Пространственные и плоские кривые

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ 
РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ 
ТОМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ 
 
 
 
 
 
 
 
Е.Е. Корякина 
 
 
ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ И ПЛОСКИЕ КРИВЫЕ 
 
 
Учебное пособие 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Томск 
Издательский Дом Томского государственного университета 
2016 

УДК 512.64 
ББК В143 
К 66 
 
Рассмотрено и утверждено методической комиссией механикоматематического факультета 
Протокол _1_ от «28» января 2016 г.  
Председатель комиссии О.П. Федорова 
 
 
 
Корякина Е.Е. 
К 66 
Пространственные и плоские кривые : учеб. пособие. – 
Томск : Издательский Дом ТГУ, 2016. – 32 с. 
 
 
Данное пособие разработано к курсу «Дифференциальная 
геометрия» для студентов второго и третьего курсов механикоматематического факультета 
 
 
УДК 512.64 
ББК В143 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
© Корякина Е.Е., 2016 
 
 
 
© Томский государственный университет, 2016 

1. Уравнение поверхности. Касательная 
плоскость. Нормальная кривая 
 
Гладкой регулярной поверхностью называется отображение 

3
:
E
u 

 
(область 
2
R
u 
, 


u
u
u

2
1,
), 
определяемое 
уравнениями 








2
1

2
1

2
1

,

,

,

u
u
z
z

u
u
y
y

u
u
x
x






 

или 



2
1,u
u
r
r 
, 
если 
1) функции 
z
y
x
,
,
 – функции класса 
k
C . 

2) 
2

2
2
2

1
1
1






























u
z
u
y
u
x
u
z
u
y
u
x

R
. 

Если поверхность не регулярная, то те точки, в которых 
условие 
2) 
выполняется 
называются 
обыкновенными, 
где 
нарушаются – особыми. 
Координаты 
1
u , 
2
u  точки на поверхности называются 
криволинейными координатами. Линии 
const
u 
1
, 
const
u

2
 на 
поверхности называются координатными линиями. Векторы 

1
1
u
r
r



, 
2
2
u
r
r



 
являются 
касательными 
векторами 
к 

координатным линиям. В обыкновенной точке они линейно 
независимы.  
Уравнения касательной плоскости и нормальной прямой в 
обыкновенной точке 


0
0
0
0
,
,
z
y
x
r 
 имеют вид 



0
,
,
2
1
0


r
r
r
R
  
и  



2
1
0
,r
r
r
R



  
в векторном виде 
или 

0

2
2
2

1
1
1

0
0
0



















u
z
u
y
u
x
u
z
u
y
u
x
z
z
y
y
x
x

 

и 
















C
z
z

B
y
y

A
x
x







0

0

0
 

в координатном виде,  где 
C
B
A
,
,
 – декартовы координаты 

нормального вектора 

 

C
B
A
r
r
N
,
,
,
2
1


. 
Гладкой регулярной поверхностью называется геометрическое 
место точек, декартовы координаты которых удовлетворяют 
уравнению 



0
,
,

z
y
x
F
, 
если  
1) функции F  – функции класса 
k
C . 

2) 
0
,
,















z
F
y
F
x
F
gradF
. 

Если поверхность не регулярная, то точки, в которых условие 2) 
выполняется называются обыкновенными, где нарушается – 
особенными. 
Уравнения касательной плоскости и нормальной прямой в 
обыкновенной точке 

0
0
0
,
,
z
y
x
 имеют вид 



0
,
0


gradF
r
R
  
и  

gradF
r
R



0
  
в векторном виде 
или 







0
0
0
0

0

0
0



































z
z
z
F
y
y
y
F
x
x
x
F
 

и 


















































0
0

0
0

0
0

z
F
z
z

y
F
y
y

x
F
x
x







 

в координатном виде. 
В окрестности обыкновенной точки оба способа задания 
поверхности эквивалентны. Криволинейные координаты точки 


2
1,u
u
 обозначаются так же как 

v
u,
. 
 
Задачи 
 
1. Напишите 
параметрические 
уравнения 
поверхности, 
образованной касательными к кривой 
u
x 
, 
2
u
y 
,
3
u
z 
 и 
найдите линии пересечения этой поверхности с плоскость XOY . 
Решение: 



3
2,
,
u
u
u
r 
 



2
3,
2,1
u
u
r 

 
Уравнение поверхности, образованной касательными к кривой  
имеет вид 




r
v
r
R
 в векторном виде 
и  
















2
3

2

3

2

vu
u
z

vu
u
y

v
u
x

 в координатном. 

Для линии пересечения поверхности с координатной плоскостью 
XOY  имеем 


0
3
2



v
u
u
z
. 
а) 
0

u
. 
Уравнение линии пересечения
v
x 
, 
0

y
, 
0

z
. Значит, первой 
линией пересечения является ось OX . 
б) 
v
u
3


. 
Уравнение линии пересечения в этом случае имеет вид 
v
x
2


, 

2
3v
y 
, 
0

z
. Значит, определяет параболу 
2
4
3 x
y 
, 
0

z
. 

 
2. Напишите уравнение касательных плоскостей и нормалей 
для следующих поверхностей: 

а) 
v
u
x
cos

, 
v
u
y
sin

, 
av
z 
 в точке 






2
,1 
A
; 

б) 
v
u
x

 2
, 
2
2
v
u
y


, 
3
3
v
u
z


 в точке 

7,5,3
B
. 
Решение: 
а) 


av
v
u
v
u
r
,
sin
,
cos

, 



0,
sin
,
cos
1
v
v
r 
 



a
u
v
u
r
cov,
,
sin
2


, 

 


0,1,0
1

A
r
,  


a
r
A
,0,1
2


, 

 




2
,1,0

a
r A
. 

Уравнение касательной плоскости 

0
0
1
0
1
0
2
1







a

a
z
y
x


 

или 

0
2 



a
z
ax
. 

Отсюда 
видно, 
что 
вектор 
нормали 
имеет 
координаты 



1
,0, 
 a
N
. Уравнение нормальной прямой имеет вид 

















t
a
z

y

at
x

2

1

. 

б) 


3
3
2
2
,
,
2
v
u
v
u
v
u
r




. 

 


7,5,3

B
r
, 
значит 
3
2

 v
u
,
5
2
2

 v
u
, 
7
3
3

 v
u
. 
Откуда получаем, что криволинейные координаты равны 
2

u
, 
1

v
. 



2
1
3,
2,2
u
u
r 
, 


2
2
3
,
2,1
v
v
r



. 

 

 

6,2,1
||
12
,4,2
1

B
r
,  


3
,2,1
2



B
r
. 
Уравнение касательной плоскости 

0

3
2
1

6
2
1

7
5
3









z
y
x

 

или 
0
41
4
3
18




z
y
x
. 

Отсюда 
видно, 
что 
вектор 
нормали 
имеет 
координаты 



4
,3,
18


N
. Уравнение нормальной прямой имеет вид 
















t
z

t
y

t
x

4
7

3
5

18
3

. 

 
3. Напишите уравнение касательной плоскости и нормали для 
поверхности 
z
y
x


3
3
 в точке 

9,2,1
A
. 
Решение: 



0
,
,
3
3




z
y
x
z
y
x
F
, 



1
,
3,
3
2
2


y
x
gradF
, 





N
gradF A



1
,
12
,3
. 
Уравнение касательной плоскости 




 

0
9
2
12
1
3






z
y
x
 
или 
0
18
12
3




z
y
x
. 
Уравнение нормальной прямой 
















t
z

t
y

t
x

9

12
2

3
1

. 

 
4. Найдите все нормали поверхности, проходящие через 
начало координат. 
Решение: 



0
1
,
,


 xyz
z
y
x
F
,  



0
0
0
0
0
,
,
y
x
z
x
z
y
gradF
o

, 
Уравнение нормальной прямой 
















t
y
x
z
z

t
z
x
y
y

t
z
y
x
x

0
0
0

0
0
0

0
0
0
. 

Чтобы прямая проходила через начало координат 
0



z
y
x
, а 
значит параметр, соответствующий началу координат, должен 
удовлетворять условию 

0
0

0

0
0

0

0
0

0
y
x
z
z
x
y
z
y
x
t






. 

Отсюда получаем 
2
0
2
0
2
0
z
y
x


 и 
1
0
0
0

z
y
x
. Что дает нам три 

точки 

1
,1
,1
1


A
, 

1
,1,1
2


A
, 

1,1
,1
3


A
 и соответственно три 
нормали 


















t
z

t
y

t
x

1

1

1

, 

















t
z

t
y

t
x

1

1

1

, 

















t
z

t
y

t
x

1

1

1

. 

 
5. Докажите, что все касательные плоскости поверхности 








x
y
xf
z
 
проходят 
через 
начало 
координат 
( f  
– 

дифференцируемая функция). 
Решение: 
Свободный член в уравнении каждой касательной плоскости 
должен равняться нулю, то есть 

0





























z
z
F
y
y
F
x
x
F
. 

Проверяем для функции 

z
x
y
xf
z
y
x
F








,
,
 

0
1

2




























z
y
x
x
y
fx
x
x
y
x
y
fx
x
x
y
f
. 

0






















z
x
y
fy
x
y
fy
x
y
xf
. 

Действительно получаем тождество, все касательные плоскости 
имеют свободный член равный нулю, а значит проходят через 
начало координат. 
 
6. Докажите, что все касательные плоскости поверхности 


z
y
f
x
z



 
параллельны 
некоторой 
прямой 
( f  
– 
дифференцируемая функция).. 
Решение: 
Плоскость 
0




D
Cz
By
Ax
 параллельна некоторой прямой с 

направляющим вектором a , если ее нормаль 


C
B
A
N
,
,

 

перпендикулярна направляющему вектору прямой a , то есть 


0
,

a
N
. Нормаль касательной плоскости – это вектор 

gradF
z
F
y
F
x
F
N















,
,
. Для нашей функции  



z
z
y
f
x
F




, 







1
,
,1







z
y
f
z
y
f
gradF
. 

Для прямой с направляющим вектором 


1,1,1

a
 







0
1
1
,









z
y
f
z
y
f
a
gradF
. 
Значит, все касательные плоскости параллельны прямым с таким 
направляющим вектором. 
 
7. Докажите, 
что 
объем 
тетраэдра, 
ограниченного 
координатными 
плоскостями 
и 
касательными 
плоскостями 

поверхности 
u
x 
, 
v
y 
, 
uv
a
z

3

 постоянен.