Математический анализ. Теория пределов и дифференциальное исчисление функции одной переменной

Министерство науки и высшего образования Российской Федерации Сибирский федеральный университет








И. А. Кузоватов, Н. В. Кузоватова, А. Н. Полковников

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ
ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ
И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

Учебное пособие







Красноярск СФУ 2020

УДК 517.518.152(07)
ББК 22.161.113я73
     К892



        Рецензенты:
           А. А. Кытманов, доктор физико-математических наук, директор института космических и информационных технологий СФУ;
           Л. В. Кнауб, кандидат физико-математических наук, доцент, зав. кафедрой МОДУС ИМиФИ СФУ











         Кузоватов, И. А.
К892       Математический анализ. Теория пределов и дифференциаль-
         ное исчисление функции одной переменной : учеб. пособие / И. А. Кузоватов, Н. В. Кузоватова, А. Н. Полковников. - Красноярск : Сиб. федер. ун-т, 2020. - 106 с.
            ISBN 978-5-7638-4296-8

            Представлены теоретические сведения, приемы и методы решения типовых задач по следующим разделам математического анализа: «Теория пределов» и «Дифференциальное исчисление функции одной действительной переменной».
            Предназначено для студентов направлений подготовки 13.03.01 «Теплоэнергетика и теплотехника», 13.03.02 «Электроэнергетика и электротехника», 38.03.02 «Менеджмент».


Электронный вариант издания см.:
http://catalog.sfu-kras.ru


УДК 517.518.152(07)
ББК 22.161.113я73

ISBN 978-5-7638-4296-8

© Сибирский федеральный университет, 2020

                ОГЛАВЛЕНИЕ





Введение................................................... 5
1. Введение в математический анализ ....................... 7
  §1.1 . Элементарные функции ............................. 7
  §1.2 . Понятие предела ................................. 15
  §1.3 . Основные теоремы о пределах ..................... 17
  §1.4 . Замечательные пределы ........................... 18
  §1.5 . Бесконечно малые и бесконечно большие функции ... 23
  §1.6 . Непрерывность функции ........................... 27
2. Производная функции одной действительной переменной .................................................... 33
  §2.1 . Определение производной и правила дифференцирования . 33
  §2.2 . Производная сложной и обратной функций .......... 36
  §2.3 . Логарифмическая производная ..................... 39
  §2.4 . Производная неявной функции ..................... 40
  §2.5 . Производная функции, заданной параметрически .... 42
  §2.6 . Производные высших порядков ..................... 43
  §2.7 . Геометрические и физические приложения производной ... 45
  §2.8 . Связь между дифференцируемостью и непрерывностью ... 48
  §2.9 . Дифференциал функции одной действительной переменной 49
  §2.10 .Вектор-функция. Дифференцирование вектор-функции ... 58
  §2.11 . Кривизна кривой................................. 61
3. Приложения производной ................................ 66
  §3.1 . Теоремы о дифференцируемых функциях ............. 66
  §3.2 . Правило Лопиталя - Бернулли ..................... 69
  §3.3 . Формула Тейлора ................................. 74
  §3.4 . Возрастание и убывание дифференцируемой функции . 81
  §3.5 . Максимум и минимум дифференцируемой функции ..... 84
  §3.6 . Исследование дифференцируемой функции на экстремум . 87

3

  §3.7 . Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке .. 91
  §3.8 . Выпуклость и вогнутость графика функции. Точки перегиба 92
  §3.9 . Асимптоты графика функции ................... 94
  §3.10 . Общий план исследования функций и построение графиков 96
Заключение............................................ 102
Библиографический список.............................. 103

4

                ВВЕДЕНИЕ





     Математический анализ занимает особое место среди других математических дисциплин. Методы математического анализа являются мощным инструментом для исследования теоретических и прикладных задач в механике, физике, технике, экономике, статистике и других областях.
     Создание Нвютоном и Лейбницем три с лишним столетия тому назад основ дифференциалвного и интегралвного исчисления представляется крупнейшим событием в истории науки вообще и математики в особенности. Дальнейшее развитие математического анализа происходило в трудах Л. Эйлера («Основах дифференциального исчисления», 1755) и Ж.Л. Лагранжа («Теория аналитических функций», 1797).
     Изучение и применение математического анализа невозможно без других фундаментальных математических дисциплин - алгебры и геометрии. Математический анализ совместно с алгеброй и геометрией образовали устойчивую систему, на которой построено «дерево знаний» современной математики.
     Пособие посвящено фундаментальным разделам математического анализа «Теория пределов» и «Дифференциальное исчисление функции одной действительной переменной».
     В первой главе излагаются предел числовой последовательности и предел функции одной переменной, свойства предела, замечательные пределы, непрерывность функции.
     Во второй главе приводятся основные понятия, определения и формулы дифференциального исчисления функции одной действительной переменной.
     В третьей главе, посвященной приложениям производной, излагаются дифференциальные теоремы о среднем функции одной переменной, правило Лопиталя - Бернулли раскрытия неопределенностей, формула

5

Тейлора и схема исследования поведения функции и построение графика функции одной переменной.
     Теория пределов и дифференциалвное исчисление функции одной действителвной переменной являются основнвхми, краеуголвнвхми разделами математического анализа. Без усвоения теории пределов, приемов и правил ввхчисления производной и дифференциала невозможно изучение интегралвного исчисления, дифференциалвнвхх уравнений и других смежнвхх математических, физических и технических дисциплин.
     Пособие может бвхтв исполвзовано студентами для самостоятелв-ного изучения соответствующего материала, является базой для подготовки к зачету и или экзамену по математическому анализу.
     Пособие предназначено для студентов технических и экономических специалвностей.

6

                1.  ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ




            §1.1 . Элементарные функции


     При изучении различных явлений природы и решении технических задач приходится рассматривать изменение одной величины в зависимости от изменения другой. Так, например, при изучении движения пройденный путь рассматривается как переменная, изменяющаяся в зависимости от изменения времени.
     Определение 1.1. Если каждому значению переменной ж, принадлежащему некоторой области, соответствует одно определенное значение другой переменной у, то у есть функция от х или в символической записи у = f (х). Переменная х называется независимой переменной или аргументом. Зависимость переменных x у у называется функциональной зависимостью.
     Определение 1.2. Совокупность значений х, для которых определяются значения функции у, называется областью определения функции (пли областью существования функции).
     O=feдeлeнue 1.3. Если функция у = f (х) такова, что большему значению аргумента х соответствует большее значение функции, то функция у = f (х) называется возрастающей.
     Аналогичным образом определяется убывающая функция.
     Основными элементарными функциями называются следующие аналитическим способом заданные функции:
  1) степенная функция у = х“, где а - действительное число;
  2) показательная функция у = ax, где a - положительное число, не равное единице;
  3) логарифмическая функция у = logₐ х, где основание логарифмов a -положительное число, не равное единице;

7

  4) тригонометрические функции


y = sin x, y = cos x, y = tg x, y = ctg x;

  5) обратные тригонометрические функции

y = arcsin x, y = arccos x, y = arctg x, y = arcctg x;

  6) гиперболические функции

                 y = ch x - гиперболический косинус, y = sh x - гиперболический синус, y = th x - гиперболический тангенс, y = cth x - гиперболический котангенс.

      Рассмотрим области определения основных элементарных функций.
      Степенная функция y = x'¹:
      1)      а - действительное положительное число. Функция определена в бесконечном интервале х <x< ■ х:
      2)      а - действительное отрицательное число. В этом случае функция определена при всех значениях x, кроме x = 0.
      Показательная функция y = ax, где а> 0, а = 1. Эта функция определена при всех значениях x.
      Логарифмическая функция y = logₐ x, где a> 0, а = 1. Данная функция определена только при значениях x> 0.
      При работе с тригонометрическими функциями следует обратить внимание, что независимая переменная x в формулах y = sin x, y = cos x, y = tg x, y = ctg x выражается в радианах. Функции y = sin x, y = cos x определены при всех значениях x; функция y = tg x определена всюду, кроме точек x = (2n+1)- 2, здесь n - любое целое число; функция y = ctg x определена при всех значениях x, кроме точек x = nn, n - любое целое

8

число.

     Определение 1.=. Функция y = f (x) называется периодической, если существует такое постоянное число T, от прибавления (или вычитания) которого к аргументу x значение функции не изменяется: f (x + T) = f (x), такое наименвшее положителвное число называется периодом функции.
     Все перечисленные тригонометрические функции - периодические. Функции y = sin x, y = cos x имеют период T = 2л. Функции y = tg x, y = ctg x имеют период T = n.
     Обратнвхе тригонометрические функции y = arcsin x, y = arccos x определенвх при значениях — 1 < x < 1; функции y = arctg x, y = arcctg x определенвх при любом значении x.
     Гиперболические функции определяются по формулам:
h ex + e—x     h ex — e—x          sh x         ch x
2   ’          2   ’       ch x ’       sh x

Аналогично основному тригонометрическому тождеству справедливо основное гиперболическое тождество

ch² x — sh² x = 1.

Для гиперболических функций наряду с тригонометрическими спра-ведливвх формулах двойного аргумента, понижения степени и другие формулы, аналогичные тригонометрическим. Функции y = ch x, y = sh x, y = th x определены при всех значениях аргумента x; функция y = cth x определена при всех значениях x, кроме точки x = 0.
     Определение 1.5. Если переменная y является функцией от промежуточной переменной u, а промежуточная переменная u, в свою очередь, зависит от независимой переменной x, то переменная y также зависит от независимой переменной x. Пусть даны функции y = F (u) и u = ^ (x). Объединив, получаем функцию переменной y от независимой переменной x: y = F (^ (x)). Данная функция называется функцией от

9

функции или сложной функцией.
     Областью определения сложной функции y = F (р (х)) является или вся область определения функции и = р (х) или та ее часть, в которой определяются значения промежуточной переменной и, не выходящие из области определения функции F (и).
     Пример 1.1. Областью определения функции у = д/1 — х¹ ² является отрезок [—1; 1], так как промежуточная переменная и =1 — х² отрицательна при значениях |х| > 1, следователь но, функция у = Ци не определена при этих значениях х.
     Определение 1.6. Элементарной функцией называется функция, которая может быть задана одной формулой вида у = f (х), где справа стоящее выражение составлено из основных элементарных функций и постоянных при помощи конечного числа операций сложения, вычитания, умножения, деления и взятия функции от функции.


Графики основных элементарных функций

1. Степенная: y = ха

(а = 0)

2. Показательная:
y = ax, (a > 0, a = 1)

10

3. Синус: y = sin x

5. Тангенс: y = tg x

6. Котангенс: y = ctg x

11