Книжная полка Сохранить
Размер шрифта:
А
А
А
|  Шрифт:
Arial
Times
|  Интервал:
Стандартный
Средний
Большой
|  Цвет сайта:
Ц
Ц
Ц
Ц
Ц

Математика. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных

Покупка
Основная коллекция
Артикул: 764374.01.99
Приведены теоретические сведения, приемы и методы решения типовых задач раздела математического анализа «Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных». Предназначено для студентов направлений подготовки 13.03.01 «Теплоэнергетика и теплотехника». 13.03.02 «Электроэнергетика и электротехника», 38.05.01 «Экономическая безопасность».
Кузоватов, И. А. Математика. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных : учебное пособие / И. А. Кузоватов, Н. В. Кузоватова, А. Н. Полковников. - Красноярск : Сиб. федер. ун-т, 2020. - 78 с. - ISBN 978-5-7638-4427-6. - Текст : электронный. - URL: https://znanium.com/catalog/product/1816549 (дата обращения: 28.03.2024). – Режим доступа: по подписке.
Фрагмент текстового слоя документа размещен для индексирующих роботов. Для полноценной работы с документом, пожалуйста, перейдите в ридер.
Министерство науки и высшего образования Российской Федерации Сибирский федеральный университет










И. А. Кузоватов, Н. В. Кузоватова, А. Н. Полковников



МАТЕМАТИКА

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ



Учебное пособие











Красноярск СФУ 2020
УДК 517.2(07)
ББК 22.161.114я73

    К892



        Рецензенты:
           А. А. Кытманов, доктор физико-математических наук, директор Института космических и информационных технологий СФУ;
           Л. В. Кнауб, кандидат физико-математических наук, доцент, зав. кафедрой МОДУС Института математики и фундаментальной информатики СФУ











        Кузоватов, И. А.

К892

    Математика. Дифференциальное исчисление функций несколь-

  ких переменных : учеб. пособие / И. А. Кузоватов, Н. В. Кузова-това, А. Н. Полковников. - Красноярск : Сиб. федер. ун-т, 2020. -

         78 с.
            ISBN 978-5-7638-4427-6


             Приведены теоретические сведения, приемы и методы решения типовых задач раздела математического анализа «Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных».
             Предназначено для студентов направлений подготовки 13.03.01 «Теплоэнергетика и теплотехника», 13.03.02 «Электроэнергетика и электротехника», 38.05.01 «Экономическая безопасность».


Электронный вариант издания см.:
http://catalog.sfu-kras.ru



УДК 517.2(07)
ББК 22.161.114я73

ISBN 978-5-7638-4427-6

© Сибирский федеральный университет, 2020
                ОГЛАВЛЕНИЕ





Введение................................................. 4
1. Непрерывность и частные производные функций нескольких переменных .................................. 6
  §1.1 . Основные понятия функций нескольких переменных . 6
  §1.2 . Предел функций нескольких переменных .......... 13
  §1.3 . Непрерывность функций нескольких переменных ... 18
  §1.4 . Частные производные............................ 22
  §1.5 . Дифференциал функции нескольких переменных .... 26
  §1.6 . Применение дифференциала в приближенных вычислениях 30
  §1.7 . Дифференцирование сложной функции нескольких переменных ................................................. 32
  §1.8 . Полный дифференциал сложной функции ........... 37
  §1.9 . Дифференцирование неявной функции ............. 39
  §1.10 . Частные производные высших порядков .......... 42
  §1.11 . Дифференциалы высших порядков ................ 45
2. Приложения частных производных ...................... 50
  §2.1 . Производная по направлению. Градиент .......... 50
  §2.2 . Касательная плоскость ......................... 54
  §2.3 . Формула Тейлора ............................... 58
  §2.4 . Экстремум функций нескольких переменных ....... 59
  §2.5 . Необходимые и достаточные условия существования экстре-

     мумов .......................................... 61
  §2.6 . Условный экстремум функций нескольких переменных .... 65
  §2.7 . Наибольшее и наименьшее значения функции в замкнутой области ........................................... 67
Библиографический список............................. 75

3
                ВВЕДЕНИЕ





     Данное учебное пособие включает теоретический материал и примеры решения задач раздела математического анализа - «Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных».
     Функции одной действительной переменной не могут охватить все зависимости, существующие в природе. Поэтому естественно расширить понятие функциональной зависимости для нескольких независимых переменных. Обобщение функциональной зависимости для нескольких переменных, как правило, начинают рассматривать со случая двух пространственных переменных с использованием наглядной графической интерпретации.
     Учебное пособие состоит из двух глав. Каждый параграф начинается с основных определений, затем приводятся теоретические результаты, приемы и методы решения типовых задач по данной теме. В конце каждой главы приводятся контрольные задания, содержащие основные, ключевые понятия, свойства и формулы данной главы.
     Материал пособия непосредственно опирается на знания и умения, полученные при изучении дифференциального исчисления функций одной переменной. На протяжении изучения всего курса широко используются понятия, термины и формулы линейной алгебры и аналитической геометрии.
     В первой главе приводятся основные понятия, определения и формулы дифференциального исчисления функций нескольких переменных, такие как предел, непрерывность, частные производные и дифференциал функций нескольких переменных; формулы дифференцирования сложной и неявной функций нескольких переменных.
     Во второй главе, посвященной приложениям дифференциального исчисления функций нескольких переменных, даются материалы как геометрического характера (производная по направлению, касательная плоскость и нормальная прямая к поверхности), так и широко применя

4
емая в вычислительной математике и математическом моделировании формула Тейлора. Завершает вторую главу схема исследования функции нескольких переменных на экстремум.
     Учебное пособие предназначено для студентов инженернотехнических и экономических специальностей.

5
                1. НЕПРЕРЫВНОСТЬ
                И ЧАСТНЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ ФУНКЦИЙ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ




            §1.1 . Основные понятия функций нескольких переменных


    Понятие функции одной переменной не охватывает все зависимости, существующие в природе. Даже в самвхх простых задачах встречаются величины, значения которвхх определяются совокупноствю значений несколвких величин.
    Площадв S прямоуголвника, длинвх сторон которого равнвх а и b, ввхражается формулой S = ab. Числовое значение S определяется произведением величин а и b. Объем V прямоуголвного параллелепипеда с ребрами, длинвх которвхх равнвх a, b и с, ввхражается формулой V = abc, соответственно значение V определяется совокупноствю значений a, b и с. Такие же рассуждения справедливвх и для других математических и физических величин, ввхчисляемвхх при помощи формул.
    Вторвхм примером, приводящим нас к понятию функции несколвких переменнвхх, является существование физических параметров, присущих физическому объекту любой размерности. Примерами таких параметров могут служитв: температура T, давление P, плотность р и так далее. В таком случае говорят, что речв идет о функции точки M, принадлежащей некоторому физическому телу, T = f (M), P = f (M) и так далее.
    Математической реализацией подобнвхх зависимостей является понятие функции несколвких переменнвхх.
    Прежде чем перейти к рассмотрению определений и иллюстрирующих примеров для основнвхх понятий функций несколвких переменнвхх,

6
напомним специальные математические символы, которые будем использовать для сокращения записей:
     V - означает “для любого”, “для всякого” (квантор всеобщности);
     3 - означает “существует”, “найдется” (квантор существования);
     : - означает “имеет место”, “такое что”, “выполняется”;
     Е  - символ принадлежности элемента множеству;
     С - означает, что подмножество содержится во множестве.
     Например, краткая запись при помощи кванторов - Vx Е A: B, означает: “для всякого элемента х, принадлежащего множеству A выполняется утверждение B”.
     Напомним также обозначения основных числовых множеств:
     N - множество натуральных чисел, N = {1, 2,3,... };
     Z - множество целых чисел, Z = {0, ±1, ±2, ±3,... };
     R - множество действительных чисел;
     R² -множество упорядоченных пар действительных чисел;
     R² = {(х,у) | хЕR, уЕR}.
     Аналогично вводятся R³ - пространство упорядоченных троек действительных чисел и Rⁿ - пространство произ вольной размерности п.
     Определение функции нескольких переменных рассмотрим с наиболее наглядного случая двух независимых переменных.
     Определение D1. Пусть задано некоторое множество D Е R² точек P(х, у). Соответствие f, которое каждой паре (х, у) Е D сопоставляет одно и только одно число z Е R, называется функцией двух переменных х уу, определенной на множестве D С R² со значениями на множестве действительных чисел. Записывается данное соответствие в виде

z = f ⁽х,У),

при этом х и у называются независимыми переменными (аргументами), z - функцией (зависимой переменной). Также для записи

7
функции двух переменных можно использовать обозначения: z = f (P), z = f ⁽P ⁽x,y⁾⁾
     Функция z = f (x,y) может быть задана аналитически (формулой) или каким-либо иным способом: например, в виде таблицы, какой-либо словесной формулировки, графически и т. д.
     Определение 1.2. Множество пар (x,y), для которых существует значение функции z = f(x,y), называется областью определения данной функции, обозначается данное множество D(f) и ли D(z).
     Пример 1.1. Найти область определения функции

z = ln(1 — x² — y²).

     Решение. Логарифмическая функция существует только при положительных значениях аргумента, поэтому функция z = ln(1 — x² — y²) определена, если 1 — x² — y² > 0 ил и x² + y² < 1. Последнее неравенство задает область определения данной функции:

D(z) = {(x,y) GR² | x² + y² < 1}.

На плоскости Oxy ему соответствует внутценность круга радиуса 1 с центром в начале координат (рис. 1.1).
     П р и м е р 1.2. Найти область определения функции z = д/x² — 4 + y/y² — 1.
     Решение. Функция имеет смысл, когда подкоренные выражения неотрицательны, следовательно, область определения задается двумя неравенствами: x²—4 > 0 и y² — 1 > 0. На плоскости Oxy им соответствует множество D(z) = {(x,y) G R² | |x|> 2, |y|> 1} (рис. 1.2).
     Пример 1.3. Для функции z = x² + y областью определения, очевидно, будет вся плоскость Oxy., так как нет никаких ограничений.
     Определение 1.1 функции двух переменных без затруднений рас-

8
прострапяется па произвольное число независимых переменных.
      Определение 1. 3. Пусть задано некоторое множество Q G Rⁿ точек P(x₁,x₂,..., xₙ). Соответствие f, которое каждому упорядоченному набору координат (xi, x₂,••• , xₙ) G Q сопоставляет одно и только одно число u G R, называется функцией n переменных x₁₅ x₂, ..., xn, определенной на множестве Q С Rn со значениями на множестве действительных чисел. Записывается данное соответствие в виде

u f ⁽x1, x2, • • • , xn),

при этом x₁₅ x₂, ..., xₙ, называются независимыми переменными (аргументами), u - функцией (зависимой переменной). Также для записи функции n переменных можно использовать обозначения: u = f (P), u = f (P(xi,x2, • • • ,xn)).
      Важнейшими частными случаями являются случаи функций трех пространственных переменных (x, y, z) и трех пространственных переменных с добавлением временной переменной (x,y, z,t):

u = f ⁽x,y,z),

u = f ⁽x,y,z,t⁾,


9
Далее запишем обобщенное на случай n переменных x1, x₂, ..., xₙ определение области определения функции.
     Определение l.^, Множество точек (x1, x₂,... , xₙ) пространства Rⁿ, для которвхх существует значение функции u = f (x1, x₂,..., xₙ), называется областью определения данной функции, обозначается данное множество D(f) и ли D(u).
     Пример 1.4. Найти области определения функции
u(x,y, z,t) = p1 — x² + p1 — у² + p1 — z² + p1 — t².

     Решение. Данная функция четырех переменных, ввиду свойства арифметического корня, определена для значений x, y, z, t, которые удовлетворяют неравенствам:

— 1 < x < 1, —1 < у < 1, —1 < z < 1, —1 < t < 1

Таким образом, областью определения данной функции является четырехмерный параллелепипед - “прямоугольная область” четырехмерного пространства (по аналогии с прямоугольной областью на плоскости: — 1 < x < 1, —1 < у < 1, и параллелепипедом трехмерного пространства: — 1 < x < 1, —1 < у < 1, —1 < z < 1).
     Функции двух переменных являются наиболее востребованным представителем семейства функций нескольких переменных при получении теоретических результатов и выводе конкретных практических формул. Рассмотрение любого вопроса теории и практики многомерного математического анализа начинается с разбора данного вопроса в двумерном случае. Достигнутый результат далее переносится на случай произвольной размерности.
     Главной причиной данной ситуации является наглядность и графическое представление функции двух переменных. Рассмотрим процесс

10
построения графика функции z = f (x,y) в пространстве трех переменнвхх.
     Функция y = f (x) одной переменной допускает наглядное изображение в виде некоторой линии - графика функции на плоскости Oxy. Аналогично, функцию двух переменнвхх z = f (x, у) можно наглядно представитв с помощвю некоторой поверхности.
     Рассмотрим пространственную прямоуголвную систему координат Oxyz и функцию z = f (x,y) = f (P), определенную на некотором множестве D точек плоскости Oxy. Каждой точке P(x, у) из миожества D соответствует некоторое число z = f (P). Проведем в точке P перпендикуляр к плоскости Oxy и на нем отложим отрезок PM, длина которого равна |f(P)| , при этом точку M возвмем над плоскоствю Oxy., если f (P) > 0, и под плоскоствю Oxy, если f (P) < 0.
     Таким образом, точка M имеет координатвх (x,y, z), где x и y -координатах точки P, a z - значение функции в этой точке, т.е. z = f (P). Такое построение проделаем для каждой точки P из области определения функции z = f (x,y). Множество точек пространства, координаты которых связаны соотношением z = f (x,y), образуют некоторую поверхность, которая называется графиком данной функции и является ее геометрическим изображением.
     Пример 1.5. Графиком функции z = 1 — x — y является плоскость, проходящая через точки (1; 0; 0), (0; 1; 0) и (0; 0; 1), см. рис. 1.3.
     Пример 1.6. Графиком функции z = у/1 — x² — y² является полусфера (рис. 1.4).
     Простоту и наглядность при работе с функцией двух переменных в графическом режиме можно продемонстрировать при знакомстве со следующим геометрическим объектом.
     Определение 1.5. Линией уровня функции z = f (x,y) называется множество точек плоскости Oxy, в которых функция принимает

11