Эконометрика

Рассмотрены линейная модель множественной регрессии, нелинейные модели, временные 
ряды, системы эконометрических уравнений. 
Приведены примеры решения задач и варианты 
индивидуальных заданий, а также тесты и вопросы к экзамену.

В. А. Середа, А. В. Литаврин, Н. Л. Собачкина

ЭКОНОМЕТРИКА

Учебное пособие

ИНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ  
И ФУНДАМЕНТАЛЬНОЙ ИНФОРМАТИКИ

Оглавление 
 

1 

Министерство науки и высшего образования Российской Федерации 
Сибирский федеральный университет 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
В. А. Середа, А. В. Литаврин, Н. Л. Собачкина 
 
 
ЭКОНОМЕТРИКА 
 
Учебное пособие 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Красноярск 
СФУ 
2018 

Оглавление 
 

2 

УДК 338:519.862.6(07) 
ББК 65в631я73 
       С325 
 
 
 
 
 
 
 
 
Р е ц е н з е н т ы: 
С. И. Сенашов, доктор физико-математических наук, профессор 
Сибирского государственного университета науки и технологий имени 
академика М. Ф. Решетнёва;  
К. А. Филиппов, доктор физико-математических наук, профессор 
Красноярского государственного аграрного университета 
 
 
 
 
 
 
 
Середа, В. А. 
С325           Эконометрика : учеб. пособие / В. А. Середа, А. В. Литаврин, 
Н. Л. Собачкина. – Красноярск : Сиб. федер. ун-т, 2018. – 148 с. 
ISBN 978-5-7638-3996-8 
 
Рассмотрены линейная модель множественной регрессии, нелинейные 
модели, временные ряды, системы эконометрических уравнений. Приведены 
примеры решения задач и варианты индивидуальных заданий, а также тесты и 
вопросы к экзамену. 
Предназначено для студентов укрупненной группы направлений подготовки бакалавров 38.03.01 «Экономика», 38.03.02 «Менеджмент», а также для 
преподавателей, применяющих методы эконометрики в социально-экономических 
исследованиях. 
 
 
Электронный вариант издания см.: 
http://catalog.sfu-kras.ru 
УДК 338:519.862.6(07) 
ББК 65в631я73  
 
ISBN 978-5-7638-3996-8                                                           © Сибирский федеральный  
                                                                                                         университет, 2018 

Оглавление 
 

3 

 
ОГЛАВЛЕНИЕ 
 
ПРЕДИСЛОВИЕ .................................................................................................. 5 
 
ВВЕДЕНИЕ  В  КОРРЕЛЯЦИОННО-РЕГРЕССИОННЫЙ  АНАЛИЗ ......... 6 
 
1. ЛИНЕЙНАЯ  МОДЕЛЬ  МНОЖЕСТВЕННОЙ  РЕГРЕССИИ .................. 9 
1.1. Показатели качества регрессии ............................................................ 10 
1.2. Множественная регрессия .................................................................... 15 
1.3. Оценивание регрессионных моделей с помощью пакета  
       прикладных программ Excel ................................................................ 20 
1.4. Линейные регрессионные модели с гетероскедастичными  
       и автокоррелированными остатками ................................................... 22 
1.5. Обобщенный метод наименьших квадратов. Прогнозирование ...... 26 
 
2. НЕЛИНЕЙНЫЕ  МОДЕЛИ  РЕГРЕССИИ ................................................. 29 
2.1. Мультипликативные модели регрессии .............................................. 29 
2.2. Гиперболическая и полиномиальная регрессии ................................. 29 
2.3. Экспоненциальная и степенная регрессии ......................................... 31 
 
3. ВРЕМЕННЫЕ  РЯДЫ ................................................................................... 37 
3.1. Характеристики временных рядов. Выявление тренда  
       в динамических рядах экономических показателей .......................... 37 
3.2. Моделирование сезонных и циклических колебаний ....................... 39 
3.3. Статистика Дарбина – Уотсона ............................................................ 41 
 
4. СИСТЕМЫ  ЭКОНОМЕТРИЧЕСКИХ  УРАВНЕНИЙ ............................ 44 
4.1. Системы зависимых и взаимозависимых уравнений ......................... 45 
4.2. Структурная и приведенная формы модели ....................................... 46 
4.3. Проблема идентификации .................................................................... 48 
4.4. Методы оценки параметров структурной формы модели ................. 53 
 
ПРИМЕРЫ  РЕШЕНИЯ  И  ВАРИАНТЫ  
ИНДИВИДУАЛЬНЫХ  ЗАДАНИЙ ................................................................ 56 
З а д а ч а  1.  Парная регрессия и корреляция ........................................... 56 
З а д а ч а  2.  Множественная регрессия.................................................... 63 
З а д а ч а  3.  Системы эконометрических уравнений ............................. 73 
З а д а ч а  4.  Временные ряды .................................................................... 76 

Оглавление 
 

4 

ТЕСТЫ ................................................................................................................ 88 
Т е с т  1.  Парная регрессия и корреляция ................................................ 88 
Т е с т  2.  Множественная регрессия и корреляция ................................. 90 
Т е с т  3.  Системы эконометрических уравнений ................................... 93 
Т е с т  4.  Временные ряды ......................................................................... 95 
 
КОНТРОЛЬНЫЕ   ВОПРОСЫ   ПО   ДИСЦИПЛИНЕ ................................ 97 
 
ВОПРОСЫ  К  ЭКЗАМЕНУ ............................................................................. 99 
 
ЗАДАЧИ  ДЛЯ  САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ  РАБОТЫ ................................... 101 
 
КОНТРОЛЬНЫЕ  ЗАДАНИЯ ........................................................................ 107 
Парная регрессия  и корреляция ............................................................... 108 
Множественная регрессия и корреляция ................................................. 119 
Системы эконометрических уравнений ................................................... 126 
Временные ряды в эконометрических исследованиях ........................... 132 
 
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ  СПИСОК .......................................................... 140 
 
ПРИЛОЖЕНИЯ ............................................................................................... 142

Введение в корреляционно-регрессионный анализ 
 

5 

 
ПРЕДИСЛОВИЕ 
 
Переход к рыночной экономике повышает требования к качеству 
подготовки экономистов, которые, чтобы быть конкурентоспособными 
и востребованными на рынке труда, должны владеть количественными методами анализа в экономике. При этом высокий динамизм происходящих 
в стране социально-экономических процессов приводит к тому, что знания 
об экономике отстают от потребностей управления. Сегодня нужны специалисты, не только владеющие опытом и знаниями предыдущих поколений, 
но и готовые к встрече с новыми постановками задач, обусловленными 
спецификой России.  
В связи с этим дисциплина «Эконометрика» входит в учебные планы 
подготовки экономистов всех специальностей и направлений в качестве 
базовой, обязательной дисциплины и преподается как во всех ведущих 
университетах мира, так и в отечественных вузах. 
В данном курсе рассматриваются задачи эконометрики – науки 
о связях экономических явлений, условия и методы построения экономических регрессионных моделей по статистическим данным и временным 
рядам. Изучение этих прикладных разделов математики занимает важное 
место в формировании экономистов высокой квалификации и служит основой для описания, анализа и прогнозирования реальных экономических 
процессов. Курс эконометрики призван научить различным способам выражения связей и закономерностей через эконометрические модели, основанные на данных статистических наблюдений. 
Значительное внимание в настоящем издании уделяется логическому 
анализу исходной информации и экономической интерпретации получаемых результатов. В нем даются необходимый теоретический материал 
и большое количество примеров и задач для самостоятельного решения, 
а также тесты и вопросы для закрепления материала. 
Учебное пособие предназначено для студентов экономических специальностей, направлений подготовки бакалавров, а также для преподавателей, применяющих методы эконометрики в социально-экономических 
исследованиях. 
Авторы выражают искреннюю благодарность доктору физикоматематических наук, профессору С. И. Сенашову, доктору физикоматематических наук, профессору К. А. Филиппову за рецензирование 
и редактору Л. Г. Семухиной за целый ряд полезных замечаний и поправок, 
способствовавших улучшению пособия. 

Эконометрика 
 

6 

 
ВВЕДЕНИЕ 
В  КОРРЕЛЯЦИОННО-РЕГРЕССИОННЫЙ  АНАЛИЗ 
      
 
Одна из наиболее общих задач в экономических исследованиях состоит в оценивании степени зависимости изучаемой величины Y от одной 
или нескольких случайных (или неслучайных) величин X, называемых 
факторами. Зависимость может быть функциональной, статистической 
либо отсутствовать вовсе.   
Строгая функциональная зависимость между экономическими показателями (наличие всегда выполняющегося равенства Y = f(X)) реализуется 
редко, так как они подвержены влиянию случайных факторов. При статистической зависимости изменение одной из величин влечет изменение 
распределения другой (в частности, среднего значения; в этом случае статистическую зависимость называют корреляционной).  
Причем всегда есть несколько величин, которые определяют главные 
тенденции изменения рассматриваемой величины, и в экономической теории и практике ограничиваются тем или иным кругом таких величин (объясняющих переменных). Однако всегда существует и воздействие большого 
числа других менее важных или трудно идентифицируемых факторов, 
приводящее к отклонению значений объясняемой (зависимой) переменной 
от конкретной формулы ее связи с объясняющими переменными, сколь бы 
точной эта формула ни была. Нахождение, оценка и анализ таких связей, 
идентификация объясняющих переменных, построение формул зависимости и оценка их параметров и составляют предмет корреляционнорегрессионного анализа, при этом корреляционный анализ занимается      
исследованием взаимозависимости случайных величин, тогда как регрессионный анализ на базе выборочных данных исследует зависимость случайной величины от ряда неслучайных и случайных величин. 
Примерами корреляционно, но не функционально связанных величин 
являются объемы производства и себестоимость продукции, объемы       
продаж и прибыль, урожай зерна и количество внесенных удобрений. Действительно, в последнем примере  с одинаковых по площади участков земли при равных количествах внесенных удобрений снимают различный 
урожай, т. е. отсутствует функциональная связь. Это объясняется влиянием 
случайных факторов (осадки, температура, качество семян и др.). Вместе 
с тем, как показывает опыт, средний урожай меняется с изменением количества удобрений, т. е. прослеживается корреляционная зависимость.  

Введение в корреляционно-регрессионный анализ 
 

7 

Рассмотрим сначала однофакторную регрессионную модель.  
В этом случае имеется n пар наблюдений (xi, yi), i = 1, 2, …, n, над 
некоторыми случайными величинами Х = {xi} и Y = {yi}. Эти наблюдения 
можно представить точками на плоскости с координатами (xi, yi) в виде так 
называемой диаграммы рассеяния. Задача построения регрессионной модели заключается в том, что необходимо подобрать некоторую кривую 
(график соответствующей функции) таким образом, чтобы она располагалась как можно «ближе» к этим точкам. Такого рода кривую называют  
эмпирической или аппроксимирующей кривой. Весьма часто тип эмпирической кривой определяется экспериментальными или теоретическими соображениями (исходя из законов экономической теории), в противном случае 
выбор кривой  осуществить довольно трудно. Иногда точки на диаграмме 
рассеяния располагаются таким образом, что не наблюдается никакого их 
группирования и, соответственно, нет никаких оснований предполагать 
наличие в наблюдениях какой-либо взаимозависимости. 
Результатом исследования статистической взаимозависимости на основе выборочных данных является построение уравнений регрессии вида   
y = f(x). 
В самом простом случае предполагается, что f задает уравнение прямой  f(x) = 0 + 1х. Модель в этом случае имеет вид 

уi = 0 + 1хi + i    (i = 1, 2, …, n).                               (1) 

Здесь i являются вертикальными уклонениями точек (xi, yi) от аппроксимирующей прямой. Вопрос о нахождении формулы зависимости 
можно ставить после положительного ответа на вопрос о существовании 
такой зависимости. 
О наличии или отсутствии линейной связи можно судить по величине коэффициента корреляции. 
Угловой коэффициент 1 прямой линии регрессии Y на X называют 
коэффициентом регрессии Y на X и обозначают yx. 

 Выражение х
2 = 
2
2
( )
x
x

  есть выборочная дисперсия Х (или квадрат выборочного среднего квадратического отклонения).  
Выборочный коэффициент корреляции определяется равенством 

ryx = ( xy
xy

)/(хy),                                          (2) 

где y есть выборочное среднее квадратическое отклонение  Y. 
 
З а м е ч а н и е  1.  Верхняя черта, как это принято в теории вероятностей и математической статистике, означает среднее значение выборочной совокупности, в данном 
случае 

Эконометрика 
 

8 

2

2
1
1
1
1
,
,
,
.

n
n
n
n

i
i
i
i
i
i
i
i
i

х
y
x
x y
х
y
x
xy
n
n
n
n













 

 
Коэффициент корреляции измеряет силу (тесноту) линейной связи 
между Y и X. Он является безразмерной величиной, не зависит от выбора 
единиц измерения обеих переменных. Для него всегда выполняется 0  ryx  1, 
и чем ближе его значение к 1, тем сильнее линейная связь. Коэффициент 
корреляции будет положительным, если зависимость переменных Х и Y  
прямо пропорциональная, и отрицательным – если обратно пропорциональная.

1. Линейная модель множественной регрессии 
 

9 

 
1. ЛИНЕЙНАЯ  МОДЕЛЬ 
МНОЖЕСТВЕННОЙ  РЕГРЕССИИ 
  
 
Под линейной моделью множественной регрессии понимается зависимость вида 

y = 0 + 1х1 + 2х2 + … + mхm + .                              (3)                     

В случае парной линейной регрессии имеется только один объясняющий фактор х и линейная регрессионная модель записывается следующим образом: 

y = 0 + 1х + ,                                             (4) 

где  – случайная составляющая с независимыми значениями,  

М = 0, D = 2.                                            (5) 

Оценка параметров регрессии 0 и 1 производится по наблюденным 
значениям зависимой и объясняющей переменных (xi, yi), i = 1, 2, …, n, где 
n – число пар наблюдений (объем выборки). После выполнения элементарных преобразований, которые называются методом наименьших квадратов 
(МНК), получают так называемую систему нормальных уравнений, из которой и находят искомые параметры. Для парной линейной регрессии записывают 

1 =
2
2
( )

xy
xy

x
x




,      0 =

2

1
2
2
(
)
(
)
α
( )

x
y
x xy
y
x
x
x





,                   (6) 

где   

2
2
,
,
,
i
i
i
i
i
x y
x
y
x
xy
x
y
x
n
n
n
n








.  

Из выражений (2) и (6) следует, что  

yx = ryx y /х.                                             (7) 

Если выборка имеет достаточно большой объем и хорошо представляет генеральную совокупность (репрезентативна), то заключение о тесноте линейной зависимости между признаками, полученными по данным 
выборки, в известной степени может быть распространено и на генеральную совокупность, т. е. можно выдвинуть гипотезу об имеющейся линейной связи во всей генеральной совокупности вида у = 0  + 1х.  

Эконометрика 
 

10 

Оценки, сделанные с помощью МНК, обладают следующими свойствами: 
● оценки являются несмещенными, т. е. математическое ожидание 
оценки каждого параметра равно его истинному значению. Это вытекает 
из того, что М = 0, и свидетельствует об отсутствии систематической 
ошибки в определении положения линии регрессии; 
● оценки состоятельны, так как дисперсия оценок параметров при 
возрастании числа наблюдений стремится к нулю. Иначе говоря, надежность оценки при увеличении выборки растет;  
● оценки эффективны, они имеют наименьшую дисперсию по сравнению с любыми другими оценками данного параметра (при линейной  
аппроксимации).  
 
 
1.1. Показатели качества регрессии 
 
Надежность получаемых оценок 0 и  1  зависит от дисперсии отклонений переменной у от оцененной линии регрессии  i = уi – 0 – 1хi.  
Несмещенная оценка дисперсии случайной составляющей вычисляется по 
формуле  

 
2
2

1

1
ˆσ
ε
2

n

i
i
n


 
,                                       (8) 

и является  мерой разброса зависимой переменной вокруг линии регрессии 
(необъясненная дисперсия). 
В качестве меры того, насколько хорошо регрессия описывает данную систему наблюдений, служит коэффициент детерминации, при этом 
вычисляются следующие суммы квадратов отклонений: 
 S2 = i (yi  – у)2 – фактических значений от их среднего арифметического; 
 Ŝ2 = i(ŷi – у)2 – выровненных значений от среднего арифметического  фактических значений; 
 Š2 = i (yi  – ŷ i)2 – фактических от выровненных значений. 
Имеет место равенство S2 = Ŝ2 + Š2. 
Коэффициент детерминации есть отношение объясненной части вариации ко всей вариации в целом: 

R2  = Ŝ2/S2 = 1 – Š2/S2.                                            (9) 

Таким образом, чем «ближе» этот коэффициент к единице, тем лучше описание, разумеется, если при этом модель методически правильна. 

1. Линейная модель множественной регрессии 
 

11 

П р и м е р  1.  Исследовать зависимость розничного товарооборота, 
млрд руб., магазинов от среднесписочного числа работников. В табл. 1 
в столбцах 2 и 3 приведены значения, соответственно, объемов розничного 
товарооборота у и среднесписочного числа работников х, а в следующих 
столбцах – значения необходимых расчетных величин. 
 
Таблица 1 

№ п/п 
у 
х 
(х – х )2 
2
(
)
y
y

 
х2 
ху 
ŷ 
ε 
ε2 

1 
2 
3 
4 
5 
6 
7 
8 
9 
10 

1 
0,5 
73 
1 600 
0,49 
5 329 
36,5 
0,43 
0,07 
0,0049 

2 
0,7 
85 
784 
0,25 
7 225 
59,5 
0,661 0,039 
0,0015 

3 
0,9 
102 
121 
0,09 
10 404 
91,8 
0,998 –0,098 
0,0096 

4 
1,1 
115 
4 
0,01 
13 225 
126,5 1,239 –0,139 
0,0193 

5 
1,4 
122 
81 
0,04 
14 884 
170,8 1,373 0,027 
0,0007 

6 
1,4 
126 
169 
0,04 
15 876 
176,4 
1,45 
–0,05 
0,0025 

7 
1,7 
134 
441 
0,25 
17 956 
227,8 1,604 0,096 
0,0092 

8 
1,9 
147 
1 156 
0,49 
21 609 
279,3 1,854 0,046 
0,0021 

Сумма 
9,6 
904 
4 356 
1,66 
106 508 1 168,6 9,592 0,001 
0,0479 

Среднее 1,2 
113 
544,5 
0,2075 
13 313,5 146,075 1,199 0,0001 
0,0060 

 
В соответствии с выражением (6) 

1  = ( ху – х  у)/(
2
х  – ( х )2) = (146,075 – 1131,2)/544,5 = 0,019 24; 

0  = ((
2
х )  у– х   ху)/(
2
х – ( х )2) = (13 313,51,2 – 113146,075)/544,5 = 
= –0,974. 

Таким образом, получено уравнение регрессии 

ŷ = –0,974 + 0,019 24х. 

Коэффициент регрессии 1 = 0,019 24 показывает, что увеличение 
среднесписочной численности на одного человека приводит к повышению 
объема товарооборота в среднем на 19,24 млн руб. Это своего рода эмпирический норматив приростной эффективности использования работников 
данной группы магазинов. Если увеличение численности на одного работника приводит к меньшему росту объема товарооборота, то прием его на 
работу необоснован. 
Выборочный коэффициент корреляции можно определить, используя равенство (7):  

ryx = 0,019 24544,5 0,2075
⁄
 = 0,9856, 

что свидетельствует о наличии тесной линейной связи между численностью работников и розничным товарооборотом.