Интеграл Лебега по неотрицательной мере. Теории и задачи

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ 
НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ  
ТОМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ 

Механико-математический факультет 

 

 

 

ИНТЕГРАЛ ЛЕБЕГА ПО НЕОТРИЦАТЕЛЬНОЙ МЕРЕ. 

ТЕОРИЯ И ЗАДАЧИ 

 

 

Учебно-методическое пособие 
по курсу «Математический анализ» 
для студентов механико-математического факультета 
направлений подготовки 01.03.01 – Математика, 
02.03.01 – Математика и компьютерные науки, 
01.03.03 – Механика и математическое моделирование 

 

 

 

 

Томск 
2017

РАССМОТРЕНО И УТВЕРЖДЕНО методической комиссией механикоматематического факультета 
Протокол № 10 от «26» октября 2017 г. 

Председатель МК ММФ О.П. Федорова 

 

 

Пособие составлено в соответствии с программой дисциплины «Математический анализ» в части изучения темы «Интеграл Лебега» для студентов механико-математического факультета направлений подготовки  
01.03.01 – Математика, 02.03.01 – Математика и компьютерные науки, 
01.03.03 – Механика и математическое моделирование.  
Пособие содержит изложение теоретического подхода к интегралу 
Лебега по неотрицательной мере, основанного на использовании простых 
функций, а также множество примеров и задач, предлагаемых для решения на практических занятиях по данной теме. 
Для преподавателей, аспирантов, магистрантов и студентов. 

 

 

СОСТАВИТЕЛИ: Г.В. Сибиряков, Т.В. Емельянова, Е.Г. Лазарева 

 

 

 

 

© Томский государственный университет, 2017 

 

Глава 1. ЭЛЕМЕНТЫ ОБЩЕЙ ТЕОРИИ МЕРЫ 

§1.Алгебры и - алгебры множеств 
1. Определение. Пусть S  – произвольное множество. Алгеброй подмножеств множества S  называется множество   некоторых его подмножеств, удовлетворяющее условиям:  
(*) 
,
.
S


Î
  
(**) Если 
,
,
A B

Î
 то 
,
,
\ ,
\
.
A
B A
B A B S A

È
Ç
Î
 
Алгебра подмножеств   множества S  называется σ-алгеброй подмножеств множества ,
S  если выполнено условие:  

(***) Если 
k
A

Î
 для всех 
,
kÎ   то 
1
k
k
A





Î
È
 и 
1
.
k
k
A






Î
Ç
 

Из равенств 
(
)
\
\
,
A B
A
S B

Ç
 
(
)
(
)
[
]
\
\
\
A
B
S
S A
S B

Ç
È
 
следует, что в условии (**) достаточно оставить A
B
È
 и 
\
,
S A

Î
 а в 
условии (*) – только 

Î
 или только 
.
S

Î
 В условии (***) можно 

оставить 
1
k
k
A




Î
È
 или 
1
,
k
k
A






Î
Ç
 так как  

1
1
\
\
,
k
k
k
k
A
S
S A







é
ù
(
)
ê
ú
ë
û
Ç
È
  
1
1
\
\
.
k
k
k
k
A
S
S A







é
ù
(
)
ê
ú
ë
û
È
Ç
 

Кроме того, A
B
A
B
B

È
È
È
È  и 
.
A
B
A
B
B

Ç
Ç
Ç
Ç   
Поэтому из (***) следует, что A B

È
Î
 и 
,
A B

Ç
Î
 если 
,
.
A B

Î
 Та
ким образом, определение σ-алгебры можно сократить: 
2. Определение. Множество   подмножеств множества S  называется σ-алгеброй подмножеств множества ,
S  если выполнены условия:  
(1) 
.


Î
 
 
(2) Если 
,
A

Î
 то 
\
.
S A

Î
 

(3) Если 
k
A

Î
 для всех 
,
kÎ   то 
1
.
k
k
A





Î
È
 

3. Примеры алгебр и σ-алгебр.  

(α) Множество {
}
,S

 – наименьшая алгебра (и σ-алгебра) подмножеств 
множества .
S  

(β) Если 
,
A
S

 то {
}
, ,
,
\
S A S A

 – наименьшая алгебра подмножеств 

множества 
,
S  которой принадлежит 
.
A  Говорят, что эта алгебра порож
дена одним множеством 
.
A  

 (γ)  Множество 2S  всех подмножеств множества S  есть σ-алгебра 
подмножеств множества .
S  

(δ) Множество 
(
)
n
L
 всех множеств 
,
n
A 
 измеримых в смысле 

Лебега, есть σ-алгебра подмножеств пространства 
.
n

 Это – важнейшая 

из σ-алгебр.  

4. Теорема. Пересечение   семейства σ-алгебр 
,
,
i i
I

Î
 подмно
жеств множества S  является σ-алгеброй подмножеств в .
S  

Доказательство. По определению σ-алгебры 
i


Î
 для каждого 
.
i
I
Î
 

Отсюда следует, что 
.


Î
 

Пусть 
.
A

Î
 Тогда 
i
A

Î
 для каждого 
.
i
I
Î
 Значит, 
\
i
S A

Î
 для 

каждого 
,
i
I
Î
 так как 
i
  – σ-алгебра. Следовательно, 
\
.
S A

Î
 

Пусть (
)
k
A
 – последовательность множеств, принадлежащих 
.
  Тогда 

для каждого i
I
Î
 все 
k
i
A

Î
 и, значит, 
1
,
k
i
k
A




Î
È
 так как 
i
  – σ
алгебра. Следовательно, 
1
.
k
k
A





Î
È
 

Применяя определение 2, заключаем, что   – σ-алгебра подмножеств 
множества .
S   

5. Определение. Пусть   – множество (или семейство) подмножеств множества 
.
S  По теореме 4 пересечение 
( )
   всех σ-алгебр 

2 ,
S
 
 удовлетворяющих условию 
,
    является σ-алгеброй в 
.
S  

Говорят, что σ-алгебра 
( )
   порождена множеством (семейством)   под
множеств множества .
S  

Отметим, что если 
1
  и 
2
  – семейства подмножеств множества S  и 

1
2,
  
 то (
)
(
)
1
2 .
 
  
 

6. Пример. Пусть M  – метрическое пространство и   – множество 
всех открытых множеств пространства 
.
M  По теореме 4 пересечение 

(
)
M
B
 всех σ-алгебр 
2 ,
M
 
 удовлетворяющих условию 
,
  явля
ется σ-алгеброй подмножеств пространства 
.
M  Множества 
(
)
A
M
Î B
 

называются борелевскими множествами пространства 
.
M  
 

§2.Аддитивные и счетно аддитивные функции 

1. Определение. Пусть   – алгебра подмножеств множества 
.
S  

Функция 
:
,
     
[
]
:
0,
  
  или 
:
     называется конечно 

аддитивной (или просто аддитивной), если (
)
0
  
 и для любых непересе
кающихся 
множеств 
,
A B

Î
 
справедливо 
равенство 

(
)
.
A
B
A
B






 Если функция 
  конечно аддитивна, то 

(
)
1
2
1
2
m
m
A
A
A
A
A
A




 







 для любой конечной 

системы попарно не пересекающихся множеств 
.
k
A

Î
  

2. Определение. Пусть   – σ-алгебра подмножеств множества 
.
S  
Функция 
:
,
     
[
]
:
0,
  
  или 
:
     называется счетно 

аддитивной функцией или мерой, если 
(
)
0
  
 и для любой последова

тельности попарно непересекающихся множеств 
k
A

Î
 справедливо ра
венство (
)

1
1
.
k
k
k
k
A
A






  

 Мера   на   называется вещественной, 

если 
:
,
     неотрицательной, если 
[
]
:
0,
,
  

 конечной, если 

( )
A

   для всех 
,
A

Î
 и комплексной, если 
:
.
     Из условия 

(
)
0
  
следует, что каждая мера является конечно аддитивной функцией. 

3. Примеры конкретных мер.  

(α) Для каждого nÎ   мера Лебега 
(
)
:
n
n



L
[
]
0,
,
  есть неотри
цательная мера. 

 (β) Пусть 
a
b


<


 и пусть функция 
(
)
:
,
g
a b    возрастает. 
Допустим еще, что она непрерывна слева, т.е. 

 
( )
(
0)
g t
g t
=
 для всех 
(
)
,
.
t
a b
Î
 

Если 
[
)
,
,
P   
 где 
,
a
b


<
<
<
 то положим 

 
( )
( ).


 

gP
g
g
 

Повторив построение меры Лебега на  ,  мы получим σ-алгебру 
(
)
,
a b
L
 

подмножеств интервала (
)
,
a b  и новую меру g  на ней. Говорят, что 

множества 
(
)
,
A
a b
Î L
 измеримы в смысле Лебега – Стилтьеса. Мера 

(
)
[
)
:
,
0,



g
a b
L
 называется мерой Лебега – Стилтьеса, порожденной 

функцией 
(
)
:
,
.
g
a b        

4. Определение. Тройка (
)
,
,
,
S  
 где S  – множество,   – σ
алгебра подмножеств множества S  и   – мера на 
,
  называется пространством с мерой (или измеримым пространством). 

Каждому из приведенных выше примеров мер соответствует свое пространство с мерой. Важнейшим из них является пространство 

(
)
(
)
,
,
n
n
n



L
 с мерой Лебега.  

Отметим простейшие свойства меры на σ-алгебре. 

5. Теорема. Пусть   – неотрицательная мера на σ-алгебре   подмножеств множества .
S  Тогда  

(a) Если 
,
A B

Î
 и 
,
A
B

 то 
.
A
B



 

(b) Если 
,
,
A B

Î
 
A
B

 
и 
,
B

   
то 
A

   
и 

(
)
\
.
B A
B
A

 
 
 

(c) Если 
,
A

Î
 все 
k
B

Î
 и 
1
,
k
k
A
B



 È
 то 
1
.
k
k
A
B





 

 

В частности, (
)

1
1
.
k
k
k
k
B
B







 
È

 

Доказательство. (a) Допустим, что 
,
A B

Î
 и 
.
A
B

 Тогда 

(
)
\
B
A
B A


 и, значит, 
(
)
\
.
B
A
B A

 
 
 Отсюда и из неравен
ства (
)
\
0
B A


 ясно, что 
.
A
B



 

(b) Из соотношений 
(
)
\
B
A
B A

 
 
 и 
B

   следует, что 

.
A

   Поэтому 
(
)
(
)
\
\
.
B
A
A
B A
A
B A

 
 
 
 
 
  

(c) Пусть 
,
A

Î
 
все 
k
B

Î
 
и 
1
.
k
k
A
B




 È
 
Множества 

(
)
(
)
[
]
1
1
2
2
1
3
3
2
1
,
\
,
\
,
,



A
A
B
A
A
B
B
A
A
B
B
B
Ç
Ç
Ç
È


(
)

1

1
\
,





k

k
k
j
j
A
A
B
B
Ç
È
  принадлежат   и попарно не пересекаются. 

Кроме того, 
1
.
k
k
A
A




 
 Действительно, 
1
,
k
k
A
A






 так как все 

.
k
A
A

 Обратно, пусть 
.
x
A
Î
 Тогда 
1 k
k
x
B



Î È
 и найдется kÎ   такое, 

что 
,
k
x
B
Î
 но 
l
x
B
Î/
 при 1
.
l
k
<

 Тогда 
1

1
\
,
k

k
j
j
x
B
B




Î
È
 значит, 

(
)

1

1
\
,
k

k
k
j
j
x
A
A
B
B





Î
Ç
È
 и поэтому 
1
.
k
k
x
A



Î 
 

Из равенства 
1
k
k
A
A




 
 и из включений 
k
k
A
B

 следует, что 

1
1
.
k
k
k
k
A
A
B






  
 

  

Следствие. Пусть   – неотрицательная мера на σ-алгебре 
.
  Если 

,
A

Î
 
1
2
,
,
,
m
B
B
B

Î

 и 
1
,
m

k
k
A
B

 È
 то 
1
.
m

k
k
A
B


 

 

6. Теорема. (О непрерывности меры). Пусть   – произвольная ме
ра на  σ-алгебре   подмножеств множества .
S  Тогда: 

(a) Если последовательность множеств 
,
k
A

Î
 
,
kÎ   возрастает, т.е. 

1
2
,
k
A
A
A

 
   то (
)
1
lim
.
k
k
k
k
A
A








È
 

(b) Если последовательность множеств 
,
k
A

Î
 
,
kÎ   убывает, т.е. 

1
2
,
k
A
A
A





  и 
1
,
A

   то (
)

1
lim
.
k
k
k
k
A
A








Ç
 

Доказательство. (a) Пусть множества 
,
k
A

Î
 
,
kÎ   образуют воз
растающую 
последовательность. 
Обозначим 
1
,
k
k
A
A




 È
   

1
1,
B
A

 
2
2
1
\
,
B
A A

  
3
3
2
\
,
.
B
A A

  

Множества 
,
k
B
 
,
kÎ   принадлежат 
,
  попарно не пересекаются, 

1

k

k
j
j
A
B

 
 для всех k Î  и 
1
1
.
k
k
k
k
A
A
B








È

 Поэтому 

1
1
lim
lim
.
k

k
k
k
k
k
k
j
A
B
B
A








  

 


 

(b) Пусть теперь 
(
)
1
A

   и последовательность множеств 
,
k
A

Î
 

,
kÎ   убывает. Обозначим 
1
k
k
A
A




 Ç
 и 
1\
k
k
B
A A

 для всех 
.
kÎ   

Последовательность множеств 
,
k
B
 
,
kÎ   возрастает и 

(
)
1
1
1
1
1
\
\
.
k
k
k
k
k
k
A
B
A B
A
A











È
Ç
Ç
 

Применяя только что доказанное утверждение (a), получим  

(
)
1
lim
.
k
k
k
k
B
B








È
 

Очевидно, все 
1.
k
B
A

 Поэтому 
1
1
.
k
k
B
A





È
 Отсюда и из условия 

(
)
1
A

   следует (по части (b) теоремы 5), что  

(
)
(
)
1
1
\
,
k
k
k
A
A B
A
B

 
 
 
 

(
)
(
)
1
1
1
1
\
.
k
k
k
k
A
A
B
A
B







 
 
 
È
È
 

Следовательно,  

 
(
)
1
1
k
k
A
A
B





 
 

È
(
)
1
1
lim
lim
k
k
k
k
A
B
A
B







 
  

 
(
)
1
lim
\
lim
.
k
k
k
k
A B
A






  

Замечание. Условие 
1
A

   в части (b) теоремы 6 существенно: Если 

[
)
,
,
k
A
k

    то все 
1
,
k
A

   однако (
)
1
1
1
0.
k
k
A






   
( )
Ç
  

§3.Измеримые функции 

В данном разделе всюду, где явно не указано иное, фиксирована σалгебра   подмножеств множества .
S  Здесь и далее кроме обычных вещественных функций 
:
f A    мы будем рассматривать также функции, допускающие бесконечные значения   и 
,
  т.е. функции 
[
]
:
,
.
f A     Такие функции приходится складывать, перемножать 
и делить друг на друга. Условимся применять следующие естественные 
правила действия с символами 
:
 (известные из теории предела функции) 

(
)
a    
⋅
 при 
(
]
0,
a

Î
,  
(
)
a  

⋅

 при 
[
)
,0 ,
a

Î
 

a
a
    
    и  
0
a


для всех 
(
)
,
,
a
  
Î 
и др. 

 
Не имеют смысла выражения: 

,
  
(
),
  
(
)
(
)
0, 0


⋅
⋅
0,
,
.
0
 
    

1. Определение. Пусть 
.
A

Î
 Отображение 
[
]
:
,
f A     
называется измеримой функцией (точнее, - измеримой функцией), если  
для каждого Î 
(
]
(
)
( )
{
}
1
,
;
.
f
x
A f x

 



Î
>
Î
 

Если 
,
A   то множество 
(
]
(
)
1
,
f 
   совпадает с проекцией на A 

части графика ,f  лежащей выше уровня y    (см. рис. 1).