Теоретическая механика

Министерство науки и высшего образования Российской Федерации

Сибирский федеральный университет

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ 

МЕХАНИКА

Практикум

Красноярск

СФУ
2020

УДК 531(07)
ББК 22.2я73

Т338

А в т о р ы:
Т. А. Валькова, А. Е. Митяев, С. Г. Докшанин, О. И. Рабецкая, А. В. Ме
зенцев, А. А. Шаронов

Р е ц е н з е н т ы:
В. А. Меновщиков, доктор технических наук, профессор, зав. кафед
рой общеинженерных дисциплин Института инженерных систем и энергетики КрасГАУ;

Н. А. Смирнов, доктор технических наук, доцент, зав. кафедрой теорети
ческой механики Института космической техники СибГУ им. М. Ф. Решетнева

Т338
Теоретическая механика : практикум
/ Т. А. Валькова, 

А. Е. Митяев, С. Г. Докшанин [и др.]. – Красноярск : Сиб. федер. 
ун-т, 2020. – 374 с.

ISBN 978-5-7638-4155-8

Рассмотрены примеры типовых задач по дисциплине «Теоретическая 

механика»,  изложены методические указания по их решению.

Предназначен для студентов высших учебных заведений, обучающихся 

по укрупненной группе 23.00.00 «Техника и технологии наземного транспорта», специальности 23.05.01 «Наземные транспортно-технологические средства», специализациям 23.05.01.01 «Автомобили и тракторы», 23.05.01.02 «Подъемно-транспортные, строительные, дорожные средства и оборудование».

Электронный вариант издания см.:

http://catalog.sfu-kras.ru

УДК 531(07)
ББК 22.2я73

ISBN 978-5-7638-4155-8
© Сибирский федеральный университет, 2020

ОГЛАВЛЕНИЕ

Введение...................................................................................................... 5

Раздел 1. СТАТИКА................................................................................. 7
Тема 1. СИСТЕМА СХОДЯЩИХСЯ СИЛ ......................................................7
Тема 2. ПЛОСКАЯ СИСТЕМА СИЛ..............................................................19

2.1. Уравнения равновесия для плоской системы сил...............................19
2.2. Равновесие системы тел ........................................................................23

Тема 3. ТРЕНИЕ................................................................................................31

3.1. Сцепление ...............................................................................................31
3.2. Трение качения.......................................................................................35

Тема 4. ПРОСТРАНСТВЕННАЯ СИСТЕМА СИЛ.......................................39

4.1. Вычисление главного вектора и главного момента 
пространственной системы сил ...................................................................39
4.2. Уравнения равновесия для пространственной системы сил .............44

Тема 5. ЦЕНТР ТЯЖЕСТИ ..............................................................................50

Раздел 2. КИНЕМАТИКА..................................................................... 57
Тема 6. КИНЕМАТИКА ТОЧКИ.....................................................................57

6.1. Координатный способ задания движения точки.................................57
6.2. Естественный способ задания движения точки..................................60

Тема 7. ПРОСТЕЙШИЕ ДВИЖЕНИЯ ТВЕРДОГО ТЕЛА ..........................64
Тема 8. ПЛОСКОПАРАЛЛЕЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА......72

8.1. Мгновенный центр скоростей (МЦС)..................................................73
8.2. Теорема об ускорениях точек плоской фигуры ..................................78

Тема 9. ДВИЖЕНИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА ВОКРУГ 
НЕПОДВИЖНОЙ ТОЧКИ...............................................................................98
Тема 10. СЛОЖНОЕ ДВИЖЕНИЕ ТОЧКИ.................................................106

10.1. Теорема о сложении скоростей.........................................................107
10.2. Теорема Кориолиса о сложении ускорений ....................................111

Тема 11. СЛОЖНОЕ ДВИЖЕНИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА ..............................119

Раздел 3. ДИНАМИКА ........................................................................ 127
Тема 12. ДИНАМИКА ТОЧКИ .....................................................................127

12.1. Первая задача динамики точки.........................................................127
12.2. Вторая задача динамики точки.........................................................134

Тема 13. ПРЯМОЛИНЕЙНЫЕ КОЛЕБАНИЯ ТОЧКИ ..............................148

13.1. Свободные колебания точки.............................................................148
13.2. Затухающие колебания точки. Апериодическое 
движение точки ...........................................................................................156
13.3. Вынужденные колебания точки в отсутствии 
сопротивления среды..................................................................................161

Тема 14. ДИНАМИКА ОТНОСИТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ ТОЧКИ.......168

Тема 15. ТЕОРЕМА О ДВИЖЕНИИ ЦЕНТРА МАСС СИСТЕМЫ .........177

15.1. Центр масс системы...........................................................................177
15.2. Две задачи динамики системы..........................................................180

Тема 16. ТЕОРЕМА ОБ ИЗМЕНЕНИИ КОЛИЧЕСТВА ДВИЖЕНИЯ ....185

16.1. Количество движения механической системы ...............................186
16.2. Теорема об изменении количества движения механической 
системы.........................................................................................................190

Тема 17. ТЕОРЕМА ОБ ИЗМЕНЕНИИ МОМЕНТА КОЛИЧЕСТВА 
ДВИЖЕНИЯ ....................................................................................................196

17.1. Теорема об изменении кинетического момента системы..............196
17.2. Закон сохранения кинетического момента системы ......................201
17.3. Дифференциальные уравнения движения твердого тела ..............205

Тема 18. ТЕОРЕМА ОБ ИЗМЕНЕНИИ КИНЕТИЧЕСКОЙ ЭНЕРГИИ 
СИСТЕМЫ.......................................................................................................214

18.1. Работа силы. Мощность ....................................................................214
18.2. Кинетическая энергия точки и системы ..........................................222
18.3. Теорема об изменении кинетической энергии системы ................230

Раздел 4. ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ МЕХАНИКИ ....... 247
Тема 19. МЕТОД КИНЕТОСТАТИКИ.........................................................247

19.1. Принцип Д’Aламбера для механической системы.........................247
19.2. Динамические реакции, действующие на ось вращающегося 
твердого тела................................................................................................258

Тема 20. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ПРИНЦИПЫ 
АНАЛИТИЧЕСКОЙ МЕХАНИКИ...............................................................268

20.1. Принцип виртуальных перемещений...............................................268
20.2. Общее уравнение динамики..............................................................279

Тема 21. МЕТОД ОБОБЩЕННЫХ КООРДИНАТ......................................289
Тема 22. УСТОЙЧИВОСТЬ РАВНОВЕСИЯ...............................................302
Тема 23. МАЛЫЕ КОЛЕБАНИЯ СИСТЕМЫ..............................................309

23.1. Свободные колебания консервативной системы 
с одной степенью свободы.........................................................................309
23.2. Свободные колебания системы с одной степенью свободы 
при вязком сопротивлении.........................................................................318
23.3. Вынужденные колебания системы с одной степенью свободы....339

Заключение ............................................................................................ 360

Библиографический список ............................................................... 362

Приложение ........................................................................................... 364

Введение

Механика – наука о равновесии и движении материальных тел. 

Её законы широко используются в машиностроении, приборостроении, на транспорте, в энергетике и т. д. Теоретическая механика служит научным фундаментом для многих технических дисциплин. Ее 
методы и приемы используются при всех технических расчетах, связанных с проектированием различных сооружений, машин и их эксплуатацией.

Содержание дисциплины «Теоретическая механика» определя
ется рабочей программой, составленной на основании ГОСов для 
подготовки
бакалавров, обучающихся по укрупненной группе 

23.00.00 «Техника и технологии наземного транспорта»

Теоретическая механика, являясь одной из первых естественно
научных дисциплин, которую изучают студенты в процессе обучения, 
занимает важное место в общетехнической подготовке бакалавров. Её 
преподавание преследует двоякую цель. Во-первых, способствует
формированию у студентов диалектико-материалистического мировоззрения, развивает их логическое мышление и вводит в понимание 
весьма широкого круга явлений, относящихся к одной из форм движения материи – к механическому движению. Во-вторых, обеспечивает овладение бакалаврами научной базой современной техники.

Однако для хорошего усвоения дисциплины «Теоретическая меха
ника» нужно не только глубоко изучить её основные теоретические положения, но и научиться применять их на практике. Это возможно при 
серьезной работе студентов над решениями задач на практических занятиях и при самостоятельном их решении в качестве домашнего задания.

Практикум содержит методические указания решения типовых 

задач по теоретической механике, которые затем иллюстрируются 
на конкретных примерах. Рассмотренные задачи охватывают материал разделов курса «Статика», «Кинематика», «Динамика» и «Элементы аналитической механики» и всех тем практических занятий в соответствии с рабочей программой дисциплины.

Большинство разобранных в практикуме задач взято из книги

(Мещерский И. В. Сборник задач по теоретической механике. СПб.: 
Лань, 1998; номера задач сборника в рассмотренных примерах указаны в скобках), которая относится к основной литературе и соответствует требованиям ФГОС ВПО. В конце каждой темы работы приведены номера задач этого сборника, рекомендованные при проведении 
практического занятия по данной теме, а также задач для самостоятельного решения, или номера задач из сборника [5] библиографического списка.

Задачи для самостоятельного решения выполняются в отдельной 

тетради (ученической) для домашних работ. На её обложке указываются: название дисциплины, фамилия и инициалы студента, номер 
учебной группы и институт. 

Решение каждой задачи следует начинать на развороте тетради 

(на четной странице, начиная со второй). Сверху указывается номер 
задачи, далее делается чертеж (лучше карандашом) и кратко записывается, что в задаче дано и что требуется определить.

Рисунок задачи должен быть аккуратным и наглядным, а его 

размеры должны позволять ясно показать все силы или векторы скоростей, ускорений и др.; необходимо изображать все эти векторы 
и координатные оси, а также указывать единицы получаемых величин 
в решении.

Решение задач следует сопровождать краткими пояснениями 

(какие формулы или теоремы применяются и т. п.) и подробно излагать весь ход расчетов. На каждой странице следует оставлять поля 
для замечаний преподавателя. В конце каждой задачи должен быть 
дан ответ.

Практикум предназначен в помощь студентам для развития 

у них навыков решения задач. Он также будет полезен для молодых 
преподавателей, не имеющих методического опыта преподавания 
дисциплины «Теоретическая механика».

Раздел 1 

СТАТИКА

Тема 1. СИСТЕМА СХОДЯЩИХСЯ СИЛ

На практическом занятии по теме «Система сходящихся сил» 

рассматриваются задачи на определение реакций связей несвободного 
твердого тела, которые можно решать геометрическим и аналитическим способами.

Равновесие системы сходящихся сил

Методические указания. I. Геометрический способ решения за
дачи о равновесии рекомендуется проводить в следующем порядке:

1) выделить тело, равновесие которого следует рассмотреть для 

отыскания искомых величин (для шарнирно-стержневых конструкций 
таким объектом является ее узел, т. е. шарнир, в котором сходятся оси 
стержней);

2) изобразить заданные силы;
3) применив принцип освобождаемости от связей, приложить 

к твердому телу соответствующие силы реакций связей;

4) рассмотреть равновесие данного несвободного твердого тела 

как свободного тела, находящегося под действием заданных сил и реакций связей, согласно уравнению

1

0,

n

к

к

R
F






(1.1)

построить силовой многоугольник (построение следует начинать 
с силы, известной как по модулю, так и по направлению);

5) геометрически решить силовой многоугольник и определить 

искомые величины. 

Этим способом удобно пользоваться, если число задаваемых сил 

и сил реакций связей, приложенных к твердому телу, находящемуся 

в равновесии, в сумме равно трем и силы лежат в одной плоскости; 
тогда задача сводится к построению и решению плоского силового 
треугольника.

II. Аналитический способ решения задачи о равновесии реко
мендуется проводить в следующем порядке:

1) выделить тело, равновесие которого следует рассмотреть для 

отыскания неизвестных величин;

2) изобразить активные (заданные) силы;
3) применив принцип освобождаемости от связей, приложить 

к твердому телу соответствующие силы реакций связей, в дальнейшем рассматривать равновесие данного несвободного твердого тела 
как свободного, находящегося под действием активных сил и реакций 
связей;

4) выбрать декартову систему координат;
5) составить уравнения равновесия тела в проекциях на оси ко
ординат:

для плоской сходящейся системы сил

1
1

0,       
0,

n
n

кx
кy

к
к

F
F








(1.2)

для пространственной сходящейся системы сил

1
1
1

0,   
0,   
0;

n
n
n

кx
кy
кz

к
к
к

F
F
F











(1.3)

6) решить полученную систему уравнений равновесия и опреде
лить искомые силы.

Если числовое значение какой-либо из неизвестных сил окажет
ся отрицательным, то это означает, что в действительности направление силы противоположно тому, которое было указано на рисунке.

III. При определении равнодействующей системы сходящихся 

сил требуется придерживаться следующей последовательности действий:

1) изобразить заданные силы;
2) ввести декартову систему координат;
3) найти проекции
, 
, 
x
y
z
R
R
R
равнодействующей R на оси х, 

у, z;

4) вычислить модуль равнодействующей по R формуле:

2
2
2

x
y
z
R
R
R
R



;
(1.4)

5) определить направляющие косинусы по формулам:

cos
 
,    cos
 
,    cos
 
.

y
x
z
R
R
R
R i
R j
R k
R
R
R

























(1.5)

Пример 1.1 (2.6). Груз Q удерживается в равновесии двумя 

стержнями АС и ВС, соединенными между собой и с вертикальной 
стеной шарнирами (рис. 1.1). Определить усилия в стержнях, считая 
их невесомыми, если углы, составляемые стержнями АС и ВС со стеной соответственно равны α и β.

Решить задачу при следующих данных: Q = 300 Н, α = 30°,

 = 60°.

C

x

y
Q

Q

A

B



S1

S2

a





Рис. 1.1

Решение. Вырежем шарнир (узел) С и рассмотрим его равновесие. 

Изобразим действующие на него силы: сила тяжести груза Q, 
1S

и
2S – реакции невесомых стержней АС и ВС соответственно, направ
ленных по стержням в предположении, что они оба растянуты (рис. 1.1).

Шарнир С находится в равновесии под действием плоской сис
темы сходящихся сил. Для определения искомых усилий 
1S
и 
2S

можно воспользоваться геометрическим или аналитическими условиями равновесия для системы сходящихся сил. Рассмотрим оба способа решения этой задачи.

1. Геометрический способ. Согласно (1.1)

1
2
0
Q
S
S



,
(1.6)

т. е. треугольник, построенный на этих силах, должен быть замкнут.

Построение начинаем в произвольной точке плоскости с извест
ной по модулю и направлению силы Q.

Через начало и конец вектора Q проводим прямые, параллель
ные силам 
1S и 
2S . Точка пересечения этих прямых даст третью вер
шину треугольника. Направление обхода треугольника, т. е. направ
ления векторов 
1S и 
2S , задает вектор Q (рис. 1.2).

Q


S2

a



S1




Рис. 1.2

Заметим, что направление вектора 
1S на рис. 1.2 противополож
но его первоначально выбранному направлению на рис. 1.1. Это означает, что предположение о том, что в положении равновесия стержень 
ВС растянут неверно; в действительности стержень ВС сжат.

Решим этот треугольник сил. Поскольку α =
o
30 , β =
o
60 , то угол 

между векторами 
1S и 
2S равен 
o
90 .

Определяем величины усилий 
1S и 
2S как катеты прямоугольно
го треугольника по известной величине Q его гипотенузы и острым 
углам α и :

1

2

cosα
260 H;

cosβ
150 H.

S
Q

S
Q







2. Аналитический способ. Проводим в точке С координатные 

оси: Сх по стержню АС, а Су
по

стержню ВС, так как по условию за
дачи
АСВ

=
o
90 (рис. 1.1).

Записываем аналитические условия равновесия тела при дейст
вии плоской системы сходящихся сил (1.2):

1
1

0,          
0; 

n
n

кx
кy

к
к

F
F









и, проецируя уравнение (1.6) на выбранные координатные оси, получаем:

1

2

cosα
0;

cosβ
0.

Q
S

Q
S








Решая эти уравнения относительно 
1S и 
2S , находим:

1

2

cosα
260 H,

cosβ
150 H.

S
Q

S
Q




 
 

Здесь знаки 
1S
и 
2S
означают, что стержень АС, как первона
чально предполагали, растянут, а стержень ВС сжат.

Ответ:
1
2
260 H; 
150 H.
S
S



Пример 1.2 (2.30). Балка АВ шарнирно закреплена на опоре А, 

а у конца В она положена на катки (рис. 1.3, а). В середине балки, под 
углом 
o
45 к её оси, действует сила Р . Определить реакции опор, пре
небрегая весом балки.

С

А
B

P

С
А

B
R

B

x

A
R

P

y

O

a
o
45
o
45








Рис. 1.3

Решить задачу при следующих данных: Р = 2 кН, АС = СВ = 2 м.
Решение. Рассмотрим равновесие балки АВ, находящейся под 

действием силы Р . 

Отбросим связи, заменив их действие реакциями связей. В точ
ке В реакция шарнирно-подвижной опоры 
В
R
направлена перпенди

кулярно к опорной поверхности. По теореме о трех силах реакция 
A
R


подшипника А проходит черезк точку О пересечения линий действия 
сил Р



и 
В
R


(рис. 1.3, б).

Следовательно, балка АВ находится под действием плоской сис
темы сходящихся сил. Для решения задачи введем декартову систему 
координат Axy и запишем аналитические условия равновесия (1.2) для 
рассматриваемой задачи:

o
cos
cos45
0,
A
R
P
a 


o
sin
cos45
0,
A
B
R
P
R
a 


(1.7)

где a – угол, который реакция 
A
R


образует с осью Ах.

Вычислим входящие в (1.7) синус и косинус угла a. Треуголь
ник СВО является прямоугольным и равнобедренным: СВ = ВО = 2 м.

Из прямоугольного треугольника АВО по теореме Пифагора на
ходим гипотенузу АО:

2
2
2
2
4
2
2 5
AO
AB
BO





м.

Тогда

2
1
cos
,             sin

5
5

AB
BO

AO
AO
a 

a 

.

Из (1.4) определяем значения искомых реакций балки АВ:

o
cos45
10
1,58 кН;
cos
2
A

P
R 


a

o
2
cos45
sin
0,71 кН.
2
B
A
R
P
R


a 


Ответ:
1,58 кH; 
0,71 кH.
A
B
R
R



Пример 1.3. Определить модуль равнодействующей двух сходя
щихся сил 
1
2
10 H
F
F


, образующих между собой угол 60° (рис. 1.4, а).

Решение. 1. Геометрический способ. Построим по правилу сло
жения векторов равнодействующую

1
2
R
F
F


,