Задачи олимпиады 2017

 

 

ТОМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ 
Механико-математический факультет 
Кафедра общей математики 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Задачи олимпиады 
2017 года 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Томск 
Издательский Дом Томского государственного университета 
2017 

 

 

ОДОБРЕНО кафедрой общей математики 
Зав. кафедрой доцент Е.Н. Путятина 
 
РАССМОТРЕНО И УТВЕРЖДЕНО методической комиссией 
механико-математического факультета 
Протокол № 4 от 27 апреля 2017 г. 
Председатель методической комиссии О.П. Федорова. 
 
В данной работе представлены задачи с решениями 
олимпиад по математике, которые прошли в Томском 
государственном университете в 2017 г. Большинство задач 
являются авторскими. Некоторые задачи взяты из сборника 
избранных задач из журнала «American mathematical monthly» 
под редакцией В.М. Алексеева, а также из сборника 
«Избранные олимпиадные задачи» Н.Б. Васильева, А.П. Савина 
и А.А. Егорова.  
Предложенные задания могут быть использованы для 
подготовки к олимпиаде по математике студентов дневной 
формы обучения ММФ, ФПМК, РФФ, ФТФ, ФФ, ФИТ, ФИнф, 
МФУ, ХФ, ГГФ, БИ, ИЭМ. 
 
 
АВТОРЫ: 
доцент Н.Ю. Галанова, доцент Л.В. Гензе, 
доцент Я.С. Гриншпон, доцент Е.Г. Лазарева, 
доцент Е.А. Тимошенко. 
 
 
 
 
 
 
 
 
© Томский государственный университет, 2017 

Олимпиада 2017 
(физические факультеты, первый курс) 
Задача 1. Существует ли такое вещественное α, что число 

2
sin   иррационально, а числа 
2
sin 2 , 
2
sin 3  и 
2
sin 4  рациональны? 

Задача 2. Вычислите 




0
lim

x
x

x

x

x

. 

Задача 3. Докажите, что множество матриц A размера 22 с 

вещественными элементами таких, что 
4
1
0
0
1
A


 



, но 

2
1
0
0
1
A


 



, бесконечно. 

Задача 4. При каких натуральных значениях n интеграл 

1
1
1
2
2017
2016
1
n
n
x
x
dx









 выражается через элементарные функ
ции? Сведите данный интеграл к интегралу от рациональной 
функции при всех найденных значениях n. 
Задача 5. Докажите, что функцию 
2
y
x

 нельзя представить 
в виде суммы конечного числа периодических непрерывных 
функций. 
Задача 6. Для произвольного множества A    обозначим 
через S(A) множество, состоящее из всех возможных конечных 
сумм различных элементов множества A (учитываются также суммы, состоящие из одного слагаемого). Например, если 


1;2
A 
, 

то 


( )
1;2;3
S A 
. Найдите наименьшее возможное и наибольшее 

возможное количество элементов в множестве S(A), если множество A содержит четыре элемента. 

Олимпиада 2017 
(физические факультеты, старшие курсы) 
Задача 1. Параллелепипед, построенный на векторах 
3
, ,
a b c 



 , имеет объем, равный 2017. Найдите значение определителя 
, 
составленного 
из 
скалярных 
произведений: 

det

a a
a b
a c

b a
b b
b c

c a
c b
c c








 
















 

 

 




 

 
. 

Задача 2. Вычислите интеграл 
3
2
3 2
x
dx
x
x









. 

Задача 3. Фигура на плоскости называется выпуклой, если 
отрезок, соединяющий любые две ее точки, целиком лежит внутри 
фигуры. Докажите, что при 
[1; 2)
a 
 фигура, ограниченная заданной в полярных координатах кривой 
( )
cos
r
a




, не является 
выпуклой. 

Задача 4. Пусть    . Вычислите 

8
8
sin (
)
cos (
)
lim
ch 2 ch 4
i
i









. 

Задача 
5. 
Исследуйте 
на 
сходимость 
интеграл 

1
0

nx

n
e
dx

















. 

Задача 6. Найдите все дифференцируемые функции f (x), 
удовлетворяющие условиям:  
1) график функции f (x) расположен в первой четверти; 
2) f (1) = 1; 
3) для любой точки M, принадлежащей графику функции 
y = f (x), площадь выпуклого четырехугольника с вершинами в 
точках M, N, O, K равна 1, где N – проекция точки M на ось абсцисс, O – начало координат, K – точка пересечения оси ординат с 
касательной к графику функции y = f (x), проведенной в точке M. 

Олимпиада 2017 
(естественнонаучные факультеты) 
Задача 1. Приведите пример такого α, что число 
2
sin   является иррациональным, а число 
2
sin 2  является рациональным. 
Задача 2. При каждом положительном значении параметра a 

вычислите 

0
1
lim

a
x

x

x
x
a

x





. 

Задача 3. Докажите, что множество матриц A размера 22 та
ких, что 
4
1
0
0
1
A


 



, но 
2
1
0
0
1
A


 



, бесконечно. 

Задача 4. Имеется 2017 кусков сыра разной массы. Можно ли 
разрезать один из этих кусков на две части и разложить весь сыр 
на две кучки так, чтобы массы кучек были одинаковы и в каждой 
кучке было одинаковое число кусков? 
Задача 5. Преподаватель дает студенту листок с тремя различными числами и просит студента записать на чистой доске 
сначала три данных числа, затем все их возможные суммы по два 
различных слагаемых, а в конце – сумму всех трех слагаемых. Если при этом какое-то число оказалось записанным на доске несколько раз, то одно из этих одинаковых чисел оставляют на доске, а остальные стирают. Какое наименьшее и наибольшее количество чисел могут быть записаны на доске в результате этих действий? 
Задача 6. Конец A отрезка AB длины a скользит по положительной полуоси Oy, а конец B – по положительной полуоси Ox из 
вертикального положения отрезка до горизонтального. Точка C 
находится на отрезке AB на расстоянии h от верхнего конца A и 
движется вместе с отрезком. Найдите уравнение кривой, описываемой точкой C, и определите тип этой кривой. 

Решения. 
Физические факультеты. Первый курс. 
Задача 1. Существует ли такое вещественное α, что число 
sin2 α иррационально, а числа sin2 2α, sin2 3α и sin2 4α рациональны? 

Решение. Пусть 
12

 
. Тогда 
6
2
sin
sin 3
4
4













. 

Число 

2

2
6
2
2
3
sin
4
4













 иррационально, в то время как 

числа 

2
2
2
1
1
sin 2
sin 6
2
4











, 

2

2
2
2
1
sin 3
sin 4
2
2













 и 

2

2
2
3
3
sin 4
sin 3
2
4













 рациональны. 

Замечание. Можно было также воспользоваться формулой 

понижения степени 

2
1 cos2
sin
2
k
k




, из которой следует, что 

рациональность 
2
sin k  равносильна рациональности cos2k , и 

заметить, что cos 6

  – иррациональное число, а числа cos 3

 , cos 2

  

и 
2
cos 3

  рациональны. 

 

Задача 2. Вычислите 




0
lim

x
x

x

x

x

. 

Решение. Заметим, что 

0
lim
ln
x
x
x

=

0
ln
lim 1/
x

x
x

= 







=
2
0
1/
lim
1/
x

x
x
 
=
0
lim(
)
x
x

 
 = 0 и 

2

0
lim
ln
x
x
x

=

2

0
ln
lim 1/
x

x
x

= 







=
2
0
2(1/ )ln
lim
(1/
)
x

x
x
x


=
0
lim( 2 ln )
0
x
x
x
 

. 

Тогда 




0
lim

x
x

x

x

x

=

1

0
lim

x
x

x
x




=


1
ln

0
lim

x
x
x

x
e




=

1 ln

0
lim

x
x
x

x
e



= 

=


0
lim
1 ln
x
x
x
x
e 

=


ln
0
lim
1 ln
x
x
x
e
x
e 

=
0
lim
ln
ln
x
x
x
x
e 


=

2

0
lim
ln
x
x
x
e 

= 1. 
Ответ: 1. 
 
Задача 3. Докажите, что множество матриц A размера 22 с 

вещественными элементами таких, что 
4
1
0
0
1
A


 



, но 

2
1
0
0
1
A


 



, бесконечно. 

Решение. Для доказательства достаточно найти бесконечное 

множество матриц, удовлетворяющих условию 
2
1
0
0
1
A



 




. 

Этим 
свойством 
обладают, 
например, 
матрицы 
вида 

2
1
1
a
a
A
a




 





, где a — произвольное вещественное число. 

 
Задача 4. При каких натуральных значениях n интеграл 

1
1
1
2
2017
2016
1
n
n
x
x
dx









 выражается через элементарные функции? 

Сведите данный интеграл к интегралу от рациональной функции 
при всех найденных значениях n. 

Решение. Проверим условия теоремы Чебышева (о диффе
ренциальном биноме): 

1
1
2016
2017
2016
1
2017
2016

n
n
n
n
n










 . Заме
тим, что n = 1 удовлетворяет этому условию, а при n > 1 выполняется неравенство 2016 + n < 2017n, противоречащее данному условию. 

Условие 

1
1
1
2016
1
2017
2016
1
2
2017
2
2016

n
n
n
n
n












  противо
речит неравенству 2016
1
2017
2
n
n


, верному при всех натуральных 

n ≥ 3. Подстановкой убеждаемся, что n = 1 и n = 2 также не удовлетворяют данному условию. 

Таким образом, интеграл 

1
1
1
2
2017
2016
1
n
n
x
x
dx









 выражается 

через элементарные функции только при n = 1. В этом случае име
ем интеграл 

1
1
1
2
2017
2017
1
x
x
dx








, который сводится к интегралу от 

рациональной функции с помощью замены 

1
1
2
2017
1
t
x








. Полу
чаем 


2017
2
1
x
t


, 



2016
2
4034
1
dx
t t
dt


 
и 




1
1
1
2
2017
2
2
2017
2017
1
4034
1
x
x
dx
t
t
dt











. 

Ответ: n = 1, интеграл сводится к 



2017
2
2
4034
1
t
t
dt


. 

 
Задача 5. Докажите, что функцию 
2
y
x

 нельзя представить в 
виде суммы конечного числа периодических непрерывных функций. 
Решение. Рассмотрим периодическую непрерывную функцию 
f (x) с периодом T. По теореме Вейерштрасса f (x) ограничена на 
отрезке [0; T], а в силу периодичности f (x) ограничена на всей 
числовой прямой. Следовательно, конечная сумма периодических 
непрерывных функций также ограничена на всей прямой, а значит, 
она не может совпадать с неограниченной функцией 
2
y
x

. 
 
Задача 6. Для произвольного множества A    обозначим 
через S(A) множество, состоящее из всех возможных конечных 
сумм различных элементов множества A (учитываются также суммы, состоящие из одного слагаемого). Например, если 


1;2
A 
, то 



( )
1;2;3
S A 
. Найдите наименьшее возможное и наибольшее 
возможное количество элементов в множестве S(A), если множество A содержит четыре элемента. 
Решение. Так как 
( )
A
S A

, то в множестве S(A) содержится 
по крайней мере четыре элемента. Предположим, что S(A) состоит 
ровно из четырех элементов. Тогда 


( )
; ; ;
A
S A
a b c d


, а значит, 
сумма всех элементов равна какому-то элементу множества A. Не 
теряя общности, можно считать, что 
a
b
c
d
d

 

, т.е. 
0
( )
a
b
c
S A
A





. Пусть d = 0. Тогда 
( )
a
c
b
S A
A

  

, 
причем так как 
0
a 
 и 
0
b 
, то 
b
b
 
, 
b
c
a
b
 
  
 и 
0
b
d
 

. Значит, b
a
 
 и 
0
c
a
b
  

 – противоречие. Пусть 
теперь один из элементов a, b или c является нулевым, например, 
с = 0. Тогда 
0
a
b


 и 
( )
a
d
S A
A



, причем так как 
0
a 
, 
0
d 
 и d
b
a

  , то a
d
a


, a
d
d


 и 
0
a
d
c



. Значит, 

a
d
b
a


   
и 
2
d
a
 
. 
Аналогично 
b
d
a
b


   
и 
2
2
d
b
a
 

. Таким образом, 
2
2
d
a
a
 

 и a = 0 – противоречие.  
Множество 


1;0;1;2
A  
, для которого 


( )
1;0;1;2;3
S A  
, 
показывает, что наименьшее количество элементов в S(A) равно 
пяти. 
Если 


; ; ;
A
a b c d

, то множество S(A) состоит из элементов 
вида a; b; c; d; a + b; a + c; a + d; b + c; b + d; c + d; a + b + c; 
a + b + d; a + c + d; b + c + d; a + b + c + d, т.е. содержит не более 15 
элементов. 
Для 
множества 


1;2;4;8
A 
 
выполняется 


( )
1;2;3;4;5;6;7;8;9;10;11;12;13;14;15
S A 
, а значит, наибольшее 
количество элементов в S(A) равно пятнадцати. 
Комментарий 1. Тот факт, что S(A) ≠ A, можно было доказать 
так: во множестве A содержится по крайней мере три ненулевых 
элемента, а значит, хотя бы два элемента одного знака. Тогда сумма двух наибольших по модулю элементов одного знака принадлежит S(A), но не принадлежит A. 
Комментарий 2. Оценку для наибольшего количества элементов в S(A) можно было получить комбинаторно, так как известно, что количество непустых подмножеств n-элементного 
множества равно 2
1
n  .  
 
 
Решения. 
Физические факультеты. Старшие курсы. 
Задача 1. Параллелепипед, построенный на векторах 
3
, ,
a b c 



 , имеет объем, равный 2017. Найдите значение определителя 
, 
составленного 
из 
скалярных 
произведений: 

det

a a
a b
a c

b a
b b
b c

c a
c b
c c








 
















 

 

 




 

 
.