Обучение решению задач по математике в 4 классе


ВЫСШЕЕ ОБРАЗОВАНИЕ - БАКАЛАВРИАТ

серия основана в 1 996 г.





А.В. БЕЛОШИСТАЯ

ОБУЧЕНИЕ
РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ ПО МАТЕМАТИКЕ
В 4 КЛАССЕ

    УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ


        Рекомендовано Межрегиональным учебно-методическим советом профессионального образования в качестве учебного пособия для студентов высших учебных заведений, обучающихся по педагогическим направлениям подготовки (квалификация (степень) «бакалавр») (протокол № 1 от 20.01.2021)


znanium.com

Москва
ИНФРА-М 2021

УДК 372.851(075.8)
ББК 74.262.21я73 Б43



   ФЗ    Издание не подлежит маркировке   
№ 436-ФЗ в соответствии с п. 1 ч. 4 ст. 11

      Белошистая А.В.
Б43 Обучение решению задач по математике в 4 классе : учебное пособие / А.В. Белошистая. — Москва : ИНФРА-М, 2021. — 285 с. — (Высшее образование: Бакалавриат). — DOI 10.12737/1537873.
         ISBN 978-5-16-017029-9 (print)
         ISBN 978-5-16-109693-2 (online)
         В учебном пособии рассмотрена методика работы над задачами в 4 классе при обучении математике по любому учебнику, входящему в Федеральный образовательный комплект. Содержит подробный методический анализ всех типов задач, которые встречаются в различных учебниках математики для 4 класса, а также конкретные фрагменты ситуаций работы с задачами на уроках.
         Будет полезно как преподавателям методики математики в вузах и педучилищах, так и студентам педагогических специальностей, а также педагогам-практикам, работающим в школах, репетиторам всех уровней и родителям, помогающим детям в учебе.


УДК 372.851(075.8)
ББК 74.262.21я73








ISBN 978-5-16-017029-9 (print)
ISBN 978-5-16-109693-2 (online)


© Белошистая А.В., 2009, 2021

ООО «Научно-издательский центр ИНФРА-М» 127214, Москва, ул. Полярная, д. 31В, стр. 1
Тел.: (495) 280-15-96, 280-33-86. Факс: (495) 280-36-29
E-mail: books@infra-m.ru http://www.infra-m.ru

Подписано в печать 24.05.2021.
Формат 60x90/16. Бумага офсетная. Гарнитура Petersburg.
Печать цифровая. Усл. печ. л. 17,81.
Тираж 500 экз. (I — 50). Заказ № 00000
ТК 756090-1537873-240521

Отпечатано в типографии ООО «Научно-издательский центр ИНФРА-М» 127214, Москва, ул. Полярная, д. 31В, стр. 1
Тел.: (495) 280-15-96, 280-33-86. Факс: (495) 280-36-29

    Содержание

Предисловие............................................................4
1. Задача на уроке математики в начальных классах......................8
2. Технология обучения решению задач в 4-м классе...................11
2. 1. Особенности работы над задачей................................11
2. 2. Пример организации полной работы над задачей..................15
2. 3. Использование эффективной модели при работе над задачей.........19
2. 3. 1. Как использовать схемы в «отрезках» при решении задач........19
2.  3. 2. Как использовать графические модели при обучении решению задач «на движение»..............,.............30
2.  3. 3. Как графические модели помогают развивать умение решать задачи разными способами............................  39
3.  Простые и составные задачи стандартного вида в учебниках математики для 4-го класса..............................44
3.  1. Задачи на сложение и вычитание...........................'......... 44
3.  2. Задачи «на пропорциональную зависимость».....................  47
3.  3. Задачи «надвижение»....,.......................................55
3.  4. Комплексные задачи.............................................59
4.  Задачи с дробями..................................................66
5.  Решение задач на основе составления уравнения.....................75
6.  Задачи нестандартного вида в учебниках математики для 4-го класса.81

Статьи из методических журналов...................................... 284
Библиографический список ............................................ 285

3

    Предисловие

   Обучение младших школьников решению задач традиционно является неотъемлемой частью обучения ребёнка математике в начальных классах, поскольку задачи — это и важнейшее средство формирования математических знаний, умений и навыков, и одна из основных форм учебной деятельности в процессе изучения математики, а также средство математического развития ребёнка. Сопоставительный анализ категорий «математическое развитие» и «общее развитие» на возрастном этапе «младший школьник» показывает, что эти категории имеют много общего. Психолого-дидактический анализ новых технологий обучения решению задач ребёнка младшего возраста подтверждает, что правильно организованный процесс обучения решению задач может быть действенным средством общего развития младшего школьника.
   Традиция составления учебников математики такова, что с большим количеством субъективно трудных для ребёнка задач учитель сталкивается только в 4-м классе. Опыт работы автора с учителями показывает, что чаще всего учителя просят рассмотреть методику работы над конкретными задачами именно из программы 4-го класса. Естественно, первый закономерный ответ на такую просьбу состоит в том, что процесс обучения решению задач является длительным и трудоёмким, и если не подойти к нему со всей серьёзностью уже в 1-м классе, то плоды этого «методического небрежения» как раз и «созревают» к 4-му классу, когда в учебниках начинают встречаться задачи, действительно требующие от ребёнка применения целого арсенала приёмов работы с задачей. Однако такой ответ не поможет учителю (или репетитору, который часто именно в 4-м классе призывается родителями для срочного «латания дыр» в образовании ребёнка) и, более того, может вселить в учителя уверенность, что в 4-м классе уже поздно начинать учить решать задачи.

4

    К сожалению, такая ситуация достаточно часто встречалась автору: по поводу неумения ребёнка решать задачи родители и учителя начинают бить тревогу именно в 4-м классе. А на вопрос: «Где же вы были раньше?» — отвечают: «А раньше такой проблемы не было, до 4-го класса ребёнок в целом с задачами справлялся». С методической точки зрения такая ситуация представляет собой нонсенс: если ребёнок до 4-го класса действительно решал задачи, он не может вдруг разучиться это делать в 4-м классе. Скорее всего до 4-го класса ситуацию спасало то, что в учебниках содержались в большинстве своем тексты задач, с которыми ребёнку удавалось справляться либо по данному в классе образцу решения (типовые задачи), либо по «методу тыка» (угадывание).
    Учебники для 4-го класса во всех системах обучения отличаются тем, что они содержат намного больше задач, чем учебники предыдущих годов обучения (в некоторых системах это количество увеличивается вдвое против 3 класса), а сами задачи становятся гораздо более разнообразными и уже не поддаются той типизации, которая была возможна в 1-3-х классах. Даже при обучении студентов автор этого пособия наблюдает трудности, которые они испытывают при определении типов задач в 4-м классе и выявлении в них характерных математических структур. Эта ситуация приводит к тому, что довольно часто даже учитель подходит к большей части задач как к «самостоятельной проблеме», то есть не только сам не видит общности используемых в них математических структур, но и не может помочь детям систематизировать их и выработать некий общий подход к их решению.
    Исходя из этого, автор данного пособия поставил себе целью помочь учителю (или тому, кто начинает работать с ребёнком в этом направлении в 4-м классе) в организации на уроке (или в индивидуальной работе с ребёнком) такой методической ситуации, которая будет способствовать выработке у него общего подхода к процессу решения любой задачи. Основной целью этой работы является формирование и развитие у ребёнка синтетических и аналитических типов подходов к решению задачи. Выбор этого направления работы над развитием умения решать задачи обусловлен несколькими причинами:

5

    1)    В 4-м классе в распоряжении учителя начальных классов остаётся только один год для того, чтобы «выправить» ситуацию с обучением решению задач перед тем, как ребёнок уйдет в среднюю школу, где учитель-предметник ожидает, что умение решать арифметические задачи в объёме начальной школы у ребёнка сформировано.
    2)    Аналитические и синтетические способы подхода к решению задачи являются классическими, универсальными и будут «работать» не только в начальной школе, но и в дальнейшем обучении математике школьника при решении любой алгебраической или геометрической задачи.
    Поскольку обозначенные способы работы над задачей являются классическими, наши читатели могут подумать, что ничего нового в этой книжке они для себя не найдут. Однако это не так. Упомянутый классический способ решения задачи является очень трудным для ученика не только начальной, но и средней школы, если он не опирается на структурную модель ситуации задачи, воспринимаемую ребёнком визуально. Это обусловлено тем, что в возрасте 7—12 лет ведущим видом мышления человека является наглядно-образное мышление, и поэтому, если структурная модель задачи не представлена в виде, соответствующем этому типу мышления, она ребёнком не осознаётся и не усваивается. Иными словами, смысл и цель работы над задачей, проводимой учителем, ребёнком «не схватываются». В этой ситуации количество «решённых» таким образом на уроке задач не играет никакой положительной роли.
    Данные материалы представляют собой методическое пособие, в котором рассмотрена система обучения решению задач в 4-м классе четырехлетней начальной школы. В нём рассмотрены все основные типы задач, встречающиеся в учебниках математики для 4-го класса, и методика работы с ними. При этом большая часть пособия посвящена методике работы с нетиповыми задачами. Это обусловлено тем, что учителя испытывают наибольшие методические трудности именно при работе с задачами нетрадиционного вида: не могут придумать методические подходы к обучению детей их решению, и поэтому не любят работать с нетрадиционными задачами. Очень часто при необходимости такой работы на уроке учитель идёт наиболее простым путем: рассказывает детям, как решить эту задачу или активно руково

6

дит её решением на уроке, оставляя на долю детей лишь репродуктивные ответы на умело поставленные вопросы. Такая методика приводит к тому, что в случае необходимости самостоятельной работы с такими задачами дети теряются и не могут сориентироваться ни в сложном условии, ни в составлении плана решения. А ведь именно умение решать нетиповые задачи является показателем хорошего математического развития ребёнка.
    В пособии приводятся примеры использования различных методических приёмов на этапах подготовки к восприятию текста задачи, разбора текста, анализа задачи (взаимосвязей между данными и искомым), работы над задачей после её решения. Приводятся примеры использования различных видов моделирования текстов задач, помогающие детям самостоятельно справиться с задачей. При этом обучение решению сюжетных задач в 4-м классе рассматривается с точки зрения общего развития учащихся и овладения ими умениями решать любую арифметическую задачу начального курса математики.
    Данное пособие также может быть использовано в качестве справочника по методике обучения решению задач в 4-м классе начальной школы.

   Список пособий, которые помогут научить ребенка решать задачи в 4-м классе
   В случае затруднений с решением задач у ребенка рекомендуем обратиться к следующим пособиям, содержащим только методические рекомендации к обучению решению задач. Эти материалы можно заказать через интернет-магазины или с сайтов издательств. На сайтах издательств книги обычно имеются в режиме онлайн-чтения.
   1.    Белошистая А.В. Обучение решению задач в начальной школе / А.В. Белошистая. — М.: ИНФРА-М, 2016 (2017, 2018).
   2.    Белошистая А.В. Учимся решать задачи. 3 класс / А.В. Бело-шистая. — М.: Эксмо, 2017.
   3.    Белошистая А.В. Учимся решать задачи. 4 класс / А.В. Бело-шистая. — М.: Эксмо, 2017.

7

    1. ЗАДАЧА НА УРОКЕ МАТЕМАТИКИ В НАЧАЛЬНЫХ КЛАССАХ

   Вопрос.о роли задач в начальном курсе математики является дискуссионным, поскольку, с одной стороны, обучение решению задач рассматривается как цель обучения (ребенок должен уметь решать задачи!), а с другой стороны, — процесс обучения решению задач рассматривается как способ математического в частности и интеллектуального в целом развития ребёнка.
   Сторонники первого подхода придерживаются чёткой иерархии в построении системы обучения решению задач: в нарастании сложности задач (сначала простые задачи, затем составные в два действия, далее — составные большего количества действий), а также в чётком разграничении типов задач с целью прочного усвоения детьми способов решения этих типов.
   Другой подход требует при подборе задач ориентироваться на определенные интеллектуальные (мыслительные) действия, которые могут формироваться при работе над той или иной задачей. Этот подход требует учить детей выполнять семантический и структурный анализы текста задачи вне зависимости от её типа и количества действий, выявлять взаимосвязи между условием и требованием, данными и искомым и описывать их каким-то образом — либо через промежуточную модель (рисунок, краткую запись, схему), либо сразу в математических символах (символическая модель) в виде записи решения. В этом случае обучение решению задач будет являться средством интеллектуального развития ребёнка.
   Предполагается, что результатом этого интеллектуального развития будет являться в том числе и умение решать задачи любого типа и уровня сложности. В связи с этим все учебники математики, построенные на основе этого подхода, содержат на последнем году обучения

8

в начальной школе большое количество нетиповых задач высокого уровня сложности.
    Кратко охарактеризуем задачу как математическое понятие. В начальных классах под задачей подразумевается специальный текст, в котором обрисована некая житейская ситуация, охарактеризованная численными компонентами. Ситуация обязательно содержит определенную зависимость между этими численными компонентами. Таким образом, текст задачи можно рассматривать как словесную модель реальной ситуации в действительности.
    Непосредственно ситуация обычно задается в той части задачи,' которая называется условием. Завершается ситуация требованием найти неизвестный компонент. Требование может быть выражено в форме вопроса. Одни численные компоненты в задаче заданы — они называются «данными», другие необходимо найти — их называют «искомыми».
    В условии задачи указываются связи между данными числами, а также между данными и искомым •— эти связи определяют выбор арифметических действий, необходимых для решения задачи.
    Для полноценной работы над задачей ребёнок должен уметь:
    а) хорошо читать и понимать смысл прочитанного;
    б)    анализировать текст задачи, выявляя его структуру и взаимоотношения между данными и искомым;
    в) правильно выбирать и выполнять арифметические действия;
    г)    записать решение задачи с помощью соответствующей математической символики.
    При решении задачи ребёнок как минимум дважды выполняет перекодировку словесно заданной ситуации задачи — сначала переводя её текст в краткую запись, рисунок или схему для выявления связей между данными и искомым, а затем еще раз переводя выявленную зависимость на язык математических знаков и символов (запись решения).
    Таким образом, под решением задачи можно понимать процесс перекодировки учеником словесно заданного сюжета, имеющего численные компоненты и характерную структуру, на язык арифметической записи.
    Для эффективного выполнения такой перекодировки ребёнок должен свободно владеть анализом предложенной словесной струк

9

туры. Как уже было отмечено, под характерной структурой подразумевается опознаваемое в тексте условие и требование.
   Условие — та часть текста, в которой заданы сюжетная ситуация, численные компоненты этой ситуации й связи между ними. В стандартной формулировке условие выражается одним или несколькими повествовательными предложениями, содержащими численные компоненты.                  '
   Требование — та часть текста, в которой указана (названа, обозначена) искомая величина (число, множество). В стандартной формулировке учебников начальных классов требование обычно выражено вопросом, начинающимся словом «Сколько...?» и заканчивающимся знаком вопроса. Именно на эти внешние частные признаки условия и требования привыкают ориентироваться дети, если стандартные формулировки используются учителем (учебным пособием) постоянно и в большинстве случаев. При таком подходе у ребёнка формируется негибкий (конвергентный) стереотип восприятия этих признаков задачи, и любое незначительное видоизменение структуры текста может создать ребёнку значительные трудности.
   Данные — это, как правило, численные (числовые) компоненты текста задачи. Они характеризуют количественные отношения предлагаемой в задаче ситуации: значения величин, численные характеристики множеств, численные характеристики отношений между ними.
   Работа с данными заключается в обучении их распознаванию. Если задача сформулирована стандартным образом, то данные в ней обозначены числами и их легко выделить из текста. Численные значения величин и численные характеристики множеств обычно обозначены числами. Численные характеристики отношений между ними могут быть обозначены не числом, а словом, например: «в два раза больше», «столько же, сколько в первом» и т.п. В этом случае дети могут «терять» данные и вообще не воспринимать эти численные характеристики как данные. Провоцируется такая ситуация тем, что все тексты в начальной школе содержат данные, выраженные численно.
   Искомое — нахождение искомого в численном выражении обычно является конечной целью процесса решения арифметической задачи.

10

2.   ТЕХНОЛОГИЯ ОБУЧЕНИЯ РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ В 4-М КЛАССЕ

    2. 1. Особенности работы над задачей

   Методически принято выделять следующие этапы работы над задачей на уроке:      ,
   1) подготовительная работа;
   2) работа по разъяснению текста задачи;
   3)    разбор задачи (анализ), поиск пути решения и составление плана решения;
   4) запись решения и ответа;
   5) проверка, или работа над задачей после её решения^
   1)    Подготовительная работа к решению составной задачи в 4-м классе включает в себя: повторение различных соотношений величин, используемых в задаче; устное решение простых задач, готовящих детей к узнаванию этих же структур в тексте составной задачи; повторение правил, характеризующих пропорциональную зависимость величин (скорость, расстояние, время; цена, количество, стоимость и др.).
   2)    Работа по разъяснению текста простой задачи заключается в том, что педагог выясняет все ли слова и обороты текста понятны детям. В 4-м классе появляются такие незнакомые многим детям словосочетания как «производительность труда», «расход горючего», «выработка в единицу времени» и др.
   3)    Разбор задачи — поиск пути решения и составление плана решения задачи называют обычно её анализом.
   Подход к разбору может быть аналитическим — в начальной школе говорят обычно «от вопроса» и синтетическим — «от данных».
   Приведем примеры обоих видов разбора на простой задаче.
   Задача: «В нашем городе было 10 школ, а в этом году построили новые школы и всего стало 12 школ. Сколько новых школ построили в этом году?»

11