Исследование температурной зависимости электропроводимости металлов и полупроводников

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ 
НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ 
ТОМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ 
Физический факультет 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ИССЛЕДОВАНИЕ  
ТЕМПЕРАТУРНОЙ ЗАВИСИМОСТИ  
ЭЛЕКТРОПРОВОДНОСТИ МЕТАЛЛОВ 
И ПОЛУПРОВОДНИКОВ 
 
Методические указания 
для выполнения лабораторных работ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Томск 
Издательский Дом Томского государственного университета 
2017 

РАССМОТРЕНО И УТВЕРЖДЕНО методической комиссией         
физического факультета 
 
Протокол № 2  от  «22» сентября 2016 г. 

Председатель комиссии: 
Н.Г. Брянцева 

 
 
Рецензент – Э.Д. Ковалёнок 
 
В методическом пособии на качественном уровне рассматриваются элементы зонной теории твёрдых тел. Приводится методика эксперимента по определению температурной зависимости 
электросопротивления металлов и полупроводников. 
 Методические указания предназначены для студентов физических специальностей дневной формы обучения. 
 
 
 
 
 
СОСТАВИТЕЛЬ: доцент Н. И. Федяйнова 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
© Томский государственный университет, 2017 

ИССЛЕДОВАНИЕ ТЕМПЕРАТУРНОЙ ЗАВИСИМОСТИ 

ЭЛЕКТРОПРОВОДНОСТИ МЕТАЛЛОВ

И ПОЛУПРОВОДНИКОВ

Цель работы: Изучить температурную зависимость электропроводности твёрдых тел. Рассчитать на основе экспериментальных 
данных основные параметры металлического и полупроводникового образцов в рамках зонной теории электропроводности.

ЭЛЕМЕНТЫ ЗОННОЙ ТЕОРИИ МЕТАЛЛОВ 

И ПОЛУПРОВОДНИКОВ 

Наиболее последовательно существование твёрдых тел с раз
личной степенью электропроводности, то есть разделение их на 
металлы, диэлектрики и полупроводники, объясняется с точки 
зрения зонной теории. 

Точное решение уравнения Шрёдингера возможно только для 

небольшого числа простейших силовых полей. Однако довольно 
часто оказывается, что реальные физические системы не очень 
сильно отличаются от идеализированных систем, допускающих 
точное решение. В этом случае приближенное решение задачи о 
собственных функциях и собственных значениях сводится к 
нахождению поправок к точному решению идеализированной задачи. Общий метод вычисления этих поправок называется теорией 
возмущений.

Такой подход позволяет при рассмотрении твёрдых тел ввести 

так называемое адиабатическое приближение. То обстоятельство, что массы ядер на несколько порядков больше массы электронов даёт возможность в нулевом приближении рассматривать 
решётку как «замороженную»  в произвольной конфигурации, а в 
следующих приближениях рассматривать движение ионов в узлах 
кристаллической решётки как возмущение. Адиабатический принцип очень важен, поскольку позволяет отделить движение ионов 
от движения электронов таким образом, что остаётся только остаточное взаимодействие между электронами и фононами.

Далее используется приближение самосогласованного поля.

Это приближение даёт возможность при изучении электронного 
спектра кристалла вместо динамической задачи обо всех взаимодействующих электронах кристалла рассматривать задачу о движении одного электрона в некотором эффективном поле, создаваемом всеми другими электронами и ядрами кристалла. Такое самосогласованное поле обладает периодичностью кристаллической 
решётки. 

Зонная структура энергетических уровней получается непо
средственно из решения уравнения Шрёдингера для электрона, 
движущегося в периодическом силовом поле.

Проследим на качественном уровне, как изменяется электрон
ный спектр атомов при их сближении. Рассмотрим следующий 
мысленный сценарий образования кристалла из N одинаковых 

атомов. Энергетический спектр электронов в изолированном атоме 
представляет собой ряд дискретных уровней. По мере сближения 
атомов между ними возникает всё усиливающееся взаимодействие, которое приводит к расщеплению каждого уровня на N густо расположенных уровней, образующих полосу или зону (рис.1).
В результате спектр возможных значений энергии электронов распадается на ряд чередующихся разрешённых и запрещённых зон, 
схематически изображённых на рис.2. При этом ширина зон не 
зависит от размеров кристалла, а определяется степенью связи 
электронов с ядрами.

Рис. 1

В основном состоянии (T = 0K) заполнение энергетических 

уровней электронами в соответствии с принципом Паули приводит 
к различным ситуациям, которые и определяют различие в электрических свойствах рассматриваемых кристаллов.

Разрешённую зону, возникающую из того уровня, на котором 

находятся валентные электроны в изолированном атоме, называют 
валентной зоной. При абсолютном нуле температуры все разре
Запрещённая зона

Запрещённая зона

Рис. 2

Запрещённая зона

Частично
заполненная

зона

Свободная

зона

Рис. 3

шённые зоны, расположенные по энергии ниже валентной, полностью заполнены электронами, а все разрешённые зоны выше валентной полностью свободны от электронов.  В зависимости от 
степени заполнения валентной зоны электронами и ширины расположенной над ней запрещённой зоны возможны три случая.

В случае, изображённом на рис.3, электроны заполняют ва
лентную зону не полностью. При наложении даже слабого электрического поля на кристалл электроны валентной зоны могут 
ускоряться электрическим полем и приобретать дополнительную 
скорость, потому что этот процесс набора скорости, а значит и кинетической энергии, означает переходы электронов на более высокие энергетические уровни в валентной зоне. Следовательно, электроны этой валентной зоны могут переносить электрический ток 
даже при абсолютном нуле температур. Кристалл с подобной схемой заполнения энергетических уровней является металлом.

К металлам (проводникам) относятся также вещества, у кото
рых валентная зона перекрывается со следующей свободной зоной 
(зоной проводимости), то есть ширина запрещённой зоны равна 
нулю.

Во втором случае (рис. 4 a, b), все уровни валентной зоны при 

абсолютном нуле температуры заняты электронами. При этом, что 
бы увеличить энергию электрона, ему необходимо сообщить энергию, не меньшую, чем ширина запрещённой зоны, которая для диэлектриков составляет единицы эВ. Электрическое поле, (при ко
a
Рис. 4
b

тором ещё не происходит электрический пробой кристалла) сообщить такую энергию не в состоянии. В этом случае при T = 0 кристалл не проводит электрический ток, то есть является диэлектриком или полупроводником. Разделение кристаллов на диэлектрики 
и полупроводники определяется шириной запрещённой зоны.

При температурах, отличных от нуля Кельвина, средняя кине
тическая энергия электронов составляет порядка kT, что при комнатной температуре обычно значительно меньше ширины запрещённой зоны. Однако всегда имеются электроны, у которых энергия движения значительно больше средней, часть таких электронов оказывается способной «перескочить» из валентной зоны (через запрещённую) в зону проводимости. Этот процесс называется 
тепловой генерацией «зона-зона». Очевидно, что процесс тепловой 
генерации идёт тем интенсивнее, чем выше температура. В итоге в 
зоне проводимости появляются электроны, способные создавать 
электрический ток. Их концентрация в диэлектриках весьма мала 
(из-за большой ширины запрещённой зоны,
например, для

𝑁𝑎𝐶𝑙 ∆𝐸 = 6 эВ). Поэтому диэлектрики являются изоляторами.

У полупроводников ширина запрещённой зоны меньше одного 

эВ (для германия ∆𝐸 = 0,72 эВ) и концентрация генерируемых в 
зону проводимости электронов существенно больше. Поэтому 
проводимость полупроводников при одинаковых температурах 
значительно больше, чем у диэлектриков.

Следует отметить, что каждый акт тепловой генерации «зона –

зона» приводит к образованию пары: электрон в зоне проводимости и свободный уровень («дырка») в валентной зоне. Существует 
и обратный процесс: переход электрона из зоны проводимости в 
валентную зону на свободный уровень. Этот процесс называется 
рекомбинацией. Равновесная концентрация свободных электронов 
в зоне проводимости устанавливается в результате динамического 
равновесия между процессами генерации и рекомбинации. 

ЭЛЕКТРОПРОВОДНОСТЬ МЕТАЛЛОВ

Рассмотрим элементы квантовой теории для модели свободных 

электронов, которая является нулевым (и, тем не менее, достаточ

но хорошим) приближением в случае слабой связи. Эта модель 
хорошо описывает валентные электроны атомов металла, которые 
могут почти свободно перемещаться в пределах образца. Именно 
эти электроны обеспечивают электропроводность металла и поэтому их называют электронами проводимости. Электроны, как 
частицы с полуцелым спином, подчиняются принципу Паули, то 
есть являются фермионами, описывающимися статистикой Ферми 
– Дирака. 

Таким образом, совокупность квазисвободных электронов в ме
таллическом кристалле можно рассматривать как идеальный газ, 
описываемый статистикой Ферми-Дирака и называемый вырожденным электронным газом (здесь слово «вырожденный» означает, что свойства газа описываются квантовой, а не классической 
статистикой).

Рассмотрим некоторые важные свойства вырожденного электронного 

газа в металлическом кристалле, вытекающие из распределения:

𝑓(𝐸) =
1

𝑒

𝐸−𝐸𝑓

𝑘𝑇 + 1

.    

На рисунке 5 приведена функция распределения при темпера
туре абсолютного нуля, когда все энергетические уровни заполнены вплоть до максимальной энергии – энергии Ферми (𝐸𝑓). Энер
𝑓0(𝐸)

𝐸𝑓

1

0

𝐸

Рис. 5

гия Ферми для электронного газа в металле весьма велика. В температурном выражении (которое определяется соотношением 
𝐸𝑓 = 𝑘𝑇𝑓) она составляет десятки тысяч кельвинов. Например, для 
серебра 𝑇𝑓 = 64000𝐾, для меди
 𝑇𝑓 = 82000𝐾. Средняя энергия 

электрона в газе при абсолютном нуле температуры равна 3 5 𝐸𝑓
⁄

и, следовательно, эквивалентна десяткам тысяч кельвинов. Состояние вырожденного электронного газа в кристалле при абсолютном нуле является основным квантовым состоянием с наименьшей 
возможной энергией. Из приведённых оценок следует, что, будучи 
минимальной, энергия электронов при абсолютном нуле по своей 
величине весьма велика. Она представлена в форме кинетической 
энергии движения электронов по кристаллической решётке. Скорости этого движения имеют порядок 106 м с
⁄ и составляют сотые 

доли скорости света.

При нагревании металлического кристалла до температур, ма
лых по сравнению с температурой, соответствующей энергии 
Ферми  𝑇𝑓, распределение электронов по энергиям изменяется 
весьма незначительно (рис 6).

Лишь малая часть электронов ( меньше 1% от их общего числа), 

энергия которых близка к энергии Ферми, подвергается тепловому 
возбуждению и увеличивает свою энергию на величину порядка 
𝑘𝑇, малую по сравнению с энергией Ферми:  𝑘𝑇 ≪ 𝐸𝑓. Поскольку 
энергия Ферми в температурном выражении составляет несколько 
десятков тысяч кельвинов, то речь идёт о нагревании до темпера
𝑓(𝐸)

𝐸

1

𝐸𝑓

0

Рис. 6

тур, близких к температурам плавления металлических кристаллов. Поэтому вывод о малом изменении функций распределения 
при нагревании может быть распространён на всю область температур, при которых мы имеем дело с металлами в твёрдом состоянии.

Этот вывод, в частности, положен в основу квантовой теории 

проводимости металлов, в рамках которой средняя скорость беспорядочного движения электронов проводимости и их концентрация считаются не зависящими от температуры постоянными величинами.

Когда металл помещают в электрическое поле, каждый элек
трон проводимости получает приращение скорости, определяемое 
напряженностью поля. Это дополнительное к хаотическому движению электронов движение под действием электрического  поля 
называется дрейфом электронов, а соответствующая скорость упорядоченного движения – дрейфовой  скоростью. Приращение скорости с течением времени не будет увеличиваться до бесконечности, так как в кристалле всегда имеются процессы рассеяния электронов, стремящиеся вернуть распределение электронов по скоростям к хаотическому. При этом рассеивающими факторами являются отклонения от идеальной периодичности решётки. Это могут 
быть дефекты решётки, присутствие в ней различных примесей, 
нарушение периодичности потенциала решётки в результате тепловых колебаний (рассеяние на фононах). Процессы рассеяния 
стремятся вернуть электроны в равновесное состояние. Если 
внешнее электрическое поле постоянное, то между этими двумя 
процессами устанавливается динамическое равновесие, наступает 
так называемое стационарное состояние. Значение дрейфовой скорости на много порядков меньше скорости хаотического движения 
электронов (оценки скорости дрейфа электронов в кристалле меди 
в поле напряжённости 10−8 В м
⁄
дают величину 𝑉др ≈ 0,3 м с).
⁄

Поэтому с приложением электрического поля средняя скорость 
электронов в проводнике остаётся практически неизменной.

Электросопротивление реального металла, в котором в той или 

иной степени присутствуют все виды рассеяния электронов проводимости, представляется в виде двух слагаемых: