Математика и информатика. Практикум

Е.Н. Гусева, И.Ю. Ефимова,  
Р.И. Коробков, К.В. Коробкова, Т.В. Ильина, 
И.Н. Мовчан, Л.А. Савельева 

Математика и 
информатика 

Практикум

Учебное пособие 

5-е издание, стереотипное

Москва 
Издательство «ФЛИНТА» 
2021 

УДК 004 
ББК З97 

  Г 96 

Р е ц е н з е н т: 

доцент, кандидат технических наук  

ГОУ ВПО Магнитогорский государственный университет 

В.Е. Петеляк 

Г96 

ББК З97 

ISBN 978-5-9765-1193-4  
© Колл. авторов, 2016 
© Издательство «ФЛИНТА», 2016 

 Гусева Е.Н. 

УДК 004 

   Математика и информатика. Практикум 
[Электронный ресурс] : учеб. пособие / Е.Н. Гусева,  
И.Ю. Ефимова, Т.В. Ильина, Р.И. Коробков, К.В. 
Коробкова, И.Н. Мовчан, Л.А. Савельева. — 5-е изд., 
стер. — М. : ФЛИНТА. — 399 с.

ISBN 978-5-9765-1193-4  

   Практикум разработан для преподавателей и 
студентов гуманитарных факультетов высших 
учебных 
заведений, 
изучающих 
дисциплины 
«Информатика» и «Математика и информатика». 
Пособие содержит теоретические и практические 
материалы по курсу, а также тестовые задания для 
подготовки студентов к Интернет-тестированию.

Оглавление 

Глава 1. ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ...........................................................5 
§ 1.1. Понятийный аппарат аксиоматического метода ...................5 
§ 1.2. Основные понятия теории множеств.....................................9 
§ 1.3. Бинарные отношения ...........................................................22 
§ 1.4. Основные операции над множествами................................26 
§ 1.5. Высказывания. Основные операции над высказываниями .34
§ 1.6. Комбинаторика.....................................................................43 
Глава 2. ЭЛЕМЕНТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА.................53 
§ 2.1. Функции: основные понятия и определения .......................53 
§ 2.2. Дифференциальное исчисление...........................................58 
§ 2.3. Числовые ряды.....................................................................64 
§ 2.4. Неопределенные интегралы.................................................67 
§ 2.5. Определенные интегралы ....................................................72 
Глава 3. ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ.................................................77 
§ 3.1. Основные понятия теории вероятностей.............................77 
§ 3.2. Свойства вероятностей ........................................................82 
§ 3.3. Теоремы сложения вероятностей.........................................86 
§ 3.4. Теоремы умножения вероятностей......................................89 
§ 3.5. Дискретные случайные величины .......................................95 
§ 3.6. Нормальный закон распределения вероятностей................99 
§ 3.7. Элементы теории вероятностей.........................................103 
Глава 4. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА................................112 
§ 4.1. Основы понятия математической статистики ...................112 
§ 4.2. Характеристики вариационного ряда ................................118 
§ 4.3. Статистическое распределение выборки...........................126 
§ 4.4. Закон распределения вероятностей ...................................136 
§ 4.5. Мода и медиана..................................................................144 
Глава 5. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ИНФОРМАТИКИ......................150 
§ 5.1. Информация и ее свойства.................................................150 
§ 5.2. Единицы измерения информации......................................154 
§ 5.3. Позиционные системы счисления. Переводы чисел .........159 
§ 5.4. Представление целых чисел в ЭВМ...................................164 
§ 5.5. Логические основы ЭВМ ...................................................167 
§ 5.6. Локальные и глобальные компьютерные сети ..................173 
§ 5.7. Топологии вычислительных сетей.....................................178 
§ 5.8. Сетевые сервисы и  стандарты...........................................182 
§ 5.9. Защита информации в компьютерных сетях .....................189 
Глава 6. АЛГОРИТМИЗАЦИЯ И ПРОГРАММИРОВАНИЕ............196 
§ 6.1. Понятие алгоритма и его свойства.....................................196 
§ 6.2. Основные алгоритмические конструкции .........................213 
§ 6.3. Программы линейной структуры.......................................223 

§ 6.4. Операторы ветвления.........................................................228 
§ 6.5. Операторы цикла................................................................239 
Глава 7. ПРОГРАММНОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ ЭВМ..........................253 
§ 7.1. Классификация программного обеспечения......................253 
§ 7.2. Операционные системы .....................................................264 
§ 7.3. Файловая система. Операции с файлами...........................271 
§ 7.4. Текстовые процессоры.......................................................281 
§ 7.5. Электронные таблицы........................................................292 
§ 7.6. Средства компьютерной графики......................................301 
§ 7.7. Базы данных.......................................................................309 
Глава 8. АППАРАТНОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ ЭВМ..............................320 
§ 8.1. Архитектура компьютера...................................................320 
§ 8.2. Аппаратные средства ЭВМ................................................327 
§ 8.3. Процессор и его функции ..................................................333 
§ 8.4. Запоминающие устройства компьютера............................338 
§ 8.5. Периферийные устройства ПК ..........................................344 
Глава 9. МОДЕЛИРОВАНИЕ...........................................................351 
§ 9.1. Моделирование как метод познания..................................351 
§ 9.2. Классификация и формы представления моделей.............358 
§ 9.3. Методы и технологии моделирования...............................367 
§ 9.4. Информационная модель объекта......................................376 
ПРАВИЛЬНЫЕ ОТВЕТЫ.................................................................385 
Ответы к главе № 1......................................................................385 
Ответы к главе № 2......................................................................386 
Ответы к главе № 3......................................................................387 
Ответы к главе № 4......................................................................389 
Ответы к главе № 5......................................................................390 
Ответы к главе № 6......................................................................392 
Ответы к главе № 7......................................................................394 
Ответы к главе № 8......................................................................395 
Ответы к главе № 9......................................................................396

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ………………………………………………….399 

Глава 1. ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ 

§ 1.1. Понятийный аппарат аксиоматического метода

Целью изучения математики является повышение 
общего кругозора, культуры мышления, формирование 
научного мировоззрения.  
Математика – наука о количественных отношениях и пространственных формах действительного мира. В 
основе построения математической теории лежит аксиоматический метод. Базовыми для любой научной теории 
являются некоторые исходные положения, называемые 
аксиомами, а все остальные положения теории получаются, как логические следствия аксиом. Основными методами в математических исследованиях являются математические доказательства – строгие логические рассуждения. Математическое мышление не сводится лишь к 
логическим рассуждениям. Для правильной постановки 
задачи, для оценки выбора способа ее решения необходима математическая интуиция. 
В математике используют два вида умозаключений: 
дедукция и индукция. Индукция – метод исследования, в 
котором общий вывод строится на основе частных посылок. Дедукция – способ рассуждения, посредством которого от общих посылок следует заключение частного характера. 
Создание дедуктивного или аксиоматического метода построения науки является одним из величайших 
достижений математической мысли. Оно потребовало 
работы многих поколений ученых. 
Дедуктивная система изложения сводится: 


к перечислению основных понятий;


к изложению определений;


к изложению аксиом;


к изложению теорем;


к доказательству этих теорем.
Аксиома – утверждение, принимаемое без доказательств.  
Теорема – утверждение, вытекающее из аксиом. 
Доказательство – составная часть дедуктивной 
системы, это есть рассуждение, которое показывает, что 
истинность утверждения вытекает логически из истинности предыдущих теорем или аксиом. 
Внутри дедуктивной системы не могут быть решены два вопроса: о смысле основных понятий, об истинности аксиом. Но это не значит, что эти вопросы вообще 
неразрешимы. Образцом аксиоматического построения 
математической науки является элементарная геометрия. 
Система аксиом геометрии были изложены Евклидом 
(около 300 г. до н. э.). Эта система в основных чертах сохранилась и по сей день. Основные понятия: точка, прямая, плоскость. Основные образы: лежать между, принадлежать, движение. Элементарная геометрия имеет 13 
аксиом, которые разбиты на пять групп.  
Пример из теста 
ЗАДАНИЕ 1 
К неопределяемым понятиям аксиоматического построения геометрии  относятся… 
1) множество, точка, прямая;
2) отрезок, угол;
3) окружность, геометрическая фигура;
4) луч, четырёхугольник.

Решение

К неопределяемым понятиям теории относятся по
нятия, которые принимаются без определения. Эти понятия достаточно сложно определить, и их содержание 
можно выяснить только из опыта. В геометрии к неопределяемым понятиям, например, относятся такие понятия, 
как «множество», «точка», «прямая», «плоскость». Каждому понятию теории, которое не содержится в списке 
основных, дается определение. В определении разъясняется смысл понятия с помощью неопределяемых и 
предшествующих данному понятий. Например, из геометрии, отрезок – это часть прямой, ограниченная двумя 
точками. Угол – это геометрическая фигура, состоящая 
из точки и двух лучей, исходящих из этой точки. Окружность – это геометрическая фигура, состоящая из всех 
точек, расположенных на заданном расстоянии от данной 
точки.

Ответ: множество, точка, прямая.

ЗАДАНИЕ 2

Среди предложенных математических утверждений 

аксиомой является следующее…

1) Если две параллельные прямые пересечены секу
щей, то накрест лежащие углы равны.

2) Если две прямые параллельны третьей, то они 

параллельны.

3) Через точку, не лежащую на данной прямой, 

проходит только одна прямая, параллельная данной. 

4) Если прямая перпендикулярна одной из двух па
раллельных прямых, то она перпендикулярна и другой.

Решение 
Аксиома – это предложение, принимаемое без доказательства. Среди предложенных высказываний лишь 
одно является аксиомой, а именно аксиома параллельных 
прямых: «Через точку, не лежащую на данной прямой, 
проходит только одна прямая, перпендикулярная данной». Все остальные высказывания являются теоремами. 
Ответ: «Через точку, не лежащую на данной прямой, проходит только одна прямая, перпендикулярная 
данной» 
ЗАДАНИЕ 3 
Из приведенных высказываний истинным является 
следующее… 

1) В аксиомах идет речь об основных математических понятиях, таких как  «точка», «прямая», «плоскость».  
2) При аксиоматическом построении какой-либо
теории некоторые аксиомы  выводятся путем доказательства из других аксиом 
3) Основные понятия теории – это понятия, наиболее часто используемые в этой теории. 
4) Любую систему аксиом можно выбрать произвольно. 
Решение 
Все приведенные в данном задании высказывания 
относятся к аксиоматическому методу построения какойлибо теории. Как мы знаем, аксиома – это предложение, 
принимаемое без доказательства. Поэтому ни одну аксиому нельзя доказать и тем более вывести из других ак

сиом. А к основным понятиям теории относятся понятия, 
которые принимаются без определения, так называемые 
неопределяемые понятия. К основным понятиям в планиметрии, например, относятся такие понятия, как «точка», «прямая», «плоскость». Эти понятия достаточно 
сложно определить, и их содержание можно выяснить 
только из опыта.

Ответ: В аксиомах идет речь об основных матема
тических понятиях, таких как «точка», «прямая», «плоскость».

Контрольные вопросы

1. В чем сущность аксиоматического метода?
2. Приведите примеры применения аксиоматического 

метода в математике.

3. Дайте определение понятия индукция?
4. Дайте определение понятия дедукция?
5. Что такое аксиома? Приведите пример аксиом.
6. Что такое теорема? Приведите пример теоремы.
7. В чем сущность дедуктивной системы?

§ 1.2. Основные понятия теории множеств

Наиболее простая структура данных, используемая 

в математике, имеет место в случае, когда между отдельными изолированными данными отсутствуют какие-либо 
взаимосвязи. Совокупность таких данных представляет 
собой множество. Понятие множества является неопределяемым понятием. Множество не обладает внутренней 
структурой. Множество можно представить себе как совокупность элементов, обладающих некоторым общим 
свойством. Для того чтобы некоторую совокупность эле

ментов можно было назвать множеством, необходимо, 
чтобы выполнялись следующие условия:  
1) должно существовать правило, позволяющее
определить, принадлежит ли указанный элемент данной 
совокупности.  
2) должно существовать правило, позволяющее отличать элементы друг от друга (множество не может содержать двух одинаковых элементов).  
Множество может быть задано списком, например: 




.
,
,
,
;
,
,
3
2
1
d
c
b
a
M
a
a
a
A



Список показывает из скольких элементов, и каких 
именно состоит множество. Общепринято список элементов заключать в фигурные скобки. Расположение 
элементов в списке может быть произвольным, но для 
удобства чтения предпочтительным является так называемый естественный порядок. С помощью списка можно задавать только множества, состоящие из небольшого 
числа элементов. Некоторые бесконечные множества 
удается задавать оборванным списком. Так можно задать, 
например множество натуральных чисел и множество 
неотрицательных четных чисел:  




.
,...
4,2,0
;
,...
3,2,1


Q
N

Третий способ задания множеств состоит в указании порождающей процедуры. Вместо оборванного списка множества Q можно написать  



N
N
n
n
q
q
Q




0
;
,
2
|
.

Элементами множеств могут быть не только числа, 
но и любые объекты: предметы и цвета, графические образы и произвольные абстрактные понятия. Единствен

ное требование, которое всегда соблюдается: число элементов, составляющих множество должно быть целым. 
Множества могут быть элементами других множеств, 
например: 








.
,
,
;
5,2,1
;
,
,
;
,
,







D
C
c
b
a
B
D
C
B
A

Здесь символы B, C, D в одном случае обозначают 

элементы, а в другом – множества. 

Над множествами определены следующие опера
ции:

 объединение или сумма (обозначается как AB); 

 разность (обозначается как A\B или A-B);

 дополнение (обозначается как A или не A); 

 пересечение или произведение (обозначается как AB); 

Для множеств определены следующие бинарные 

отношения: отношение равенства (обозначается как
A = B), множества А и В равны, если они содержат одни 
и те же элементы (другими словами, если A  B и 
B  A); отношение включения (обозначается как A  B), 
множество А является подмножеством множества В, если все элементы А являются элементами В. 

Основные понятия и обозначения, связанные с 

множествами:


запись xM означает, что x является элементом множества M. 


подмножество связывает с множеством знак включения A  B (A входит в B). Знак включения можно поворачивать: B  A (B покрывает или содержит A). 


пустое множество  не содержит ни одного элемента 
и является подмножеством любого множества. 

Числовые множества. Основные виды чисел

Натуральные числа, получаемые при естественном 

счёте; множество натуральных чисел обозначается N. Та
ким образом,


,...
3
,2
,1

N
(иногда к множеству на
туральных 
чисел 
также 
относят 
ноль, 
то 
есть



,...
3
,2
,1,0

N
). Натуральные числа замкнуты от
носительно сложения и умножения (но не вычитания или 
деления). Натуральные числа коммутативны и ассоциативны относительно сложения и умножения, а умножение натуральных чисел дистрибутивно относительно 
сложения. Эти числа были введены, например, для натурального счета, для перечисления и нумерации, каждое 
новое образовывалось добавлением к предыдущему единицы.

Целые числа, получаемые объединением нату
ральных чисел с множеством отрицательных чисел и ну
лём, обозначаются


,...
2,1,0
,1
,2
...



Z
. Целые 

числа замкнуты относительно сложения, вычитания и 
умножения (но не деления). Эти числа были также введены ради практических нужд, например, для того чтобы 
было удобно работать например, с  налогами.

Рациональные числа – все целые и дробные числа 

(как положительные, так и отрицательные), включая и 
нуль. Такие  числа, представимы в виде дроби m/n (n≠0), 
где m и n — целые числа. Для рациональных чисел определены все четыре «классические» арифметические действия: сложение, вычитание, умножение и деление (кроме деления на ноль). Для обозначения рациональных чи