Суперэлементы. Моделирование разработки нефтяных месторождений

СУПЕРЭЛЕМЕНТЫ

МОДЕЛИРОВАНИЕ РАЗРАБОТКИ
НЕФТЯНЫХ МЕСТОРОЖДЕНИЙ

А.Б. МАЗО
К.А. ПОТАШЕВ

Москва
ИНФРА-М
2022

МОНОГРАФИЯ

УДК [519.688+532.5+550.8.013](075.4)
ББК 22.193:22.253:33.361
 
М13

Мазо А.Б.
М13  
Суперэлементы. Моделирование разработки нефтяных месторождений : монография / А.Б. Мазо, К.А. Поташев. — Москва : ИНФРА-М, 
2022. — 220 с. — (Научная мысль). — DOI 10.12737/1043236.

ISBN 978-5-16-017150-0 (print)
ISBN 978-5-16-106569-3 (online)
В монографии изложены основы суперэлементного метода моделирования двухфазных фильтрационных течений, происходящих при разработке нефтяного пласта. Моделирование выполняется в два этапа в порядке сокращения пространственно-временных масштабов исследуемых 
процессов. На первом этапе моделирования разработки нефтяной залежи 
строится долгосрочная (на десятки лет) модель глобальной динамики заводнения на суперэлементной расчетной сетке с шагом, равным среднему 
расстоянию между скважинами (200–500 м). Локальные фильтрационные 
течения, вызванные действием геолого-технических методов воздействия 
на пласт, моделируются на втором этапе с помощью специальных математических моделей, использующих расчетные сетки высокого разрешения 
с детализацией по пространству от 0,1 до 10 м и по времени — от 102 до 105 с.
Представлены результаты применения изложенных моделей к решению практических задач разработки нефтяного пласта. Особое внимание 
уделено вопросу переноса значений фильтрационно-емкостных свойств 
коллектора с детальной сетки геологической модели на более крупную сетку фильтрационной модели.
Предназначена для специалистов в области математического и численного моделирования фильтрационных течений, происходящих при разработке нефтяных месторождений, использующих для этого традиционные 
коммерческие пакеты программ, а также разрабатывающих собственное 
программное обеспечение. Может быть интересна студентам магистратуры и аспирантам, обучающимся по таким направлениям, как «Механика 
и математическое моделирование», «Прикладная математика», «Нефтегазовое дело».

УДК [519.688+532.5+550.8.013](075.4)
ББК 22.193:22.253:33.361

ISBN 978-5-16-017150-0 (print)
ISBN 978-5-16-106569-3 (online)
© Мазо А.Б., Поташев К.А., 2020

Р е ц е н з е н т:
А.А. Губайдуллин, доктор физико-математических наук, профессор

Н а у ч н ы й   р е д а к т о р:
Г.Т. Булгакова, доктор физико-математических наук, профессор

Данная книга доступна в цветном  исполнении 
в электронно-библиотечной системе Znanium.com

Введение

В книге представлен суперэлементный метод моделирования 
двухфазных фильтрационных течений, происходящих при разработке нефтяного пласта. Моделирование выполняется в два этапа 
в порядке сокращения пространственно-временных масштабов 
описываемых процессов — глобального заводнения залежи и локальных эффектов от мероприятий, направленных на интенсификацию добычи нефти (ИДН) или повышение нефтеотдачи пласта 
(ПНП).
Общая динамика заводнения залежи нефти определяется взаимодействием скважин. Следовательно, число неизвестных модели 
глобального заводнения, то есть размерность расчетной сетки, 
должно быть сопоставимо с числом скважин на месторождении 
(
÷
2
4
10
10 ), а, соответственно, шаг расчетной сетки должен примерно совпадать со средним расстоянием между скважинами 
(
÷
200
500 м ). Характерное время переноса насыщенности на таком 
пространственном масштабе принимает значения порядка 

÷
7
8
10
10 с . На первом этапе моделирования разработки нефтяной 
залежи строится долгосрочная (на десятки лет) модель глобальной 
динамики заводнения на суперэлементной расчетной сетке. Вычислительная схема модели строится по методу конечных объемов 
(МКО). Суперэлемент (СЭ) — это блок конечнообъемной расчетной сетки, латеральный размер которого соответствует шагу 
сетки скважин и составляет сотни метров, а вертикальный — толщине геологических пачек и может достигать десятков метров. 
Таким образом, размеры СЭ на порядок и более превосходят традиционные размеры сеточных блоков. Сетка строится таким образом, 
что вертикальные скважины проходят через центры СЭ. Небольшое 
число дополнительных центров вводится для равномерности сеточного покрытия расчетной области. Каждый СЭ характеризуется 
сложной внутренней геологической структурой, может содержать 
один или несколько перфорированных участков скважин 
и в каждый момент времени обладает определенным внутренним 
распределением водонасыщенности, определяющей подвижность 
двухфазной смеси. Для корректной аппроксимации средних фильтрационных потоков через грани суперэлементной сетки с помощью осредненных по большим объемам СЭ исходных полей давления p и насыщенности s предварительно решаются задачи апскейлинга — для каждого СЭ определяются эффективные мнимые 
фильтрационные свойства пласта: тензор абсолютной проницае

мости (АП) и модифицированные функции относительных фазовых проницаемостей (МОФП). Интегрирование давления 
в объеме суперэлементов большого радиуса устраняет его логарифмическое поведение вблизи скважин и делает осредненное поле 
давления гладким. Учет фронтального характера переноса насыщенности при расчете на суперэлементной сетке обеспечивается 
использованием МОФП.
Локальные фильтрационные течения, вызванные действием 
методов ИДН и ПНП, которые в дальнейшем будем называть геолого-техническими мероприятиями (ГТМ), имеют иные пространственно-временные масштабы, определяемые их способом воздействия на пласт. Описание таких процессов выполняется с помощью 
специальных математических моделей, использующих расчетные 
сетки с детализацией по пространству от 10 до 10–1 м и по времени — от 105 до 102 с. При использовании детальных расчетных 
сеток выполнение апскейлинга фильтрационно-емкостных свойств 
(ФЕС) пласта не требуется. Однако для задания начальных и граничных условий в локальных задачах необходимо выполнить процедуры демасштабирования (даунскейлинга) средних полей давления и насыщенности с суперэлементной сетки на детальную.
Поскольку область и время действия ГТМ обычно не превосходят разрешение суперэлементной модели (СЭМ) глобального 
заводнения, то их описание, по сути, является локальной детализацией СЭМ на небольшом промежутке времени. Решение СЭМ 
строится на первом этапе моделирования на весь период разработки. Решение произвольного числа задач локального уточнения 
СЭМ выполняется на втором этапе моделирования. Односторонней 
связью между задачами двух этапов является задание начальных 
и граничных условий для локальных задач. Такой двухэтапный 
метод моделирования разработки нефтяного пласта будем называть 
суперэлементным.
Надежное прогнозирование и контроль полного спектра технологических процессов нефтедобычи требуют детального описания параметров фильтрационных потоков в нефтяном пласте 
с помощью математического и численного моделирования многофазных течений. Большой вклад в развитие этого направления 
отечественной науки внесли Баренблатт Г.И., Булыгин В.Я., Чекалин А.Н., Каневская Р.Д., Пергамент А.Х. и др.
Развитие методов математического моделирования различных 
процессов разработки нефтяных пластов имеет многолетнюю 
историю. Вначале для описания разработки месторождений использовались модели с подвижной границей раздела фаз нефтьвода или газ-вода (Лейбензон Л.С., Чарный И.А., Щелкачев В.Н., 
Лапук Б.Б.). Дальнейшее развитие методов состояло в решении 

задач фильтрации в двух- и трехфазной постановке, учете капиллярных и гравитационных сил. Для описания сложных процессов, 
происходящих во время физико-химического воздействия на пласт 
с целью повышения его нефтеотдачи, получили развитие математические модели, содержащие уравнения многофазной многокомпонентной фильтрации. Разработке таких моделей и способов 
численного решения соответствующих задач посвящены работы 
Азиза Х., Боксермана А.А., Ентова В.М., Желтова Ю.П., Зазовского А.Ф., Каземи Н., Каца Р.М., Коллинза Д., Конюхова В.М., Коутса К., Курбанова А.К., Мирзаджанзаде А.Х., Николаевского В.Н., 
Рыжика В.М., Швидлера М.И. и др.
Основой для построения фильтрационных (гидродинамических) моделей служат геологические модели (ГМ). Современные 
ГМ детально воспроизводят пространственное строение нефтяной 
залежи на сетках с латеральным шагом ~1 м и вертикальным 
~10–1 м. При характерной протяженности нефтяного пласта 

÷
3
4
~10
10 м  и высоте ~10 м размерность сеток таких геологических 
моделей может принимать значения порядка 
÷
8
10
10
10
. Построение 
единой фильтрационной модели подобной степени пространственной детализации, достаточной для описания всех параметров 
фильтрационных течений, происходящих при разработке нефтяной 
залежи, оказывается весьма затруднительным ввиду ограничений 
вычислительных ресурсов, а при необходимости адаптации модели 
или проведения оптимизационных вычислений, основанных 
на многовариантных расчетах, — вообще невозможным.
Одним из вариантов сокращения вычислительных затрат при 
решении задач многофазной фильтрации является сокращение 
числа неизвестных за счет перехода к отысканию полей давления 
и насыщенности, осредненных по укрупненным блокам расчетной 
сетки. Особенностью данного подхода, отличающей такие модели 
от простого перехода к грубой расчетной сетке, является необходимость выполнения специальных процедур ремасштабирования 
(апскейлинга) ФЕС залежи.
Разработкой строгого математического аппарата осреднения характеристик неоднородных тел, в том числе применительно к задачам теории фильтрации, занимались Бахвалов Н.С., Козлов С.М., 
Bensoussan A., Lions J.L., Papanicolaou G., Бердичевский А.Л., 
Лурье К.А., Черкаев А.В., Панфилов М.Б., Панфилова И.В., Беляев А.Ю. и др. Основные результаты в данном направлении получены для сред периодической структуры и могут быть использованы для оценки значений эффективной абсолютной проницаемости при записи осредненных уравнений фильтрации. Обобщение 
строгой теории осреднения на случайные структуры обычно не по

зволяет упростить исходную задачу с мелкомасштабной неоднородностью пласта. Поэтому для моделирования реальных пластовых 
систем разрабатывались различные приближенные подходы к апскейлингу ФЕС. Определенные успехи в разработке способов применения осредненных моделей фильтрации к решению задач имитации разработки нефтяного пласта и методов апскейлинга ФЕС 
при различных допущениях о структуре коллектора были достигнуты в большом числе работ таких авторов как Hearn C., Jacks H., 
Coats K., Kyte J., Berry D., Stone H., Durlofsky L., Christie M., 
Efendiev Y., Lenormand R., Wu X.H., Hou T.Y., Ekrann S., Dale M., 
Aasen J., Gasda S., Celia M., Holden L., Nielsen B., Arbogast T., Wang K., 
Булыгин В.Я., Каневская Р.Д., Курбанов А.К., Родионов С.П. и др. 
Идея и первые примеры применения к решению задач разработки 
нефтяных месторождений упрощенной блочно-осредненной модели с крупными расчетными блоками, размер которых может как 
достигать, так и превосходить межскважинные расстояния, представлены в работах Никифорова А.И. и Низаева Р.Х. Независимо 
от того, используются ли алгоритмы апскейлинга ФЕС общего 
характера, или модели опираются на существенные допущения 
об идеализации пласта, применение грубых расчетных сеток позволяет получать лишь средние параметры фильтрационных течений, без описания мелкомасштабных процессов, связанных 
с тонкой геологической структурой или действием ГТМ.
Для преодоления данных ограничений были предложены так 
называемые многомасштабные методы, использующие для построения решения расчетные сетки различных уровней детализации. Роль апскейлинга гидропроводности пласта в данных методах берет на себя построение специальных базисных функций 
для решения уравнения для давления конечно-элементными методами на укрупненных расчетных сетках. По найденному решению 
восстанавливается поле скорости фильтрации на детальных подсетках и строится решение задачи о переносе насыщенности, способное отражать мелкомасштабные эффекты. Развитием таких методов занимались Страховская Л.Г., Федоренко Р.П., Томин П.Ю., 
Пергамент А.Х., Семилетов В.А., Aarnes J., Efendiev Y., Ginting V., 
Gautier Y., Blunt M., Jenny P., Hou T., Wu X.H., Chen Z., Lee S., 
Tchelepi H. и др. Следует отметить, что при данном подходе значительная часть вычислительной работы для расчета насыщенности 
на сетках высокого разрешения является излишней при моделировании глобальной динамики заводнения. Кроме того, при решении 
задач многофазной фильтрации перестроение базисных функций, 
требующее решения вспомогательных задач на детальных подсетках в общем случае следует выполнять на каждом расчетном 
шаге ввиду изменения поля гидропроводности.

Наиболее распространенным подходом к имитации фильтрационных процессов в нефтяной залежи — от расчета глобальных 
характеристик заводнения пласта до прогноза мелкомасштабных 
течений — является применение единой методики численного моделирования (например, метода конечных разностей, МКР), реализованной в традиционных коммерческих пакетах, таких как Tempest 
MORE, ECLIPSE, TimeZYX, tNavigator, VIP-Executive, ТРИАС 
и др. Используемые при этом расчетные сетки (с размером ячеек порядка 20–50 м по горизонтали и порядка 1 м по вертикали) оказываются избыточными при описании глобальной динамики разработки 
и одновременно недостаточными при моделировании локальных эффектов от ГТМ. Первое приводит к большой размерности сеток и невозможности выполнения многовариантных расчетов, необходимых 
для решения задач адаптации модели и оптимизации системы разработки нефтяной залежи. Второе — к невозможности корректного 
моделирования ГТМ с избирательным воздействием на мелкомасштабные элементы геологической структуры залежи. В ряде случаев 
для моделирования локальных процессов используется секторное 
моделирование, заключающееся в решении задачи фильтрации 
с помощью тех же расчетных пакетов на более детальной расчетной 
сетке в области интересующего участка. Подобный подход применяется также и для ускорения моделирования всего месторождения 
в виде метода декомпозиции расчетной области за счет возможности 
распараллеливания решения задач на отдельных подобластях. С исследованиями по данному направлению можно познакомиться, например, в работах Dolean V., Joliet P., Nataf F., Барышникова А.В., 
Дзюба В.И., Костюченко С.В., Кудряшова И.Ю., Максимова Д.Ю. 
и др. Для выполнения условий консервативности и согласованности 
решения для объекта в целом применение этих методов требует, 
чтобы в процессе моделирования на каждом временном шаге выполнялась операция сопряжения секторных моделей (например, методом Шварца или его вариантами). Такие процедуры согласования, 
обычно являясь итерационными, требуют значительных вычислительных затрат. Кроме того, требуемая степень повышения детальности расчетной сетки для описания мелкомасштабных эффектов 
может вновь привести к необходимости решения задач на расчетных 
сетках размерности 106 и выше.
В данной книге предлагается экономичный и в то же время 
достаточно точный подход многоуровневого моделирования нефтяного пласта за счет применения на каждом уровне проектирования специального вида математических моделей, обладающих 
соответствующей пространственно-временным масштабам задач 
степенью детальности и учитывающих основные особенности описываемых процессов:

• двухфазных течений при глобальном заводнении залежи с характерным пространственным масштабом 102 м и временным 
107–108 с (примерно один год);
 
• однофазных и двухфазных течений, вызванных локальным 
действием ГТМ, с пространственными масштабами 10–1–101 м 
и временными 105 с и менее.
Продемонстрировано построение и исследование иерархической 
системы математических моделей, сеточных схем и экономичных 
численных алгоритмов для решения задач и исследования основных гидродинамических параметров фильтрационных течений 
различных пространственно-временных масштабов, происходящих 
при разработке нефтяных месторождений:
 
• глобального заводнения отдельного нефтяного пласта и совместной разработки нескольких гидродинамически связанных 
нефтяных пластов;
 
• притока пластового флюида к протяженным горизонтальным 
скважинам (ГС) и боковым стволам;
 
• заводнения пласта раствором полимера с вязкостью, зависящей 
от концентрации раствора и скорости сдвиговых деформаций;
 
• локального перераспределения фильтрационных потоков 
в пласте при выполнении мероприятий по изоляции водопритока к добывающим скважинам;
 
• дренирования коллектора вертикальными и горизонтальными 
скважинами с одиночными и множественными вертикальными 
трещинами гидравлического разрыва пласта (ГРП);
 
• распределения в пласте в свободном и сорбированном состояниях и последующего притока к устью скважины многокомпонентного водного раствора индикаторных веществ, предварительно закачиваемых в различные интервалы многостадийного 
ГРП (МГРП) во время трассерных исследований.
Задача о глобальном заводнении пласта решается методом 
конечных объемов на крупных неструктурированных суперэлементных сетках. Такие сетки вполне достаточны для разрешения 
средних гладких полей давления и насыщенности и обеспечивают 
значительное (в сотни раз) ускорение счета по сравнению с традиционно используемыми сетками с шагом порядка 25–50 м. Сохранение высокой точности расчетов на грубых сетках обеспечивается 
консервативностью сеточной схемы МКО и выполнением процедур 
апскейлинга фильтрационных свойств пласта. Нормальные потоки 
через грани вычисляются с помощью многоточеченой аппроксимации по схеме колокаций с тензорными коэффициентами АП. Для 
вычисления подвижности двухфазной смеси и доли воды в потоке 
через грани СЭ используются модифицированные функции ОФП. 
Построение эффективных тензоров АП и функций МОФП выпол

няется для каждого СЭ с помощью специальных методов локального апскейлинга.
Для решения задачи ремасштабирования абсолютной проницаемости используется метод имитационного локального апскейлинга, 
основанный на решении вспомогательных трехмерных задач стационарной однофазной фильтрации на детальных расчетных сетках 
в области каждого суперэлемента. Компоненты матрицы эффективного тензора абсолютной проницаемости отыскиваются из решения 
задачи минимизации невязки осредненных и аппроксимированных 
потоков через грани.
Ремасштабирование ОФП заключается в отыскании псевдофункций ОФП для каждого суперэлемента в параметрическом виде 
и выполняется методом локального динамического апскейлинга. 
Вспомогательные задачи нестационарной двухфазной фильтрации 
в характерном для области элемента осреднения вертикальном 
сечении пласта решаются на детальной сетке методом конечных 
объемов.
Полимерное заводнение пласта описывается уравнениями двухфазной фильтрации с активной примесью с учетом сорбции полимера, которые решаются на подробных расчетных сетках с использованием МФТТ.
Для моделирования трассерных исследований МГРП используются уравнения двухфазной многокомпонентной фильтрации 
с учетом сорбции и десорбции индикаторного вещества.
Численное решение задач двухфазной фильтрации на этапе локального уточнения решения в трехмерной области участка пласта, 
в поперечном сечении трубки тока и в области дренирования скважины с ГРП строится по методу конечных объемов. Двумерная 
задача о стационарном распределении давления в пласте для построения линий тока и задача имитации закачки трассеров для вычисления долевых коэффициентов влияния трубок тока решаются 
методом конечных элементов.
Уравнение для давления во всех задачах решается по неявной 
схеме. В большинстве случаев полученные системы алгебраических 
уравнений решаются итерационным алгебраическим многосеточным методом [17]. Для обращения плохообусловленных несимметричных матриц (в задачах о гидроразрыве пласта) применяется 
прямой метод QR-факторизации [116].
Уравнение переноса насыщенности на суперэлементной сетке 
решается по явной схеме с противопотоковой аппроксимацией 
доли воды на гранях. На детальных расчетных сетках в задачах апскейлинга ОФП используется метод TVD в алгебраической форме 
[158]. В задаче о многозонном ГРП для решения уравнения применяется адаптивная явно-неявная схема.

Задачи о распределении дебита вдоль ствола скважин сводятся 
к задачам с нелокальными граничными условиями, решение которых отыскивается в виде линейной комбинации двух вспомогательных функций, удовлетворяющих локальным граничным 
условиям.
Минимизация функционалов невязок при решении задач апскейлинга и интерпретации трассерных исследований выполняется 
с помощью метода Левенберга — Марквардта.
Разработанные модели и методы позволяют исследовать основные гидродинамические параметры разномасштабных фильтрационных течений и выполнять прогнозирование и контроль широкого спектра технологических процессов нефтедобычи.
Разработанная методика апскейлинга АП не ограничивается 
применением в СЭМ и может быть использована в рамках иных 
моделей фильтрационных течений, использующих грубые конечнообъемные сетки произвольной структуры.
Показана возможность применения упрощенной МФТТ 
в теории моделирования пластовых систем для описания гидродинамических процессов, происходящих при различных ГТМ, в том 
числе сложных физико-химических методах ПНП, таких как полимерное заводнение пласта.
Суперэлементная модель предназначена для исследования 
и прогноза общих показателей разработки залежи, темпов выработки запасов, энергетического состояния залежи, распределения 
текущих запасов нефти, выявления проблемных и перспективных 
участков разработки.
Трехмерная фильтрационная модель второго этапа локального 
уточнения решает задачи локализации запасов нефти в масштабах 
геологической структуры пласта, оценки взаимодействия скважин, 
подбора скважин-кандидатов для проведения конкретных геологотехнических мероприятий.
Специальные модели высокого разрешения разработаны для 
прогноза работы малого числа скважин для оценки эффективности 
таких геолого-технических мероприятий как полимерное заводнение, относящееся к физико-химическим методам ПНП, бурение 
горизонтальных стволов скважин, обработка призабойной зоны, 
проведение одиночного и многостадийного гидроразрыва пласта 
на вертикальных и горизонтальных скважинах.
Способ суперэлементного моделирования принципиально ускоряет процесс имитации разработки нефтяных пластов, что делает 
возможным выполнение процедур глобальной адаптации гидродинамической модели и оптимизации системы заводнения крупных 
месторождений, а также совместной разработки многопластовых 
залежей нефти.