Вычисление собственных чисел и собственных векторов матриц, решение систем линейных алгебраических уравнений

НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ТОМСКИЙ

ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

ФАКУЛЬТЕТ ПРИКЛАДНОЙ МАТЕМАТИКИ И

КИБЕРНЕТИКИ

ВЫЧИСЛЕНИЕ СОБСТВЕННЫХ ЧИСЕЛ
И СОБСТВЕННЫХ ВЕКТОРОВ МАТРИЦ,

РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ
АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ

Учебно- методическое пособие

Томск – 2016

РАССМОТРЕНО И УТВЕРЖДЕНО 
методической 
комиссией 
факультета 
прикладной 
математики 
и 
кибернетики. 
Председатель комиссии – профессор А.Г. Дмитренко 
 
 
 
 
Данное издание представляет собой учебно-методическое 
пособие 
для 
выполнения 
лабораторных 
работ 
по 
курсу 
«Численные 
методы» 
студентами 
факультета 
прикладной 
математики 
и 
кибернетики 
Томского 
государственного 
университета и включает следующие разделы: 
– вычисление собственных чисел и собственных векторов 
матриц; 
– решение систем линейных алгебраических уравнений. 
 
 
 
 
Составитель – Т.И. Грекова 
 
 
 
 
Рецензент 
Ю.И. Параев,  
доктор технических наук, 
профессор кафедры прикладной математики 
Томского государственного университета 
 
 
 
 
 
 
 
© Томский государственный университет, 2016 

Вычисление собственных векторов и

собственных значений матриц

1. Введение

Определение. 
Собственным значением (характеристическим числом) 

квадратной матрицы А – n×n называется число λ такое, что 
для некоторого вектора 
0

x
имеет место равенство:

.x
x
A


(1.1)

Вектор 
0

x
, 
удовлетворяющий 
(1.1) 
называется 

собственным вектором матрицы А. 

Очевидно, если x
– собственный вектор, то 
x

–

собственный вектор. 

Соотношение (1.1) перепишем в виде

0
)
(



x
I
A
.   
(1.2)

Необходимое и достаточное условие существования 

нетривиального решения (1.2):

0


 I
A
(1.3)

или

0

2
1

2
22
21

1
12
11
















nn
n
n

n

n

a
a
a

a
a
a

a
a
a

I
A








.

Уравнение (1.3) называется характеристическим или 

вековым уравнением.

)
(
)1
(
)
(
)1
(
2

2

1

1
















P
p
p
p
I
A
n

n

n
n
n
n


–
характеристический 
полином. 
P(λ) 
называется 

собственным многочленом. Собственные значения – корни 
собственного многочлена. Совокупность всех собственных 
значений 
n


,
,
1 
с учѐтом кратности называется спектром

матрицы А. 

Однородная система (1.1) имеет ненулевые решения x в 

том и только в том случае, если λ – собственное значение. 
Собственный вектор – ненулевое решение (1.1), где λ равно 
конкретному собственному значению λi. Одному значению λi
может соответствовать несколько собственных векторов. 

Задачу вычисления собственных значений и собственных 

векторов можно разбить на три этапа:

1) построение собственного многочлена;
2) нахождение корней P(λ);
3) решение системы 
n
i
x
I
A
i
,1
,0
)
(




для 

нахождения собственного вектора.

Все 
методы 
нахождения 
собственных 
значений 
и 

собственных векторов разделяют на прямые (точные) и 
итерационные. В первом случае строят P(λ), находят его 
корни и собственные векторы. Во втором, не вычисляя P(λ), 
находят собственные значения и  собственные векторы. 
Вычисления носят итерационный характер.

Различают две задачи:

1) полная проблема собственных значений;
2) частичная проблема собственных значений.

Для каждой задачи – свои методы. Итерационные методы 

более трудоѐмки, но не требуют построения P(λ), что 
является 
преимуществом 
этих 
методов, 
т.к. 
ошибки 

вычисления 
коэффициентов 
P(λ) 
могут 
приводить 
к 

значительным ошибкам в определении корней.

2. Метод Данилевского А.М.

2.1. Определение собственного 

многочлена

Известно, что преобразование S–1AS с невырожденной 

матрицей 
S
не 
меняет 
характеристический 
полином. 

Действительно,

.
1
1
1
1
I
A
S
I
A
S
IS
S
AS
S
I
AS
S
















Если подобрать матрицу S и преобразовать матрицу А к 

простому 
виду, 
можно 
сразу 
выписать 
еѐ 

характеристический полином P(λ). 

Метод Данилевского приводит матрицу А к канонической 

форме Фробениуса:




























0
1
0
0

0
0
1
0

0
0
0
1

1
2
1












n
n
p
p
p
p

.

Разлагая определитель 

















1
0
0

0
0
1
0

0
0
1

1
2
1












n
n
p
p
p
p

E

по элементам первого столбца, получим

















1
0
0

0
0
1
0

0
0
1

1
2
1












n
n
p
p
p
p

E
=

).
(
)1
(

)1
(
)
(
)
(
)
)(
(

1
0
0

0
0
1
)
(
)
)(
(

2

2

1

1

1
3

3

2

2

1

1

1
4
3

2

2

1

1

n

n
n
n
n

n

n
n
n
n

n
n

n
n

p
p
p

p
p
p
p

p
p
p
p

p
p








































































Решаем задачу поэтапно. Рассмотрим матрицу А. 
1) Пусть 
.0
1
,


n
n
a
Разделим на него (n–1)-й столбец 

матрицы А и вновь полученный столбец умножим на элемент 

i
n
a , и вычтем этот столбец из столбца с номером i для всех i
= 1, 2, …, n–2, n. В результате последняя строка будет иметь 
вид как в форме Фробениуса: 0…010.

Это преобразование равносильно умножению матрицы А

справа на матрицу






































1
0
0
0

1

0
0
1
0

0
0
0
1

1
,
1
,
1
,

2

1
,

1

)1
(














n
n

nn

n
n
n
n

n

n
n

n

n

a
a

a
a
a

a

a
M
.

Но полученная матрица АМ(n–1) не будет подобной А. 

Нужно еѐ слева умножить на матрицу 
1

)
1
(



n
M
. Такая матрица 

существует, так как 
.0
1

1
,

)1
(







n
n

n
a
M

.

1
0
0
0

0
0
1
0

0
0
0
1

1
,
2
1

1

)1
(











































nn
n
n
n
n

n

a
a
a
a

M

Произведение 
)1
(

1

)1
(





n
n
AM
M
не меняет последней строки 

)1
( 
n
AM
. Итак, на первом этапе имеем

.

0
1
0
0

)1(

,1

)1(

1
,1

)1(

2,1

)1(

1,1

)1(
,2

)1(

1
,2

)1(

22

)1(

21

)1(

1

)1(

1
,1

)1(

12

)1(

11

)1
(

1

)1
(

)1(

























































n
n
n
n
n
n

n
n

n
n

n
n

a
a
a
a

a
a
a
a

a
a
a
a

AM
M
A

2) Второй этап аналогичен первому и состоит в 

приведении (n–1)-ой строки к виду: 00…100 при условии 
неизменности последней строки.

Пусть 
.0
2
,1


 n
n
a
Тогда 
























)
2
(
)1
(

1

)1
(

1

)
2
(

)
2
(

)1(
1

)
2
(

)
2
(

n
n
n
n

n
n

M
AM
M
M

M
A
M
A

,

0
1
0
0
0

0
0
1
0

)
2
(

,2

)
2
(

1
,2

)
2
(

2
,2

)
2
(

1,2

)
2
(
1

)
2
(

1
,1

)
2
(
12

)
2
(
11












































n
n
n
n
n
n
n

n
n

a
a
a
a

a
a
a
a

где

,

1
0
0
0

0
1
0
0
0

1

0
0
0
1
0

0
0
0
0
1

)1(

2
,1

)1(

,1

)1(

2
,1

)1(

1
,1

)1(

2
,1

)1(

2
,1

)1(

2,1

)1(

2
,1

)1(

1,1

)
2
(















































































n
n

n
n

n
n

n
n

n
n
n
n

n

n
n

n

n

a

a

a

a

a
a

a

a

a

M

.

1
0
0
0

0
1
0
0
0

0
0
0
1
0

0
0
0
0
1

)1(

,1

)1(

1
,1

)1(

2
,1

)1(

2,1

)1(

1,1

1

2






















































n
n
n
n
n
n
n
n

n
a
a
a
a
a
M

Эта закономерность сохраняется и дальше.
Итак, если 
0
...
,0
,0
,0
)
2
(
21

2

3
,2

)1(

2
,1
1
,












n

n
n
n
n
n
n
a
a
a
a
, 

то после n – 1 шагов метода Данилевского будем иметь 

.

0
1
0
0

0
0
0
1

)1
(
,1

)1
(

1
,1

)1
(
12

)1
(
11

1












































n
n

n
n

n
n
a
a
a
a

AS
S

)1(
)
2
(
)1
(

1

)1
(

1
)
2
(

1
)1(

1
,
M
M
M
S
M
M
M
S
n
n
n















и 
.
,
,
)1
(
1

)1
(
12
2

)1
(
11
1







n
n
n

n
n
a
p
a
p
a
p


По первой строке полученной матрицы Ф составляется 

собственный многочлен 

.
)
(
1

1
n

n
n

n
p
p
P










Нерегулярный случай.
Пусть выполнено (n – k) этапов метода Данилевского, и 

оказалось, что 
0
)
(

1
,



k
n
k
k
a
. Если 
0
)
(
,

k
n
i
k
a
хотя бы для одного 

2
,1


k
i
, то решение можно свести к регулярному случаю 

путѐм перестановки i–го и (k–1)-го столбцов и, для 
сохранения 
подобия 
матриц, 
i-ой 
и 

(k–1)-ой строк. Это преобразование можно выполнить 
умножением матрицы А(n–k) слева и справа на матрицу 
перестановок. 

Вторая возможность: 
все 
.0
,0
,0
)
(

1
,

)
(

2
,

)
(

1,








k
n
k
k

k
n
k

k
n
k
a
a
a

Тогда А(n–k) имеет 

форму

,

0
)
(

)
(
)
(

)
(




















k
n

k
n
k
n

k
n
C
B
A

где Ф(n–k) имеет вид матрицы Фробениуса. Тогда, согласно 
теореме Лапласа о разложении определителя, имеем

.
1

)
(

1

)
(
)
(


















k
n

k
n

k

k
n
k
n
E
E
B
E
A

Отсюда следует, что достаточно привести к форме 

Фробениуса матрицу B(n–k) порядка (k–1)×(k–1).

2.2. Вычисление собственного вектора

Пусть λ1 ,…, λn – собственные числа матрицы А и y –

собственный вектор матрицы А(n–1) = Ф, т.е. 

Ф y = λi y .

Тогда собственный вектор матрицы А: 
.y
S
x 

Действительно, Ф y = S–1AS y = λi y . После умножения на 

матрицу S слева: AS y = λiS y , т.е.
.x
x
A
i



Система Ф y = λi y имеет вид:

p1y1 + p2y2 + … + pnyn = λiy1,

y1 = λiy2 ,
………
yn = λiyn .

Здесь y1, … , yn – координаты вектора y . Положив yn = 1, 

получим 
).
1,
,
,
,
(
2
1

i

n
i

n
i
y







Первое уравнение системы –

тождество. Собственный для матрицы А вектор 
.y
S
x 