Сборник задач по алгебре. 7 класс

СБОРНИК ЗАДАЧ  
ПО АЛГЕБРЕ

7 класс

А.Н. РУРУКИН, Н.Н. ГУСЕВА,  
Е.А. ШУВАЕВА

С

О

О

Т

В

Е

Т

С

Т

В

У

Е

Т

 

Т

Р

Е

Б

О

В

А

Н

И

Я

М

едерального

государственного
образовательного
стандарта

3-е  и з д а н и е,  э л е к т р о н н о е

МОСКВА 
 2020

Р е ц е н з е н т  –  учитель математики ГБОУ лицей 1501 СП № 1388  
высшей квалификационной категории Г.В. Миронова.

6+

Издание допущено к использованию в образовательном процессе  
на основании приказа Министерства образования и науки РФ от 09.06.2016 № 699.

В соответствии со ст. 1299 и 1301 ГК РФ при устранении ограничений, установленных 
техническими средствами защиты авторских прав, правообладатель вправе требовать от 
нарушителя возмещения убытков или выплаты компенсации.

ISBN 978-5-408-05259-2

Рурукин А.Н.
Сборник задач по алгебре. 7 класс / А.Н. Рурукин, Н.Н. Гусева, 
Е.А. Шуваева. – 3-е изд., эл. – 1 файл pdf : 81 с. – Москва : ВАКО, 2020. – 
Систем. требования: Adobe Reader XI либо Adobe Digital Editions 4.5 ; 
экран 10″. – Текст : электронный.

ISBN 978-5-408-05259-2

Пособие составлено в соответствии с требованиями Федерального государственного образовательного стандарта и программы по математике для 7 класса общеобразовательной школы. Расположение задач соответствует структуре программы и учебнику 
под редакцией Ю.Н. Макарычева. Дополнительно включены задачи, соответствующие 
УМК под редакцией А.Г. Мордковича. Приведены задачи трех уровней сложности – от 
элементарных и базовых до задач повышенной сложности, конкурсных и олимпиадных. Ко всем задачам приведены ответы, к наиболее сложным даны методические 
указания.
Пособие предназначено для учащихся и преподавателей общеобразовательных 
школ для классной и домашней работы, проведения самостоятельных, контрольных 
и зачетных работ, подготовки к олимпиадам.

Р87

Электронное издание на основе печатного издания: Сборник задач по алгебре. 
7 класс / А.Н. Рурукин, Н.Н. Гусева, Е.А. Шуваева. – 2-е изд. – Москва : ВАКО, 
2018. – 80 с. – ISBN 978-5-408-04027-8. – Текст : непосредственный.

УДК 373.5
ББК 22.14

УДК 373.5
ББК 22.14

Р87

© ООО «ВАКО», 2016

Предисловие

Пособие составлено в соответствии с требованиями Федерального 
государственного образовательного стандарта и программы по алгебре 
для 7 класса общеобразовательной школы. В сборник включены задачи 
по всем разделам алгебры, изучаемым в 7 классе средней школы. Расположение задач соответствует структуре программы и учебнику под редакцией Ю.Н. Макарычева. Дополнительно включены задачи, соответствующие УМК под редакцией А.Г. Мордковича. Содержит более 450 задач. 
Приведены задачи трех уровней сложности. Задачи первого уровня предназначены для отработки элементарных навыков решения задач. Задачи 
второго уровня соответствуют обязательному уровню программы образования. К третьему уровню задач относятся задачи повышенной сложности, олимпиадные и конкурсные задачи. Как правило, представлены парные задачи, позволяющие отрабатывать пройденный материал в школе 
и закреплять его дома. Ко всем задачам приведены ответы, к наиболее 
сложным задачам даны и методические указания.
Все задачи данного сборника сгруппированы по темам:
I. Выражения, тождества, уравнения.
1. Выражения.
2. Уравнения с одной переменной.
3. Преобразование выражений.
4. Статистические характеристики.
II. Функции.
5. Функции и их графики.
6. Линейная функция.
III. Степень с натуральным показателем.
7. Степень и ее свойства.
8. Одночлены.
IV. Многочлены.
9. Сумма и разность многочленов.
10. Произведение одночлена и многочлена.
11. Произведение многочленов.
V. Формулы сокращенного умножения.
12. Квадрат суммы и квадрат разности.
13. Разность квадратов. Сумма и разность кубов.
14. Преобразование целых выражений.
VI. Системы линейных уравнений.
15. Линейные уравнения с двумя переменными и их системы.
16. Решение систем линейных уравнений.
Задачник предназначен для учеников и учителей общеобразовательных и профильных школ. Наличие в пособии задач разного уровня сложности позволяет использовать его для классной и домашней работы, проведения самостоятельных, контрольных и зачетных работ, подготовки 
к олимпиадам и ОГЭ. Сборник задач апробирован в общеобразовательных 
классах и в классах с углубленным изучением математики.

I. ВЫРАЖЕНИЯ, ТОЖДЕСТВА, УРАВНЕНИЯ

1. Выражения

У р о в е н ь  А

1. Выполните действия с целыми числами:
а) 4891 + 4675 + 109 + 325;
б) 3725 + 3820 + 275 + 180;
в) 5235 - 376 - 235 + 6376;

г) 7137 - 472 - 137 + 5472;
д) 564 ∙ 645 - 563 ∙ 645 + 4355;
е) 789 ∙ 389 - 788 ∙ 389 + 3611.

2. Найдите значение выражения:
а) 3,6 : 0,08 + 5,2 ∙ 2,5;
б) 8,75 : 0,125 - 3,5 : 0,5;
в) (9,885 - 0,365) : 1,7 + 4,4;
г) (3,637 + 10,563) ∙ 2,5 + 4,5;

д) 31
3
61
6;
+

е) 101
4
51
2;
−

ж) 21
5
71
3;
−

з) 51
6
72
3;
−

и) 31
2 13
7;
−
⋅

к) 61
2 :
21
6 .
(
)
−

3. Вычислите:
а) 3% от числа 320;
б) 6% от числа 400;
в) 15% от числа 230;
г) 8% от числа 240.

4. Найдите число, если:
а) 4% от него равно 240;
б) 8% от него равно 32;
в) 20% от него равно 15;
г) 7% от него равно 210.

5. Запишите в виде числового выражения и найдите его значение:

а) сумму числа 32
3 и произведения чисел 2,4 и 15;

б) разность между произведением чисел 21
7 и 24
5 и числом 2,4;

в) произведение суммы чисел 24 и 5,6 и их разности;

г) частное от деления разности чисел 4 8
15 и 11
3 на меньшее из них.

6. Опишите алгебраическим выражением:
а) число секунд в a минутах;
б) число минут в x сутках;
в) длину в метрах, если она равна b километрам;
г) длину в километрах, если она равна y метрам;
д) скорость в метрах в минуту, если она равна c км/ч;
е) скорость в километрах в час, если она равна z м/с.

7. Напишите формулу числа, которое:
а) кратно 3;
б) кратно 19;
в) при делении на 7 дает остаток 4;
г) при делении на 11 дает остаток 9;
д) при делении на n дает остаток r (r < n).

8. Найдите значение выражения:
а) 3x - 8 при x = -3; 0; 2;
б) 2y + 5 при x = -4; 0; 3;
в) 4x - 3y при x = 1 и y = -2;
г) 3a + 7b при a = -3 и b = 1;

д) a
b
a
b
3

2

−
+
 при a = -1 и b = -2;

е) a
b
a
b
2

2

2

−
+
 при a = -2 и b = 4.

9. При некоторых значениях переменных x и y значение выражения 
x - y равно -3. При тех же переменных найдите значение выражения:

а) 7(x - y);
в) x
y
2
;
−

б) 4(y - x);
г) y
x
x
y
5
.
−
−

10. При каких значениях переменных выражение не имеет смысла?

а) x
3
5;
+
е) 
x
x
x
4

2
1 3
7 ;
2
(
)(
)
−
−
+

б) x
2
2
3;
−
ж) 
xy
x
y
2
1

2
1
2 ;
(
)
(
)
+
−
+

в) x
x
3
1
2
7;
+
+
з) 
x
y
x
y
2
3

3 2
1 ;
(
)
(
)
+
+
+
+

г) x
x
2
1
3
5 ;
2 −
−
и) 
xy
x

x
y
x
y

3
2
2
3
;

2

(
)(
)
+
+
+
−

д) 
x
x
x
4
1
1 2
3 ;
(
)(
)
+
+
+
к) 
y
x
y
x
y x
y
2
2
5
3
.

2

(
)(
)
+
+
−
−
+

11. Сравните значения выражений:
а) A = 3,2 ∙ 2,3 и B = 30,5 : 4,4;
б) A = 100,8 : 5,6 и B = 54,8 - 36,7;

в) A
1
2
1
5
=
+
 и B
1
3
1
4;
=
+

г) A
16
35
8
=
−
 и B
15
21
4.
=
−

12. Сравните значения выражений, не вычисляя их:

а) A
78 3
7
=
⋅
 и B
78 : 7
3;
=

б) A
811
3 : 2
7
=
 и B
811
3
2
7;
=
⋅

в) A
533
5 : 32
3
=
 и B
533
5 32
3;
=
⋅

г) A
643
7
281
3
=
−
 и B
622
5
281
3;
=
−

д) A
563
4
731
2
=
−
 и B
563
4
712
3.
=
−

13. Сравните значения выражений:
а) A = 3x + 5 и B = 7x - 3 при x = -1; 2; 4;
б) A = 5x - 1 и B = 8x + 2 при x = -4; -1; 2.

У р о в е н ь  B

14. Выполните действия с целыми числами:
а) 564 ∙ 645 - 563 ∙ 645 + 355;
б) 598 ∙ 985 - 597 ∙ 985 + 1015;
в) 584 + 5832 - 5842 + 583;
г) 675 + 6742 - 6752 + 674.

15. Найдите последнюю цифру числа:
а) 15 837 + 138 ∙ 251 + 372 ∙ 683 + 73 269;
б) 37 843 + 139 ∙ 267 - 348 ∙ 261 + 84 125;
в) 261 ∙ 262 ∙ 263 ∙ 264 ∙ 265 ∙ 266 ∙ 267;
г) 382 ∙ 383 ∙ 384 ∙ 385 ∙ 386 ∙ 387 ∙ 388.

16. Не вычисляя произведение, проверьте, равны ли числа:
а) 827 ∙ 278 ∙ 782 и 179 786 491;
б) 743 ∙ 437 ∙ 374 и 121 434 433.

17. Установите закономерность между целыми числами и напишите 
три следующих числа:
а) 3; 7; 11; 15; … ;
б) 2; 5; 8; 11; … ;
в) 4; -1; -6; -11; … ;
г) 3; -1; -5; -9; … ;
д) 2; 6; 18; 54; … ;

е) 3; 6; 12; 24; … ;
ж) 5; -10; 20; -40; … ;
з) -7; 21; -63; 189; … ;
и) 1; 2; 3; 5; 8; 13; … ;
к) -2; 3; 1; 4; 5; 9; … .

18. Найдите значение числового выражения:
а) (0,018 + 0,982) : (8 ∙ 0,5 - 0,8);
б) (0,008 + 0,992) : (5 ∙ 0,6 - 1,4);

в) 6
71
8
2
9
2
3 ;
(
) (
)
−
⋅
+

г) 15
41
8
314
15
23
5 ;
(
) (
)
−
⋅
−

д) 

1,05
3
4

7,5
31

3
0,6

;
(
)

+

−
⋅

е) 

7,5
62

3
0,12

4,5
3
5

.
(
)
+
⋅

+

19. Стоимость товара была повышена на 20%, а затем снижена на 10%. 
На сколько процентов изменилась стоимость товара?

20. Зарплата была снижена на 10%, потом снижена еще на 20%. 
На сколько процентов изменилась зарплата?

21. Используя цифру 4 по четыре раза, знаки действий и скобки, представьте все числа от 0 до 10.

22. Используя цифру 7 по четыре раза, знаки действий и скобки, запишите все числа от 0 до 10.

23. С помощью алгебраического равенства запишите утверждение:
а) от перестановки мест слагаемых сумма не меняется;
б) от перестановки мест множителей произведение не меняется;
в) величина дроби не меняется, если ее числитель и знаменатель 
умножить на одно и то же число, не равное нулю;
г) чтобы разделить одну дробь на другую, надо делимое умножить 
на число, обратное делителю.

24. Используя алгебраическое равенство, опишите данную ситуацию.
а) Известно, что 1 кг яблок стоит x руб., 1 кг груш стоит y руб. 
Пять килограммов яблок стоят столько же, сколько три килограмма 
груш.
б) Стоимость стакана виноградного сока a руб., стакана апельсинового сока – b руб. Известно, что 4 стакана виноградного сока стоят 
столько же, сколько 7 стаканов апельсинового сока.
в) Скорость мотоциклиста x км/ч, а скорость автомобилиста 
на 20 км/ч больше. Расстояние между городами мотоциклист проехал 
за 5 ч, а автомобилист – за 3 ч.
г) Скорость катера y км/ч, а скорость моторной лодки на 4 км/ч 
меньше. Расстояние между пристанями катер прошел за 2 ч, а лодка – за 3 ч.
д) На трех полках стоит 305 книг. На первой полке книг в 1,5 раза 
больше, чем на второй. На второй полке x книг. На третьей полке стоит на 10 книг меньше, чем на второй. 
е) В трех цехах работают 470 человек. В первом цехе x рабочих, что 
на 30% больше, чем во втором. В третьем цехе на 70 рабочих меньше, 
чем в первом.

25. Найдите значение числового выражения:
а) -97 - 96 - … - 2 - 1 + 1 + 2 + … + 97 + 98;
б) -100 - 99 - 98 - … - 1 + 1 + 2 + … + 101 + 102;
в) 1 + 2 - 3 - 4 + 5 + 6 - 7 - 8 + … + 301 + 302;
г) 1 - 2 + 3 - 4 + … + 295 - 296.

26. Значение выражения ax + by при x = 4, y = 6 равно 72. Найдите 

значение этого выражения при x
1
6,
=
y
1
4.
=

27. Значение выражения ax + by при x = 3, y = 8 равно 48. Найдите 

значение этого выражения при x
1
8,
=
y
1
3.
=

28. При каких значениях переменной выражение не имеет смысла?

а) 
x
x
2 : 3
2
4
3;
+
−

б) 
x
x
3 : 2
1
3
1;
−
+

в) 
x
x
x
5
2 : 2
3
4 ;
(
)
+
+
−

г) 
x
x
x
7
3 : 3
4
7 .
(
)
−
−
+

29. Сравните значения выражений, не вычисляя их:

а) A
1
2
1
4
1
6
1
8
1
10
=
+
+
+
+
 и B
1
3
1
5
1
7
1
9
1
11;
=
+
+
+
+

б) A
1
101
2
103
3
105
4
107
5
109
=
+
+
+
+
 и B
1
100
2
102
3
104
4
106
5
108;
=
+
+
+
+

в) A = a + a2 + a3 и B
a
a
a
1
2
1
3
1
6 ;
2
3
(
) (
)
(
)
=
−
+
+
+
+

г) A
a
a
a
1
3
1
6
1
2

2
3
(
) (
) (
)
=
−
+
+
+
+
 и B
a
a
a
1
3
1
6
1
2 .
2
3
(
) (
) (
)
=
−
+
+
+
+

У р о в е н ь  С

30. Найдите сумму чисел:
а) 1 + 3 + 5 + … + 97 + 99;
б) 2 + 4 + 6 + … + 98 + 100;

в) 1
2 4
1
4 6
1
6 8
...
1
98 100;
⋅
+
⋅
+
⋅
+
+
⋅

г) 1
1 3
1
3 5
1
5 7
...
1
99 101.
⋅
+
⋅
+
⋅
+
+
⋅

31. Найдите число, если 2,5% его равны значению выражения 

93

4 : 5,2
3,4 2 7

34 : 1 9

16

0,31 82

5
5,61 : 271

2

.
(
)
+
⋅

⋅
−

32. Найдите число, если 5% его равны значению выражения 

211

25
0,84
68

9 : 2 7

12

5
12 4 4

35

7,605 : 71

2
3,086

.
(
)
−
⋅
−
⋅

+

33. Найдите соотношение между A и B, если:

а) A
0,8 7
0,8
1,25 7
4
5 1,25
31,64,
2 (
)
(
)
=
⋅
+
⋅
⋅
−
⋅
+

B
11,81
8,19
0,02
9 : 11,25
;
(
)
=
+
⋅

б) A
9 0,08
0,7 0,08 : 9 12,5
0,7 121
2
9,49,
(
)
(
)
=
⋅
+
⋅
⋅
−
⋅
+

B

1,09
0,29
11

4

18,9
1613

20

8
9

.
(
)

(
)

=

−
⋅

−
⋅

34. С помощью алгебраического равенства запишите утверждение:
а) для того, чтобы умножить сумму чисел на число, надо умножить 
на это число каждое слагаемое и полученные результаты сложить;
б) для того, чтобы из числа вычесть сумму двух чисел, надо из этого числа вычесть первое слагаемое, а затем из полученной разности 
вычесть второе слагаемое;
в) для того, чтобы умножить дробь на дробь, надо перемножить 
отдельно числители и знаменатели, первое произведение взять в качестве числителя произведения, а второе – в качестве его знаменателя.

35. Сравните значения выражений, не вычисляя их:

а) A
169
174
171
175
=
⋅
 и B
170
173
172
174;
=
⋅

б) A
271
276
273
277
=
⋅
 и B
272
275
274
276;
=
⋅

в) A
1
372
2
373
3
374
4
375
=
+
+
+
 и B
1
37;
=

г) A
1
482
2
483
3
484
4
485
=
+
+
+
 и B
1
48;
=

д) A
1
382
1
383
1
384
=
⋅
⋅
 и B
1
26 481504;
=

е) A
1
497
1
498
1
499
=
⋅
⋅
 и B
1
63205 494.
=

2. Преобразование выражений

У р о в е н ь  А

36. Упростите выражение и найдите его значение:
а) 2(3x - 1) + 3(2x - 5) при x = 0,25;

б) 3(5x - 2) - 2(3x + 1) при x
11
9;
=

в) 4(1,2x + 0,3) + 5(0,9x - 0,5) при x = 1;
г) 3(0,8x - 0,7) - 2(0,6x + 0,4) при x = 2;
д) 3,2(x + 3) - 1,4(2x - 1) при x = 10;
е) 4,7(2x - 5) + 3,2(x + 3) при x = 3.

37. Проверьте равенство:
а) a - b + c + d = (a + c) - (b - d);
б) (a - 1) + (1 + b) + (c - 1) + (1 + d) = a + b + c + d;
в) (a - 1) + (1 - b) + (c - 1) + (1 - d) = a - b + c - d;
г) a(b + c) + a ∙ d = a(b + c + d);
д) (a - 4)(b + c) = (a - 4) ∙ b + (a - 4) ∙ c = a ∙ b - 4 ∙ b + a ∙ c - 4 ∙ c.

38. Определите знак выражения:
а) 13x + 17 - (18x + 14) + (5x - 2);
б) 19x + 22 - (14x + 15) + (5x - 8).

39. Раскройте скобки и упростите выражение:
а) a - (a - (a + (a - 1)));
б) c + 2(c - 3(c - 1)).

40. Докажите, что сумма:
а) трех последовательных натуральных чисел делится на 3;
б) трех последовательных натуральных нечетных чисел делится 
на 3.

У р о в е н ь  В

41. Упростите выражение и найдите его значение:

а) 2(3x - y) + 3(x + 2y) при x
1
9,
=
y
1
2;
=

б) 3(x - 5y) - 7(x - 3y) при x
1
4,
=
y
1
6;
=

в) 3(0,7x + 0,4y) - 5(0,6x - 0,2y) при x
11
9,
=
y
10
11;
=

г) 4(0,6x - 0,2y) + 7(0,4x - 0,1y) при x
5
26,
=
y
11
3.
=

42. Вычислите наиболее рациональным способом:
а) 3 + 5 + 8 + 9 + 17 + 15 + 12 + 11;

б) 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 9 + 18 + 27 + 36 + 45;

в) 1
9
2
9
3
9
...
7
9
8
9;
+
+
+
+
+

г) 1
20
2
20
3
20
...
18
20
19
20;
+
+
+
+
+

д) 1 - 2 + 3 - 4 + … + 99 - 100;

е) (1 + 3 + 5 + … + 99) - (2 + 4 + 6 + … + 100);

ж) 100 + 99 - 98 - 97 + 96 + 95 - 94 - 93 + … + 4 + 3 - 2 - 1;

з) 
−
+
−
+
+
−
1
9
2
9
3
9
4
9
...
17
9
18
9 ;

и) 
+
+
+
+
+
1
101
2
101
3
101
...
99
101
100
101;

к) (
) (
)
+
+
+
+
−
+
+
+
+
1
51
2
51
3
51
...
50
51
51
151
52
151
53
151
...
100
151 .

43. Определите, при каких натуральных значениях переменной a значение выражения:
а) 3a - 2(a - 3(a - 1)) - 4 отрицательно;
б) 5 - 3(a - 2(a + 1)) - 9a положительно.

44. а) Одно число при делении на восемь дает остаток три, а другое 
число при делении на четыре дает остаток один. Докажите, что сумма 
этих чисел делится на четыре без остатка.
б) Одно число при делении на десять дает остаток три, а другое 
число при делении на пять дает остаток два. Докажите, что сумма 
этих чисел делится на пять без остатка.

У р о в е н ь  С

45. Определите, при каких натуральных значениях переменной a значение выражения:
а) 3(0,7a + 0,8) + 6(a - 2(0,4a + 1,2)) отрицательно;
б) 2(0,8a + 1,9) + 5(a - 7(0,3a - 0,2)) положительно.

46. Докажите, что не может быть простым числом сумма:
а) четырех последовательных натуральных чисел;
б) пяти последовательных натуральных чисел.

47. а) Катер с собственной скоростью u км/ч движется по реке (скорость течения v км/ч). Катер проплыл пять часов по течению и три 
часа против течения. Составьте выражение для средней скорости катера. Сравните среднюю и собственную скорости катера.
б) Катер с собственной скоростью u км/ч движется по реке (скорость течения v км/ч). Катер проплыл три часа по течению и пять часов против течения. Составьте выражение для средней скорости катера. Сравните среднюю и собственную скорости катера.