Теория вероятностей и математическая статистика

Е.Н. Гусева 

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ  

И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА 

Учебное пособие 

7-е издание, стереотипное

Москва 
Издательство «ФЛИНТА» 
2021 

УДК 372.016:519.2
ББК В17/172

   Г96 

Р е ц е н з е н т ы: 
доктор физико-математеческих наук, профессор
Магнитогорского государственного университета  
С.И. Кадченко;
кандидат технических наук, доцент 

Магнитогорского государственного технического университета
А.В. Леднов 

Г96 Гусева Е.Н.
  Теория 
вероятностей 
и 
математическая 
статистика 
[Электронный ресурс] : учеб. пособие / Е.Н. Гусева. – 
7-е изд., стеротип. – М. : ФЛИНТА, 2021. – 220 с.

ISBN 978-5-9765-1192-7

Пособие содержит теоретические основы курса «Теория 
вероятностей 
и 
математическая 
статистика», 
а 
также 
лабораторный 
практикум. 
Издание 
адресовано 
студентам 
высших учебных заведений, изучающим теорию вероятностей и 
математическую статистику. 

ISBN 978-5-9765-1192-7 
© Гусева Е.Н., 2016
© Издательство «ФЛИНТА», 2016

УДК 372.016:519.2
ББК В17/172

Оглавление 

Основы теории вероятностей и математической статистики....... 4 
Классическая и статистическая  модели вероятности................. 18 
Условная вероятность. Полная вероятность.Формула Байеса... 36 
Распределения дискретных случайных величин ......................... 46 
Распределения непрерывных случайных величин ...................... 66 
Числовые характеристики случайных величин........................... 77 
Введение в математическую статистику...................................... 93 
Выборочная совокупность. Вариационный ряд ........................ 112 
Статистические оценки параметров распределения ................. 119 
Линейный корреляционный анализ ............................................ 133 
Основы дисперсионного анализа................................................ 141 
Факторный анализ ........................................................................ 149 
Линейный регрессионный анализ............................................... 160 
Предельные теоремы теории вероятностей ............................... 179 
Лабораторный практикум............................................................ 190 
Основы статистической обработки информации .............. 190 
Распределения непрерывных случайных величин................... 194 
Выборочные распределения..................................................... 196 
Проверка гипотез на основе критерия согласия Пирсона... 201 
Основы корреляционного анализа........................................... 204 
Линейный  регрессионный анализ ........................................... 206 
Доверительные интервалы ..................................................... 207 
Множественный регрессионный анализ................................ 213 
Список рекомендуемой литературы...................................... 218 

Основы теории вероятностей  
и математической статистики 

Цель: познакомиться с основными понятиями теории вероятностей, изучить  аксиоматический подход к определению 
понятия «вероятность». 

Из истории статистики 
Статистика имеет многовековую историю, уходя своими 
корнями в глубокую древность. Исторически развитие статистики было связано с возникновением государств, потребностями в 
их эффективном управлении.  Первая публикация по статистике 
– это «Книга Чисел» в Библии в Ветхом Завете, в которой рассказано о переписи военнообязанных, проведенной Моисеем и
Аароном.
Хозяйственные и военные нужды городов и государств 
древнего мира требовали знаний о населении, его составе, имуществе. Первые статистические сведения собирались для налогообложения, учета земель, призыва на военную службу. В античном мире подсчитывалось число родившихся детей, велись 
земельные кадастры, появились первые описания государств. 
Благодаря Аристотелю (384–322 гг. до н.э.) можно узнать о 157 
городах и государствах того времени. Сбор и обработка данных 
о массовых общественных явлениях со временем приобрели регулярный характер. 
Некоторые разделы статистики были разработаны на основе 
изучении теории азартных игр в XVI–XVII вв. Исследованиями 
в этой области занимались Д. Кардано, Х. Гюйгенс, Б. Паскаль, 
П. Ферма и др. Следующий этап развития науки связан с именем 
Я. Бернулли (1654–1705). Теорема Бернулли, названная «Зако

ном больших чисел», была первым теоретическим обоснованием накопленных ранее фактов (при достаточно большом количестве испытаний вероятность события почти равна частоте этого 
события). 
В конце XVII в. при страховании кораблей, начали подсчитывать, сколько шансов на то, что корабль вернется в порт невредимым, не будет потоплен бурей, что груз не испортится, не 
будет захвачен пиратами и т.д. Такой расчет позволял определять, какую страховую сумму следует выплачивать и какой 
страховой взнос брать, чтобы это было выгодно для компании.  
В 1746 г. профессор философии и права Г. Ахенваль впервые в Марбургском университете начал преподавать новую дисциплину, названную им статистикой. С середины XIX в. благодаря усилиям бельгийца – математика, астронома и статистика 
А. Кетле (1796–1874) были выработаны правила переписей населения и регулярность их проведения в разных странах. По его 
инициативе проводились международные статистические  конгрессы, а в 1885 году  был основан Международный статистический институт. Международной статистикой занимаются  такие 
организации – ООН, ФАО, ЮНЕСКО, МОТ, ЕС, Мировой банк 
и др. Эти организации занимаются сбором, представлением, 
сравнением и интерпретацией социально-экономических данных. 
Свой вклад в теорию вероятностей внесли А. Муавр, П. Лаплас, К. Ф. Гаусс, С. Пуассон и др. Другой плодотворный период связан с П.Л. Чебышевым, А.А. Марковым, А.М. Ляпуновым. 
В это время теория вероятностей становится стройной математической наукой. Большое влияние на дальнейшее развитие 
науки связано с русскими математиками С. Н. Берштейном, В.И. 
Романовским и А.Н. Колмогоровым. 

Элементы теории вероятностей 
Событие (явление) – возможный исход испытания, опыта, 
наблюдения. 
Все наблюдаемые нами явления можно условно разделить 
на три вида: достоверные, невозможные и случайные.  
Достоверным называется событие, которое обязательно 
произойдет, если будут выполнены определенные условия. Например, если в сосуде находится вода, давление атмосферы нормальное, а температура воздуха 30◦С, то событие «вода в сосуде 
находится в жидком состоянии».  
Невозможным  называется событие, которое заведомо не 
произойдет, если будет выполнена совокупность условий S. Например, при нагревании олова и меди вы не сможете получить 
золото. 
Случайным называют событие, которое при осуществлении условий S может произойти, а может и не произойти. Например, при бросании монеты выпадение герба – является случайным событием, потому что оно может произойти, а может и 
не произойти.  
Каждое случайное событие есть следствие действия очень 
многих сил и случайных причин, которые учесть просто невозможно. В нашем случае это сила броска, вес и размер монеты, ее 
симметричность, состояние здоровья человека, бросившего монету и т.д. Поэтому  теория вероятностей не ставит себе задачу 
предсказать, произойдет или нет единичное случайное событие 
– она просто не в силах это сделать. Однако, когда речь идет о
случайных событиях, которые многократно наблюдаются при
осуществлении одних и тех же условий  S, то есть происходят
массовые однородные случайные события, то оказывается

что они подчиняются определенным закономерностям. Эти закономерности называются вероятностными. 

Например, выпадение снега в Москве 10 октября является 

случайным событием. Ежедневный восход Солнца можно считать достоверным событием, а выпадение снега на экваторе – невозможным событием. 
Предметом теории вероятностей является изучение вероятностных закономерностей массовых  однородных случайных 
событий. 
Знание закономерностей, которым подчиняются массовые  
события позволяет предвидеть, как эти события будут протекать. Например, нельзя заранее определить результат одного 
бросания монеты, но можно предсказать, причем с  небольшой 
погрешностью, число выпадений «орла» или «решки»,   если 
монета будет брошена  большое число раз в одних и тех же условиях. 
Прежде чем мы введем основные понятия, теоремы, следствия теории вероятностей, попробуем рассмотреть общие принципы построения математических дисциплин. Теория вероятностей – математическая дисциплина, родственная таким дисциплинам, как, например, геометрия или теоретическая механика.  
В каждой изучаемой дисциплине, как правило, существуют 
три аспекта:  
а) формально-логическое содержание, 
б) интуитивные представления, 
в) приложения. 
Характер дисциплины в целом и перспективы ее применения нельзя по-настоящему оценить, не рассматривая эти три аспекта в их взаимосвязи. 

Формально-логическое содержание. Характерной особенностью математики является то, что она занимается исключительно соотношениями между неопределяемыми вещами. Невозможно “определить” шахматы иначе, как сформулировав 
систему правил игры. Аналогично этому геометрия не беспокоится о том, чем “на самом деле” являются точки и прямые. Они 
остаются неопределяемыми понятиями, и аксиомы геометрии 
лишь устанавливают связи между ними. Это правила игры, и в 
них нет ничего таинственного. Формально-логическое содержание  статистики представляет собой совокупность понятий, общих представлений и закономерностей окружающего нас мира. 
В основе дисциплины лежат свои аксиомы и теоремы, которые 
являются фундаментом статистики. 
Интуитивные представления. Каждый приобретает интуитивное представление о смысле самых разных понятий. Эта 
интуиция является достаточной предпосылкой для первых формальных правил теории вероятностей. 
Приложения. Приложения теории вероятностей и математической статистики весьма обширны. Знания, полученные в 
результате статистического анализа явлений окружающего нас 
мира, применяются в экономике, политике, промышленности и 
других областях деятельности людей. Используются эти данные 
для изучения реальных процессов, а также эффективного управления ими и прогнозирования. 
 
Основные определения вероятности 
В отличие от математических дисциплин, изучающих 
“точные” закономерности, предметом теории вероятностей являются специфические закономерности, наблюдаемые при анализе случайных явлений. Эти закономерности проявляются в 

массовых явлениях, и позволяют предсказывать с той или иной 
вероятностью исход испытаний. Тогда как, в единичном случае 
можно только предположить исход события.  
Мы можем наблюдать широкий круг явлений, когда при 
многократном осуществлении комплекса условий  доля той 
части случаев, когда событие А происходит, лишь изредка уклоняется сколько-нибудь значительно от некоторой средней цифры, которая таким образом может служить характерным показателем массовой операции (многократного повторения комплекса 
) по отношению к событию А. Закономерности этого рода называются вероятностными или стохастическими закономерностями. 
Итак, имеется схема для различных событий, наступающих при неизменном комплексе условий: достоверное – случайное – невозможное. Ясно, что большая часть событий в мире находится между достоверностью и невозможностью (интуитивное понимание!). 
По мере развития теории вероятностей, а также областей 
её приложения, развивались и представления об основном понятии этой теории – вероятности.  
В настоящее время существует четыре подхода к определению вероятности: 
1. Определение математической вероятности как количественной меры “степени уверенности” познающего объекта. 
2. Определения, сводящие понятие вероятности к понятию “равновозможности” как к более примитивному понятию 
(так называемое “классическое” определение вероятности). 
3. Определения, основанные на “частоте” появления события в большом количестве испытаний (“статистическое” определение). 

4. Аксиоматический подход, на основе теории множеств, 
формализующий теорию вероятностей. 
 
Вероятностью события P(А) называют отношение числа 
благоприятных исходов испытания  m к общему числу всех равновозможных несовместных элементарных исходов  n: 

.
)
(
n
m
A
P

 

Это определение вероятности базируется на классическом 
подходе и часто применяются для решения конкретных задач, 
поэтому мы часто будем обращаться к нему далее. Остановимся 
подробнее на аксиоматическом подходе к определению вероятности события. 
 
Аксиоматическое определение вероятности 
Прежде, чем рассмотреть вероятность с указанной позиции, 
вспомним, что аксиома – это исходное утверждение какой-либо 
научной теории, которое берется в качестве недоказуемого, и из 
которого выводятся все остальные предложения теории по принятым в ней правилам вывода. 
Построение аксиом теории вероятностей А.Н. Колмогоровым означало переход от полуэмпирического, интуитивного понимания вероятности к строгому формализованному. Для введения аксиом нам необходимо принять следующие соглашения. 
Зафиксируем комплекс условий  и рассмотрим некоторую 
систему S событий А, В, С, ..., каждое из которых должно при 
каждом осуществлении комплекса  произойти или не произойти. Далее введём соглашения, которые, как увидит внимательный читатель, являются соглашениями теории множеств и 
математической логики. 

1) Событие, состоящее в наступлении обоих событий А и В, 
будем называть произведением событий А и В и обозначать 
АВ (или АВ). 
2)  Событие, состоящее в наступлении хотя бы одного из событий А и В, будем называть суммой событий А и В и обозначать А+В (или АВ). 
3)  Событие, состоящее в том, что событие А происходит, а событие В не происходит, будем называть разностью событий А и В и обозначать А – В.  
4) Если при каждом осуществлении комплекса условий , при 
котором происходит событие А, происходит и событие В, 
то мы будем говорить, что А влечет за собой В, и обозначать это символом  А В или В  А. 
5)  Если А влечет за собой В и в то же время В влечет за собой 
А, то есть если при каждой реализации комплекса условий 
 события А и В оба наступают или оба не наступают, то 
мы будем говорить, что события А и В равносильны, и обозначим это А=В. Равносильные события могут заменять 
друг друга или, по-другому, они тождественны. 

6)   Два события  А и А  называются противоположными, если для них одновременно выполняются два соотношения: 

7)  А+ А = U (достоверное событие),  

   А* А  = V (невозможное событие) 
Пусть U – достоверное событие. Все достоверные события 
равносильны между собой. 
V – невозможное событие. Все невозможные события тоже 
равносильны между собой. 
8) Два события А и В называются несовместимыми, если их 
совместное появление невозможно, то есть если  А*В = V.