Математический анализ. Теория функций многих переменных

Министерство науки и высшего образования Российской Федерации

Сибирский федеральный университет

С. С. Ахтамова, Е. К. Лейнартас, А. П. Ляпин

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ.

ТЕОРИЯ ФУНКЦИЙ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ

Учебное пособие

Красноярск

СФУ
2021

УДК 517.53/.55(07)
ББК 22.161я73

А957

Р е ц е н з е н т ы:

Е. Н. Михалкин, доктор физико-математических наук, доцент, про
фессор кафедры теории функций ФГАУО ВО «Сибирский федеральный университет»;

М. С. Апанович, кандидат физико-математических наук, доцент ка
федры медицинской кибернетики и информатики ФГБОУ ВО «Красноярский государственный медицинский университет имени профессора В. Ф. Войно-Ясенецкого» Министерства здравоохранения Российской Федерации

Ахтамова С. С.

А957
Математический анализ. Теория функций многих переменных: 
учеб. пособие / С. С. Ахтамова, Е. К. Лейнартас, А. П. Ляпин. – Красноярск: Сиб. федер. ун-т, 2021. – 60 с.

Содержит краткие теоретические сведения и практические разделы теории 

функций многих переменных по дисциплине «Математический анализ». Включает 
множество прикладных наработок авторов и дополнительный методический материал для самостоятельной и контрольной работы. Составлено на основании программы курса высшей математики с учётом числа часов, отводимых для данной
дисциплины учебными планами.

Предназначено для организации образовательного процесса по программам 

бакалавриата 01.03.01 «Математика», 01.03.02 «Прикладная математика и информатика», 02.03.01 «Математика и компьютерные науки», 44.03.05 «Педагогическое 
образование (с двумя профилями подготовки)».

Электронный вариант издания
УДК 517.53/.55(07)

см.: http://catalog.sfu-kras.ru
ББК 22.161я73

ISBN 978-5-7638-4473-3
© Сибирский федеральный

университет, 2021

СОДЕРЖАНИЕ

Введение…………...…………………………………………….….….….
4

Раздел 1. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных………..………..……………………………………….…………
5

Занятие 1. Функции двух переменных. Их область определения 
и графики………………………………………………………………..
14

Занятие 2. Предел функции двух переменных…………………..…… 15
Занятие 3. Непрерывность функции двух переменных………….......
16

Занятие 4. Частные производные первого порядка…………………..
17

Занятие 5. Полный дифференциал и полное приращение функции. 
Связь между полным дифференциалом функции и её полным приращением……………………………………………………..…………
19

Занятие 6. Дифференцирование сложной функции от одной независимой переменной………………………………….………………..
21

Занятие 7. Дифференцирование сложной функции от нескольких 
независимых переменных………………………….…………………..
22

Занятие 8. Производные высших порядков…………………….…….
23

Занятие 9. Дифференциалы высших порядков……………………….
24

Занятие 10. Линии и поверхности уровня. Производная функции 
по направлению. Градиент………………………..…………………… 24
Занятие 11. Дифференцирование неявных функций…………..……..
26

Занятие 12. Геометрические приложения…………….………………
27

Занятие 13. Экстремум функции двух переменных………………….
28

Занятие 14. Отыскание наибольших и наименьших значений функции двух независимых переменных в замкнутой области………..…
29

Контрольная работа по разделу 1.……………………………………..
30

Решение типового варианта контрольной работы по разделу 1…….
32

Раздел 2. Кратные интегралы и их приложения………………………...
37

Занятие 15. Формула Тейлора…………………………………………
42

Занятие 16. Сведение двойного интеграла к повторному…………… 43
Занятие 17. Двойной интеграл в полярных координатах……………
44

Занятие 18. Двойной интеграл в криволинейных координатах……..
45

Занятие 19. Вычисление площадей плоских фигур с помощью 
двойных интегралов……………………………………………….…...
46

Занятие 20. Вычисление объёмов……………...……………………… 47
Занятие 21. Площадь поверхности. Механические приложения 
двойных интегралов…………………………………………………....
47

Занятие 22. Вычисление тройных интегралов………………..………
48

Занятие 23. Вычисление объёмов тел…………………………....……
49

Занятие 24. Приложение к механике………………….………………
50

Контрольная работа по разделу 2……………………………..………. 51
Решение типового варианта контрольной работы по разделу 2…….
52

Библиографический список…………………….………………………...
57

ВВЕДЕНИЕ

Математическая подготовка – это одна из основных составляющих

образования, которое получает студент педагогического вуза. Основы математического образования закладываются в самые первые месяцы учёбы
при изучении базовых курсов математического анализа, линейной алгебры
и аналитической геометрии.

В пособии достаточно подробно описываются доказательства многих

теорем по теории функций многих переменных. Фундаментальные понятия её разделов находят широкое применение в большинстве разделов современной математики и физики. Рассматриваемые математические понятия иллюстрируются рисунками. В каждом практическом занятии студенту
предлагается список вопросов теоретического блока для повторения материала, который может использоваться при подготовке к коллоквиуму, зачёту или экзамену. Для проверки качества усвоения материала предлагается выполнить задания для самостоятельного решения.

Авторы ставят цель: показать основные приёмы решения задач

по изучаемым темам. Многие задачи приводятся с решением. В частности,
приводятся решения примерных вариантов контрольных работ по рассматриваемым разделам.

Цель пособия – формирование представлений о методах решения за
дач теории функций многих переменных и их приложений в решении
сложных задач алгебры, физики и действительного анализа.

Для достижения данной цели необходимо решить следующие задачи:
 познакомить с современными направлениями развития много
мерного анализа на основе понятий теории функций действительной переменной;

 сформировать представление о многомерных функциях, сходи
мости рядов, выработать умения и навыки многомерного дифференцирования и интегрирования;

 научить применять методы многомерного анализа для вычисления

криволинейных интегралов и решения других задач алгебры и анализа.

Авторы надеются, что пособие поможет студентам преодолеть мно
гие трудности при освоении начального курса многомерного математического анализа.

РАЗДЕЛ 1. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

ФУНКЦИЙ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ

Функции нескольких переменных

Если каждой упорядоченной паре чисел      из некоторого множе
ства  по какому-либо правилу ставится в соответствие одно или несколько значений переменной    , то переменная  называется функцией двух переменных          ;  ,  – независимыми переменными
или аргументами;  – областью определения;  – множеством значений.

Т. к. уравнение         определяет некоторую поверхность

в пространстве, то под графиком функции двух переменных будем понимать поверхность, образованную множеством точек         пространства, координаты которых удовлетворяют уравнению         
(рис. 1).

Рис. 1

Геометрически область определения функции  представляет собой

некоторую часть плоскости    , ограниченную линиями, которые могут
принадлежать или не принадлежать этой области. В первом случае область
 называется замкнутой и обозначается   , во втором – открытой.

Определение функции двух переменных легко обобщить на случай

трёх и большего числа переменных. Величина  называется функцией переменных           , если каждой совокупности             переменных           из некоторой области n-мерного пространства соответствует
определённое
значение
 ,
что
записывается
в
виде

               . Т. к. совокупность значений             определяет
точку n-мерного пространства              , то всякую функцию нескольких переменных можно рассматривать как функцию точек  пространства соответствующей размерности, а именно       .

δ-окрестностью точки          называется совокупность всех то
чек      , которые удовлетворяют условию

                   
(1.1)

Число  
называется пределом функции         в точке

         , если для любого числа    найдётся такое число    ,
что для любой точки       , принадлежащей -окрестности точки
         , выполняется условие

             
(1.2)

Записывают:

   
    
    

         
(1.3)

Пусть точка          принадлежит области определения функции

      . Тогда функция         называется непрерывной в точке
         , если справедливо равенство

   
    
    

                
(1.4)

причём точка       стремится к точке          произвольным образом.

Свойство 1. Непрерывная функция в замкнутой и ограниченной об
ласти  достигает по крайней мере один раз наибольшего значения
и один раз – наименьшего.

Свойство 2.
Если
функция
      
определена
и
непрерывна

в замкнутой ограниченной области  , а  и  – соответственно наибольшее и наименьшее значения функции в этой области, то для любой точки
       существует точка        – такая, что

            
(1.5)

Проще говоря, непрерывная функция принимает в области  

все промежуточные значения между  и  . Следствием этого свойства
может служить заключение, что если числа  и  разных знаков, то в области  по крайней мере один раз функция обращается в ноль.

Свойство 3. Функция       , непрерывная в замкнутой ограничен
ной области  , ограничена в этой области, т. е. существует такое число  ,
что для всех точек области верно неравенство

           
(1.6)

Производные и дифференциалы функций нескольких переменных

Пусть в некоторой области задана функция         . Возьмём

произвольную точку       и дадим переменной  приращение   , оставив  постоянной величиной, тогда функция         получит приращение    , называемое частным приращением функции по переменной  :

                     
(1.7)

Тогда, если существует        

   

  , то он называется частной про
изводной функции         по переменной  .

Обозначение:

  

  ;   

 ; 

       

  
;   

      .

Аналогично определяется частная производная функции по пере
менной  :

  
      

    

                

  
 
(1.8)

Полным приращением функции       называется выражение

                        
(1.9)

Функция       называется дифференцируемой в точке       ,

если её полное приращение в этой точке можно представить в виде:

          

  
          

  
             
(1.10)

где   ,   – бесконечно малые функции при     и     .

Полным дифференциалом функции         называется глав
ная часть полного приращения функции, линейная относительно   и   
и обозначаемая   . Если функция имеет непрерывные частные производные, то полный дифференциал существует и равен

     

           

         
(1.11)

где      ,      – приращения независимых переменных, равные
их дифференциалам.

Для функции произвольного числа переменных:

                

       

            

     
(1.12)

Пример 1. Найти полный дифференциал функции       .
Решение. Для функции трёх переменных полный дифференциал

имеет вид:

     

       

       

     
(1.13)

Найдём частные производные:

  
             
(1.14)

   
               
(1.15)

   
                
(1.16)

Следовательно,

                                            
(1.17)

Полный дифференциал часто используется для приближённых вы
числений значений функций. Запишем полное приращение функции
        :

                        
(1.18)

откуда можно выразить:

(1.19)

Если подставить в эту формулу выражение

        

       

     
(1.20)

то получим приближённую формулу:

                       
(1.21)

или

                            

  
          

  
   
(1.22)

Пример 2. Вычислить приближённо значение                 , ис
ходя из значения функции          при    ,    ,    .

Решение. Из заданного выражения определим:               ; 

               ;               .

Найдём значение функции                   .
Находим частные производные и вычисляем их значения при    , 

   ,    :

  
   
      

        

    

   

   

  
   
     

        

   

  
   
  
 

        

  

  

Полный дифференциал функции         равен

          

          

          

    

                     

                 

следовательно,

                                         

Производные сложных и неявных функций

Функция         , где         ,         , называется слож
ной функцией. Для нахождения частных производных сложной функции
применяются формулы:

  
     

  

  
     

  

  
       

     

  

  
     

  

  
     
(1.23)

Если         ,         , то                     , и тогда

формула нахождения производной примет вид:

  
     

  

  
     

  

  
     
(1.24)

Если же            , то из последней формулы, в силу того,

что    , а       , получим:

  
     

     

  

  
     
(1.25)

Если уравнение         задаёт некоторую функцию     в не
явном виде и   

        , то

  
      

      

           
(1.26)

Если уравнение           задаёт функцию двух переменных

        в неявном виде и   

          , то справедливы формулы:

  
      

        

               

      

        

             
(1.27)

Частные производные высших порядков

Если функция         определена в некоторой области  ,

то её частные производные

  
     

           

     

       
(1.28)

также будут определены в той же области. Будем называть эти производные частными производными первого порядка.

Производные этих функций будут частными производными второ
го порядка, т. е.:

 
     

       

       

            

     

       

       

        

 
     

       

        

            

     

       

        

        

(1.29)

Продолжая
дифференцировать
полученные
равенства,
получим

частные производные более высоких порядков.

Частные производные вида

   
           

        
   

          
   

      

и т. д. называются смешанными производными.

Теорема. Если функция       и её частные производные   

 ,   

 ,    

  , 

   

  определены и непрерывны в точке       и её окрестности, то верно

соотношение:

   
        

      
(1.30)

Т. е. частные производные высших порядков при этих и аналогичных условиях не зависят от порядка дифференцирования.

Подобным же образом определяются полные дифференциалы выс
ших порядков:

(1.31)

             

             

            

         

              

             

               

              

         

…………………………………………………………………

Символически можно записать:

      

      

     

 

 
(1.32)

Если поверхность задана уравнением         , где       – функ
ция, дифференцируемая в точке          , касательная плоскость в точке             существует и имеет уравнение:

             

                 

               
(1.33)

Уравнение нормали к поверхности в этой точке:

    

           
    

               

   
(1.34)

Когда уравнение гладкой поверхности задаётся в неявном виде

          и              , уравнение касательной плоскости в точке
            имеет вид:

  

                    

                   

   

                    
(1.35)

а уравнение нормали:

    

              
    

              
    

               
(1.36)

Пример 3. Найти уравнения касательной плоскости и нормали к по
верхности                 в точке         .

Решение. Находим частные производные функции и вычисляем

их значения в точке  :

  
               

             

   
   

 

         

   

 

   

Уравнение касательной плоскости:

                   

         

Уравнение нормали:

   

      

 
    

    

Производная по направлению. Градиент

Пусть дана функция           , определённая и дифференцируе
мая в некоторой окрестности точки             , и вектор    , который
имеет начало в точке   и направляющие косинусы     ,     ,     . Тогда производная от функции           в точке   по направлению
вектора    может быть найдена по формуле:

      

  
        

  
           

  
           

  
     
(1.37)

В случае функции двух переменных         формула упрощается:

      

  
        

  
           

  
     
(1.38)

т. к.

          

                    
(1.39)

Производная по направлению    характеризует скорость изменения

функции по этому направлению. Если

  

    , то функция           

возрастает в направлении    , а если

  

    , то функция           

в направлении    убывает. Величина  

  

   представляет собой мгновенную

скорость изменения функции           в точке   в направлении    .

Частные производные

  

  , 

  

  , 

  

  можно рассматривать как производные

от функции           по направлению координатных осей   ,   ,   .

Вектор, координатами которого являются значения частных произ
водных функции         в точке         , называется градиентом
функции и обозначается       , т. е.

         

      

      

    
(1.40)

В частном случае

         

      

    
(1.41)

Рассмотрим единичный вектор                    и некото
рую функцию         и найдём скалярное произведение векторов  
и       :

           

         

         

       
(1.42)

Выражение, стоящее в правой части равенства (1.42), является производной функции         по направлению  . Т. е.

           

    
(1.43)