Статистическая радиотехника

Министерство науки и высшего образования Российской Федерации

Сибирский федеральный университет

СТАТИСТИЧЕСКАЯ 

РАДИОТЕХНИКА

Учебное пособие

Красноярск

СФУ
2020

УДК 621.396:519.22(07)
ББК 32.84я73

С781

Р е ц е н з е н т ы:
В. М. Владимиров, доктор технических наук, профессор, генеральный 

директор ООО НПФ «Электрон»;

В. Е. Зобов, доктор физико-математических наук, главный научный со
трудник лаборатории радиоспектроскопии и спиновой электроники Института физики ФИЦ КНЦ СО РАН

С781
Статистическая радиотехника : учеб. пособие / В. Б. Каш
кин, А. А. Баскова, А. С. Пустошилов, Я. И. Сенченко. – Красноярск : Сиб. федер. ун-т, 2020. – 152 с.

ISBN 978-5-7638-4320-0

Представлены основные сведения по теории вероятностей: теоремы 

сложения и умножения вероятностей, теоремы Лапласа и Пуассона, формулы Байеса и Бернулли. Приведены законы распределения для дискретных 
и непрерывных случайных величин, их числовые характеристики. Рассмотрены основы теории статистической радиотехники; считается, что помеха –
стационарный случайный процесс. Дано представление такого процесса интегралом Фурье – Стилтьеса, приведена теорема Винера – Хинчина. Решаются задачи теории и практики помехоустойчивости: согласованный 
фильтр, фильтр Винера, фильтр Калмана; оптимальное обнаружение/
различение сигналов по критериям Неймана – Пирсона, идеального наблюдателя. Охарактеризована помехоустойчивость систем связи с амплитудной, 
частотной и фазовой модуляциями. Описаны проблемы оценки параметров 
сигналов в присутствии помех.

Предназначено для студентов, обучающихся по направлениям 11.03.01 

«Радиотехника», 11.03.02 «Инфокоммуникационные технологии и системы 
связи», 11.05.01 «Радиоэлектронные системы и комплексы», 12.03.01 «Приборостроение» и 25.05.03 «Техническая эксплуатация транспортного радиооборудования».

Электронный вариант издания см.:

http://catalog.sfu-kras.ru

УДК 621.396:519.22(07)
ББК 32.84я73

ISBN 978-5-7638-4320-0
© Сибирский федеральный университет, 2020

ОГЛАВЛЕНИЕ

ВВЕДЕНИЕ................................................................................................ 6

1. СЛУЧАЙНЫЕ СОБЫТИЯ .............................................................. 10

1.1. Испытания и события.................................................................... 10
1.2. Понятие вероятности..................................................................... 11
1.3. Алгебра событий............................................................................ 13

2. ПРАВИЛО СЛОЖЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ............................... 15

2.1. Теорема сложения вероятностей несовместных событий......... 15
2.2. Условная вероятность ................................................................... 15
2.3. Теорема сложения вероятностей совместных событий ............ 16
2.4. Теорема гипотез. Формула Байеса............................................... 17

3. ПРАВИЛО УМНОЖЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ........................... 19

4. ФОРМУЛА ПОЛНОЙ ВЕРОЯТНОСТИ ...................................... 20

5. ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ НЕЗАВИСИМЫХ 
ИСПЫТАНИЙ ........................................................................................ 21

5.1. Формула Бернулли......................................................................... 21
5.2. Наивероятнейшее число наступлений события
при повторении испытаний ................................................................. 22
5.3. Локальная теорема Лапласа.......................................................... 23
5.4. Интегральная (предельная) теорема Лапласа............................. 23
5.5. Вероятность отклонения относительной частоты 
от постоянной вероятности в независимых испытаниях ................. 24
5.6. Теорема Пуассона.......................................................................... 24
5.7. Простейший поток событий......................................................... 26

6. ОПРЕДЕЛЕНИЕ И ВИДЫ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН ............ 28

7. ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ........................................................ 29

7.1. Закон распределения вероятностей дискретных 
случайных величин............................................................................... 29
7.2. Примеры законов распределения дискретных
случайных величин............................................................................... 29

8. ФУНКЦИЯ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН................................................................... 32

9. ПЛОТНОСТЬ ВЕРОЯТНОСТИ НСВ............................................ 35

9.1. Понятие плотности вероятности.................................................. 35

9.2. Свойства плотности вероятности ................................................ 36
9.3. Примеры законов распределения плотности
вероятности НСВ .................................................................................. 37

10. СОВМЕСТНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ВЕРОЯТНОСТЕЙ 
ДВУХ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН ...................................................... 40

10.1. Система нескольких СВ.............................................................. 40
10.2. Закон распределения дискретной двумерной СВ .................... 40
10.3. Функция распределения двумерной СВ и ее свойства............ 42
10.4. Плотность вероятности непрерывной двумерной СВ ............. 44
10.5. Условные законы распределения............................................... 44
10.6. Условие независимости случайных величин............................ 51
10.7. Условное математическое ожидание
и условная дисперсия ........................................................................... 52
10.8. Числовые характеристики системы двух 
случайных величин............................................................................... 54
10.9. Коррелированность и зависимость СВ...................................... 59
10.10. Многомерный нормальный закон распределения ................. 61

11. ОСНОВНЫЕ МОДЕЛИ ЗАКОНОВ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ....... 71

11.1. Биномиальное распределение .................................................... 71
11.2. Распределение Пуассона............................................................. 73
11.3. Равномерное распределение....................................................... 74
11.4. Нормальное распределение ........................................................ 75
11.5. Показательное (экспоненциальное) распределение ................ 80

12. ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ
СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН................................................................... 82

12.1. Математическое ожидание СВ................................................... 82
12.2. Вероятностный смысл математического ожидания ................ 82
12.3. Свойства математического ожидания ....................................... 83
12.4. Медиана и мода случайной величины....................................... 84
12.5. Отклонение и дисперсия СВ....................................................... 84
12.6. Свойства дисперсии .................................................................... 85
12.7. Среднее квадратическое отклонение СВ .................................. 86
12.8. Нормированное отклонение СВ................................................. 86
12.9. Начальные и центральные моменты СВ ................................... 87

13. ОСНОВЫ ТЕОРИИ СТАТИСТИЧЕСКОЙ 
РАДИОТЕХНИКИ ................................................................................. 90

14. ЗАДАЧИ ТЕОРИИ И ПРАКТИКИ
ПОМЕХОУСТОЙЧИВОСТИ ............................................................ 107

14.1. Фильтрация сигналов на фоне помех...................................... 107
14.2. Обнаружение / различение сигналов в присутствии помех.. 112

ЗАКЛЮЧЕНИЕ .................................................................................... 133

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК ............................................. 134

ОСНОВНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ......................................................... 135

СПИСОК СОКРАЩЕНИЙ ................................................................ 136

ПРИЛОЖЕНИЯ.................................................................................... 137

ВВЕДЕНИЕ

В процессе эксплуатации различных радиотехнических систем, 

а также при их разработке с целью обеспечить заданные технические 
характеристики приходится сталкиваться с рядом явлений (событий, 
величин, процессов), исход которых в тех или иных условиях предсказать заранее невозможно.

Объясняется это тем, что на исход этих явлений оказывает влия
ние множество факторов, совокупный результат действия которых 
практически непредсказуем.

Из интересующих нас областей радиотехнических систем к та
ким явлениям можно отнести:

1) величину сигнала на входе приемного устройства в заданный 

момент времени;

2) прием или неприем конкретного сигнала конкретным прием
ным устройством;

3) отказ или работоспособность того или иного узла радиотех
нической системы в данный момент времени.

Общее требование, обычно предъявляемое к любой радиотехни
ческой системе, состоит в достоверном и своевременном получении 
возможно большего объема информации из излучений с ограниченной энергией.

Достоверному приему информации по реальным радиоканалам 

препятствуют:

1) случайные искажения сигнала при распространении через 

среду с меняющимися параметрами;

2) наличие разнообразных внешних и внутренних помех;
3) техническое несовершенство радиоустройства, в том числе 

возможные отказы элементов аппаратуры.

Таким образом, постоянно приходится сталкиваться с явления
ми, которые точно нельзя предсказать.

Такие явления называют случайными. Случайные явления опи
сывают с помощью трех групп моделей:

1) случайные события – это качественные характеристики слу
чайного явления;

2) случайные величины – это количественные характеристики, 

которые не меняются ни во времени, ни в пространстве;

3) случайные процессы – это количественные характеристики, 

которые меняются во времени и в пространстве.

При этом термин «случайное событие» в определенном смысле 

является более применимым к случайному явлению. Так, например, 
случайную величину можно рассматривать как случайное событие, 
заключающееся в том, примет или не примет случайная величина некоторое конкретное значение.

В свою очередь, случайный процесс представляет собой случай
ную последовательность случайных событий.

Итак, случайное явление есть результат действия очень многих 

случайных причин. Учесть влияние всех этих причин на результат невозможно, так как число их не очень велико, а законы их действия 
неизвестны. Поэтому предсказать, произойдет или нет единичное 
случайное явление, невозможно. Однако если речь идет о массовых 
однородных случайных явлениях, т. е. о явлениях, которые могут 
многократно повторяться, то оказывается, что достаточно большое 
число однородных случайных явлений подчиняется определенным 
закономерностям, так называемым вероятностным закономерностям.

Установлением или выявлением этих закономерностей занима
ется теория вероятностей. Таким образом, предметом теории вероятности является изучение вероятностных закономерностей массовых 
однородных случайных явлений. Эти закономерности представляют 
собой некоторые неслучайные, так называемые статистические характеристики, например, вероятность, закон распределения, математическое ожидание, дисперсия и др. В частности, понятие «вероятность» 
выступает как количественная оценка степени возможности явления 
(события).

Построением и изучением свойств оценок статистических ха
рактеристик занимается математическая статистика, при этом оценки 
строятся на основе конечной последовательности измерений.

Рассмотрение же разнообразных задач радиотехники (с учетом 

случайного характера радиосигнала и наличия помех) на базе теории 
вероятности и математической статистики составляет основное содержание статистической радиотехники.

Возвращаясь к требованиям, предъявляемым к радиотехниче
ским системам, отметим, что искажения сигнала и помехи уменьшают 
вероятность правильного приема информации, а принимаемые сообщения всегда являются в той или иной мере случайными. В этих условиях теория вероятности и математическая статистика дают математический аппарат, позволяющий оперировать со случайными величинами и случайными процессами. В статистической радиотехнике 
можно выделить две главные задачи: задачу анализа и задачу синтеза 
радиотехнических систем.

Задачу анализа можно сформулировать следующим образом: при 

известных характеристиках сигнала и помех определить необходимые 
(интересующие нас) количественные характеристики работы радиосистемы. По существу, эта задача сводится к анализу прохождения сигнала 
и шума через различные линейные и нелинейные устройства.

Задача синтеза может быть сформулирована следующим спосо
бом: при известных характеристиках передаваемого сигнала, радиоканала и помех нужно получить (сконструировать) оптимальное радиоприемное устройство, которое воспроизводило бы переданное сообщение с наименьшими ошибками.

Ясно, что синтез радиотехнических систем не исключает необ
ходимость их анализа.

Статистические методы анализа и обработки сигналов, особенно 

в технике оптимального приема, в последние десятилетия находят все 
более широкое применение. Среди основных направлений, по которым развивалось изучение случайных явлений в радиотехнике, можно 
назвать следующие:

1) анализ внутренних флуктуационных шумов в элементах ра
диоустройств;

2) изучение статистических характеристик внешних помех;
3) анализ влияния флуктуационных шумов и внешних помех 

на работу радиоаппаратуры (в частности, на качество приема);

4) исследование искажений радиосигналов при их распростране
нии в различных условиях;

5) изыскание методов уменьшения влияния шумов и помех 

и синтез на этой основе радиоустройств с наиболее оптимальными 
характеристиками.

В учебном пособии излагаются основы теории случайных про
цессов в приложении к задачам линейной и нелинейной радиотехники. Для изучения данного курса требуется знание таких дисциплин, 
как «Основы теории цепей», «Радиотехнические цепи и сигналы» 

(линейная и нелинейная части). Данный курс является базовым для 
изучения последующих радиотехнических дисциплин: «Устройства 
приѐма и обработки сигналов», «Устройства генерирования и формирования сигналов», «Системы передачи информации» и другие. 

В учебном пособии рассмотрены основные законы распределе
ния случайных величин, а также методы расчета важнейших характеристик стационарных случайных процессов после их прохождения 
через типовые линейные и нелинейные радиотехнические цепи. Приведены примеры решения задач по нахождению статистических характеристик случайных процессов. В приложении описана методика
использования аппаратно-программного комплекса PC-Lab для выполнения лабораторных заданий и дальнейшей статистической обработки сигналов в MatLab.

1. СЛУЧАЙНЫЕ СОБЫТИЯ

1.1. Испытания и события

Все наблюдаемые события можно разделить на три вида:
1) достоверные;
2) невозможные;
3) случайные.
Достоверным называют событие, которое обязательно произой
дет, если будет осуществлена определенная совокупность условий 
(обозначается Ω).

Невозможным называют событие, которое при осуществлении 

определенной совокупности условий заведомо не произойдет (обозначается Ø).

Случайным называют событие, которое при осуществлении оп
ределенной совокупности условий может или произойти, или не произойти.

Пример. Монета подброшена вверх (условие).
Событие «монета упала на пол» – достоверное.
Событие «монета повисла в воздухе» – невозможное.
Событие «монета упала определенной гранью вверх» – случайное.
Чтобы не повторять «осуществлена совокупность условий», го
ворят кратко «произведено испытание». Само событие рассматривается как результат испытания (исход испытания).

Пример. Стрелок стреляет по мишени, разделенной на несколько 

областей. Выстрел – это испытание; попадание в определенную область – событие.

События обозначаются прописными буквами A, B, C и т. д.
События могут быть:
1) несовместные (несовместимые, непересекающиеся),
2) совместные (совместимые, пересекающиеся).

События называют несовместными, если появление одного 

из них исключает появление других событий в одном и том же испытании, т. е. никакие из них не могут произойти при одном и том же испытании вместе. В противном случае события называют совместными.

Несколько событий образуют полную группу, если в результате 

испытания обязательно произойдет хотя бы одно из них, т. е. появление хотя бы одного из событий полной группы есть достоверное событие. Полная группа событий (полное множество) обозначается через Ω (достоверное событие). События, входящие в полную группу 
(образующие полное множество), называются элементарными событиями (обозначаются через ωi). Полное множество Ω называют также 
пространством элементарных событий.

Частный случай, если события, образующие полную группу, по
парно несовместны, то в результате испытания появится одно и только одно из этих событий.

Пример. В урне находятся красные, синие и желтые шары. При 

извлечении из урны одного шара появится шар только одного какогото цвета. События «появился красный шар», «появился синий шар» 
и «появился желтый шар» образуют полную группу попарно несовместимых событий.

Два единственно возможных события, образующих полную группу, 

называют противоположными. Если одно из противоположных событий обозначается через A, то другое принято обозначать A («не A»).

События называют равновозможными, если есть основание счи
тать, что ни одно из них не является более возможным, чем другое.

Пример. При бросании игрального кубика выпадение любой 

грани – равновозможное событие.

1.2. Понятие вероятности

Вероятность есть числовая характеристика степени возможно
сти появления какого-либо определенного события A при проведении 
испытания. Обозначается как  
P A .

Существует несколько определений понятия вероятности.
За статистическую вероятность принимают относительную 

частоту события или число, близкое к ней:

 
 
m
P A
A
n
 

,

где n – общее число проведенных испытаний; m – число испытаний, 
в которых событие A произошло;
 
A

– относительная частота со
бытия A.

Для достоверного события m = n и  
1
P A  .

Для невозможного события m = 0 и  
0
P A 
.

Для случайного события 0 < m < n и 0 <  
P A < 1.

Для любого события 0 ≤  
P A ≤ 1, т. е. статистическая вероятность 

есть положительное число, заключенное между нулем и единицей.

Классическое определение вероятности используется для равно
возможных несовместных событий, образующих полную группу.

Классической вероятностью события A называют отношение 

числа благоприятствующих этому событию исходов к общему числу 
всех равновозможных несовместных элементарных исходов, образующих полную группу:

 
m
P A
n

,

где n – число всех равновозможных элементарных исходов испытания; m
– число элементарных исходов, благоприятствующих событию A.

Пример. В урне 6 одинаковых шаров, из них 1 – белый, 2 – крас
ных, 3 – синих. Если вынуть из урны один шар на удачу, то возможно 
6 элементарных исходов:

1
ω – появился белый шар,

2
ω , 
3
ω – появился красный шар,

4
ω , 
5
ω , 
6
ω – появился синий шар.

Общее число возможных исходов n = 6.
Пусть интересующее нас событие A заключается в появлении 

цветного шара. Этому событию будут благоприятствовать 5 исходов:

2
ω , 
3
ω , 
4
ω , 
5
ω , 
6
ω , т. е. m = 5. 

Искомая вероятность появления цветного шара

 
5
6

m
P A
n


.

Классическая вероятность неприменима к испытаниям с беско
нечным числом исходов, например, попадание точки в некоторую область (отрезок, часть плоскости). Вероятность подобных событий может быть определена с помощью геометрической вероятности.

Вероятность попадания точки на отрезок l, являющийся частью 

отрезка L (событие A),

 
Длина
Длина

l
P A
L

.

Предполагается, что вероятность попадания точки на отрезок l

пропорциональна длине этого отрезка и не зависит от его расположения относительно отрезка L.

Аналогична вероятность попадания точки в некоторую плоскую 

фигуру g (событие A), составляющую часть плоской фигуры G:

 
Площадь
Площадь

g
P A
G

.

1.3. Алгебра событий

Из элементарных событий, входящих во множество Ω, могут 

быть сконструированы сложные события на основе следующих трех 
операций:

1) сложение событий (обозначается через + или ),
2) умножение событий (обозначается через или ),
3) вычитание событий (обозначается через – или \ ).
Суммой, или объединением событий A и B, называют событие 

C
A
B


, состоящее в появлении или события A, или события B, или 

обоих этих событий (т. е. хотя бы одного из этих событий).

Произведением, или пересечением (совмещением) двух событий 

A и B, называют событие C
A B


, состоящее в совместном появле
нии обоих этих событий. Разностью событий A и B называют событие 
C
A
B


, заключающееся в том, что наступает событие A, но не на
ступает событие B.

Пример. Сигнал по радиоканалу передан дважды. Событие A –

сигнал принят при первой передаче. Событие B – сигнал принят при 
второй передаче. Тогда событие C
A
B


(сумма событий) – сигнал 

принят или при первой передаче, или при второй, или оба раза, т. е.
принят хотя бы один раз.

Событие C
A B


(произведение событий) – сигнал принят оба 

раза.

Событие C
A
B


(разность событий) – сигнал принят при пер
вой передаче и не принят при второй.