Теория математической обработки геодезических измерений


В. В. Голубев








ТЕОРИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ
ОБРАБОТКИ ГЕОДЕЗИЧЕСКИХ ИЗМЕРЕНИЙ




Учебник















Москва Вологда «Инфра-Инженерия» 2021

УДК 528.11
ББК 26.1
     Г62




Рецензенты:
профессор А. Г. Юнусов (Государственный университет по землеустройству); доцент Е. А. Русяева (МИИГАиК)





     Голубев, В. В.
Г62 Теория математической обработки геодезических измерений : учебник / В. В. Голубев. - Москва ; Вологда : ИнфраИнженерия, 2021. - 424 с. : ил., табл.
             ISBN 978-5-9729-0558-4

        Приведены базовые сведения из теории вероятностей и математической статистики. Рассмотрена теория ошибок, уравнивание и проектирование геодезических построений. Изложение теоретического материала сопровождается примерами расчетов из геодезической практики и заданиями для самостоятельного решения.
        Для студентов и аспирантов геодезических вузов, а также специалистов топографо-геодезического производства.












ISBN 978-5-9729-0558-4  © Голубев В. В., 2021
                        © Издательство «Инфра-Инженерия», 2021
                        © Оформление. Издательство «Инфра-Инженерия», 2021

        Предисловие автора

    Учебник написан в соответствии с учебной программой и содержит элементы теории вероятностей (в объеме необходимом для понимания теории ошибок) и математической статистики, теорию ошибок, уравнивание геодезических построений по методу наименьших квадратов, проектирование геодезических построений.
    Учебник призван сформировать у будущих специалистов четкое представление о принципах обработки геодезических измерений, а также профессиональные и общекультурные компетенции, предусмотренные ФГОС соответствующих направлений и специальностей.
    Все разделы содержат теоретический материал, сопровождаемый выводами и практическими иллюстрациями, список контрольных вопросов, расчетные примеры и индивидуальные задания. Задания по уравниванию для каждого студента отличаются не только смоделированными и введенными ошибками измерений, но и самими значениями измерений. В заданиях по уравниванию нивелирной сети индивидуальна и геометрия сети. Среди заданий появилась задача на уравнивание линейно-угловой сети с двумя определяемыми пунктами. По усмотрению ведущего преподавателя данное задание может быть преобразовано к обратной однократной, многократной, комбинированной засечкам, путем изъятия каких-либо измерений.
    Последний раздел посвящен предрасчету точности и проектированию геодезических сетей. Рассмотрены строгие и приближенные методы предрасчета. Сделан акцент на отличии понятий среднего квадратического отклонения и средней квадратической ошибки от их предрасчетных значений.

4

    Для выполнения домашних заданий по уравнительным вычислениям предусмотрено использование алгоритмов, представленных в традиционной форме и в матричной форме. В последнем случае рекомендуется выполнять вычисления в специализированной информационной среде, например, Mathcad, Mathematica, Mathlab или составить собственную программу, позволяющую совершать различные матричные операции. Можно адаптировать Excel под такие вычисления.
    Автор выражает благодарность профессору А.Г. Юнусову и доценту Е.А. Русяевой за большой труд по рецензированию данного учебника.

ГЛАВА 1




                ОСНОВЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ




        §1.1. Основные понятия теории вероятностей.
        Формула классической вероятности

    Мы живем в мире случайностей. Нас окружают случайные явления, т.е. явления, которые невозможно заранее предсказать. Например, все мы просыпаемся, выходим на улицу в разное время. Погода каждый день разная, и какая будет через неделю, через месяц мы не знаем. На улице мы часто встречаем знакомых и незнакомых людей. Проехала случайная машина, кто-то опоздал на автобус и т.д.
    Казалось бы, в этом мире случайностей нет никакой закономерности, но теория вероятностей их находит.
    Теорией вероятностей называется математическая дисциплина, которая изучает случайные явления и устанавливает их закономерности при массовых проявлениях.
    Оказывается, если определенные случайные явления происходят часто, то начинают проявляться определенные закономерности. Например, для нас естественны фразы типа — средняя температура декабря в этом году оказалась ниже нормы на два градуса. А кто установил эту норму? Оказывается, это некоторое среднее значение температуры за много лет наблюдений. И самое главное, это значение достаточно устойчиво, т.е. практически не меняется в течение многих лет. Это и есть одна из характеристик, которые изучают в теории вероятностей.
    В теории вероятностей принято любое наблюдение случайного явления при определенных условиях называть опытом,экспериментом или испытанием, а результат этого эксперимента — событием или исходом .

6

    События принято обозначать заглавными буквами латинского алфавита A, B, C, D и т.д. или буквами с индексом A1, A₂, ■■■, An. Например, при подбрасывании монеты (подбрасывание — это опыт), могут произойти события: A — появление «орла» (рис. 1.1), B — появление «решки» (рис. 1.2).
    Событиям можно дать трактование на основе теории множеств. Например, если монету подбросить два раза, то могут произойти следующие события: С1 = {A1, A₂}; С₂ = {A1, В₂}; С₃ = {В 1, A₂}; С4 = {В1, В₂}. Здесь, событие Ai — появление «орла» при i-ом подбрасывании монеты; Bi — появление «решки» при i-ом подбрасывании монеты; Ci — событие, которое состоит, в том что появятся сразу два события: два «орла», либо «орёл» и «решка», либо «решка» и «орёл», либо две «решки». При этом события Ai и Bi — события, которые нельзя представить с помощью комбинации других событий. Такие события называются простыми (элементарными). События Ci — события, которые могут быть представлены в виде комбинаций других событий. События Ci состоят из подмножества событий, которое включает в себя более одного события. Такие события называются сложными.

    Рассмотрим еще один пример. Подбрасывается игральная кость. Рассматриваются события Ai — число выпавших очков: A1 — выпадение 1; A₂—выпадение 2; A₃ — выпадение 3; A4—выпадение 4; A₅—выпадение 5; A₆ —выпадение 6. Здесь события Ai — простые. Но событие С, которое заключается в появлении четного числа очков, является сложным, поскольку С = {A₂, A4, A₆}.
    События можно представить графически в виде некоторых областей. Например, можно считать, что множество всех возмож
ных событий соответствует области прямоугольника (рис. 1.3), а событие A соответствует эллипсу (говорят: если произошло событие A, то мы попали в область эллипса).
    События могут быть классифицированы и по другим параметрам. Различают

Рис. 1.1. Появление «орла» — событие A

Рис. 1.2. Появление «решки» — событие В

7

Рис. 1.3. Графическое представление события

события зависимые и независимые. Независимыми называются события, когда появление одного из них не изменяет шансов появления другого (т.е. не изменяет условий проведения опыта, результатом которого станет появление другого события) и таким образом не влияет на появление другого.

Например, если Вы вышли на улицу (событие Л), то это никак не повлияет на то, что в какой-то конкретный момент времени автобус подойдет к своей остановке (событие В). Но если Вы, выйдя на улицу, помешали движению этого автобуса и задержали его, то автобус подойдет к остановке уже в другой момент времени. В этой ситуации появление события Л влияет на появление события В (автобус подойдет к остановке в другой момент). Такие события называют зависимыми.
   Другой пример. Рассмотрим события D и E:к вокзалу подъехал поезд (событие D); в класс школы вошел учитель (событие Е). Понятно, что события независимы. Но, если известно, что учитель приехал на работу на этом поезде, то события будут зависимыми.
   События могут быть совместными и несовместными. С о -вместными называют события, которые имеют область пересечения (могут происходить вместе). Например, если событие В = {A1,A₂,A₃} (состоит из множества событий A1, A₂, A₃), а событие С = {A₂,A₃,A₄}, то они имеют область пересечения D = {A₂, A₃}. Это означает, что если произошло событие A₂ или A₃, то произошли событие В и событие С (рис. 1.4).
Пример. Пусть из колоды карт, случайным образом достают одну карту. Рассмотрим события B — появление туза и С — появление бубновой масти. В данных условиях они могут появиться вместе, если извлеченная карта будет бубновым тузом. Это событие и есть область пересечения событий B и С. Следовательно, события B и С являются совместными.

   Несовместными событиями называются события, которые не имеют области пересечения (рис. 1.5). Они не могут появиться вместе. Иначе говоря, их область пересечения есть пустое множество.


8

Пример. Пусть из колоды карт случайным образом достают одну карту. Рассматривают событие В — появление бубновой масти и событие С — червовой. Понятно, что в этих условиях, когда достают только одну карту, события В и С не имеют области пересечения. Следовательно, эти события несовместны.


   События могут быть равновозможными и неравновозможными. Равновозможными называют такие события, которые при заданных условиях,

Рис. 1.4. Совместные события

имеют одинаковые шансы по- Рис. 1.5. Несовместные события явления. Например, в условиях предыдущего примера, появление событий А и В, достать бубновую или червовую карту, имеют одинаковые шансы (в колоде имеется по 9 карт каждой масти). Но, в этих же условиях, имеют разные шансы событие С — появление туза (таких карт только четыре) и событие D — появление карты бубновой масти. Такие события являются неравновоз 
м о ж н ыми.
    Другой пример. Производится выстрел по мишени. События попадание в мишень и промах, в общем случае являются неравновозможными. Действительно, для того, чтобы данные события стали равновозможными, необходимо подобрать расстояние до мишени, величину мишени, стрелка и другие параметры таким образом, чтобы частота попаданий и промахов были бы одинаковыми. Этого очень трудно добиться.
    Совокупность событий, одно из которых, в заданных условиях, обязательно произойдет, называется полной группой событий. Например, события В — появление бубновой масти, С — червовой, D — винновой, Е — крестовой образуют полную группу событий, т.к. других мастей не существует.

Пример. Пусть монету подбрасывают пять раз. Рассмотрим события: А — появление «орла» ровно 5 раз;
В — появление «орла» не менее 4 раз;

9

С — появление «орла» не более 2 раз.
Можно дать геометрическую интерпретацию данным событиям:

А          5
В        4 5
С 0 1 2     

Понятно, что эти события не образуют полную группу, т.к. «орёл» может появиться 3 раза, что не встречается ни в одном из представленных событий. Но, если к данным событиям добавить любое событие, включающее в себя появление «орла» 3 раза, то будет образована полная группа событий. Например, можно добавить событие D — появление «орла» в пределах от2до4 раз.


   D __________________|   2   |   3   |  4    |______

    Два несовместных события, образующих полную группу, называют противоположными. Противоположное событие обозначают той же буквой, что и прямое событие, но с чертой сверху. Например А и A .

Пример. Пусть монета подбрасывается пять раз. Рассматривается событие
В — появление герба не менее четырех раз:

    4 5

Тогда противоположным событием B будет событие, заключающееся в появлении герба не более трех раз:

0 1 2 3  

Заметим, что события В и B не имеют области пересечения и образуют полную группу, что и должно быть в случае противоположных событий.


    В теории вероятностей введено понятие схемы случаев. Это совокупность равновозможных, несовместных событий, образующих полную группу.

Пример. В лотерее спортлото зачеркиваются любые пять чисел из 36. Пусть каждая такая комбинация соответствует некоторому событию Ai. Допустим, разыгрывается только один выигрыш, соответствующий угадыванию всех пяти чисел. Понятно, что каждая комбинация имеет одинаковое количество шансов быть выигрышной, эти комбинации не пересекаются и образуют полную группу событий, т.е. имеет место «схема случаев».


10