Контрольно-измерительные материалы. Алгебра и начала анализа. 10 класс

класс

АЛГЕБРА  
И НАЧАЛА АНАЛИЗА

6-е  и з д а н и е,  э л е к т р о н н о е

МОСКВА 
 2021

Р е ц е н з е н т  – Соросовский учитель,  
учитель высшей категории ГБОУ СОШ № 192 г. Москвы  
М.Я. Гаиашвили.

Издание соответствует требованиям ФГОС  
на основании сертификата № RU.ИОСО.П00609  
системы «Учсерт» Российской академии образования.

6+

Издание допущено к использованию в образовательном процессе  
на основании приказа Министерства образования и науки РФ  
от 09.06.2016 № 699.

ISBN 978-5-408-05572-2

Контрольно-измерительные материалы. Алгебра и начала анализа. 10 класс / сост. А.Н. Рурукин. – 6-е изд., эл. – 
1 файл pdf : 114 с. – Москва : ВАКО, 2021. – (Контрольноизмерительные материалы). – Систем. требования: Adobe 
Reader XI либо Adobe Digital Editions 4.5 ; экран 10″. – Текст : 
электронный.

ISBN 978-5-408-05572-2

В пособии представлены контрольно-измерительные материалы 
(КИМы) по алгебре и началам анализа для 10 класса: тесты в формате 
заданий ЕГЭ, а также самостоятельные и контрольные работы по всем 
изучаемым темам. Ко всем заданиям приведены ответы. Предлагаемый 
материал позволяет проводить проверку знаний, используя различные 
формы контроля.
Издание ориентировано на учителей, школьников и их родителей.

К65

УДК  372.83
ББК  74.266.0
 
К65

Электронное издание на основе печатного издания: Контрольно-измерительные материалы. Алгебра и начала анализа. 10 класс / сост. А.Н. Рурукин. – 
5-е изд. – Москва : ВАКО, 2019. – 112 с. – (Контрольно-измерительные материалы). – ISBN 978-5-408-04321-7. – Текст : непосредственный.

В соответствии со ст. 1299 и 1301 ГК РФ при устранении ограничений, установленных техническими средствами защиты авторских прав, правообладатель вправе требовать от нарушителя возмещения убытков или выплаты 
компенсации.

УДК 372.83
ББК 74.266.0

©  ООО «ВАКО», 2015

От составителя

Контрольно-измерительные материалы по алгебре 
и началам анализа для 10 класса будут полезны при работе как по УМК А.Г. Мордковича и др., так и по УМК 
А.Н. Колмогорова и др. (при незначительном изменении 
порядка следования КИМов).
Предлагаемые КИМы могут быть использованы 
на любом этапе обучения: при повторении и закреплении 
изученного, актуализации опорных знаний и др.
На выполнение тематических тестов и самостоятельных работ отводится 15–20 минут. Обобщающие 
тесты, итоговый тест и контрольные работы рассчитаны 
на 40–45 минут.
Приведенные материалы избыточны и могут быть 
использованы при работе как в классе, так и дома. Рекомендуем задействовать различные формы контроля 
знаний, так как каждая из них имеет свои преимущества 
и недостатки.
Преподавательская практика показывает, что предлагаемый подбор КИМов позволяет эффективно освоить 
материал 10 класса и подготовить учащихся к сдаче ЕГЭ 
по изученным темам.
Надеемся, что пособие поможет учителям при подготовке и проведении уроков, а также школьникам при изучении материала, закреплении и систематизации знаний.
Желаем успехов!

Требования  
к уровню подготовки учащихся

В результате изучения курса учащиеся должны овладеть следующими навыками и умениями, представляющими обязательный минимум:
1.  Иметь понятие о числовых функциях и их основных 
свойствах, строить графики функций.
2.  Знать основные тригонометрические функции произвольного аргумента, их свойства и графики.
3.  Иметь представление об обратных тригонометрических функциях и использовать их при решении 
простейших тригонометрических уравнений.
4.  Иметь представление о производной функции, ее 
геометрическом и физическом смысле.
5.  Уметь вычислять производные элементарных функций.
6.  Знать уравнение касательной к графику функции 
и использовать его для написания уравнений касательных.
7.  Уметь применять производную к исследованию 
функций и построению их графиков.
8.  Иметь навыки использования производной для решения прикладных задач.

Выполнение заданий  
и их оценивание

Тесты

В соответствии с форматом ЕГЭ задания тестов разделены на два уровня сложности (B и C). Задания уровня B 
(базового) предполагают краткий ответ, который является 
целым числом или конечной десятичной дробью. В уровне C необходимо привести обоснованное решение.
Тематический тест содержит четыре задания уровня B 
(каждое оценивается в 1 балл) и два задания уровня С 
(каждое оценивается в 2 балла). На выполнение такого 
теста отводится 15–20 минут. Учитывая ограниченность 
времени, рекомендуем следующее соответствие количества баллов и оценки:
2–3 балла – оценка «3»;

3–4 балла – оценка «4»;
5 баллов и больше – оценка «5».
Обобщающий и итоговый тесты содержат больше заданий, чем тематический. Соответственно, увеличивается 
время на выполнение таких тестов (40–45 минут) и необходимое количество баллов:
4–7 балла – оценка «3»;
7–9 баллов – оценка «4»;
9–10 баллов и больше – оценка «5».

Самостоятельные работы

Формулировка задания теста (уровень B) предполагает простой вопрос, который далеко не всегда позволяет 
определить степень усвоения изучаемого материала. Поэтому при контроле знаний по основным темам целесообразно некоторые тесты заменить самостоятельными работами, которые состоят из трех заданий уровня C (каждое 
оценивается в 2 балла). На выполнение самостоятельной 
работы отводится 15–20 минут.
Рекомендуемые критерии оценивания:
1–2 балла – оценка «3»;
3–4 балла – оценка «4»;
5 баллов и больше – оценка «5».

Контрольные работы

После изучения крупной темы (соответствующей главе учебно-методического комплекта) для проверки знаний рекомендуется использовать контрольные работы, 
которые содержат четыре задания уровня B и два задания 
уровня C. На работу отводится 40–45 минут.
Рекомендуемые критерии оценивания:
3 балла – оценка «3»;
4–5 балла – оценка «4»;
6 баллов и больше – оценка «5».
Тексты самостоятельных и контрольных работ позволяют более гибко по сравнению с тестами формулировать 
задания и форму ответов. Благодаря этому педагог объективнее сможет оценить знания учащихся, выявить недочеты при изучении материала и т. д. Поэтому рекомендуем 
использовать разнообразные формы аттестации учащихся.

Тест 1. Функция. Область определения 
и область значений функции

Вариант 1

B1. Для функции f x
x
x
( ) =
−
−
2 1
 найдите значение 
f (−3).

О т в е т:  

B2. На рисунке приведен график функции y = f (x). Определите длину промежутка, который является областью 
определения функции.

3

5
x

y

–1

–2

О т в е т:  

B3. Для функции f (x) = 2 − 3x, имеющей D(f) = [−2; 4], 
укажите длину промежутка, который является областью 
значений функции.

О т в е т:  

B4. Найдите наименьшую величину, входящую в область 
значений функции
f (x) = 2x2 − 4x − 11.

О т в е т:  

С1. Найдите область определения функции

f x
x
x

x
x

( ) =
−
−
−

+
−

9
5
2

3
4

2

2
.

О т в е т:  

С2. Известно, что f (3 − x) = 2x2 + 3x − 1. Найдите функцию f (x).

О т в е т:  

Тест 1. Функция. Область определения 
и область значений функции

Вариант 2

B1. Для функции f x
x
x
( ) =
−
−
3 7
2
 найдите значение 
f (−2).

О т в е т:  

B2. На рисунке приведен график функции y = f (x). Определите длину промежутка, который является областью 
определения функции.

3
2

4
x

y

–1

–4
–6

О т в е т:  

B3. Для функции f (x) = 1 − 4x, имеющей D(f) = [−1; 3], 
укажите длину промежутка, который является областью 
значений функции.

О т в е т:  

B4. Найдите наибольшую величину, входящую в область 
значений функции
f (x) = −3x2 − 6x + 7.

О т в е т:  

С1. Найдите область определения функции

f x
x
x

x
x

( ) = −
−
+
−

−
−

4
5
3

4
5

2

2
.

О т в е т:  

С2. Известно, что f (2 − x) = 3x2 − x + 5. Найдите функцию f (x).

О т в е т:  

Тест 2. Основные свойства функции

Вариант 1

B1. Выберите среди предложенных функций убывающую 
на области определения, найдите для нее f (−2) и запишите это значение в ответ.
а) f (x) = −3x2 + 7x − 11;

б) f x
x
( ) =
−
5
3;

в) f (x) = 7 − 5x.

О т в е т:  

B2. На отрезке [3; 5] найдите наименьшее значение функ
ции f x
x
x
( ) =
−
−
2
3
2 .

О т в е т:  

B3. Найдите значение x, при котором на отрезке [2; 4] 
функция f (x) = −x2 + 2x + 3 имеет наибольшее значение.

О т в е т:  

B4. Определите число промежутков, на которых функция 
f (x) = (3x2 + 4)(x − 1)2(x + 2)(x − 3) (x + 5) 
принимает положительные значения.

О т в е т:  

С1. Известно, что функция y = f (x) четная и f (−3) = 2. 
Найдите величину 11 − 2 f (3) + 4f (−3).

О т в е т:  

С2. При каких значениях x функция 

f x
x
x

x
x
x
3
2
5
4

2

3
2
( ) =
−
−
−
+

принимает отрицательные значения?

О т в е т:  

Тест 2. Основные свойства функции

Вариант 2

B1. Выберите среди предложенных функций возрастающую на области определения, найдите для нее f (−2) и запишите это значение в ответ.

а) f x
x
( ) =
−
3
1
;

б) f (x) = 7x − 3;
в) f (x) = 2x2 − 5x + 1.

О т в е т:  

B2. На отрезке [−2; 1] найдите наибольшее значение 

функции f x
x
x
( ) =
−
−
3
3
4.

О т в е т:  

B3. Найдите значение x, при котором на отрезке [1; 3] 
функция f (x) = x2 − 8x + 3 имеет наименьшее значение.

О т в е т:  

B4. Определите число промежутков, на которых функция
 f (x) = (2x2 + 1)(x + 2)(x + 5)2(3 − x)(x − 5)
принимает отрицательные значения.

О т в е т:  

С1. Известно, что функция y = f (x) нечетная и f (−2) = 3. 
Найдите величину 15 − 3 f (2) + 4f (−2).

О т в е т:  

С2. При каких значениях x функция

f x
x
x
x

x
x
4
5
6
5

3
2

2
( ) =
−
−
−
+

принимает положительные значения?

О т в е т:  

Тест 3. Графики функций

Вариант 1

B1. График линейной функции y = ax + b проходит через 
точки A(−1; −5) и B(2; 4). Найдите коэффициент a.

О т в е т:  

B2. При каком значении x пересекаются графики функ
ций f x
x
x
( ) =
−
+

2
25
5  и g(x) = 3x + 7?

О т в е т:  

B3. Найдите коэффициент c по представленному на рисунке графику функции y = ax2 + bx + c.

8
6

1
x

y

–1
–3

О т в е т:  

B4. График функции f x
k
x
( ) =
− 2 проходит через точку 

A(4; −4). Найдите значение f (−2).

О т в е т:  

С1. При каком значении a графики функций f (x) = ax + 5 
и g(x) = | x + 2 |  + 3 | x − 1 |  имеют бесконечное множество 
общих точек?

О т в е т:  

С2. Задайте формулой функцию, изображенную на рисунке задачи B3 (т. е. определите коэффициенты a, b, с).

О т в е т: