержащее
никаких других элементов.
Очевидно, A∪A = A. Операция объединения коммутативна: A∪B = B∪A и ассоциативна (A∪B)∪C = A∪(B∪C).
Пересечением множеств A и B называется множество C (обозначают C = A∩B
или C = A·B), состоящее лишь из всех тех элементов, которые принадлежат одновременно и A, и B. Операция пересечения множеств обладает свойствами:

A∩B = B∩A,
(A∩B)∩C = A∩(B∩C),
A∩A = A.

Операции пересечения и объединения множеств связаны распределительным
законом A∩(B∪C) = (A∩B)∪(A∩C).
Разностью множеств A и B называется множество A \ B, содержащее все те и
только те элементы множества A, которые не являются элементами множества B.
Прямым (декартовым) произведением множеств A и B называется множество
A × B, элементами которого являются всевозможные пары (a,b), где a ∈ A, b ∈ B.
Аналогично можно определить прямое произведение любого числа множеств.

Пример. Пусть A = {1,3,4,8}, B = {1,2,4,5,7,8,9}. Тогда

C = A+B = {1,2,3,4,5,7,8,9}, A∩B = {1,4,8}, A\B = {3}.

Следующие задачи решите самостоятельно.
1.1.1 Даны два множества чисел A = {1,3,7,9} и B = {2,3,4,7,8,9}. Найдите
множество A∪B.
1.1.2 Даны два множества чисел A = {2,4,5,7,9} и B = {1,2,3,4,5,8}. Найдите
множество A∩B.

1.2 Числовые множества. Границы числовых множеств
11

1.1.3 Даны два множества чисел A = {1,3,6,7,8} и B = {2,3,7,9}. Найдите
множество A\B.
1.1.4 Даны три множества A = {1,4,6,7}, B = {2,4,7,8}, C = {1,5,8,9}. Найдите множество D = A∩(B∪C).

1.2 Числовые множества. Границы числовых
множеств

1.2.1 Множества действительных чисел

Действительным числом называется любая десятичная дробь. Множество всех
действительных чисел будем обозначать R. Подмножествами R являются:
N — множество натуральных чисел 1,2,...;
Z — множество всех целых чисел (это десятичные дроби, все десятичные знаки
которых равны нулю);
Q — множество рациональных чисел — множество всех периодических десятичных дробей. Любое рациональное число r можно представить как отношение

двух целых чисел r = m

n , n ̸= 0.

На множестве действительных чисел введены операции сложения, умножения
и деления. Свойства этих операций изучены в средней школе.
Геометрически действительные числа можно изображать точками числовой
оси. Доказано, что между множеством всех действительных чисел и всеми точками числовой оси можно установить взаимно однозначное соответствие при выбранной единице масштаба.
Напомним понятие модуля действительного числа. Модуль действительного
числа a обозначается |a| и определяется равенством

|a| =






a,
если a > 0,
0,
если a = 0,
−a,
если a < 0.

Модуль числа обладает следующими свойствами: |a| ≥ a, |a+b| ≤ |a|+|b|,

|ab| = |a||b|,
a
b

= |a|

|b|, b ̸= 0, |x−y| ≥ ||x|−|y||.

Наиболее часто мы будем использовать следующие типы числовых множеств.
Множество X чисел, удовлетворяющих неравенству a ≤ x ≤ b, называется отрезком (сегментом), обозначается [a,b], a < x < b — интервалом (a,b), a ≤ x < b —
полуинтервалом [a,b).
Число c ∈ R называется верхней границей множества A ⊂ R, если для всякого a ∈ A выполнено неравенство a ≤ c. Множество, имеющее верхнюю границу,
называется ограниченным сверху.
Аналогично определяется нижняя граница и ограниченность снизу.
Наименьшая из всех верхних границ множества A называется точной верхней
границей и обозначается supA (супремум A). Наибольшая из нижних границ множества A называется точной нижней границей и обозначается infA (инфимум A).
Отметим без доказательства следующее свойство множества действительных
чисел, называемое свойством непрерывности.
Каждое ограниченное сверху (снизу) множество действительных чисел имеет
точную верхнюю (нижнюю) границу.

1. Введение в математический анализ

Кроме того, множество действительных чисел обладает свойством плотности,
которое выражается в том, что между любыми двумя неравными действительными числами расположены другие действительные числа, как рациональные, так и
нерациональные.
Для обозначения неограниченных числовых множеств множество действительных чисел дополним символами +∞, −∞, ∞.
Если множество A не ограничено сверху, то полагают supA = +∞, если оно не
ограничено снизу, то полагают infA = −∞. Символ ∞ используют для обозначения
неограниченности множества A и сверху, и снизу. С символами +∞, −∞, ∞ нельзя
обращаться, как с числами. Операции над ними определены соотношениями:

α+(±∞) = ±∞, ∀α ∈ R;

α−(±∞) = ∓∞, ∀α ∈ R;

(+∞)+(+∞) = +∞;

(−∞)+(−∞) = −∞;

α·(±∞) = ±∞, если α > 0;

α·(±∞) = ∓∞, если α < 0;

(−∞)·(+∞) = (+∞)·(−∞) = −∞;

(−∞)·(−∞) = (+∞)·(+∞) = +∞;

∞·∞ = ∞;
α
∞ = α

±∞ = 0, ∀α ∈ R.

Операции (+∞)−(+∞), (+∞)+(−∞), 0·(±∞), 0·∞, ∞

∞ не определены.

С помощью символов ±∞ обозначают неограниченные множества:

[a,+∞) = {x ∈ R,x ≥ a};

(a,+∞) = {x ∈ R,x > a};

(−∞,a] = {x ∈ R,x ≤ a};

(−∞,a) = {x ∈ R,x < a};

(−∞,+∞) = R.

Заметим, что неравенство |x| > b определяет множество X, являющееся объединением двух множеств (−∞,−b)∪(b,+∞).

Решите самостоятельно.

1.2.1 Найдите корни уравнения |x−3| = 5.

1.2.2 Найдите корни уравнения |x+2|+|x−4| = 10.

1.2.3 Пусть X — множество всех решений неравенства |x+4| ≤ 7. Укажите infX
и supX.

1.2.4 Пусть X — множество всех решений неравенства |x+5| < 8. Укажите граничные точки множества X.

1.2.5 Пусть X1 — множество всех решений неравенства |x−2| ≥ 10, а X2 — множество всех решений неравенства |x−5| ≥ 3. Какие из этих множеств неограничены?