Техническая механика

Рассмотрены методы расчета простейших элементов строительных конструкций – прямолинейных брусьев – на прочность, жесткость, 
устойчивость. Изложен теоретический материал 
и приведены примеры решения типовых задач. 
Отдельное внимание уделено теме построения 
эпюр внутренних силовых факторов и контролю 
правильности построения этих эпюр.

Л. Ю. Фомина, О. В. Воротынова, С. Л. Крафт
ТЕХНИЧЕСКАЯ  МЕХАНИКА

Учебное пособие

ИНЖЕНЕРНО-СТРОИТЕЛЬНЫЙ ИНСТИТУТ

Оглавление 

1 

Министерство науки и высшего образования Российской Федерации 
Сибирский федеральный университет 
 
 
 
 
 
 
 
 
Л. Ю. Фомина, О. В. Воротынова, С. Л. Крафт 
 
 
ТЕХНИЧЕСКАЯ  МЕХАНИКА 
 
Учебное пособие 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Красноярск 
СФУ 
2021 

Техническая механика 

2 

УДК 621.03(07) 
ББК 30.12я73 
        Ф762 
 
 
 
 
Р е ц е н з е н т ы: 
А. Н. Морозов, кандидат технических наук, доцент кафедры «Общепрофессиональные дисциплины» Иркутского государственного университета путей сообщения; 
Ю. Н. Макеева, кандидат технических наук, доцент кафедры «Агроинженерия» Красноярского государственного аграрного университета 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Фомина, Л. Ю. 
Ф762             Техническая механика : учеб. пособие / Л. Ю. Фомина, О. В. Воротынова, С. Л. Крафт. – Красноярск : Сиб. федер. ун-т, 2021. – 144 с. 
ISBN 978-5-7638-4268-5 
 
Рассмотрены методы расчета простейших элементов строительных конструкций – прямолинейных брусьев – на прочность, жесткость, устойчивость. 
Изложен теоретический материал и приведены примеры решения типовых задач. Отдельное внимание уделено теме построения эпюр внутренних силовых 
факторов и контролю правильности построения этих эпюр. 
Предназначено для студентов, обучающихся по направлению бакалавриата 08.03.01 «Строительство».  
 
 
Электронный вариант издания см.: 
http://catalog.sfu-kras.ru 
УДК 621.03(07) 
ББК 30.12я73 
 
ISBN 978-5-7638-4268-5                                                           © Сибирский федеральный  
                                                                                                         университет, 2021 

Оглавление 

3 

 
ОГЛАВЛЕНИЕ 
 
Введение ............................................................................................................... 4 

1. Основные понятия, допущения и гипотезы дисциплины.  

Построение эпюр внутренних силовых факторов ....................................... 5 

2. Понятие о напряжениях. Методы расчетов на прочность ........................ 29 

3. Испытание пластичных материалов на растяжение, сжатие .................... 38 

4. Геометрические характеристики плоских сечений ................................... 43 

5. Расчеты на прочность и жесткость при растяжении, сжатии ................... 65 

6. Прямой чистый изгиб ................................................................................... 72 

7. Прямой поперечный изгиб ........................................................................... 78 

8. Уравнение упругой линии. Определение перемещений  
в балках методом непосредственного интегрирования  
дифференциального уравнения упругой линии ........................................ 84 

9. Определение перемещений в балках  
по методу начальных параметров ............................................................... 88 

10. Основы теории напряженного состояния тела в точке ........................... 93 

11. Основы теории деформированного состояния тела в точке ................. 101 

12. Критерии прочности ................................................................................. 104 

13. Чистый сдвиг. Расчёт на срез и смятие ................................................... 107 

14. Расчёт стержней, работающих на кручение ........................................... 111 

15. Сложное сопротивление бруса. Расчет на косой изгиб бруса .............. 116 

16. Расчет на внецентренное сжатие бруса .................................................. 122 

17. Расчет стержней на изгиб с кручением ................................................... 128 

18. Решения типовых задач по основным темам ......................................... 130 

Заключение ...................................................................................................... 137 

Библиографический список ............................................................................ 138

Техническая механика 

4 

 
ВВЕДЕНИЕ 
 
В условиях современного производства инженер техники и технологии строительства встречается с множеством производственных, проектноконструкторских и исследовательских задач, в которых значительное     
место занимают вопросы расчетного обоснования прочности, жесткости, 
устойчивости строительных конструкций, зданий, сооружений и комплексов. Техническая механика имеет большое значение для развития умения 
выявлять проблемы прочности и жесткости простейших элементов конструкций, возникающих в профессиональной деятельности. 
Содержание данного учебного пособия соответствует рабочей программе дисциплины «Техническая механика».  
Техническая механика является базой для изучения таких дисциплин, 
как сопротивление материалов, строительная механика, расчет статически 
определимых и неопределимых систем. 
Изучение материала учебного пособия позволит сформировать 
у студентов следующие компетенции: 
ОПК-1: способность использовать основные законы естественнонаучных дисциплин в профессиональной деятельности, применять методы 
математического анализа и математического (компьютерного) моделирования, теоретического и экспериментального исследования; 
ОПК-2: способность выявить естественнонаучную сущность проблем, возникающих в ходе профессиональной деятельности, привлечь их 
для решения соответствующий физико-математический аппарат.  

1. Основные понятия, допущения и гипотезы дисциплины. Построение эпюр внутренних силовых факторов 

5 

 
1. ОСНОВНЫЕ  ПОНЯТИЯ,  ДОПУЩЕНИЯ  
И  ГИПОТЕЗЫ  ДИСЦИПЛИНЫ.   
ПОСТРОЕНИЕ  ЭПЮР  
ВНУТРЕННИХ  СИЛОВЫХ  ФАКТОРОВ 
 
 
В дисциплине «Техническая механика» изучаются основы инженерных методов расчета на прочность, жесткость, устойчивость элементов 
конструкций, сооружений и машин с учетом требований долговечности 
и экономичности.  
Прочность – способность конструкции, ее узлов и деталей не разрушаясь воспринимать внешние нагрузки.  
Под разрушением (нарушением прочности) твердого тела понимается 
достижение такого состояния, когда нарушается конструктивная функция 
тела (разрыв, излом, пластическая (остаточная) деформация) и оно становится непригодным к эксплуатации.  
Жесткость – способность конструкции, ее узлов и деталей сопротивляться деформациям (изменениям формы и размеров) под действием 
внешних нагрузок. 
Устойчивость – способность конструкции, ее узлов и деталей сохранять положение равновесия под действием внешних нагрузок. 

Долговечность – способность строительного объекта сохранять 

прочностные, физические и другие свойства, устанавливаемые при проектировании и обеспечивающие его нормальную эксплуатацию в течение 
расчетного срока службы. 

Нормальная эксплуатация – это эксплуатация строительного объекта 

в соответствии с условиями, предусмотренными в строительных нормах 
или задании на проектирование, включая соответствующее техническое 
обслуживание, капитальный ремонт и реконструкцию. 

Расчетный срок службы – установленный в строительных нормах 

или в задании на проектирование период использования строительного 
объекта по назначению до капитального ремонта и (или) реконструкции 
с предусмотренным техническим обслуживанием. Расчетный срок службы 
отсчитывается от начала эксплуатации объекта или возобновления его эксплуатации после капитального ремонта или реконструкции. 

Экономичность в значительной мере определяется расходом мате
риала, применением менее дефицитных конструкционных материалов, 

Техническая механика 

6 

возможностью изготовления деталей по наиболее прогрессивным технологиям, без изменения требований к надежности.  
Устойчивость сооружений – способность сооружений противодействовать усилиям, стремящимся вывести их из исходного состояния равновесия. 
На все конструкции, узлы и детали во время их работы действуют 
различные воздействия.  

Воздействия – это нагрузки, изменение температуры, влияние на 

строительный объект окружающей среды, действие ветра, осадка оснований, смещение опор, деградация свойств материалов во времени и другие 
эффекты, вызывающие изменения напряженно-деформированного состояния 
строительных конструкций. При проведении расчетов допускается задавать воздействия как эквивалентные нагрузки. 

Нагрузки – это внешние механические силы (вес конструкций, обо
рудования, снегоотложений, людей и т. п.), действующие на строительные 
объекты. 
При определении величины и направления таких сил, приложенных 
к телам, находящимся в равновесии, обычно делается допущение, что все 
тела абсолютно твердые, т. е. недеформируемые. В действительности же 
тела под действием приложенных к ним сил деформируются, т. е. в той 
или иной степени меняют свою форму или размеры под действием внешних механических сил и изменения температуры. Деформация, полностью 
исчезающая после прекращения действия нагрузки, называется упругой, 
а само свойство тела называется упругостью. Абсолютно упругих тел 
в природе не существует, но если деформации невелики, то тела можно 
считать упругими. Если после снятия нагрузки тело не восстанавливает 
прежней формы, то деформация считается пластической (остаточной). 
Характер деформации (упругая или пластическая) зависит от величины силы, действующей на тело, размеров тела и механических свойств 
материала.  
В зависимости от направления действия сил, приложенных к телу, 
выделяют следующие простые виды деформаций: растяжение, сжатие, 
сдвиг, кручение, изгиб. 
Деформация растяжения или сжатия возникает в том случае, когда 
внешние силы направлены по одной прямой вдоль оси тела в разные стороны (рис. 1.1, а, б), например в стержнях фермы. 
Если на тело действуют равные по модулю внешние силы, направленные в противоположные стороны, стремящиеся сдвинуть одну часть тела относительно другой, возникает деформация сдвига (рис. 1.1, в). При этом 
силы параллельны и находятся на небольшом расстоянии друг от друга 
(например, при  разрезании листа бумаги ножницами).  

1. Основные понятия, допущения и гипотезы дисциплины. Построение эпюр внутренних силовых факторов 

7 

Если тело находится под действием нагрузок, создающих противоположные пары сил в плоскостях, перпендикулярных продольной оси тела 
(например, валы машин, отвертки), то появляется деформация кручения 
(рис. 1.1, г). 
Если внешние нагрузки направлены под некоторым углом к оси тела, 
то создается деформация изгиба (рис. 1.1, д). Под действием такой нагрузки 
тело может изгибаться, например трамплин для прыжков в воду, перемычки, подкрановые балки.  
 
 
 
 
 

 
а 
б 
в 

 
г 
д 
Рис. 1.1. Виды деформаций: а – осевое растяжение; б – осевое сжатие;  
в – сдвиг; г – кручение; д – изгиб 
 
Сложные деформации состоят из двух и более простых деформаций. 
Количественная мера изменения размеров бруса (рис. 1.2) – это линейная деформация. 
 

 
Рис. 1.2. Изменение размеров бруса после приложения внешней нагрузки 
 
Абсолютная линейная деформация 

∆ℓ ℓℓ,                                             (1.1) 

где ℓ – начальная длина произвольного отрезка, проведенного в брусе; ℓ– 
длина отрезка первоначальной длины ℓ после приложения внешней нагрузки (удлинение или сжатие). 

Техническая механика 

8 

Относительная деформация бруса ε (читается – эпсилон): 

ε ∆ℓ

ℓ ∙ 100 %.                                              (1.2) 

Относительная деформация является безразмерной величиной. 
Линейную деформацию можно разделить на продольную (удлинение 
или укорочение бруса) и поперечную (изменение размеров поперечного 
сечения бруса). 
Продольная линейная деформация ∆ℓ рассчитывается по формуле 
(1.1). 
Если ∆ℓ 0, то брус растягивается; если ∆ℓ 0, то брус сжимается. 
Поперечная деформация ε, определяет изменение поперечных размеров, поэтому  

ε′ , 

где Δ– изменение площади поперечного сечения бруса; – 
площадь поперечного сечения бруса до приложения внешней нагрузки;         
– площадь поперечного сечения бруса после приложения внешней нагрузки. 
Относительную линейную деформацию можно разложить по координатным осям. Получим компоненты линейных деформаций в координатных осях: ε, ε, ε. 

ε∆∙ 100 %,           ε∆∙ 100 %,           εε ∆ℓ

ℓ ∙ 100 % .     (1.3) 

В определенных пределах поперечная деформация ε' прямо пропорциональна продольной деформацииε, но имеет обратный знак: 

ε' μ ∙ ε.                                             (1.4) 

Коэффициент μ (читается – мю) называется коэффициентом Пуассона.  

μ εε.                                                      (1.5) 

Коэффициент Пуассона для изотропных материалов изменяется в 
пределах 0 μ 0,5 и для каждого материала является постоянной величиной, характеризующей упругие свойства материала. Например: для 
пробки μ = 0; для сталей μ = 0,25–0,30; для резины и парафина μ 0,5 . 
После приложения внешней нагрузки к брусу изменяются не только 
линейные размеры бруса, но и форма тела. Изменение формы тела после 
приложения внешней нагрузки характеризует угловая деформация.  
Относительная угловая деформация в точке B в плоскости АВС 
(рис. 1.3) 

1. Ос

где ∠внешн

К

γ, γТ

и угло

 

Рис. 1.3

С

правле
состоя

П

устано
ществе
ные св
эксплу
схемат

Р

машин

Р

ние ис
При вы
второс
достат

В

ния дл
схем. 
констр

сновные понят

– про
ней нагруз
Компонен

, γ. 
Таким об
овой (рис.

3. Угловая 

Совокупн
ениям и п
янием в то
Приступа
овить, что
енным об
войства м
уатации и
тизации р
Реальный
на, механи
Расчетная
спользуем
ыборе ра
степенны
точно точ
В зависим
ля одной
Также и
рукциям. 

тия, допущени

∠γ

оизвольны
зки; ∠нты угл

бразом, по
 1.4). 

деформаци

ность лин
плоскостя
очке. 
ая к расче
о являетс
бразом по
материала
и другие
реального
й объект –
изм, узлы
я схема с
мого реал
асчетных 
ми) факт
чных инже
мости от 
й и той ж

 одна ра

ия и гипотезы

γ α β

ый угол А
– уго
ловой де

олная деф

ия 

нейных и
ям для од

ету конст
ся важным
овлиять н
а, геометр
 факторы
о объекта.
– это соор
ы, элемент
ооружени
льного об
схем пре
орами с ц
енерных р
постанов

же констр
асчетная 

ы дисциплины

∠АВС, пров
ол АВС по
еформаци

формация

а 
Рис. 1

угло

и угловых
дной точк

трукций (
м и что н
на работу
рические 
ы, выбир
.
ружение, к
ты, детал
ия – это у
бъекта при
енебрегаю
целью пол
решений.
вки задач
рукции м
схема мо

. Построение

∠веденный
осле прил
ии по р

я бруса ск

1.4. Полная
овая (в) деф

х деформ
ки называ

(реальных
несуществ
у констру
параметр
ается рас

конструкц
и. 
упрощенн
и проведе
ют некото
лучения п
. 
и и требу

может быт
ожет соот

эпюр внутрен

, 

й в брусе, 
ложения н
различным

кладывает

б 

я (а), линей
формации б

маций по 
ается деф

х объекто
венно, т. 
кции. Рас
ры констр
счетная с

ция, техни

ное (услов
ении расч
орыми (гл
простых и

уемой точ
ть нескол
тветствов

нних силовых

до прило
нагрузки.
м плоск

тся из лин

в 

йная (б),  
бруса 

различны

формиров

ов), необх
е. не мож
ссмотрев 
рукции, у
схема с у

ическая си

вное) изо
четов (ри
лавным об
и в то же

чности ее
лько расч
вать разл

факторов 

9 

ожения 
 
костям: 

нейной 

ым наванным 

ходимо 
жет суреальсловия 
учетом 

истема, 

бражеис. 1.5). 
бразом 
е время 

е решечетных 
ичным 

Техническая механика 

10 

Выбор расчетной схемы начинается со схематизации реального объекта. Выделяют следующие типы схематизации: физическую, геометрическую, силовую. 
 

 
 
Рис. 1.5. Схематизация реального объекта  
и выбор расчетной схемы: а – схема  
мостового крана; б – расчетная схема моста крана 
 
Физическая схематизация. При построении теории расчета невозможно отразить всё многообразие свойств реальных материалов, поэтому 
принимают ряд гипотез и допущений, упрощающих расчеты: 
1. Гипотеза сплошности и однородности. Материал представляет собой однородную сплошную среду; свойства материала во всех точках тела 
одинаковы и не зависят от размеров тела. Гипотеза позволяет не учитывать 
особенности кристаллической структуры металла, разный химический состав и прочностные свойства связующего и наполнителей в пластмассах, 
бетонах (щебень, песок, цемент), наличие сучков в древесине. 
2. Гипотеза об изотропности материала. Физико-механические свойства материала одинаковы по всем направлениям. К основным физикомеханическим свойствам материала относятся: удельный и объемный вес, 
плотность и пористость, водопоглощение, водопроницаемость, морозостойкость, теплопроводность, теплоемкость, огнестойкость, прочность, 
упругость, твердость. Однако для анизотропных материалов (например, 
для древесины, железобетона, композиционных материалов), отличающихся неодинаковыми физико-механическими свойствами по различным 
направлениям, предположение об изотропии неприемлемо. 
3. Гипотеза об идеальной упругости материала. Тело способно восстанавливать свою первоначальную форму и размеры после устранения 
причин, вызвавших его деформацию. 
4. Гипотеза о совершенной упругости материала. Перемещения точек 
конструкции в упругой стадии работы материала прямо пропорциональны 

а

б