Справочник по математике. 5-9 классы

СПРАВОЧНИК  
ПО МАТЕМАТИКЕ 

5–9 классы

С

О

О

Т

В

Е

Т

С

Т

В

У

Е

Т

 

Т

Р

Е

Б

О

В

А

Н

И

Я

М

едерального

государственного
образовательного
стандарта

5-е  и з д а н и е,  э л е к т р о н н о е

МОСКВА 
 2021

Р е ц е н з е н т  – учитель математики высшей категории  
ГБОУ «Лицей 1508 СП № 1388» Г.В. Миронова.

6+

Издание допущено к использованию в образовательном процессе  
на основании приказа Министерства образования и науки РФ от 09.06.2016 № 699.

В соответствии со ст. 1299 и 1301 ГК РФ при устранении ограничений, установленных 
техническими средствами защиты авторских прав, правообладатель вправе требовать от 
нарушителя возмещения убытков или выплаты компенсации.

ISBN 978-5-408-05664-4

Справочник по математике. 5–9 классы / сост. А.Н. Рурукин, 
Н.Н. Гусева, Е.А. Шуваева. – 5-е изд., эл. – 1 файл pdf : 80 с. – Москва : ВАКО, 2021. – (Школьный справочник). – Систем. требования: 
Adobe Reader XI либо Adobe Digital Editions 4.5 ; экран 10″. – Текст : 
электронный.

ISBN 978-5-408-05664-4

В справочнике приведены основные сведения по всем базовым темам арифметики и алгебры 5–9 классов. Изложение теоретического материала сопровождается 
примерами решения задач. Справочник имеет прикладной практический характер. 
Предназначен как для текущего обучения, так и для подготовки к экзаменам (ОГЭ 
и ЕГЭ). При небольшом объеме в справочнике содержится вся необходимая информация для эффективного обучения.

C74

Электронное издание на основе печатного издания: Справочник по математике. 5–9 классы / сост. А.Н. Рурукин, Н.Н. Гусева, Е.А. Шуваева. – 4-е изд. – Москва : ВАКО, 2021. – 80 с. – (Школьный справочник). – ISBN 978-5-408-05181-6. – 
Текст : непосредственный.

УДК 372.851
ББК 74.262.22

УДК 372.851
ББК 74.262.22

С74

© ООО «ВАКО», 2017

ПРЕДИСЛОВИЕ

В справочнике приведен материал по всем базовым темам арифметики 
и алгебры 5–9 классов:

• Числа и вычисления.
• Выражения с переменными.
• Степени и корни.
• Функции и их графики.
• Уравнения и системы уравнений.
• Неравенства и системы неравенств.
• Последовательности.
Кроме того, добавлены три раздела:
• Задачи с параметром.
• Задачи с целочисленными решениями.
• Элементы статистики, комбинаторики и теории вероятностей.
Эти задачи заметно сложнее обычных типовых задач. Однако подобные 
задачи получают все большее распространение. Поэтому необходимо знать 
основные подходы к их решению.
Изложение теоретического материала сопровождается значительным количеством примеров и задач различной степени сложности. Поэтому справочник можно рассматривать и как пособие по методам решения задач. 
В целом справочник имеет прикладной практический характер. Пособие 
предназначено в первую очередь для текущего обучения (подготовки к уроку, самостоятельным и контрольным работам и т. д.) и для подготовки к экзаменам (ОГЭ, а в дальнейшем и ЕГЭ). При небольшом объеме в справочнике 
содержится вся необходимая информация для эффективного обучения.

ЧИСЛА И ВЫЧИСЛЕНИЯ

НАТУРАЛЬНЫЕ ЧИСЛА

Натуральными называют числа, используемые для счета: 1; 2; 3; …; 
100; … .
Натуральное число n делится на натуральное число k, если можно найти 
такое натуральное число p, что справедливо равенство n = k ∙ p.
Например, натуральное число 15 делится на натуральное число 5, так 
как существует натуральное число 3, для которого справедливо равенство 
15 = 5 ∙ 3. Заметим, что из равенства 15 = 5 ∙ 3 следует, что 15 делится и на 3.

Свойства делимости

1. Если в сумме натуральных чисел каждое слагаемое делится на некоторое число, то и сумма делится на это число.
Например, сумма чисел 6 + 9 + 21 делится на 3, так как каждое слагаемое 
6; 9; 21 делится на 3.
Замечание. Если сумма нескольких чисел делится на некоторое число, 
то это не означает, что каждое слагаемое делится на это число. Например, 
сумма чисел 4; 7 и 10 равна 21 и, следовательно, делится на 3, однако ни одно 
из чисел 4; 7; 10 не делится на 3.
2. Если в произведении натуральных чисел один из множителей делится 
на некоторое число, то и все произведение делится на это число.
Например, произведение 21 ∙ 9 ∙ 31 делится на 7, так как число 21 делится 
на 7.

Признаки делимости

Рассмотрим основные признаки делимости натуральных чисел.
Натуральное число делится на 2, если оно оканчивается одной из следующих цифр 0; 2; 4; 6; 8. Например, число 356 делится на 2, так как оно оканчивается на 6; число 6807 не делится на 2, так как оно оканчивается на 7.
Четными называют натуральные числа, делящиеся на 2. Нечетными 
называют натуральные числа, не делящиеся на 2.
Натуральное число делится на 3, если сумма его цифр делится на 3. Например, число 1584 делится на 3, так как сумма его цифр 1 + 5 + 8 + 4 = 18 
делится на 3.
Натуральное число делится на 4, если:
• оно оканчивается двумя нулями;
• оно оканчивается на 04 или на 08;
• последние две цифры числа образуют двузначное число, которое делится на 4.

Натуральные числа

Например, число 5800 делится на 4, так как оно оканчивается двумя 
нулями; число 91 316 делится на 4, так как последние две цифры 1 и 6 этого 
числа образуют число 16, которое делится на 4.
Натуральное число делится на 5, если оно оканчивается либо на 0, либо 
на 5. Например, число 3160 делится на 5, так как оно оканчивается на 0; 
число 1565 делится на 5, так как оно оканчивается на 5.
Натуральное число делится на 8, если:
• оно оканчивается тремя нулями. Например, число 1000 делится на 8;
• оно оканчивается на 008. Например, число 15 008 делится на 8;
• оно оканчивается на 0nk, где двузначное число nk, образованное последними двумя цифрами, делится на 8. Например, 123 016 делится 
на 8, так как число 16 делится на 8;

• последние три цифры числа образуют трехзначное число, которое делится на 8. Например, 23 168 делится на 8, так как число 168 делится на 8.
Натуральное число делится на 9, если сумма его цифр делится на 9. 
Например, число 12 915 делится на 9, так как сумма цифр этого числа  
1 + 2 + 9 + 1 + 5 = 18 делится на 9.
Натуральное число делится на 10, если оно оканчивается на 0. Например, 
число 1230 делится на 10.
Замечание.
1. Натуральное число будет делиться на 6, если оно делится и на 2, и на 3. 
Например, число 1584 делится на 6, так как:

• оно оканчивается на 4, и поэтому это число делится на 2;
• сумма его цифр 1 + 5 + 8 + 4 = 18 делится на 3, поэтому это число делится на 3.
2. Существует признак делимости на 7, который мы не приводим ввиду 
его сложности.
Пример 1. Какую цифру нужно поставить вместо буквы a, чтобы число 
3a45 делилось на 9?
Решение. Для того чтобы число 3a45 делилось на 9, надо, чтобы сумма 
его цифр 3 + a + 4 + 5 = 12 + a делилась на 9. Подберем цифру a. Подходит 
только цифра 6, так как 12 + 6 = 18, а число 18 делится на 9.
Пример 2. Какую цифру надо поставить вместо буквы a, чтобы число 
2543a делилось на 18?
Решение. Число 2543a будет делиться на 18, если оно делится и на 2, 
и на 9. Для делимости на 2 последняя цифра должны быть равна 0; 2; 4; 6; 8. 
Если последняя цифра равна 0, то сумма цифр числа 25 430 равна 2 + 5 + 4 + 
+ 3 = 14. Число 14 на 9 не делится, поэтому число 25 430 на 9 не делится. 
Аналогично можно проверить, что числа 25 432; 25 436 и 25 438 на 9 не делятся.
Если последняя цифра равна 4, то сумма цифр числа равна 2 + 5 + 4 + 3 + 
+ 4 = 18, поэтому число 25 434 делится на 9. Мы выяснили, что число 25 434 
делится и на 9, и на 2, следовательно, оно делится на 18.
Простым числом называют натуральное число, которое имеет только 
два натуральных делителя: единицу и само это число. Например, число 3 делится только на 1 и на 3, поэтому 3 – простое число. Число 1 делится только 
на 1, поэтому 1 не является простым числом.

Числа и вычисления

Составным числом называют натуральное число, которое имеет более 
двух натуральных делителей. Например, число 6 делится на 1, на 2, на 3 
и на 6, поэтому 6 – составное число.
Любое составное число можно разложить на простые множители (т. е. 
представить в виде произведения простых множителей), причем только одним способом. Способы, при которых произведения отличаются только порядком множителей, считаются одним способом. Например, 14 = 7 ∙ 2 и 14 = 
= 2 ∙ 7 – одинаковые разложения.
Для единообразия записи принято:
• простые множители записывать в порядке их возрастания. Например, 
6 = 2 ∙ 3 (а не 6 = 3 ∙ 2);

• одинаковые множители записывать в виде степени, пользуясь формулой a
a a
a
...
,
n

n раз
=
⋅
⋅
⋅
 где n – натуральное число, n ≠ 1. Например, 

24 = 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 = 23 ∙ 3.
Пример 3. Разложим число 450 на простые множители.
Используем признаки делимости на 2, 3, 5 и получим

450
2
225
3
75
3
25
5
5
5

Таким образом, 450 = 2 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 5 ∙ 5 = 2 ∙ 32 ∙ 52.
Если натуральное число n делится на натуральное число k, то число k 
называют делителем числа n, а число n – кратным числу k. Например, 
число 7 – делитель числа 21, а число 21 кратно числу 7.
Натуральное число p называют общим делителем натуральных чисел 
n и k, если оно является делителем и для n, и для k. Например, число 3 является делителем и числа 36, и числа 48, поэтому число 3 является общим 
делителем чисел 36 и 48.
Среди делителей двух чисел n и k есть наибольший, который называют 
наибольшим общим делителем чисел n и k и обозначают НОД (n, k). Например, числа 24 и 42 имеют следующие общие делители 1; 2; 3; 6, поэтому 
НОД (24; 42) = 6.

Нахождение НОД двух натуральных чисел

Пример 4. Найдем НОД (462; 990).
Раскладываем оба натуральных числа на простые множители.

462
2
231
3
77
7
462 = 2 ∙ 3 ∙ 7 ∙ 11,
11
11
1

Целые числа

990
2
495
3
165
3
990 = 2 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 5 ∙ 11 = 2 ∙ 32 ∙ 5 ∙ 11.
55
5
11
11

В разложение и числа 462, и числа 990 на простые множители число 2 
входит в первой степени. Поэтому в разложение на простые множители 
наибольшего общего делителя этих двух чисел число 2 также будет входить 
в первой степени. Рассуждая аналогично, получим, что 11 входит в разложение наибольшего общего делителя также в первой степени. В разложение 462 
число 3 входит в первой степени, а в разложение 990 – во второй степени. 
Значит, в разложение НОД (462; 990) число 3 будет входить в наименьшей, 
т. е. в первой, степени. Получим НОД (462; 990) = 2 ∙ 3 ∙ 11 = 66.
Натуральное число p называют общим кратным натуральных чисел n 
и k, если p кратно и числу n, и числу k.
Например, число 60 кратно и числу 5, и числу 6. Следовательно, число 
60 – общее кратное чисел 5 и 6.
Среди общих кратных двух чисел n и k есть наименьшее, которое называют наименьшим общим кратным чисел n и k и обозначают НОК (n; k). 
Например, наименьшим общим кратным чисел 5 и 6 является их произведение, т. е. число 30.

Нахождение НОК двух натуральных чисел

Пример 5. Найдем НОК (1350; 2250).
Разложим каждое из чисел на простые множители: 1350 = 2 ∙ 33 ∙ 52 
и 2250 = 2 ∙ 32 ∙ 53.
В разложение и числа 1350, и числа 2250 число 2 входит в первой степени. Значит, в разложение на простые множители НОК (1350; 2250) число 2 
также будет входить в первой степени. В разложение числа 1350 число 3 
входит в третьей степени, а в разложение числа 2250 – во второй. Значит, 
в разложение на простые множители НОК (1350; 2250) число 3 будет входить 
в наибольшей степени, т. е. в третьей. Аналогично, рассматривая число 5, 
мы получим, что в разложение НОК (1350; 2250) это число будет входить 
в третьей степени. Получим НОК (1350; 2250) = 2 ∙ 33 ∙ 53 = 6750.

ЦЕЛЫЕ ЧИСЛА

Целые числа – это числа 0; ±1; ±2; ±3; … . При этом числа 1; 2; 3; … называют положительными целыми числами, а числа -1; -2; -3; … называют 
отрицательными целыми числами.
Пример 1. Найдем все целые значения x и y, для которых произведение 
(x + 2)(y - 1) равно -3.

Числа и вычисления

Поскольку x и y – целые числа, то x + 2 и y - 1 также целые числа. Поэтому (x + 2)(y - 1) произведение двух целых чисел. Число -3 может быть 
представлено в виде произведения целых чисел следующими четырьмя способами:
-3 = -3 ∙ 1 = 3 ∙ (-1) = -1 ∙ 3 = 1 ∙ (-3).
Поэтому имеют место следующие четыре случая:
1) (x + 2)(y - 1) = -3 ∙ 1, т. е. x + 2 = -3, тогда x = -5 и y - 1 = 1, откуда y = 2.
2) (x + 2)(y - 1) = 3 ∙ (-1), т. е. x + 2 = 3, тогда x = 1 и y - 1 = -1, откуда y = 0.
3) (x + 2)(y - 1) = -1 ∙ 3, т. е. x + 2 = -1, тогда x = -3 и y - 1 = 3, откуда y = 4.
4) (x + 2)(y - 1) = 1 ∙ (-3), т. е. x + 2 = 1, тогда x = -1 и y - 1 = -3, откуда 
y = -2.
Выпишем полученный результат в виде пар чисел, где на первом месте 
стоит x, а на втором месте стоит y: (-5; 2); (1; 0); (-3; 4); (-1; -2).

Деление с остатком

Говорят, что целое число n делится на натуральное число k с остатком r, 
если справедливо равенство

n = kp + r,

делимое
неполное частное

делитель
остаток

где r может равняться 0; 1; 2; 3; …; k - 1. Если r = 0, то n делится на k нацело.
Например, число 25 делится на 7 с остатком 4, так как справедливо равенство 25 = 3 ∙ 7 + 4. Число -35 делится на 7 нацело, так как -35 = 7 ∙ (-5). 
Число -25 делится на 7 с остатком 3, так как -25 = (-4) ∙ 7 + 3.
Пример 2. Целое число n при делении на 2 может иметь остатки 0 и 1. 
Если остаток равен 0, то n = 2k (представление четных чисел). Если остаток 
равен 1, то n = 2k + 1 (представление нечетных чисел).
Пример 3. Покажем, что произведение трех идущих друг за другом целых 
чисел делится на 3.
Обозначим идущие друг за другом целые числа n, n + 1 и n + 2. При делении на 3 число n может иметь остатки 0; 1 и 2. Докажем наше утверждение 
в случаях для каждого из этих остатков.
Пусть остаток равен 0, тогда n = 3k. Подставим n = 3k в произведение 
a = n(n + 1)(n + 2). Получим a = 3k(3k + 1)(3k + 2). Поскольку k(3k + 1)(3k + 2) –  
целое число, то рассматриваемое произведение делится на 3.
Пусть остаток равен 1, тогда n = 3k + 1 и a = (3k + 1)(3k + 2)(3k + 3) = 3(3k + 
+ 1)(3k + 2)(k + 1), и аналогично предыдущему случаю получаем, что a делится на 3.
Пусть остаток равен 2, тогда n = 3k + 2, и из представления a = (3k + 2)(3k + 
+ 3)(3k + 4) = 3(3k + 2)(k + 1)(3k + 4) следует, что a делится на 3.
Замечание. Справедливо более общее утверждение: произведение k последовательных целых чисел делится на k.

Обыкновенные дроби

Пример 4. Найдем остатки, которые может иметь квадрат целого числа 
при делении на 3.
Целое число n при делении на 3 может иметь остатки 0; 1; 2. Пусть остаток равен 0 и n = 3k, тогда n2 = 9k2 = 3(3k2), т. е. в этом случае n2 при делении 
на 3 дает остаток 0.
Пусть остаток равен 1, тогда n = 3k + 1 и n2 = (3k + 1)2 = 9k2 + 6k + 1 = 
= 3(3k2 + 2k) + 1, т. е. n2 при делении на 3 дает остаток 1.
Пусть остаток при делении n на 3 равен 2, тогда n = 3k +2 и n2 = (3k + 
+ 2)2 = 9k2 + 12k + 4 = (9k2 + 12k + 3) + 1 = 3(3k2 + 4k + 1) + 1. В этом случае n2 
при делении на 3 также имеет остаток 1. Таким образом, при делении на 3 
квадрат любого целого числа может иметь лишь остатки 0 и 1.
Пример 5. Может ли число 457 226 быть квадратом целого числа?
Заметим, что число 457 224 делится на 3, поскольку сумма его цифр  
4 + 5 + 7 + 2 + 2 + 4 = 24 делится на 3. Тогда число 457 226 = 457 224 + 2 дает 
при делении на 3 остаток 2, а значит, не может быть квадратом целого числа 
(см. пример 4).
Замечание. Последней цифрой квадрата целого числа может быть только 
одна из следующих цифр: 0, 1, 4, 5, 6, 9.

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДРОБИ

Обыкновенная дробь – число, представляемое в виде k
n, где k – числи
тель дроби (целое число), n – знаменатель дроби (натуральное число).

Если k – целое отрицательное число, то число k
n называют отрицатель
ной дробью, например, 2
7
− ; если k – натуральное число, то число k
n называют 

положительной дробью, например, 3
5. Мы будем рассматривать лишь поло
жительные дроби.
Любое натуральное число можно записать в виде обыкновенной дроби 

со знаменателем 1, например, 7
7
1
=
.

Основное свойство дроби

Если числитель и знаменатель данной дроби умножить на одно и то же 
натуральное число или разделить на их общий множитель, то получится 

дробь, равная данной. Например, из дроби 3
7 можно получить равную ей 

дробь 9
21 путем умножения числителя и знаменателя на 3, тогда 3
7
3 3
7 3
9
21.
=
⋅
⋅
=
 

Из дроби 10
25 можно получить равную ей дробь 2
5 путем деления числителя 

и знаменателя на 5, тогда 10
25
10 : 5
25 : 5
2
5.
=
=

Числа и вычисления

Деление числителя и знаменателя на общий множитель называют сокра
щением дробей. Например, сократим дробь 105
147
3 5 7
3 7

3 5 7 : 3 7
3 7
: 3 7
5
7.
2
2
(
)
(
) (
)

(
)
=
⋅
⋅

⋅
=
⋅
⋅
⋅

⋅
⋅
=

Несократимая дробь – дробь, у которой наибольший общий делитель 

числителя и знаменателя равен 1. Например, дробь 5
11 несократима, так как 

числа 5 и 11 простые и, следовательно, НОД (5; 11) = 1.
Любую дробь можно записать в виде несократимой. Для этого числитель 
и знаменатель дроби надо поделить на наибольший общий делитель числи
теля и знаменателя. Например, запишем дробь 15
42 в виде несократимой. Сна
чала найдем, что НОД (15; 42) = 3. Поделим числитель и знаменатель исход
ной дроби на 3, получим 15
42
15 : 3
42 : 3
5
14.
=
=

Умножение числителя и знаменателя дроби на одно и то же натуральное 
число, не равное 1, называют приведением дроби к другому знаменателю.

Пример 1. Приведем дробь 3
11 к знаменателю 77.

Найдем то натуральное число, на которое надо умножить числитель 

и знаменатель дроби 3
11, чтобы получить знаменатель 77: 77 : 11 = 7. Полу
чим 3
11
3 7
11 7
21
77.
=
⋅
⋅
=

Для приведения двух дробей к общему знаменателю надо числитель 
и знаменатель первой дроби умножить на знаменатель второй, а числитель 
и знаменатель второй дроби умножить на знаменатель первой.

Пример 2. Приведем дроби 2
7 и 3
5 к общему знаменателю.

Для этого умножим числитель и знаменатель дроби 2
7 на 5, тогда 

2
7
2 5
7 5
10
35,
=
⋅
⋅
=
 а числитель и знаменатель дроби 3
5 на 7, тогда 3
5
3 7
5 7
21
35.
=
⋅
⋅
=
 

Получили две дроби 10
35 и 21
35 с одинаковым знаменателем.

Для получения меньшего знаменателя дроби приводят к наименьшему 
общему знаменателю, которым является наименьшее общее кратное знаменателей данных дробей.
Пример 3. Приведем дроби 5
12 и 3
20 к наименьшему общему знаменателю.

Для этого найдем наименьшее общее кратное чисел 12 и 20, НОК (12; 20) = 

= 60. Поскольку 60 : 12 = 5, то числитель и знаменатель дроби 5
12 надо умно
жить на 5, получим 5
12
5 5
5 12
25
60.
=
⋅
⋅
=
 Так как 60 : 20 = 3, то числитель и зна
менатель дроби 3
20 надо умножить на 3, тогда 3
20
3 3
20 3
9
60.
=
⋅
⋅
=
 Получили 

5
12
25
60;
=
3
20
9
60.
=