Приборно-технологическое моделирование устройств микро- и наноэлектроники. Математические модели и программные средства

Рассмотрены математические модели, которые описывают приборные полупроводниковые 
структуры, технологические процессы их создания и программные средства, обеспечивающие 
приборно-технологическое моделирование.

А. А. Левицкий, П. С. Маринушкин, С. И. Трегубов
ПРИБОРНО-ТЕХНОЛОГИЧЕСКОЕ 
МОДЕЛИРОВАНИЕ  УСТРОЙСТВ 
МИКРО-  И  НАНОЭЛЕКТРОНИКИ

Математические модели и программные средства

Учебное пособие

ИНСТИТУТ ИНЖЕНЕРНОЙ ФИЗИКИ  
И РАДИОЭЛЕКТРОНИКИ

Введение 
 

1 

Министерство науки и высшего образования Российской Федерации 
Сибирский федеральный университет 
 
 
 
 
 
А. А. Левицкий, П. С. Маринушкин, С. И. Трегубов 
 
 
ПРИБОРНО-ТЕХНОЛОГИЧЕСКОЕ  
МОДЕЛИРОВАНИЕ  УСТРОЙСТВ  
МИКРО-  И  НАНОЭЛЕКТРОНИКИ 
 
Математические модели и программные средства 
 
 
Учебное пособие 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Красноярск 
СФУ 
2020 

Введение 
 

2 

УДК 621.38.001.573(07) 
ББК 32.844.1-2я73 
       Л371 
 
 
 
 
 
Р е ц е н з е н т ы:  
Ф. А. Барон, Ph. D., заместитель главного технолога, АО «Научнопроизводственное предприятие “Радиосвязь”»; 
В. С. Засемков, кандидат технических наук, доцент кафедры радиоэлектронной техники информационных систем ФГАОУ ВО «Сибирский 
федеральный университет» 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Левицкий, А. А. 
Л371  
Приборно-технологическое моделирование устройств микро- 
и наноэлектроники. Математические модели и программные средства : 
учеб. пособие / А. А. Левицкий, П. С. Маринушкин, С. И. Трегубов. –  
Красноярск : Сиб. федер. ун-т, 2020. – 68 с. 
ISBN 978-5-7638-4263-0 
 
Рассмотрены математические модели, которые описывают приборные 
полупроводниковые структуры, технологические процессы их создания и программные средства, обеспечивающие приборно-технологическое моделирование. 
Предназначено для магистрантов направления подготовки 110404 «Электроника и наноэлектроника». Может быть рекомендовано студентам всех специальностей и направлений укрупненной группы 110000 «Электроника, радиотехника и системы связи». 
 
Электронный вариант издания см.: 
http://catalog.sfu-kras.ru 
УДК 621.38.001.573(07) 
ББК 32.844.1-2я73 
 
ISBN 978-5-7638-4263-0                                                           © Сибирский федеральный  
                                                                                                         университет, 2020 

Введение 
 

3 

 
ВВЕДЕНИЕ 
 
Приборно-технологическое моделирование применительно к устройствам микро- и наноэлектроники обеспечивает решение задач, связанных с исследованием и проектированием полупроводниковых 
структур, а также разработкой технологических процессов их изготовления [1–16]. Стимулом к развитию методов и средств приборнотехнологического моделирования служит возможность существенного 
снижения затрат и сокращения времени при создании новых и усовершенствовании ранее разработанных устройств.  
К основным задачам при подготовке специалистов в области 
микро- и наноэлектроники относятся формирование у них представлений о математических моделях полупроводниковых структур 
и технологических процессах их получения, а также знаний, необходимых для применения соответствующих специальных программных 
средств. Рассмотрению этих вопросов и посвящено данное пособие. 
Теория и практика моделирования полупроводниковых приборов и технологий прошла к настоящему времени путь от первых аналитических и численных моделей транзисторов и моделей технологических процессов [17–21] до формирования самостоятельной ветви 
программных средств компьютерного проектирования – TCAD (Technology Computer Aided Design). 
На начальном этапе инструменты моделирования, на основе которых в дальнейшем формировались системы TCAD, создавались 
и развивались независимо друг от друга. Трудности, связанные с разработкой моделей полупроводниковых приборов, были обусловлены 
сложностью описания физических явлений, определяющих перенос 
электрического заряда в полупроводниковой среде. Первые варианты 
аналитических моделей полупроводниковых приборов базировались 
на диффузионно-дрейфовом приближении. Позднее были разработаны теория и алгоритмы, обеспечивающие анализ процессов в субмикронных структурах на основе гидродинамического описания. 
Сформировавшаяся к настоящему времени методология TCAD 
основывается на объединенном процессе приборного и технологического проектирования. При этом системы TCAD обеспечивают воз

Введение 
 

4 

можность анализа физических процессов в полупроводниковых приборах, для которых модель структуры формируется в результате виртуального воспроизведения технологического процесса.  
Инструменты TCAD обеспечивают получение информации, которую трудно или вообще невозможно получить с помощью экспериментальных исследований. Важными с практической точки зрения 
функциями систем TCAD являются такие: обеспечение калибровки 
технологического процесса для реального производства; экстракция 
компактных моделей приборных структур; смешанное моделирование 
на основе совместного использования трехмерных физических моделей полупроводниковых приборов и компактных моделей; оценка радиационной стойкости, а также ряд других важных возможностей.  
Настоящее учебное пособие предназначено для студентов, изучающих основы моделирования приборных структур и технологии 
микро- и наноэлектроники. Пособие может быть полезным при подготовке бакалавров, магистрантов и инженеров различных направлений и специальностей в области электроники, радиотехники и систем 
связи.

1.1. Модели динамики электронов в полупроводниках 
 

5 

 
Г л а в а  1 

 
ОСНОВНЫЕ  УРАВНЕНИЯ  МОДЕЛИ 
ПОЛУПРОВОДНИКОВЫХ  ПРИБОРОВ 
 
 
1.1. Модели динамики электронов  
в полупроводниках 
 
При моделировании полупроводниковых приборов могут использоваться различные подходы: статистическое описание на основе 
микроскопического описания процесса переноса отдельных носителей заряда (метод Монте-Карло, метод частиц) или макроскопические 
модели, использующие системы дифференциальных уравнений в частных производных [21; 22]. 
Возможность применения той или иной модели определяется 
необходимостью учета неравновесности носителей, характерных особенностей структуры (например наличие гетероперехода), квантовых 
эффектов и других факторов. 
Кинетическое уравнение. Один из подходов к исследованию 
транспортных свойств неравновесных систем – это использование 
кинетического уравнения Больцмана, адекватно описывающего кинетические явления в разреженном электронном газе в состояниях, 
близких к термодинамическому равновесию [22–25]: 



 
1
f
f
f
J f
t
h
 





r
p
v
F


,                            (1.1) 

где 

,
f r k


 – функция распределения частиц; r  и p
k



  – координата 

и квазиимпульс частиц (k



 – волновой вектор);v
dr dt



 – скорость носителей заряда; h – постоянная Планка; F
k
t






 – обобщенная сила, 
действующая на носители заряда в кристалле;  
J f  – интеграл столкновений. 
С учетом действия электрического E и магнитного B поля на 
частицу с зарядом q и эффективной массой m, кинетическое уравнение (1.1) можно записать в следующем виде [26]: 

Г л а в а  1.  Основные уравнения модели полупроводниковых приборов 
 

6 



 
f
q
f
+
f
J f
t
m

  





r
p
v
E
v



.                      (1.2) 

Аналитическое решение данного интегро-дифференциального 
уравнения представляет собой трудную задачу и может быть найдено 
только в тривиальных случаях. Трудность решения задачи обусловлена 
в том числе тем, что интеграл столкновений  
J f  является в общем 
случае нелинейным по функциям распределения. Поиск решения особенно затруднителен в случае моделирования структур с пространственными неоднородностями (
0
r f


). 
Для моделирования полупроводниковой структуры фундаментальная система уравнений помимо кинетического уравнения включает уравнение Пуассона и уравнения непрерывности для носителей 
заряда.  
Вместе с тем рассчитанные на основе кинетического уравнения 
функции распределения для электронов и дырок полностью определяют 
поведение носителей в полупроводниковой структуре. Вычисление 
моментов кинетического уравнения (как числовых характеристик распределений случайных величин) позволяет построить статистическое 
описание и выполнить расчет динамических характеристик приборов, 
включая субмикронные структуры, исследовать их шумовые свойства.  
Локальные приближения. Решение кинетического уравнения 
может рассматриваться в различных физических ситуациях, соответствующих гидродинамическому, квазигидродинамическому и локальнополевому приближению [22; 26]. 
Выбор приближения зависит от того, насколько существенную 
роль играет вклад от столкновений носителей заряда. С уменьшением 
концентрации электронов n и, соответственно снижением частоты 
межэлектронных столкновений, осуществляется последовательный 
переход от гидродинамического, к квазигидродинамическому и далее 
к локально-полевому приближению. 
На локальной зависимости плотности тока от электрического 
поля E и концентрации носителей заряда строится широко применяемое диффузионно-дрейфовое приближение. Диффузионно-дрейфовая 
модель формируется на основе уравнения Пуассона для электрической индукции и объемного заряда, уравнения непрерывности, связывающего электрический ток и заряд, а также уравнений переноса для 
электронов и дырок. Ток проводимости складывается из дрейфовой 
и диффузионной составляющих, которые также зависят от поля E 

1.1. Модели динамики электронов в полупроводниках 
 

7 

и концентрации носителей заряда. Дрейфовая часть тока учитывает 
подвижность носителей заряда под действием приложенного электрического поля, а диффузионная – движение носителей, обусловленное 
градиентом их концентрации. Когда диффузионной составляющей 
тока можно пренебречь, используют дрейфовое приближение, в рамках 
которого не учитывается влияние диффузии.  
В неравновесной ситуации диффузионно-дрейфовое приближение 
не позволяет моделировать поведение носителей заряда и вследствие 
нелокальной зависимости скорости дрейфа носителей от электрического поля требуется принимать во внимание зависимость подвижности 
электронов и дырок от их энергии (температуры).  
В этом случае фундаментальную систему уравнений для моделирования необходимо дополнить уравнениями баланса энергии       
носителей заряда, то есть перейти к модели, соответствующей гидродинамическому приближению (или температурной модели). 
Если диффузионно-дрейфовая модель хорошо работает для          
относительно протяженных полупроводниковых структур, то для малоразмерных (субмикронных) структур необходимо переходить к 
гидродинамическому приближению, учитывающему инерционность 
разогрева носителей заряда. Учет нелокальных эффектов с помощью 
гидродинамического приближения обеспечивает решение практически важных задач, к которым относятся моделирование субмикронных структур, исследование эффекта всплеска скорости дрейфа носителей заряда. 
Фундаментальная система уравнений, используемая в диффузионно-дрейфовой модели, имеет наиболее простой вид. Благодаря этому 
она может использоваться как исходное приближение при рассмотрении процессов в полупроводниковых приборных структурах. Однако 
в связи с уменьшением технологических норм для интегральных схем 
и, соответственно, размеров приборных структур область применения 
этой модели непрерывно сужается [9]. 
Подробнее диффузионно-дрейфовая и гидродинамическая модели будут рассмотрены ниже. 
Моделирование квантовых эффектов. Моделирование полупроводниковых приборов, представляющих собой низкоразмерные 
структуры, требует особого подхода. К таким структурам относятся 
квантовые ямы, сверхрешетки (фотонные кристаллы), гетероструктуры, 
пористые полупроводники и др. Поведение носителей заряда в таких 

Г л а в а  1.  Основные уравнения модели полупроводниковых приборов 
 

8 

структурах определяют такие квантово-механические явления: квантовое ограничение, баллистический транспорт и квантовая интерференция, туннелирование.  
К числу приборов, использующих квантовые эффекты, относятся, например, транзисторы с высокой подвижностью электронов 
(High-electron-mobility transistor – HEMT) и биполярные транзисторы 
с гетеропероходом, полупроводниковые лазеры.  
Рассмотрение подходов к моделированию подобных устройств 
выходит за рамки данного пособия. 
 
 
1.2. Описание электромагнитных процессов  
в полупроводниках 
 
Численное моделирование полупроводниковых приборов основывается на системе уравнений в частных производных, описывающих статические и динамические процессы, обусловленные влиянием 
на носители заряда внешних полей [2; 21]. Часть соотношений (уравнение Пуассона и уравнение прерывности) в неявном виде представлено в уравнениях Максвелла, а уравнения переноса, описывающие 
материальные свойства полупроводниковой среды, – вычислением 
моментов кинетического уравнения.  
Уравнения электромагнитного поля. В качестве основы для 
построения модели воспользуемся уравнениями Максвелла в дифференциальной форме: 

t

 

 E
B
;                                     (1.3) 

t

 

 H
j
D
;                                   (1.4) 



 D
;                                          (1.5) 

0


 B
.                                          (1.6) 

В соответствии с этими уравнениями электрическое E и магнитное H поля, электрическая D и магнитная B индукции, а также плотности 
электрического заряда ρ и тока j связаны между собой в любой точке 
пространства в любой момент времени t. Здесь и далее все величины, 
обозначенные полужирным шрифтом, как, например, оператор «набла» 
(«гамильтониан») 
x
y
z
x
y
z








=

e
e
e
,
 
являются векторами. 

1.2. Описание электромагнитных процессов в полупроводниках 
 

9 

Применительно к рассматриваемой задаче моделирования полупроводниковых устройств будем в качестве определяющих соотношений для электрической D и магнитной B индукций использовать 
выражения 

0
r
  
 
D
E
E ,       
0
r
  
 
B
H
H ,                      (1.7) 

где 
r – относительная диэлектрическая проницаемость полупроводникового кристалла;
12
0
8,85 10
Ф / м

 

 – электрическая постоянная; 

r
 – 
относительная 
магнитная 
проницаемость 
полупроводника;

7
0
4
10
Гн / м

  
 – магнитная проницаемость вакуума. Параметры 

0
r
     и
0
r
     будем считать вещественными скалярными постоянным величинами.  
На основе исходной системы уравнений Максвелла могут быть 
представлены частные варианты постановки задачи. 
Стационарная задача. Для стационарной задачи производные

t
   в уравнениях (1.1) – (1.4) обращаются в нуль и система уравнений приобретает вид [21] 

0


E

;       


 
 
E

;                                (1.8) 



H
j

;        


0
 

H

.                             (1.9) 

В данной системе электрическое поле присутствует только 
в первой строке, магнитное поле H – только во второй строке. В отсутствие нестационарных процессов электрическое и магнитное поля 
не связаны.  
На сновании (1.8), введя в рассмотрение электростатический потенциал , для которого 
 
E
 , и с учетом преобразования


0



 



E
, можно записать уравнение Пуассона 

2   

.                                          (1.10) 

В стационарных полевых задачах в соответствии с уравнением 
Пуассона распределение заряда  определяет распределение электрического поля E и, соответственно, потенциала .  
С другой стороны, распределение заряда , в свою очередь, зависит от поля E. Для определения двух неизвестных распределений  и, 
связанных друг с другом, необходимо использовать второе уравнение, 
включающее  и . Это уравнение можно получить, взяв дивергенцию