Теоретические основы органической химии. Выпуск 5.1. Топологические индексы

Химический факультет 
Кафедра органической химии 

 

 

 

ПРЯЛКИН Б.С. 

Теоретические основы органической химии 

Выпуск 5.1 
Т О П О Л О Г И Ч Е С К И Е  
И Н Д Е К С Ы  

учебно-методическое пособие 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ТОМСК 2017 

© Томский государственный университет, 2017

ОДОБРЕНО 
Кафедра органической химии 
 
Зав. кафедрой 
Органической химии, доцент 
 
 
 
Ю.Г. Слижов 
 
 
РАССМОТРЕНО И УТВЕРЖДЕНО:  
Методическая комиссия химического факультета 
Протокол № 37 от 29 ноября 2016 г. 
 
Председатель методической 
Комиссии ХФ, доцент 
 
 
 
 
В.В. Хасанов 
 
 
 
 
 
Топологические индексы являются новым и весьма оригинальным 
подходом к описанию структуры органических соединений, основанным 
на использовании математического аппарата теории графов. В настоящем 
учебно-методическом пособии рассмотрены некоторые элементы теории 
графов и топологии, методы расчёта многочисленных топологических 
индексов. Во второй части пособия планируется описать способы 
применения топологических индексов в органической химии. 
Данное учебно-методическом пособии предназначено для студентов, 
проходящих подготовку в магистратуре по направлению 04.04.01 – химия по 
магистерской программе "Фундаментальная и прикладная химия веществ и 
материалов", по программе подготовке бакалавров по направлению 04.03.01 
-химия, программе подготовке специалистов по специальности 04.05.01 
"Фундаментальная и прикладная химия" при изучении теоретических основ 
органической химии (Б1.В.ОД.9) и математической химии (Б1.В.ДВ.4.3). 
 
СОСТАВИТЕЛЬ: доцент Б.С. Прялкин 
 
 
 

Содержание 
Топология и теория графов .  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  3 
Топологические индексы на основе матрицы расстояний. . . . . . . . . . . . .  5 
Топологические индексы по матрицам смежности . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 
Информационные индексы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  32 
Взаимосвязь топологических индексов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  34 
Литература . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 

ТОПОЛОГИЯ И ТЕОРИЯ ГРАФОВ [1, 2] 

Топология – раздел математики, изучающий топологические свойства 
фигур, т.е. свойства, не изменяющиеся при любых деформациях этих фигур, 
производимых без разрывов и склеиваний (при взаимно однозначных и 
непрерывных отображениях). Примерами топологических свойств является - 
связность, размерность, последнее определяется как число кривых ограничивающих данную фигуру. Окружность, эллипс и квадрат – топологически 
идентичные фигуры, они ограничены одной поверхностью. Кольцо имеет 
размерность 2, - кольцо ограничено 2 линиями: внешняя и внутренняя линия. 
Теория графов – раздел математики, особенность которого – геометрический подход к изучению объектов. 
Граф G(p,x) состоит из конечного непустого множества V, содержащего p вершин (точек или узлов) и множества X пар вершин x={u,v}, 
связанных друг с другом линиями, именуемыми рёбрами или дугами q. 
Неориентированная 
связь 
вершин 
есть 
ребро 
(граф 
G1(2,1). 
Ориентированная связь вершин есть дуга (граф G2). Граф G2(2,1) составленный из вершин, соединённых дугой - ориентированный граф или 
орграф. Две вершины, соединённые ребром 
(дугой) называются смежными вершинами 
(это иногда обозначается: u adj v). Причём 
вершины u и v являются, в этом случае инцидентными ребру х. Два ребра x и y инцидентные одной вершине v являются смежными друг другу. Вершины графа могут иметь свойства – цвет вершины. 
Подгафами графа G называются графы G1, G2 и G3 у которых все вершины, 
ребра и дуги принадлежат графу G. Тогда граф G – надграф графов G1, G2 и 
G3. Граф называется связный, если любая пара его вершин соединена простой 
цепью. Графы G1 и G2 связные графы. Граф G несвязный граф. 
 
 

Граф называется помеченным (перенумерованным), если все его 
вершины отличаются одна от другой какими-либо метками. В приведённых 
ниже подборках на стр. 3 и 4о все графы являются перенумерованными. 

Виды графов

Тривиальный 
граф
G3(1,0).
Граф 

состоящий только из одной вершины.
Линейный граф. Связный ациклический 
граф.
Разветвлённые графы
А) граф дерево. 
Б) граф звезда 

Циклический граф.

Мультиграф, есть кратные дуги (рёбра). В 
таком графе пара вершин (одна или более) 
связаны двумя или более дугами (рёбрами).  
Граф кактус. Это разветвлённая цепочка 
циклов. Граф дерево из циклов. Размеры 
циклов могут быть разными. Пары циклов 
имеют одну общую вершину. 

Псевдограф. Граф имеющий одну и более 
петель. Петля – дуга (ребро) исходящее из 
вершины и входящее в неё же.

Типы графов

Два изоморфных графа.
Имеют одинаковое количество вершин, 
рёбер (дуг), но одинаковый порядок 
соединения
Два изомерных графа.
Имеют одинаковое количество вершин, 
рёбер (дуг), но разный порядок соединения. 

Графическую форму графа можно представить в числовой форме в виде 
матриц расстояний, матриц смежности и матриц инцидентности. 
Квадратные матрицы размерности n⦁n. 
Матрица расстояний. Она содержит недиагональные 
элементы – расстояния между атомами. Диагональные 
элементы приравниваются нулю. Для линейного графа из 
5 вершин матрица выглядит:  
Матрица смежности. Аналогично, диагональные элементы равны 
нулю. Недиагональные элементы aᵢⱼ равны 1, если вершины i 
и j являются смежными, т.е. связаны одним ребром. Прочие 
недиагональные элементы равны нулю. Такая матрица для 
линейного графа из 5 вершин выглядит: 
Матрица инцидентности. Матрица B = bᵢⱼ помеченного 
графа G с p вершинами и q рёбрами есть матрица размерности (p⦁q), в которой 
bᵢⱼ = 1 если вершина и ребро инцидентны, и bᵢⱼ = 0 в противном случае. 
Матрица циклов. Матрица C = cᵢⱼ графа G называется матрица, в 
которой для каждого простого цикла графа G есть строка и для каждого 
ребра – столбец, причём cᵢⱼ = 1 если i-тый цикл содержит ребро xⱼ, cᵢⱼ = 0 в 
противном случае. Увы, матрица С не определяет однозначно граф G. для 
вычисления топологических индексов. Две последние матрицы не 
используются для построения топологических индексов (ТИ). 
 
ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ИНДЕКСЫ НА ОСНОВЕ 
МАТРИЦЫ РАССТОЯНИЙ 
1. Индекс Винера W [3] вычисляется на основе матрицы расстояний. Он 
равен половине суммы недиагональных членов матрицы расстояний: 
W1 = 0,5 ∑dᵢⱼ , 
где dᵢⱼ – расстояние между i и j атомами молекулярного графа. 
Обратите внимание! Во-первых, от порядка нумерации атомов в 
молекулярном графе величина топологического индекса не зависит. Вовторых, в циклических структурах расстояние между i-тым и j-тым 
атомами (вершинами) определяется по кратчайшему пути. 
Для молекулярных систем, содержащих кроме атомов углерода другие 
атомы (азота, кислорода, галогенов и т.д.) предложен модифицированный 
индекс Винера W [4]: 
W2 = 0,5⦁∑dᵢⱼ  + ∑dᵢᵢ 

Диагональные члены определяются по формуле (цвет вершины графа или 
её свойство): 
dᵢᵢ = 1-6/Zᵢ , 
где Zᵢ число всех электронов (валентных и электронов внутренних 
оболочек) атома i (табл. 1). Недиагональные члены dij модифицированного 
индекса Винера – определяются как: 

dᵢⱼ = ∑[ 
1

b(r) ∙ 
36

(Zᵢ⦁Zⱼ)] 

где Zᵢ и Zⱼ число всех электронов атомов i и j. Значения dᵢⱼ для типичных 
связей в органических соединениях представлены в табл. 2. Величина b(r): 

b(r) = 

1
для одинарной связи

1,5
для ароматической связи

2
для двойной связи

3
для тройной связи

Таблиц 1. Величины dᵢᵢ для атомов 
Таблиц 2. Параметры связей dᵢⱼ типов 

атом
dᵢᵢ
Связь
dᵢⱼ
Связь
dᵢⱼ

C
N 
O 
S 
F 
Cl 
P 

0
0,143 
0,25 
0,665 
0,333 
0,647 
0,6 

С-С
С=С 
С≡С 
С⋍С 
C-N 
C=N 
Ср⋍Nар 

1
0,5 
0,333 
0,67 
0,857 
0,429 
0,571 

C-O
C=O 
N-N 
N=N 
C-F 
C-Cl

0,75
0,375 
0,735 
0,368 
0,667 
0,353

⋍ароматическая

Примеры расчёта индекса Винера W1 

2-метил-н-бутан
изопропил-циклопропан
циклогексан

W(1) = 8 + 4 + 3 + 3 = 18 W(2) = 11+6+4+4+3 = 28 W(3) = 9+8+6+3+1 = 27 

Для некоторых типов структур химических соединений предложены [5] 
простые формулы для расчёта индекса Винера, не прибегая к построению 
матрицы расстояний (табл. 3). 

Таблица 3. Вычисление ТИ Винера для простейших графов. 

Граф
Тип графа
Индекс Винера

Линейный
k вершин
(k3 - k)/6

Циклический 
k вершин (чётное)
k3/8

k (нечётное)
(k3 – k)/8

Линейный с циклом
k вершин, цикл m
вершин (чётное)

(4k3 + 3m3 + 12k2m + 6km2 – 12k2 - 6m2

- 12km +8k)/24

k вершин, цикл m
вершин (нечётное) 

(k3 + 3m3 + 12k2m + 6km2 – 12k2 – 6m2 –
12km + 2k – 3m +6)/24 

Спиро-циклы 
k, m - чётные
(k3 + m3 + 2k2m + 2km2 – 2k2 – 2m2)/8

k - чётное, 
m - нечётное

(k3 + m3 + 2k2m + 2km2 – 2k2 – 2m2 -2k –
m+ 2)/8

k, m- нечётные
(k3 + m3 + 2k2m + 2km2 – 2k2 – 2m2 -3k –
3m+ 4)/8

Разветвлённый
k, m, n - вершин
(k3 + m3 + n3 + 3k2m + 3k2n + 3km2 + 
3m2n + 3kn2 + 3mn2 – 6k2 – 6m2 – 6n2 – 
6km – 6kn – 6mn + 5k + 5m + 5n)/6 

Примеры расчёта индекса Винера W2. Расстояние по линиям связей в 
ангстремах, а не условное единичное. 

Диметилкетон
Амид уксусной кислоты

W2 = (4,375+1,375+1,375) + (0,25)

= 7,375

W2 = (4,232+1,232+1,232) +

+ (0,143+0,25) = 7,089

Индекс Винера W3 вычисляется по матрице расстояний, которая состоит из 
реальных расстояний между атомами в трёхмерном пространстве, а не 
условном 
единичном 
расстоянии 
по 
линиям 
связей. 
Отражается 
пространственная структура химического соединения. Тополого-конфигурационный индекс осуществляет это по-другому [6]. 

Примеры расчёта индекса Винера W3 

 

2,4-диметилгексан. 
Геометрические параметры даны в 
таблице 4. В матрице приведён 
только верхний треугольник 
W3 = 86,08

 

Таблица 4. Сравнение топологических индексов W1, W2 и W3 ряда алканов 

Граф
W1
W2
W3
Примечание

48 
48 
58,19 
ТИ вычислены для 
заторможенных 
идеальных структур 
алканов. Геометрические 
параметры: С-С 1.54 Å, 
С1С2С3 112° и другие 
аналогичные. Атомы С 
отклоняющиеся вверх и 
вниз от зигзагообразной 
цепочки отклоняются от 
плоскости цепочки 
(рисунка) на  56°. 

48 
48 
56,61 

46 
46 
57,14 

46 
46 
57,00 

2. Число полярности P предложено Винером [4]: 

P = 0,5∙∑
d(3, i)
i=N
i=1
= ∑
g(k)
j=k
j=1
, 

где d₃ᵢ расстояние равное 3 в матрице расстояний. Другими словами, P 
определяется как число пар атомов в молекулярном графе разделённых тремя 
C-C связями по кратчайшему пути.  
Пример расчёта P индекса. 
2,3-диметилпентан 
изопропил- 
циклогексан 
пропан 
 
 
 
циклопропан 

 
 
 
 

пары атомов 
 
пары атомов 
пары атомов  
пары атомов 
1-4, 1-7, 2-5, 4-6,  
1-4, 1-5, 4-6, 
1-4, 2-5, 3-6 
нет 
5-7, 6-7  
 
5-6 
 
 
P = 6 
 
 
P = 4 
 
P = 3 
 
P = 0 
3. Топологический индекс суммы расстояний S определяется как сумма всех 
элементов в i-той строке матрицы расстояний, т.е. он относится к отдельной 
вершине i: 
Sᵢ = ∑
dᵢⱼ
j=n
j=1
 
Индекс предложен Бончевым [7] и Поланским [8].  
Примеры вычисления топологического индекса и составления кода 
расстояний [9], который совпадает с кодом Гутмана и Рандича (стр. 29).  
 

[2,1,1]-бициклогексан
dmax
Si
код расстояний

 
Применяется также средняя величина индексов суммы расстояний по всем 
p вершинам молекулярного графа: 
S = ∑
Sᵢ
����=����
����=1
 
4. Балабан [10] ввёл индекс, названный "связность по сумме усреднённых 
расстояний": 
J = 
����

(μ + 1) ∑ (����ᵢ · ����ⱼ
����,����
)-½ 

νᵢ - сумма расстояний для i-той и j-той вершин, μ – цикломатическое число, что 
соответствует наименьшему количеству рёбер, удаление которых приводит к 

графу без циклов [10]:  
 
μ = m – n + k, 
m - число рёбер, n число вершин, k - число компонент связности графа. В работах 
Балабана [9, 11, 12] указывается k=1. Суммирование ведётся по всем смежным 
вершинам. 
Матрицы расстояний для молекул, содержащих кратные связи могут 
формироваться двояко [13]. Во-первых, для кратных связей введён специальный 
параметр b (см. табл. 4). Во-вторых, кратные связи рассматриваются как 
несколько одинарных связей. Для ароматических систем, матрица расстояний 
формируется для кукулевских структур с двойными и одинарными связями. 
Формула ТИ применяется отдельно для каждой вершины, двойная связь исходит 
из двух разных вершин, а тройную – из трёх вершин. Аналогично вычисляется 
величина n. К сожалению, эти два подхода различаются не только исходными 
посылками для вычисления топологического индекса J, но и приводят к разным 
числовым величинам этого индекса (результаты расчёта для бензола на стр. 12). 
Влияние гетероатомов учитывается также двумя разными способами: по 
относительной электроотрицательности атома Xᵢ или по относительному 
ковалентному радиусу Yᵢ. Первая величина исчисляется исходя из параметра 
Zᵢ (атомный номер) и Gᵢ (номер группы в таблице Д.И. Менделеева в короткой 
форме): 
Xᵢ = 0,4196 – 0, 0078∙Zᵢ + 0,1567∙Gᵢ 
Относительный ковалентный радиус атома определяется исходя из тех же 
параметров: 
Yᵢ = 1,1191 + 0,0160∙Zᵢ - 0,00537∙Gᵢ. 
Для вычисления ТИ J для гетероатомных в формуле Балабана сумма 
расстояний νᵢ заменяется параметром Xᵢ или Yᵢ соответственно природе 
химического атома и масштабного коэффициента FXᵢ или FYᵢ, а затем 
применяется обычная формула. Величины Xᵢ и Yᵢ табулированы в табл. 5 [14]. 
таким образом получаются два новых ТИ: электроотрицательно и стерически 
параметризованные PDSX и PDSY, соответственно: 
PDSX = Σ FXᵢ Xᵢ νᵢ и 
PDSY = Σ FYᵢ Yᵢ νᵢ 
Таблица 5. Параметры для гетероатомов 

Атом
Yᵢ
Xᵢ
dᵢⱼ
Атом
Yᵢ
Xᵢ
dᵢⱼ

B
C 
Si 
N 
P 
As 

1,038
1,000 
1,128 
0,963 
1,091 
1,379 

0,851
1,000 
0,937 
1,149 
1,086 
0,946 

0 
- 
0,143 
0,600 
- 

S
Se 
Te 
F 
Cl 
Br 
I

1,053
1,341 
1,629 
0,887 
1,015 
1,303 
1,591

1,235
1,095 
0,954 
1,446 
1,384 
1,244 
1,103

0,625
- 
- 
0,330 
0,647 
- 

Результаты расчёта таких индексов гетероатомных соединений, заимствованные из статьи [15] приведены в таблице 6. 
Таблица 6. Топологический индекс J гетероатомных соединений. 

Молекулы
JX
JY
PDSX
PDSY

Бутиламин
втор- Бутиламин 
изо- Бутиламин 
трет- Бутиламин 
N-Метилпропиламин 
Диэтиламин 
N-Метил изопропиламин 
N,N-диметилэтиламин 
Тетраметиламмоний

2,158535
2,497108 
2,503020 
2,9730001 
2,117126 
2,107793 
2,454025 
2,405682 
2,820856

2,199708
2,551574 
2,549897 
3,038101 
2,211453 
2,214101 
2,563795 
2,577507 
3,081257

41,490002
37,192001 
37,341003 
33,043003 
41,043003 
40,894001 
36,894009 
36,745003 
32,596001

39,630001
35,704002 
35,667600 
31,741001 
39,741001 
39,778000 
35,778000 
35,815002 
31,852001

Балабан [15] ввёл также топологический индекс J', отличающийся от 
индекса J только отсутствием нормирующего множителя: 
J' = ∑ (����ᵢ · ����ⱼ
����,����
)-½ 

Исследования величин индексов J и J' показало, что эти индексы по мере 
линейного увеличения числа вершин J∞ в молекулярном графе асимптотически стремятся к некоторым конечным величинам: 

 
π 
49/24 π 

Полиены [11]
4 π/3
Полиины [11]
3 π.2

 
3/2 π 
49/12 π 

2 π 
9/12 π 

В работе [11] предложена методика расчёта J для радикалов. 
Первоначально вычисляют значения νᵢ для графа, отвечающего молекуле. Для 
вершины радикального центра сумма расстояний ����ᵢ в 10 раз меньше, чем 
минимальная сумма расстояний среди всех вершин графа: 
����ᵢ(радикального центра) = ���� (минимальная)/10. +1/√(����⦁����) 
Затем применяется формула для вычисления индекса J. 
Пример расчёта топологического индекса J для радикала. 
Пентил-1. 
 
 
����ᵢ  
 ����₃(минимальное) = 6