Математика. Теория вероятностей

Министерство науки и высшего образования Российской Федерации Сибирский федеральный университет
















МАТЕМАТИКА
ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

Учебное пособие














Красноярск СФУ 2020

 УДК 519.21(07)
 ББК 22.171я73 М340



       Р е ц е н з е н т ы:
       Н. М. Сучков, доктор физико-математических наук, профессор кафедры алгебры и математической логики Института математики и фундаментальной информатики Сибирского федерального университета;
       О. В. Кравцова, кандидат физико-математических наук, доцент кафедры высшей математики № 2 Института математики и фундаментальной информатики Сибирского федерального университета




 М340       Математика. Теория вероятностей : учеб. пособие / А. И. Со-
        зутов, В. П. Сакулин, Н. Н. Рыбакова, Е. Б. Лученкова. - Красноярск : Сиб. федер. ун-т, 2020. - 128 с.


             ISBN 978-5-7638-4316-3



              Излагаются основные разделы курса теории вероятностей. Теоретический материал сопровождается иллюстрациями и примерами прикладного характера, также предлагаются упражнения для самостоятельного решения.
              Предназначено для бакалавров и магистрантов инженерных специальностей.









  Электронный вариант издания см.: http://catalog.sfu-kras.ru









УДК 519.21(07)
ББК 22.171я73

ISBN 978-5-7638-4316-3

                                 © Сибирский федеральный университет, 2020

                Оглавление





Введение                                                     7

1. Алгебра множеств                                          8
   1.1. Общая теория........................................ 8
   1.2. Операции над множествами........................... 12
   1.3. Применение к математической логике................. 15

2. Элементы комбинаторики                                   18
   2.1. Правило суммы...................................... 19
   2.2. Правило произведения............................... 19
   2.3. Размещения ........................................ 20
   2.4. Сочетания.......................................... 21
   2.5. Бином Нвютона...................................... 22

3. Алгебра событий                                          22
   3.1. События, пространство элементарных событий ........ 22
   3.2. Действия над событиями............................. 25

4. Вероятность                                               27
   4.1. Частота, статистическая вероятности................ 27
   4.2. Классическая вероятность........................... 28
   4.3. Геометрическая вероятность......................... 30
   4.4. Теорема сложения................................... 32
   4.5. Аксиоматическое определение вероятности............ 34
   4.6. Полиномиальные вероятности......................... 37

3

5. Формулы умножения вероятностей                              39
   5.1. Формула полной вероятности и формула Байеса.......... 40
   5.2. Последовательность независимых испытаний ............ 43


6. Схема Бернулли                                           44
   6.1. Формула Бернулли ................................. 44
   6.2. Локальная теорема Лапласа......................... 46
   6.3. Интегральная теорема Лапласа...................... 47


7. Случайные величины                                         49
   7.1. Определение и примеры случайных величин............. 49
   7.2. Действия над случайными величинами.................. 49
   7.3. Функция распределения вероятностей случайной величины 50
   7.4. Дискретные и непрерывные случайные величины......... 52
   7.5. Свойства функции распределения вероятностей......... 52
   7.6. Закон распределения дискретной случайной величины ... 54
   7.7. Плотность распределения непрерывной случайной величины 54


8. Числовые характеристики случайных величин                  57
   8.1. Математическое ожидание дискретной СВ............... 57
   8.2. Математическое ожидание непрерывной СВ.............. 59
   8.3. Свойства математического ожидания................... 59
   8.4. Дисперсия и среднее квадратическое отклонение....... 62
   8.5. Простейшие свойства дисперсии....................... 63
   8.6. Мода и медиана...................................... 64


9. Некоторые распределения                              66

4

   9.1. Биномиальное распределение ............................. 66
   9.2. Распределение Пуассона.................................. 68
   9.3. Равномерное распределение .............................. 71


10. Нормальное распределение                                   72
   10.1. Стандартное нормальное распределение................. 73
   10.2. Интеграл Пуассона.................................... 74
   10.3. Определение нормального распределения, связь со стандартным распределением....................................... 75
   10.4. Числовые характеристики нормального распределения ... 77
   10.5. «Правило трёх сигм».................................. 79
   10.6. Логарифмически-нормальное распределение.............. 81
11. Независимые случайные величины                             83
   11.1. Определения и простейшие свойства.................... 83
   11.2. Математическое ожидание произведения независимых случайных величин........................................ 84
   11.3. Дисперсия суммы независимых случайных величин.....    85

12. Зависимые случайные величины                        86
   12.1. Ковариация ................................... 87
   12.2. Коэффициент корреляции........................ 89

13. Закон больших чисел                                 92
   13.1. Неравенство Чебышёва.......................... 93
   13.2. Теорема Чебышёва ............................. 94
   13.3. Приложения теоремы Чебышёва................... 97

5

13.4. Центральная предельная теорема............... 98

14. Задания для самостоятельной работы                100

Приложение 1. Таблица значений функции ^(x) = ^= • e-x²/² 123
x 2
Приложение 2. Таблица значений функцииФ(х) = Ц= f e-x /² 4x124
                                            V п 0

Библиографический список                              125


6

                Введение




  Раздел дисциплины Математика «Теория вероятностей» для бакалавров инженерных направлений подготовки является заключительным в данной дисциплине, что говорит о важности его изучения. Целв освоения данного раздела — обеспечение математической подготовки студентов для изучения других дисциплин в магистратуре, связаннвхх с проведением различнвхх наблюдений, исследований, составлением моделей с применением современного математического аппарата.
  Теория вероятностей — наука о ввхчислении вероятностей случайных событий [14, С. 37], позволяющая по вероятностям одних случайнвхх событий находитв вероятности других случайнвхх собвхтий, связаннвхх каким-либо образом с перввхми [9, С. 655]. В более широком смвхсле она изучает количественнвхе закономерности массоввхх случайнвхх явлений и занимается созданием, определением и описанием моделей, связаннвхх с понятием вероятности [7, С. 481]. Теория вероятностей возникла в XVII веке и при-меняласв вначале в основном в азартнвхх играх (кости, картвх и т.д.). Основателями ее можно считатв Гюйгенса, Паскаля, Ферма и Я. Бернулли. В XIX веке развитие теории вероятностей стимулировалосв потребностями обработки эксперименталвнвхх даннвхх, теории стрельбы, статистики и т.д. Известные учёные Лаплас, Гаусс, Пуассон обогатили теорию и методами математического анализа. Большой вклад в развитие теории внесли русские учёные Чебышёв, Марков, Ляпунов, Хинчин, Колмогоров [14].
  Теория вероятностей лежит в основе многих дисциплин (таких, как «Теория массового обслуживания», «Теория надёжности», «Математическая статистика» и др.).

7

                1.  Алгебра множеств




            1.1. Общая теория


  Понятие класса, или совокупности, или множества объектов, — одно из самых фундаментальных в математике. Множество определяется некоторым свойством (атрибутом) A которым должен обладать или не обладать каждый рассматриваемый объект; те объекты (элементы), которые обладают свойством A образуют множество A. Так, если мы рассматриваем натуральные числа и свойство A заключается в чётности, то соответствующее множество A состоит из всех чётных чисел: 2, 4, 6, ....
  Математическая теория множеств основывается на том, что из исходных множеств с помощью определённых операций можно образовывать новые множества и устанавливать соотношения между ними, подобно тому, как из чисел посредством операций сложения и умножения получаются новые числа (1 + 1 = 2, 1 + 2 = 3, 2 • 3 = 6, ...), устанавливаются соотношения между ними. Пример — таблица умножения: 6 х 8 = 48, 7 х 9 = 63 и т.д. Операции над множествами — предмет алгебры множеств, которая имеет много общего с обыкновенной числовой алгеброй, хотя кое в чём и отличается от неё.
  Тот факт, что алгебраические методы могут быть применены при изучении нечисловых объектов, каковыми являются множества, иллюстрирует общность идей современной математики. Алгебра множеств открывает новые стороны многих областей математики (например, теория меры и теория вероятностей); она полезна при систематизации математических понятий и выяснении их логических связей.


8

   В дальнейшем через E будем обозначать некоторое постоянное множество обьектов, природа которых нам сейчас безразлична, и которое мы будем называть универсальным множеством, или универсумом рассуждений', Л, Б, C, ... — какие-то подмножества из множества E. Если E есть совокупность всех натуральных чисел, то Л, скажем, будет обозначать множество всех чётных чисел, Б — множество всех нечётных чисел, C — множество всех простых чисел и т.п. Если E обозначает совокупность всех точек на плоскости, то Л может быть множеством точек внутри какого-то круга, Б — множеством точек внутри другого круга и т.п. В число подмножеств нам удобно включить само E, а также пуст0 множество 0, не содержащее никаких элементов. Цель, которую преследует такое искусственное расширение, — сохранение того положения, при котором каждому свойству A соответствует некоторое множество элементов из E, обладающих этим свойством.
   В случае, если E есть универсально выполняемое свойство, примером которого может служить, если речь идёт о числах, свойство удовлетворять равенству x = x, то соответствующее подмножество E будет само E, так как каждый элемент обладает таким свойством; с другой стороны, если A есть какое-то внутренне противоречивое свойство (например, x = x), то подмножество не содержит элементов вовсе, оно «пустое», всегда обозначаемое символом 0 (вне зависимости от природы элементов множества E).
   Говорят, что множество Л есть подмножество множества Б, короче, «Л входит в Б», или «Б содержит Л», если во множестве Л нет такого элемента, который не был бы также во множестве Б. Этому соотношению соответствует запись

9

A c B, или B D A.
   Например, множество A всех целвхх чисел, делящихся на 10, еств подмножество множества B всех целвхх чисел, делящихся на 5, так как каждое число, делящееся на 10, делится также на 5. Соотношение A c B не исключает соотношения B c A. Если имеет место и то, и другое, то мы пишем
A = B.
   Это означает, что каждвхй элемент множества A еств вместе с тем элемент множества B и наоборот, так что множества A и B содержат как раз одни и те же элементы.
   Соотношение A c B между множествами во многом напоминает соотношение a 6 b между числами. В частности, отметим следующие свойства этого соотношения:
1) A c A;
2) если A c B и B c A, to A = B;
3) если A c B и B c C, to A c C.
   По этой причине соотношение A c B назвхвают иногда отношением порядка. Главное отличие рассматриваемого соотношения от соотношения a 6 b между числами заключается в том, что между всякими двумя задан-нвхми (действителвнвхми) числами а и b непременно существует по менвшей мере одно из соотношений а 6 b или b 6 а, тогда как для соотношения A c B между множествами аналогичное утверждение неверно. Например, если A еств множество, состоящее из чисел 1, 2, 3,
A = { 1, 2, 3},

10

a B — множество, состоящее из чисел 2, 3, 4,
B = { 2, 3, 4 },
то не имеет места ни соотношение A с B, ни соотношение B с A. По этой причине говорят, что подмножества A, B, C, ... множества E являются аастсчно упорядоченными, тогда как действительные числа a, b, c, ... образуют вполне упорядоченную совокупности.
   Заметим, что из определения соотношения A с B следует, что, каково бы ни было подмножество A множества E, имеют место соотношения
4) 0 с A;
5) A с E.
   Свойство 4) может показаться несколько парадоксальным, но, если вдуматься, оно логически строго соответствует точному определению знака с. В самом деле, соотношение 0 с A нарушалось бы только в том случае, если бы пустое множество 0 содержало элемент, который не содержался бы в A; но так как пустое множество вовсе не содержит элементов, то этого быть не может, каково бы ни было A.
   Частично упорядоченные множества называют также решётками, или структурами. Их удобно изображать в виде графа, в котором элементы решётки являются ае<шинами; при этом a < b, если от а к b есть путь, идущий по направлению рёбер (см. рис. 1а).
   Стрелки в решётках, как правило, опускают (рис. 16), считая, что рёбра направлены, например, «снизу вверх». Очевидно, что решётки на рис. 1 одинаковы, или, как принято говорить, изоморфны.

11

{1,2,3}

{1,2}


{1}

0 a)

30

{2,3} 6


{3}   3

Рис. 1



            1.2.  Операции над множествами


  Определим вначале две операции над множествами, формалвно обладающими многими алгебраическими свойствами сложения и умножения чисел, а по своему внутреннему содержанию совершенно отличивши от этих арифметических действий. Пуств A и B — какие-то два множества. Под объединением, или логической суммой, A и B понимается множество, состоящее из тех элементов, которые содержатся или в A, или в B (включая и те элемента!, которые содержатся и в A, и в B) (рис. 2а). Это множество обозначается A + B, или A U B. Под пересечением, или логическим произведением, Ah B понимается множество, состоящее из тех элементов, которые содержатся и в A, и в B (рис. 26). Это множество обозначается AB, или A П B. Под разностью, или логической ASHoembK), A и B понимается множество, состоящее из тех элементов, которые содержатся в A,

12

но не содержатся в Б, (рис. 2в). Это множество обозначается A — Б, или A \ Б.

    В элементарной теории множеств само множество и его подмножества часто изображают в виде некоторых областей па плоскости (диаграммы Эйлера-Веппа). Дадим геометрическую интерпретацию введённых действий с помощыо диаграмм Эйлера-Веппа (рис. 2).

A + Б а)

A • Б б)

Рис. 2

A — Б в)

    Проиллюстрируем приведённые определения па примере множеств A и Б: A = { 1, 2, 3 }, Б = { 2, 3, 4 }.
 Тогда A + Б = { 1, 2, 3, 4 }, AБ = { 2, 3 }, A — Б = { 1}.

    В числе важнейших алгебраических свойств операций (A + Б) и A • Б назовём следующие (читатели сможет проверить их справедливость, исходя из определения самих операций):

6) A + Б = Б + A;
7) A • Б = Б • A;
8) A + (Б + C) = (A + Б) + C;
9) A • (Б • C) = (A • Б) • C;
Ю) A + A = A;
11) A • A = A;

12) A • (Б + C) = A • Б + A • C;
13) A + (Б • C) = (A + Б) • (A + C);

14) A + 0 = A;
15) A • E = A;
16) A + E = E;
17) A • 0 = 0;

18) соотношение A С Б эквивалентно каждому из соотношений

 A + Б = Б, A • Б = A.

13

   Проверка всех этих свойств — дело элементарной логики. Например, свойство 10) констатирует, что множество элементов, содержащихся или в A, или в A, еств как раз множество A; свойство 12) утверждает, что множество тех элементов, которые содержатся в A и, вместе с тем, содержатся или в B, или в C, совпадает со множеством элементов, которвхе либо одновременно содержатся в A и в B, либо в A и в C.
   Читатели, несомненно, обратил внимание на то обстоятельство, что свойства 6), 7), 8), 9) и 12) внешне тождественны хорошо знакомым коммутативному, ассоциативному и дистрибутивному законам обыкновенной алгебры. Отсюда следует, что все правила обыкновенной алгебры, вытекающие из этих законов, действительны также для алгебры множеств. Напротив, свойства 10), 11) и 13) не имеют аналогов в обыкновенной алгебре и упрощают структуру алгебры множеств. Например, бином Ньютона в алгебре множеств сводится к простейшему равенству
(A + B)n = (A + B) • (A + B) •... • (A + B) = A + B,
которое следует из свойства 11). Свойства 14), 15) и 17) говорят о том, что свойства множеств 0 и E по отношению к операциям объединения и пересечения множеств весьма похожи на свойства чисел 0 и 1 по отношению к операциям числовых действий сложения и умножения. Но свойство 16) не имеет аналога в числовой алгебре.
   Необходимо дать определение ещё одной операции алгебры множеств, важное для математической логики и теории вероятностей. Пусть A — какое-нибудь подмножество универсального множества E. Тогда под дополнением (логическим отрицанием) A в E понимается множество всех элементов E, которые не содержатся в A. Для этого множества мы введём

14