Основы кристаллографии

Министерство науки и высшего образования Российской Федерации
Сибирский федеральный университет

О. В. Юшкова (Белоногова), А. С. Надолько, А. И. Безруких

ОСНОВЫ КРИСТАЛЛОГРАФИИ

Учебное пособие

Красноярск 
СФУ 
2020

УДК 548(07)
ББК 22.3я73
Ю963

Р е ц е н з е н т ы: 
П. В. Фабинский, доктор химических наук, доцент, заведующий 
кафедрой неорганической химии Сибирского государственного университета науки и технологий имени академика М. Ф. Решетнёва;
А. В. Прошкин, доктор технических наук, начальник лаборатории 
углеродных и футеровочных материалов ООО «РУСАЛ ИТЦ»

Юшкова (Белоногова), О. В.
Ю963 
 
Основы кристаллографии : учеб. пособие / О. В. Юшкова 
(Белоногова), А. С. Надолько, А. И. Безруких. – Красноярск : 
Сиб. федер. ун-т, 2020. – 324 c.
ISBN 978-5-7638-4181-7

Рассмотрено строение кристаллов: физически различные формы кристаллов, классы симметрии. Изложены основы классической кристаллографии 
и кристаллохимии, а также поведение вакансий при закалке и отжиге. Описаны 
методы расчета свойств кристаллов, применение кристаллов в новой технике.
Предназначено для бакалавров направления подготовки 22.03.02 «Металлургия». Может быть интересно студентам специалитета и магистратуры, обучающимся по профилю 22.04.02.01 «Металловедение и термическая обработка 
металлов и сплавов».

Электронный вариант издания см.: 
УДК 548(07)

http://catalog.sfu-kras.ru 
ББК 22.3я73

ISBN 978-5-7638-4181-7 
© Сибирский федеральный
университет, 2020

ОГЛАВЛЕНИЕ

ВВЕДЕНИЕ .................................................................................................7

РАЗДЕЛ  I. Геометрическая и структурная кристаллография.  
Кристаллохимия ..................................................................................... 10

Глава 1. Кристаллическое состояние вещества ................................ 10
1.1. Геометрическая кристаллография .................................................... 10
1.1.1. Энергия образования кристаллов.  
Понятие о кристаллическом строении.  
Основные свойства кристаллов ............................................. 11
1.1.2. Закон постоянства гранных углов ......................................... 18
1.1.3. Элементарная ячейка, ее выбор, метрика ............................. 19
1.2. Структура кристаллов и пространственная решетка...................... 21
1.3. Кристаллографическая символика ................................................... 23
1.3.1. Кристаллографическая символика кубической сингонии. 
Элементарный параллелепипед ............................................. 24
1.3.2. Кристаллографическая символика  
гексагональной сингонии ....................................................... 33
1.3.3. Решетки Браве ......................................................................... 40
1.3.4. Правильные системы точек .................................................... 50
1.3.5. Базис кристаллической структуры ........................................ 53
1.4. Кристаллографические проекции .................................................... 59
1.4.1. Сферическая проекция ........................................................... 60
1.4.2. Стереографическая проекция ................................................ 61
1.4.3. Гномостереографическая проекция ...................................... 64
1.4.4. Гномоническая проекция ....................................................... 65
1.4.5. Кристаллографическая сетка Вульфа ................................... 67

Глава 2. Структурная кристаллография ............................................ 71
2.1. Элементы симметрии кристаллических многогранников ............. 72
2.1.1. Центр симметрии .................................................................... 72
2.1.2. Центр инверсии ....................................................................... 72
2.1.3. Оси симметрии ........................................................................ 73
2.1.4. Зеркальные плоскости симметрии ........................................ 76
2.1.5. Теоремы сложения элементов симметрии ............................ 81
2.1.6. Обозначение элементов симметрии  
на плоскости стереографической проекции ......................... 83
2.2. Симметрия структуры кристаллических веществ .......................... 87

Оглавление

2.2.1. Класс симметрии и категории кристаллов, сингонии ......... 87
2.2.2. Формула симметрии ................................................................ 90
2.2.3. Характеристики координатных систем  
для кристаллов разных сингоний .......................................... 92
2.2.4. Обозначение классов симметрии........................................... 95
2.3. Элементы симметрии бесконечных кристаллических фигур ........ 97
2.3.1. Трансляция ............................................................................. 101
2.3.2. Простые оси симметрии ....................................................... 105
2.3.3. Центр симметрии .................................................................. 108
2.3.4. Зеркальные плоскости симметрии ...................................... 109
2.3.5. Центр инверсии ..................................................................... 112
2.3.6. Плоскость скользящего отражения ..................................... 116
2.3.7. Винтовая ось симметрии ...................................................... 127
2.4. Координационное число. Координационный многогранник ....... 131
2.5. Координатные системы для описания кристаллов ....................... 133
2.5.1. Точечные группы симметрии. Виды симметрии  
кристаллов, обладающих единичным направлением ........ 134
2.5.2. Стереографические проекции элементов симметрии  
кубических классов .............................................................. 136
2.5.3. Стереографические проекции элементов симметрии  
тетрагональной сингонии ..................................................... 137
2.5.4. Стереографические проекции элементов симметрии  
гексагональной и других классов сингонии ....................... 138
2.6. Связь между символами граней кристалла. Зоны в кристаллах .... 142

Глава 3. Кристаллохимия .................................................................... 152
3.1. Основные типы кристаллических структур .................................. 152
3.1.1. Определение атомных, ионных и ковалентных радиусов ... 153
3.1.2. Влияние различных факторов  
на кристаллическую структуру ........................................... 158
3.1.3. Характеристики плотнейших шаровых упаковок .............. 168
3.2. Задачи, решаемые кристаллохимией ............................................. 175
3.2.1. Правила определения плотнейших шаровых упаковок  
в кристаллических структурах ............................................ 175
3.2.2. Координационные многогранники Полинга – Белова ....... 180
3.2.3. Структурные типы фаз в металлических сплавах ............. 182
3.2.4. Эпитаксиальные и двойниковые  
кристаллические структуры ................................................ 190
3.2.5. Двойниковые кристаллические структуры ......................... 197

Оглавление

РАЗДЕЛ  II. Классификация дефектов кристаллического  
строения по геометрическим признакам ......................................... 202

Глава 4. Введение в дефекты кристаллического строения.  
Точечные дефекты ................................................................................ 202
4.1. Виды точечных дефектов и искажения  
кристаллической решетки вокруг них ........................................... 203
4.2. Термодинамика точечных дефектов ............................................... 210
4.3. Миграция точечных дефектов ........................................................ 215
4.3.1. Миграция вакансий ............................................................... 215
4.3.2. Миграция межузельных атомов ........................................... 218
4.3.3. Миграция примесных атомов .............................................. 219
4.4. Источники и стоки точечных дефектов ......................................... 220
4.5. Вакансионные комплексы ............................................................... 221
4.6. Поведение вакансий при закалке и отжиге .................................... 225
4.7. Методы определения концентрации вакансий,  
энергии их образования и миграции .............................................. 228
4.8. Энергия активации миграции вакансий ......................................... 232

Глава 5. Линейные и поверхностные дефекты ............................... 234
5.1. Основные типы дефектов. Образование  
и механизмы их перемещения ........................................................ 234
5.1.1. Основные типы дислокаций ................................................. 234
5.1.2. Образование дислокаций ...................................................... 237
5.1.3. Движение дислокаций, переползание и скольжение ......... 239
5.2. Вектор Бюргерса .............................................................................. 241
5.3. Количественные характеристики дислокаций .............................. 245
5.4. Упругие свойства дислокаций ........................................................ 248
5.5. Взаимодействие дислокаций между собой,  
с точечными дефектами и примесными атомами ......................... 252
5.5.1. Взаимодействие дислокаций ................................................ 253
5.5.2. Взаимодействие дислокаций  
с примесными атомами ........................................................ 259
5.6. Размножение дислокаций при пластической деформации .......... 260
5.6.1. Источник Франка – Рида ...................................................... 261
5.6.2. Сила Пайерлса ....................................................................... 262
5.6.3. Торможение дислокаций и пересечение их  
с другими дислокациями и границами ............................... 262
5.7. Дефекты упаковки. Поверхностные дефекты ............................... 265
5.8. Энергетический критерий дислокационных реакций .................. 273

Оглавление

5.8.1. Полные дислокации в гексагональной  
плотноупакованной ячейке или решетке ............................ 274
5.8.2. Частичные дислокации Шокли в гексагональной  
плотноупакованной решетке ................................................ 276
5.8.3. Частичные дислокации Франка ........................................... 278
5.8.4. Стандартный тетраэдр Томпсона ......................................... 279

ВОПРОСЫ И ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОКОНТРОЛЯ ................................ 283

ВОПРОСЫ И ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ ....... 292

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ............................................................... 305

ИСПОЛЬЗОВАННАЯ ЛИТЕРАТУРА ...................................................... 310

РЕКОМЕНДАТЕЛЬНЫЙ БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК .......... 311

СЛОВАРЬ ТЕРМИНОВ ........................................................................... 312

ВВЕДЕНИЕ

Кристаллографией называется наука о строении, свойствах кристаллов в различных областях их изучения.
В курсе «Основы кристаллографии» выделяются следующие разделы:
• геометрическая кристаллография, представляющая различные 
формы кристаллов и законы их симметрии;
• структурная кристаллография, исследующая пространственное расположение атомов в кристаллах;
• кристаллохимия, изучающая зависимость пространственного 
расположения атомов от химического состава и условий образования 
кристаллов;
• кристаллофизика, исследующая влияние внутреннего строения кристаллов на их физические свойства;
• физико-химическая кристаллография, изучающая вопросы образования искусственных кристаллов;
• дефекты кристаллического строения, оказывающие решающее влияние на прочность, пластичность, многие физические свойства 
и разнообразные процессы структурных изменений в металлических 
материалах.
В настоящее время экспериментально можно определять количество и расположение разного типа дефектов кристаллической структуры непо средственно в промышленных сплавах, изучать появление, 
перераспределение и исчезновение этих дефектов при литье, обработке 
давлением, термической обработке и эксплуатации изделий. Это позволяет глубже понять поведение металлических материалов в разных 
условиях обработки и эксплуатации и открывает новые возможности 
для целенаправленного формирования оптимальной кристаллической 
структуры с заданным количеством и распределением ее дефектов, которые обеспечивают требуемые свойства материалов.
В учебном пособии «Основы кристаллографии» систематизированы сведения об атомном и реальном строении кристаллов, изложены теории образования кристаллов, сближающие кристаллографию с термодинамикой и физической химией, материаловедением и другими науками, 

Введение

что определяется практическими потребностями развития методов синтеза искусственных кристаллов и методов получения новых материалов.
Изучение кристаллографии и ее использование в значительной 
степени базируются на изучении физических свойств кристаллов, поэтому необходимы знания таких разделов физики, как строение атома, 
электричество, оптика. Применяемая кристаллооптическая аппаратура является электротехнической, поэтому ее изучение требует знаний 
электротехники и физики.
Учебное пособие содержит как теоретический материал, так 
и практические задания.
В первом разделе пособия рассмотрены структура кристаллов 
и пространственная решетка, кристаллографическая символика, кристаллическое состояние вещества, кристаллографические проекции, 
структурная кристаллография, элементы симметрии кристаллических 
многогранников, симметрия структуры кристаллических веществ, координационное число, координатные системы для описания кристаллов, 
кристаллохимия – основные типы кристаллических структур и задачи, 
решаемые кристаллохимией.
Во втором разделе издания охарактеризованы дефекты кристаллического строения, классификация по геометрическим признакам на 
точечные, линейные и поверхностные, поведение вакансий при закалке 
и отжиге, образование дислокаций и механизмов их перемещения, размножение дислокаций при пластической деформации, источник Франка – Рида.
В конце каждого параграфа приводятся контрольные вопросы 
и задания, ответив на которые можно проверить степень усвоения теоретического материала.
Далее представлены вопросы и задания для самоконтроля по дисциплине в целом, задания для самостоятельной работы и примеры решения задач.
Для самостоятельной подготовки рекомендуется использовать источники [1–5]. Самостоятельная работа проводится в виде анализа ситуаций, связанных с изготовлением и анализом моделей стандартных 
кристаллических решеток или выполненных студентами кафедры «Металловедение и термическая обработка металлов имени В. С. Биронта» 
Института цветных металлов и материаловедения СФУ.

Введение

При выполнении практических заданий студенты смогут приобрести навыки и умения в соответствии с компетенциями по дисциплине 
«Основы кристаллографии».
Для углубленного изучения основ кристаллографии можно использовать источники, представленные в рекомендательном библиографическом списке. Словарь терминов позволит повторить определения 
основных понятий.
Учебное пособие соответствует требованиям ФГОС ВО по направлению подготовки «Металлургия» и рабочим программам «Основы 
кристаллографии» при обучении бакалавров дневной и заочной форм 
обучения, «Технологии материалов» при обучении магистров, специалистов и предназначено для закрепления лекционного материала, подготовки к лабораторным и практическим занятиям и для выполнения 
самостоятельной работы. Пособие может быть рекомендовано для обучающихся по профилю «Металловедение и термическая обработка металлов и сплавов», так как предусматривает расширение теоретических 
знаний по вышеуказанным дисциплинам и приобретение практических 
навыков в области новых материалов, металлов и сплавов.
В отличие от других изданий, в данном пособии компактно изложены основные понятия кристаллографии и кристаллохимии и используется подход к описанию структуры современными учеными с применением нового оборудования и решения вопросов кристаллизации 
и новых технологий получения сплавов.
Изучение современных методов анализа структуры и кристаллического строения металлов и получения сплавов позволит студентам 
и выпускникам проводить необходимые эксперименты, анализировать 
результаты, сравнивать и выбирать методы исследования на основе использования фундаментальных инженерных знаний.

Раздел I 

ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ И СТРУКТУРНАЯ 
КРИСТАЛЛОГРАФИЯ. КРИСТАЛЛОХИМИЯ

Глава 1. КРИСТАЛЛИЧЕСКОЕ СОСТОЯНИЕ  
ВЕЩЕСТВА

Представление о зарождении кристаллов, кристаллическом строении металлических зерен, из которых состоит большинство промышленных металлических материалов, является фундаментальным для 
всего металловедения. Оно позволило рассматривать строение металлов и сплавов с позиций строгой физической теории.
Вначале кристаллография развивалась в тесной связи с минералогией. Исследования естественной плоской огранки природных кристаллов послужили в дальнейшем основой для выдвижения гипотезы 
об упорядоченном расположении атомов в кристалле, что и было экспериментально доказано при изучении дифракции рентгеновских лучей. Также было установлено, что возникновение огранки не является 
обязательным признаком кристаллического состояния. Так, например, 
металлические зерна – кристаллы, как правило, не имеют огранки, которую можно получить только в определенных условиях кристаллизации. 
Атомы в любом кристалле, при любой его форме располагаются строго 
периодично, как узлы трехмерной пространственной решетки.

1.1. Геометрическая кристаллография

Законы и формулы структурной кристаллографии и кристаллохимии необходимо знать при изучении атомной структуры кристаллического вещества с помощью рентгеновских лучей, а при рассмотрении 

Глава 1. Кристаллическое состояние вещества 

отдельных процессов, протекающих в металлах и сплавах, приходится 
обращаться к металловедению. Без освоения основ рентгеноструктурного анализа невозможно решение материаловедческих задач.

1.1.1. Энергия образования кристаллов. Понятие  
о кристаллическом строении. Основные свойства кристаллов

Кристаллическая фаза может осаждаться из жидких и газообразных растворов, чистых жидкостей и чистых газов только в том случае, 
если достигнута определенная степень пересыщения или переохлаждения. Кристаллизацию можно рассматривать как процесс, состоящий из 
трех основных стадий:
1) достижение переохлаждения или пересыщения;
2) образование центров кристаллизации;
3) рост кристаллов.
Все три стадии можно наблюдать одновременно в различных местах кристаллизующегося объема [1].
Механизм образования центров кристаллизации, вероятно, заключается в следующем [1]: сначала в результате столкновения двух 
молекул возникают мельчайшие структурные комплексы, которые объединяются с третьей молекулой, затем могут формироваться короткие 
цепи или плоские мономолекулярные слои и в конце концов строится 
структура решетки.
Авторы описывают теорию Оствальда о стабильном, метастабильном и лабильном состояниях раствора. В книге [1] дана иллюстрация этих трех состояний при различных температурах и концентрациях 
раствора. Стабильное – это состояние наименьшей энергии, или состояние максимальной стабильности, что соответствует случаю с насыщенным раствором. Метастабильное – устойчивое состояние, но с 
более высоким уровнем энергии, оно подобно метастабильному состоянию пересыщенного раствора. Лабильное – это нестабильное состояние 
с самым высоким уровнем энергии, оно подобно лабильному пересыщенному раствору, который имеет склонность к самопроизвольному образованию центров кристаллизации.
Образование зародышей кристаллизации можно проанализировать путем рассмотрения величины требуемой энергии. Большой теоретический и практический вклад в понимание этого явления внесли 

Раздел I . Геометрическая и структурная кристаллография. Кристаллохимия

такие ученые, как Гиббс, Оствальд, Фольмер, Беккер, Дёринг и др. 
Если группа свободно передвигающихся молекул приобретает состояние, в котором движение молекул становится ограниченным, то при 
этом, как правило, высвобождается определенное количество энергии. 
Переход из газообразного состояния в жидкое, а затем в твердое – это 
ступенчатое уменьшение степени подвижности молекул, а также свободной энергии данной системы. Появление жидкой капли из гомогенной паровой фазы или твердой частицы внутри гомогенной жидкости 
требует расхода определенного количества энергии для формирования 
жидкой или твердой поверхности. Значит, общее количество работы W, 
необходимое для образования стабильного зародыша кристаллизации, 
равно сумме работы, требуемой для образования поверхности Wп (положительная величина), и работы, необходимой для образования массы 
частицы Wм (отрицательная величина):

 
W = Wп + Wм. 
(1.1)

Для образования сферической капли жидкости в пересыщенном 
паре уравнение (1.1) может быть записано следующим образом: 

 
W = аσ – VΔp, 
(1.2)

где а и V – соответственно, площадь поверхности и объем капли; σ – поверхностная энергия, приходящаяся на единицу поверхности; Δp – разность между давлениями в паровой фазе и внутри капли жидкости.
Если сферическая капля имеет радиус r, то

а = 4πr2,   V = 4/3πr3

и
Δp = 2σ/r.

Значит, уравнение (1.2) может быть переписано в виде

 
W = 4πr2σ – 4/3πr3·2σ/r 
(1.3)
и
 
W = 4/3πr2σ. 
(1.4)

Из уравнений (1.3) и (1.4) следует, что работа, необходимая для 
образования капли, равна одной трети работы, необходимой для образования поверхности капли. Это впервые было показано Гиббсом [1].

Глава 1. Кристаллическое состояние вещества 

Увеличение капли по мере уменьшения ее размера может быть 
вычислено по формуле Гиббса – Томсона:

 
ln pr/p* = 2Mσ/RTρr, 
(1.5)

где pr и p* – упругости пара для жидкой капли с радиусом r и над плоской 
поверхностью жидкости соответственно (другими словами, p* – упругость пара жидкости в состоянии равновесного насыщения); M – молекулярный вес; R – универсальная газовая постоянная; T – абсолютная 
температура; ρ – плотность капли.
Если частица растворяется, то по мере уменьшения ее размера 
формулу, подобную  уравнению (1.5), можно переписать в более общей 
форме. В данном случае вместо величины pr/p* следует применить соотношение концентраций сr/с*. Обе эти величины, p и с, служат мерой 
пересыщения S cиcтемы. Тогда уравнение (1.5) будет иметь вид

 
ln S = 2Mσ/RTρr 
(1.6)
или
 
r = 2Mσ/RTρ ln S. 
(1.7)

Если значение r из уравнения (1.7) подставить в уравнение (1.4), 
то получим
 
W = 16π r3M2/3(RTρ ln S)2. 
(1.8)

Важную зависимость выражает уравнение (1.8): оно задает величину работы образования центров кристаллизации через величину степени пересыщения системы.
Изменение свободной энергии, связанное с процессом гомогенной 
кристаллизации, можно объяснить следующим образом. Общая разность 
свободной энергии ∆Z небольшой твердой частицы чистого растворенного вещества и вещества, растворенного в растворителе, равна ∆Zп + ∆Zм, 
где ∆Zп – разность свободной энергии поверхности частицы и основной 
массы частицы; ∆Zм – разность свободной энергии очень большой частицы (r = ∞) и растворенного вещества в растворе. Величина ∆Zп положительная и пропорциональна r2. В пересыщенном растворе ∆Zм – величина 
отрицательная и пропорциональна r3. С увеличением r от нулевого значения общее различие свободных энергий ∆Z достигает максимальной 
величины, когда зародыш вырастает до критического размера rкр, т. е.

Раздел I . Геометрическая и структурная кристаллография. Кристаллохимия

 
∆Zкр = 4πσrкр/3. 
(1.9)

Число зародышей, образованных в единицу времени на единицу 
объема, может быть выражено в виде уравнения скорости реакции Аррениуса:
 
N = A·exp (–∆Z/RT), 
(1.10)

где А – коэффициент пропорциональности; ∆Z – общее изменение свободной энергии частицы, т. е. работа образования кристаллических зародышей W. Из уравнения (1.8) получаем

 
N =A·exp [–16πσ3M2/3·(R3T3ρ2(ln S)2)]. 
(1.11)

Данное уравнение показывает, что скорость образования кристаллических зародышей зависит от трех основных переменных величин: 
температуры Т, степени пересыщения S и поверхностного натяжения на 
границе раздела σ.
Движение молекул в твердом состоянии представляет собой колебание около некоторых фиксированных положений, а жесткая структура значительно ограничивает возможности сжатия. Твердое тело часто 
разрушается под действием деформирующего усилия. Вещества, такие 
как воск, смола и стекло, которые внешне кажутся твердыми, под давлением обнаруживают текучесть и ползучесть, поэтому их рассматривают 
как жидкости с высокой вязкостью.
Тела в твердом состоянии могут быть кристаллическими или 
аморфными; кристаллическое состояние отличается от аморфного 
расположением молекул, атомов или ионов в определенном и строгом 
порядке. Это расположение атомов характеризуется пространственной 
решеткой. Рентгеновский анализ показал, что многие вещества, которые прежде считались аморфными, имеют правильное расположение 
молекул, хотя термин «кристаллический» применяется для обозначения 
высокой степени внутренней упорядоченности, приводящей к образованию определенных наружных граней кристалла.
Так как движение молекул в газе или жидкости свободно и беспорядочно, физические свойства этих веществ одинаковы по всем направлениям. Другими словами, такие материалы являются изотропными. 
Аморфные твердые вещества тоже изотропны вследствие беспорядочного расположения составляющих молекул.