Определение периода полураспада радиоактивного изотопа по длине пробега а-частиц

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ 
РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ 
НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ 
ТОМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ 
 
 
 
 
 
 
 
 
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПЕРИОДА ПОЛУРАСПАДА 
РАДИОАКТИВНОГО ИЗОТОПА 
ПО ДЛИНЕ ПРОБЕГА α-ЧАСТИЦ 
 
 
Методические указания  
для проведения лабораторных работ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Томск 
Издательский Дом Томского государственного университета 
2016 
 
 

РАССМОТРЕНО И УТВЕРЖДЕНО методической комиссией 
физического факультета 
Протокол № ___ от «____» __________ 2016 г. 
Председатель комиссии Н.Г. Брянцева 

 

 

В методических указаниях рассмотрен α-распад тяжелых ядер. 
Приводится теория этого явления. Рассматривается способ 
экспериментального определения длины пробега α-частиц и 
нахождения периода полураспада ядер и энергии α-частиц. 
Методические 
указания 
разработаны 
для 
студентов 
физического, 
радиофизического 
и 
физико-технического 
факультетов. 
 

 

 

 

 

СОСТАВИТЕЛЬ: доцент И.И. Клыков 

 
 
 
 
 
 
 
© Томский государственный университет, 2016 

 
 

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПЕРИОДА ПОЛУРАСПАДА 
РАДИОАКТИВНОГО ИЗОТОПА ПО ДЛИНЕ 
ПРОБЕГА α-ЧАСТИЦ 
 
Цель 
работы: 
Определение 
периода 
полураспада 
радиоактивного изотопа по длине пробега α - частиц. 

Теория 

Тремя наиболее распространёнными видами радиоактивного 
распада являются α-распад, β±-распад и изомерный переход. 
В результате 
альфа-распада 
массовое 
число 
ядер 
всегда 
уменьшается на четыре, тогда как в результате бета-распадов и 
изомерных переходов массовое число ядра не меняется. Это 
приводит к тому, что все нуклиды делятся на четыре группы (ряда) 
в зависимости от остатка целочисленного деления массового числа 
нуклида на четыре (то есть родительский нуклид и его дочерний 
нуклид, образовавшийся в результате альфа-распада, будут 
принадлежать к одной группе). Во всех рядах происходит 
образование гелия (из альфа-частиц). 

Масса α-частицы mα=3,727 ГэВ=6,645·10−27 кг=4,002 а.е.м. 
Энергия связи 28,11 МэВ. α-частица стабильна. 

Атомы 
радиоактивного 
элемента 
распадаются 
самопроизвольно, без внешнего воздействия. Это случайный 
процесс, поэтому он описывается законами статистики. Этот 
спонтанный распад атомных ядер следует закону 

0 exp(
)
N
N
t



, 
 
 
(1) 

где N0 – количество ядер в данном объеме вещества в момент 
времени t = 0, N – количество ядер в том же объеме к моменту 
времени t, λ – постоянная распада. Постоянная λ имеет смысл 
вероятности распада ядра за 1 секунду: она равна доле ядер, 
распадающихся за 1 с. Величину 1/λ называют средним временем 
жизни радиоактивного изотопа. Для характеристики устойчивости 
ядер относительно распада пользуются понятием о периоде 

полураспада T½, равном времени, в течение которого исходное 
количество ядер данного вещества распадается наполовину. 

Время полураспада связано с λ и является довольно удобной 
характеристикой радиоактивного элемента: 

1/2
ln2
T


 
 
 
 
(2) 

α - частицы, испускаемые одним элементом, имеют одинаковую 

энергию. Разброс в энергиях очень мал – 
4
/
10
E E



. Путь α- 
частицы в воздухе прямолинеен. При движении α- частица 
ионизирует атомы. 

Длина пути, на котором энергия α- частицы расходуется на 
ионизацию полностью, носит название пробега α- частицы и 
обозначается буквой R. Пробег является хорошей характеристикой 
α - радиоактивного элемента, поскольку пробег всех α - частиц 
данного элемента также одинаков, как одинаковы и их энергии. 

Пробег α - частиц различных естественных радиоактивных 
элементов в воздухе при нормальном давлении заключается в 
пределах 3–7 см. Экспериментально была найдена в 1911 г 
зависимость между пробегом α – частиц и величиной λ для прочих 
элементов одного радиоактивного семейства: 

1/2
1
1
lg
lg
T
A
R
B


,   
 
 
(3) 

где A1 и B1 – некоторые константы. 

Эта зависимость (3) носит название закона Гейгера – Неттола 
(Geiger–Nuttall). Фактически эта зависимость только близка к 
линейной, но ею не является. Более строгое рассмотрение, вывод 
которого приведен ниже, дает более точное выражение 

1/2
lg
A
T
B
E



,  
 
 
 
(4) 

где A и B – константы, E – полная кинетическая энергия α – 
распада 
(α – частицы 
и 
дочернего 
ядра). 
Из 
последнего 
соотношения (4) видно, что малому изменению кинетической 
энергии 
соответствует 
очень 
сильное 
изменение 
периода 
полураспада. 

Анализ показывает, что для тех значений энергий, которые 
встречаются у α-частиц естественных радиоактивных элементов, 
соотношение (4) сходно с законом Гейгера — Нетолла в 
формулировке (3). 

Закон Гейгера – Неттола в современной формулировке 
лучше работает для ядер с четным атомным номером и четной 
атомной массой (четно-четное ядро). Тренд соблюдается для четнечет, нечет-чет, и нечет-нечетных ядер, но не столь выражен. 

В координатах 

1/2
lg
,
T
E  уравнение (4) представляет 

прямую линию. Для нахождения энергии используют зависимость 
между длиной пробега R и энергией α–частиц. 

Закон Гейгера-Неттола дает возможность по длине пробега 
определить период полураспада и энергию α-частицы. Это и 
является задачей данной лабораторной работы. 

Основные свойства альфа- распада 

1. Альфа-распад наблюдается в основном у тяжелых ядер. 
Известно около 300 α-радиоактивных ядер. Большинство из них 
получены искусственно. Почти все ядра имеют Z>82. Существует 
небольшая группа α-активных ядер с атомной массой A=140÷160. 
Легчайшим является изотоп церия 
Ce
. 

2.Период полураспада α-активных ядер лежит в громадном 
интервале от 






17
204
7
212
82
1 2
84
10
3 10
лет
Pb
T
c
Po


 
 

и определяется законом Гейгера-Неттола (4) 

Изменению энергии в 2 раза соответствует изменение 
периода полураспада примерно на 24 порядка 

3. Энергии α-частиц радиоактивных ядер в основном 
заключены в пределах 



4
9
T
Мэв



, 

4. Наблюдается тонкая структура α-спектров радиоактивных 
ядер. Эти спектры дискретные. Спектр α-частиц состоит из ряда 
моноэнергетических линий, соответствующих переходам на 
различные уровни дочернего ядра. 

5. Общая схема реакции α-распада 

4
4
2
2
A
A
Z
Z
X
X
He




, 
 
 
(5) 

где A
Z X  – материнское ядро,  
4
2
A
Z
X


 – дочернее ядро. 

Энергия связи α-частицы в ядре должна быть меньше нуля, 
чтобы α-распад состоялся.  








2
,
4,
2
4,2
0
св
E
c
M A Z
M A
Z
M











.    (6) 

Энергия выделившейся при α-распаде E (энергия α – распада) 
состоит из кинетической энергии α–частицы Eα и кинетической 
энергии дочернего ядра En 

E=| Есв | =Eα + En. 
 
 
 (7) 

Считаем материнское ядро неподвижным, тогда согласно закону 
сохранения, квадрат импульса  α-частицы равен квадрату импульса 
дочернего ядра. 

2
2
n
p
p
 
. 

В 
нерелятивистском 
приближении 

2 2
E
p
m




, 
тогда 

n
n
E m
E m

 
 и, подставляя 
n
E  в (7), окончательно получаем 
(m≈200 – масса материнского ядра) 







4,
2
,
m A
Z
E
E
m A Z





  
 
 
(8) 

Как видно из (8) кинетическая энергия α-частицы составляет около 
98% всей энергии α-распада. 

Элементы квантовой теории альфа-распада 

Основным фактором, определяющим вероятность α-распада, 
является кулоновский барьер материнского ядра. Простейшая 
теория альфа-распада построена Г. Гамовым в 1927 г. α-частица 
движется внутри энергетической потенциальной ямы, атакуя 
кулоновский барьер ядра изнутри. Энергия α-частицы составляет 
5 – 10 МэВ, а высота кулоновского барьера для тяжелых ядер 25 – 
30 МэВ (см. рис 1.). Поэтому вылет α-частицы может происходить 
только за счет туннельного эффекта. Вероятность α-распада 
определяется 
коэффициентом 
прозрачности 
потенциального 
барьера  























tr

R
E
r
z
Ze
m
dr
D



2
2
2
exp

, 

где z=2 – зарядовое число α-частиц, zZe2/r – энергия кулоновского 
взаимодействия, Rn – радиус ядра, rt – расстояние от центра ядра, 
удаляясь на которое α-частица покидает ядро, определяется из 
условия 

2

t

Ze z
E
r



, 
 

2
2

t

zZe
zZe
R
BR
r
E
R
E
E







. 

Высота кулоновского барьера  

2

n

zZe
B
R

. 
 
 
(9) 

Полагая Z=90 и принимая Rn=10-12см, получим B≈26 МэВ. 

Если α-частица вылетает из ядра с орбитальным моментом 
0

l
, что указывает на орбитальное движение нуклонов внутри αчастицы, 
тогда 
к 
кулоновскому 
барьеру 
добавляется 
центробежный барьер с высотой 




2

2
1
1 5
2
ц
l l
В
, Мэв
m r






. 
 
(10) 

Приближенно (при Еα/В<<1) коэффициент прозрачности барьера 
равен 

4
exp
n
n
R
m E
R B m
D
E























 
(11) 

 

Рис. 1. Альфа-частица находится внутри прямоугольной потенциальной ямы 
защищенной кулоновским барьером 

Рассмотрим 
обоснование 
экспериментального 
закона 
Гейгера-Неттола. В ядре нуклоны движутся свободно. Существует 
вероятность того, что два протона и два нейтрона образуют αчастицу внутри ядра, затем эта α-частица многократно атакует 
границу ядра, и после, туннелируя через потенциальный барьер, 
удаляется от ядра на расстояние, где её отбрасывает кулоновская 
сила оставшихся протонов дочернего ядра. Эти процессы 
независимы, следовательно, постоянная распада  
D
P





,  
 
 
(12) 

где P – вероятность формирования α-частицы, Р ~ 1, ν – частота 
соударений α-частицы о границу ядра равна обратному времени 
для пересечения ею диаметра ядра 
1
2
n
R
 
  
, среднюю 
скорость α-частицы в ядре можно приближенно оценить из 
соотношения неопределенностей 
~
m
R

 . 

Из формулы (11) и (12) с учетом соотношения τ = 1/λ получается 

2
ln
ln
4
n
n
R
m B
R B m
m R
E























 . 

Выражая натуральный логарифм через десятичный и преобразуя 
постоянные, можно получить закон Гейгера – Неттола в 
современной форме: 

1 2
1
lg T
A
B
E



. 

где A и B - константы слабо зависящие от Z. С учетом заряда 
дочернего ядра Z связь между периодом полураспада T1/2 и 
энергией альфа-распада E может быть представлено в виде 
(B.A. Brown, Phys. Rev. C, 46, 811 (1992)) 

lg T1/2 = 9.54Z0.6/(E)1/2 – 51.37,                         (13) 

где T1/2 в секундах, E в МэВ. Очевидно, что (13) одна из форм 
записи 
закона 
Гейгера-Неттола. 
На 
рис. 2 
показаны 
экспериментальные значения периодов полураспада для 119 
альфа-радиоактивных четно-четных ядер (Z от 74 до 106) и их 
описание с помощью соотношения (13). 

 
Рис. 2. Логарифм периода полураспада в зависимости от энергии распада  
для четно-четных ядер 
 
 
Выражение (13) одно из многих полуэмпирических 
формул. Существуют и более сложные выражения такого типа. 
Расчет по этим формулам дает довольно большую ошибку из-за 
логарифмической зависимости энергии распада и времени 
полураспада.