Дифференциальные уравнения : в 2 частях. Часть. 1

Министерство науки и высшего образования Российской Федерации Сибирский федеральный университет



А. А. Родионов
А. А. Краснов Д. А. Краснова


ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ
УРАВНЕНИЯ

Учебное пособие
В двух частях
Часть 1








Красноярск СФУ 2020

УДК 517.91(07)
ББК 22.161.6я73
       Р605




           Р е ц е н з е н т ы:
           В. М. Белолипецкий, доктор физико-математических наук, профессор, главный научный сотрудник отдела вычислительной математики ИВМ СО РАН;
           О. В. Капцов, доктор физико-математических наук, профессор, ведущий научный сотрудник отдела вычислительных моделей в гидрофизике ИВМ СО РАН











      Родионов, А. А.
Р605      Дифференциальные уравнения : учеб. пособие : в 2 ч. Ч. 1 /
      А. А. Родионов, А. А. Краснов, Д. А. Краснова. - Красноярск : Сиб. федер. ун-т, 2020. - 104 с.


           ISBN 978-5-7638-4247-0 (ч. 1)
           ISBN 978-5-7638-4360-6




      Содержит теоретический материал, примеры решения типовых задач, контрольные вопросы и задания, упражнения для самостоятельного выполнения.
      Предназначено для студентов второго и старших курсов, аспирантов, преподавателей и научных работников в области дифференциальных уравнений.



Электронный вариант издания см.:
     http://catalog.sfu-kras.ru



ISBN 978-5-7638-4247-0 (ч. 1)
ISBN 978-5-7638-4360-6

УДК 517.91(07)
ББК 22.161.6я73

© Сибирский федеральный университет, 2020

                Оглавление





Предисловие.......................................... 4
1. Основные понятия. Примеры......................... 5
2. Построение ОДУ. Метод изоклин.................... 10
  2.1.  Графический метод решения ОДУ (метод изоклин). 15
3. ОДУ простейшего вида............................. 19
4. Теорема существования и единственности решения..... 33
5. Метод последовательных приближений............... 44
6. Принцип сжатых отображений....................... 53
7. Уравнения, не разрешенные относительно производной. 59
   7.1. Простейшие типы ОДУ, не разрешенные относительно производных ........................................ 62
8. Особые решения....................................68
9. Уравнения n-го порядка, решаемые в квадратурах или понижением порядка..................................75
10. Зависимость решения ОДУ первого порядка от начальных данных и от правой    части уравнения.......... 81
11. Линейные дифференциальные уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентами........................90
   11.1. Метод вариации постоянных для неоднородного уравнения (11.1)........................................... 99
Библиографический список............................103

3

                Предисловие




     Дифференциальные уравнения применяются в различных областях физики, в экономике и в естественных науках. Для множества практических задач нельзя найти достаточно точное решение без применения методов теории дифференциальных уравнений. При этом недостаточно только сформулировать дифференциальное уравнение, для выбора правильного и оптимального решения необходимо верно определить тип уравнения.
     Основная цель данного учебного пособия — дать представление о предмете и методах дисциплины «Дифференциальные уравнения». Рассмотрены типы наиболее часто встречающихся дифференциальных уравнений, указаны методы их интегрирования, а также задачи прикладного применения некоторых уравнений. Главное внимание уделено решению дифференциальных уравнений с приведением конкретных примеров.
     Пособие состоит из одиннадцати глав, с содержанием которых читатель может ознакомиться по оглавлению.
     После каждой главы приведены вопросы и задания для самостоятельной работы.

4

                1. Основные понятия. Примеры




Цель главы. Изложить теоретические основы обыкновенных дифференциальных уравнений: привести основные определения, продемонстрировать примеры уравнений в явной и параметрической формах, привести их физическую или геометрическую интерпретацию.
Определение. Обыкновенным дифференциальным уравнением (ОДУ) называется уравнение вида

F (x,y,y',...,y⁽ⁿ⁾) = 0,

где F — известная функция, x — независимая уеременная, y(x) — неизвестная функция. Число n определяет наивысший порядок производной функции y(x) и называется порядком дифференциального уравнения.
     ОДУ первого порядка называется уравнение вида


F (x,y,y⁰) = 0.


(1.1)

Определение. ОДУ называется разрешенным относительно производной, если оно имеет вид

dx =f ⁽x,y). x

(1-2)

     Предполагаем, что функция f (x,y) в (1.2) определена и непрерывна по (x,y) G D, D называется областвю определения уравнения (1.2). Если в окрестности точек (x,y) f (x,y) обращается в бесконечности, то рассматривается уравнение вида

dx 1
dy    f ⁽x, y).


(1.2')

     Наряду с уравнениями (1.2) и (1.2х) рассматриваются уравнения


dy — f (x, y)dx = 0


(1.3)

5

или уравнения более общего вида


M(x, y)dx — N(x, y)dy = 0.


(1-4)

Непрервхвнвхе функции M(x, y), N(x,y) назвхваются коэффициентами уравнения (1.4).
Определение. Решением уравнения (1.2) на интервале I (например, (a, b)) называется функция у = p>(x)₇ определенная и непрерывно дифференцируемая на I, не выходящая из области D задания фун,кции f (x,y) и, при подстановке в (1.2), обращающая уравнение в тождество для всех x Е I, то есть

ddx) = f (x,ᵥ⁽x)⁾,

x Е I.

Говорят.' y = p>(x) удовлетворяет уравнению (1.2).

Пример 1. а)    Функция y = e²x + Cex является решением уравнения
     y⁰ = y + e²x на интервале (—то; +то).

б)

y = tg(x + C) — решение уравнения y⁰ = y² + 1 при x Е (—П; П ' х                    -         -          * у 22


1

y=₁

	

----решение уравнения y⁰ = y² при x Е (-то; 1). x

    . x + y y = (x + 1)[C + In |x + 11] + 1 — решение уравнения y =-на
     И₁₁те₁_ I! = (—то; —1); I2 = (—1; +то); „ж x = —1 хоДеУо

     не выполнено.


Определение. Процесс отыскания решения ОДУ называется инте-ypupoeaHueM, у yeuiewue y = ^(x) — интегральной линией.
     Часто при интегрировании ОДУ получают решение в неявной форме.
Определение. Решением ОДУ в неявном виде называется соотношение Ф^,у) = 0₇ если оно определяет y как неявную функцию от x, которая является решением уравнения (1.2). В этом случае равенство

д Ф д Ф dy dx dy dx

дФ дФ
dx ⁺ dyf ⁽x,y⁾ = ⁰

(1.5)

=0

6

с учетом (1.2) должно выполнятся

тождественно в сшфФ(х,у) = 0.

Пример 2. Для ОДУ — dx является соотношение

²x² ⁺ У² - 2х - ³
---5---z--------решением в неявном виде
2х² + у² + у — 3


2х² + у² — 3 = 0.                        (*)

Действителвно, дифференцируя (*): 4х + 2у^У = 0, подставляя    из
dx                 dx


. .     ²   + ²х2 + У² - ²х - ³
уравнения 4х + 2у z-----z--------
2х² + у² + у — 3

= 0, получаем тождество в силу (*).


     Из основного курса математического анализа известна теорема существования неявной функции.

Теорема 1. Фехи фухкуия Ф(х,у) непрерывна вместе с частными производными перв0гу порхдку в некоторой окрестности точкиМ(хо,уо) и

                                 дФ/    ч /
Ф(хо,уо) = ⁰,  ду ⁽хо,уо⁾=⁰,

то существует такая окрестность точки хо, в которой уравнение Ф(х,у) = 0 опредуляет у как однозначную функцию от х, у = у(х), обладающую свойствами:

 1 у у(х) непрерывна вместе со своей производной;


 у) у(хо) = уо-
     Для последнего примера Ф(х, у) = 2х² + у² — 3. В окрестности точки хо = 1, уо = у(1) = 1 имеем Ф(1,1) = 0, Ф'у(1,1) = 2 = 0. Условия теоремвх выполнены. Искомвш решением будет у = д/3 — 2х².
Определение. Пусть пхи интегрировании (1.2') получили (х,у) как непрерывные функции параметра t


х = x(t), у = у(£), ф <t<ti.


(1.6)

Функция (1.6), заданная параметрически, называется решением уравнения (1.2) в параметрической форме, если при подстановке в (1.2) получаем тождество


у' = fИ^уО,           x0⁽t⁾ = ⁰ ⁽Ф <t<ti⁾.
           х (t)


7

Пример 3.

а) Для ОДУ у' =

⁻b + л/b² ⁺ ⁴аУ
---------------решение в параметрита

     ческой форме будет: x = 2at + b ln t, у = at² + bt (t > 0, a > 0,

       b> 0).


6)

x = a cos t, у = b sin t определяют решение в параметрической фор-

                  dy
     ме уравнения — = dx


b2 ₓ
——на ин тервале [0, 2 л].

     При интегрировании ОДУ возникает бесчисленное множество решений за счет появления константвх интегрирования. Если ОДУ описвх-вает физический процесс, то часто к ОДУ присоединяют дополнителв-нвхе условия, что делает задачу "физически определенной".


Определение. Задачей Коши для уравнения (1.2) называется задача уахождения уешених у = y(x), которое прx заданном х₀ (начальное уначение) уринимает уаданное уначение у₀ = y(x₀) (начальное условие), то есть
dr = f (м),    у⁽хо) = уо.             (1-7)
                   dx
Пример 4. а) Радиоактивнвхй распад описвхвается уравнением dm/dt = -am, где m(t) — масса неустойчивого вещества, t — время, a > 0 — коэффициент распада (сечение). Решением уравнения будет m(t) = Ce⁻at с произволвной постоянной C. Если в началвнвхй момент t = 0 масса вещества бвхла m(0) = mo, то решением задачи Коши dm/dt = -am, m(0) = m₀ будет функция m(t) = mₒe⁻at.

  б) Для уравнения dy/dx = ex, x G (-то, +то) решениу будет у = ex + C; если у = A при x = 0, то A = 1 + C, ^ C = A — 1, ^ у = ex + A - 1.


  в) Для уравнения dy/dx = cos x, x G (то, +то) полу чаем у = sin x + п                                 П
     C; если у = 2 при x = —, то 2 = sin — + C, ^ C = 1, ^ у = sin x + 1.


Контрольные вопросы и задания


  1. Датв определение обвхкновенного дифференциалвного уравнения n-го порядка.


8

  2. Дать определение решения ОДУ y' = f (x,y) в неявной форме.
   3. Дать определение решения ОДУ y' = f (x, у) в параметрическом виде.
  4. Сформулировать теорему о неявной функции.
  5. Дать определение задачи Коши для ОДУ 1-го порядка.

9

                2. Построение ОДУ. Метод изоклин





Цель главы. Привести примеры построения дифференциальных уравнений для решения экономических, физических, геометрических задач. Дать геометрическую интерпретацию обыкновенных дифференциальных уравнений. Описать и продемонстрировать графический метод решения дифференциальных уравнений, известный так же как метод изоклин.


     При построении ОДУ в задачах естествознания различают два класса задач:


   1) исполвзующие понятие производной как скорости изменения какого-либо процесса (в физике, химии, экономике,...);

   2) задачи с геометрической интерпретацией производной (в математике, технике,...).


Пример 5. Материальная точка массы m движется прямолинейно под действием силы F₁ (F₁ пропорциона льна времени t). Сила сопротивления среды F2 пропорциональна скорости движениям. Найти зависимость скорости точки от времени v = v(t), где v(t₀) = v₀.


Fernenue. Из условия следует, что F1 = k₁t, F2 = k₂1, где k₁,k₂ > 0 — заданные постоянные. Из закона Ньютона имеем F = ma, где F = F₁ — F₂, a = dv/dt. Получаем задачу Коши на функцию v(t):


                         dv , m— = k₁t —
                         dt ¹



k₂t,

v(to) = vo.

Пример 6. Скорость роста капитала в банке пропорциональна вкладу, вклад увеличивается на п% ежемесячно. Через сколько месяцев вклад увеличится в N раз.

Решение. Из уравнения dM/dt = kM роста капитала, где k — коэффициент роста, M — масса имеющихся денег, следует решение M = Cekt, C = const. Пусть в момент t₁ в банке было M₁ = Cekt¹ денег, тогда через


10

месяц, в момент t₂ = t₁ + 1 в банкe будет M2 = Cekt = M₁ + j^jMi = M₁ (1 + 100) 'П,енег' Поэтому Cek⁽t¹⁺¹⁾ = M₁ (1 + ^nj) , ^ Cekt¹ ek = Cekt¹ (1 + ioo) , ^ k = ln (1 + i°q) • Нашли коэффициент роста. Пуств


при t = 0 M(0) = Mq, тогда C = M₀ и M(t) = M₀ekt = M₀ (1 +


Найдем tN, когда M(tN) = NM₀: NM₀ = M₀ektN = M₀ (1 +

 n V 100/ П \tN

100

                      n n
Откуда получаем N = y1 +



In N
ln (1 + Пк \       100

Пример 7. Написатв уравнение кривых, у которых отрезок касательной, заключенной между осями координат, еств величина постоянная и равная а.


Решение. Пуств l — искомая кривая в плоскости (x,y), M(x,y) Е l — произволвная точка, AB — касателвная к l в точке M (рис. 1).

      Из условия задачи AB = а (геометрическое уравнение). Из геометрического смысла производной tg а = -dy/dx.


   AB = AM + MB = MN + MK = x + : У cos a sin а /1                                            / tg2 а
                                          v ⁽¹ ⁺ tg a⁾      у (1 + tg² а)

= //1 + tg² а ( х + -y- ) , \ tgа)


где MN, MK — перпендикулярах к осям y, х. Возводя в квадрат обе


11