Теория случайных процессов. Ч. 1

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ  
РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ 
ТОМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ 
Кафедра теории вероятностей и математической статистики 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
О.Н. Галажинская, С.П. Моисеева 
 
Теория случайных процессов 
 
Часть 1 
 
Учебное пособие  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Томск 
Издательский Дом Томского государственного университета 
2015 
 

Теория случайных процессов 

УДК 519.22 
ББК 22.172 
         Г15 
 
Рецензент А.А. Назаров, д-р техн. наук, проф.  
 
 
Галажинская О.Н., Моисеева С.П. 
Г15 Теория случайных процессов : учеб. пособие. – Томск :  
Издательский Дом Томского государственного  
университета, 2015. – Ч. 1. – 128 с. 
 
Пособие предназначено для оказания помощи студентам при выполнении практических заданий в курсе «Теория случайных процессов». Предложены в большом количестве разнообразные задачи с разобранными решениями, а также задачи для самостоятельной работы студентов по каждой из тем. Приводятся все необходимые теоретические сведения из теории случайных процессов. Методическое пособие составлено так, чтобы 
студент смог выполнить задания без обращения к дополнительной литературе.  
Для студентов 3-го курса бакалавриата ФПМК, изучающих курс «Теория вероятностей и случайные процессы». 
 
УДК 519.22 
ББК 22.172 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
© Галажинская О.Н., Моисеева С.П., 2015 
© Томский государственный университет, 2015

1. Определение и описание случайных процессов 

3 

 
Содержание 
 
1. Определение и описание случайных процессов. Классификация 
случайных процессов ...……………………………….............................………

Задачи по теме для самостоятельного решения ...........……………………

4
14

 
2. Законы распределения случайных процессов ………………………………

Задачи по теме для самостоятельного решения ...........……………………

16
37

 
3. Основные характеристики случайных процессов ……………………....…
Задачи по теме для самостоятельного решения ...........……………………

41
56

 
4. Стационарные случайные процессы. Эргодические процессы ...………....
Задачи по теме для самостоятельного решения ...........……………………

58
73

 
5. Линейные преобразования случайных процессов ………......................…..
Задачи по теме для самостоятельного решения ...........……………………

76
86

 
6. Спектральная плотность ..................................................................................
Задачи по теме для самостоятельного решения ...........……………………

88
94

 
7. Сходимость, непрерывность, дифференцируемость  
и интегрируемость случайных процессов .......................................................... 95

 
8. Основные классы случайных процессов ........................................................

Гауссовские случайные процессы ................................................................
Процессы с ортогональными и независимыми приращениями ................
Винеровский процесс ....................................................................................
Пуассоновский процесс .................................................................................

105
105
109
110
113

 
Задачи для самостоятельного решения по всем темам ..................................... 116

 
Литература ............................................................................................................ 121

 
Приложения .......................................................................................................... 122

 
 

Теория случайных процессов 

4 

ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ 

 

1. Определение и описание случайных процессов.  

Классификация случайных процессов 

 

Одним из основных понятий теории вероятностей является понятие случайного испытания. 

Под случайным испытанием, или случайным опытом, понимается любое действие, кото
рое можно повторить большое количество раз в приблизительно одинаковых условиях и ре
зультаты которого предсказать невозможно. 

Исторически в самом начале теория вероятностей имела дело с такими случайными испыта
ниями как: подбрасывание кубика, подбрасывание монеты, раскладывание карт и пр. 

В результате проведения таких опытов появлялись случайные явления (события), наступле
ние или не наступление которых и изучалось. Далее естественным образом появилось поня
тие случайной величины, которое позволило уже количественно описывать результаты слу
чайных испытаний, например, число очков при подбрасывании кубика, размер выигрыша в 

казино, рост случайного выбранного человек, число детей в семье и т.д. И наконец, в слу
чайные испытания был введен фактор времени t , т.е. появилась возможность строить и изу
чать модели, которые описывают динамику развития изучаемого случайного явления. Мож
но сказать, что случайная величина соответствует случайному явлению как бы в «статике» (в 

неизменных условиях опыта), а случайный процесс «в динамике» (в изменяющихся условиях 

опыта). 

 

Наука, которая изучает закономерности случайных явлений в динамике их развития, называ
ется теорией случайных процессов. 

Случайным (стохастическим) процессом 

,t
 
 называется процесс, значение которого 

при любом фиксированном значении 
0
t
t

 является случайной величиной 

0
,t
 
.  

Величину 

0
,t
 
 называют сечением случайного процесса. 

Так как случайный процесс может иметь бесконечное множество сечений, а в каждом из се
чений мы получаем случайную величину, то случайный процесс можно рассматривать как 

1. Определение и описание случайных процессов 

5 

совокупность случайных величин  t

, или бесконечномерный случайный вектор. Т.е. поня
тие случайного процесса является обобщением такого понятия как система случайных вели
чин, в том случае если этих величин бесконечное множество. 

 

Например: 

1. Число звонков, поступающих в единицу времени на телефонную станцию, являясь слу
чайной величиной, зависит от времени суток. 

2.  Численность населения города меняется с течением времени случайным образом под вли
янием различных факторов: рождаемость, смертность, миграция и т.д. 

3. Расход электроэнергии в единицу времени – тоже функция времени со случайными значе
ниями. 

4. Координаты броуновской частицы меняются со временем и принимают случайные значе
ния. 

5. Курсы валют или акций меняются со временем и принимают случайные значения. 

6. Выручка или прибыль организации случайная величина, изменяющаяся с течением време
ни.  

7. Длина очереди в супермаркете – функция времени со случайными значениями. 

 

Возможно и другое истолкование случайного процесса, не только как совокупности (систе
мы) случайных величин, а и как совокупности его возможных реализаций. 

Реализацией (траекторией) случайного процесса называют неслучайную функцию аргумен
та t , равной которой может оказаться случайный процесс в результате проведенного испы
тания. 

Например, снимается кардиограмма сердца, в результате измерения получаем функцию 

(электрокардиограмму), которая является лишь одной из всех возможных реализаций слу
чайного сердечного процесса. Если мы повторим измерение, получится уже другая кардио
грамма, которая будет другой реализацией случайного процесса. Теоретически мы можем 

получить бесконечное множество таких реализаций.  

Итак, случайный процесс можно рассматривать как совокупность его возможных реализаций 

или как пучок траекторий. 

Теория случайных процессов 

6 

Замечание 1: Если в опыте наблюдают случайный процесс, то в действительности наблюда
ют одну из его возможных реализаций. 

Дадим теперь строгое математическое определение случайного процесса. 

Пусть задано вероятностное пространство 

,
,
,
F P

 где   – пространство элементарных 

событий, F  –  -алгебра подмножеств множества   (  -алгебра событий) и P  – вероят
ностная мера, приписывающая  каждому событию из F  число из отрезка 

0,1 . 

Случайная величина – это функция 
( )
     из   в R , которая является измеримой, что 

означает, что множество 

: ( ) x
   
 принадлежит  -алгебре F  при любом x , т.е. прообраз 

любого борелевского множества 


1( )
: ( )
B
B


    
 принадлежит  -алгебре F  событий.  

Рассмотрим теперь функцию, зависящую от двух аргументов: ( , )t
 
,
,
t
T
 

. 

Замечание 2: Совокупностью значений t
T

может быть:  

1. Любой интервал на прямой. 

2. Вся прямая R . 

3. Множество целых точек 

0,
1,
2,...


. 

4. Множество целых положительных чисел 

0, 1, 2,... .  

Определение 1. Функцию ( , )t
 
 называют случайным процессом, если при 
t
T
 
 она яв
ляется измеримой функцией аргумента , то есть случайной величиной ( ,
)
( )
t
 
   . 

 

Зафиксируем некоторое элементарное событие 
1
 . Это означает, что опыт, в ходе которого 

случайный процесс протекает, уже произведен и произошло элементарное событие 
1
   . 

Случайный процесс уже не случаен, и зависимость его от t примет определенный вид: в ре
зультате получим неслучайную (детерминированную) функцию времени – 
 
1,
(
)
t
t
 
 
, ко
торую будем называть реализацией случайного процесса. Иногда говорят выборочной 

функцией, соответствующей элементарному событию 
1
.
   

Совокупность всех реализаций случайного процесса называется ансамблем реализаций. 

1. Определение и описание случайных процессов 

7 

Можно сказать, что случайный процесс – это однопараметрическое семейство случайных 

величин ( , )t
 
, заданных на одном и том же пространстве элементарных событий  , зави
сящих от значений параметра t.  

Замечание 3: Часто случайный процесс ( , )t
 
 обозначается как ( )t

, т.е. зависимость от 

не указывается.  

 

 
 

Классификация случайных процессов 

Случайные процессы принято классифицировать по разным признакам, учитывая плавность 

или скачкообразность реализаций, фиксированность или случайность моментов, в которые 

происходят скачки, вид закона распределения отдельного сечения процесса или совокупно
сти сечений и т.д. Мы рассмотрим элементарную классификацию случайных процессов по 

времени и по состояниям. 

 

1. Случайный процесс ( )t

 называется процессом с дискретным временем, если система, в 

которой он протекает, может менять свои состояния только в моменты времени 1
2
,...
,
,..., n
t t
t
, 

и множество значений it  конечно или счетно, т.е. 
 ,
1,
i
T
t
i
n


 – дискретное множество. 

Теория случайных процессов 

8 

Примеры: 

1.а. Будем считать системой какого-либо человека, данная система может находиться в двух 

состояниях: здоров, болен. Состояние системы можно фиксировать так: в 8.00 утра и в 20.00 

вечера. Т.е. смена состояний системы может происходить в дискретные моменты времени  

1
2
,
,...
t t
 

1.б. Процесс изменения роста человека, который может менять свои состояния в моменты 

времени  1
2
,...
,
,..., n
t t
t
 определяемые, например, днем рождения человека. 

 
2. Случайный процесс ( )t

 называется процессом с непрерывным временем, если переходы 

системы из состояния в состояние могут происходить в любой момент времени t наблюдае
мого периода T , т.е. множество значений t
T

 континуально. 

Примеры: 

2.а. Случайный процесс: число покупателей пришедших от момента открытия магазина, до 

произвольного момента времени t.  

2.б. Случайный процесс: число несданных предметов студентом задолжником, в течение го
да сдающего сессию и закрывающего долги. Состояние системы может измениться в любой 

произвольный момент времени t
T

, где T  – время обучения в университете. 

3. Случайный процесс ( )t

 называется процессом с непрерывным множеством состоя
ний, если в любом сечении t получаем непрерывную случайную величину, множество зна
чений которой бесконечно и несчетно. 

Примеры: 

3.а. Случайный процесс: регистрируется температура воздуха на горнолыжном курорте в 

фиксированные моменты времени. В любом сечении будем получать непрерывную случай
ную величину. 

3.б. Изменение напряжения в сети в момент t. 

4. Случайный процесс ( )t

 называется процессом с дискретным множеством состояний, 

если любое его сечение характеризуется дискретной случайной величиной, множество зна
чений которой конечно или бесконечно, но счетно. 

1. Определение и описание случайных процессов 

9 

Примеры: 

4.а. Случайный процесс: число покупателей пришедших от момента открытия магазина, до 

произвольного момента времени t. В любом сечении дискретная случайная величина. 

4.б. Процесс изменения состояний человека: здоров, не здоров, если считать, что смена со
стояния человека может произойти в любой произвольный момент времени 

 

Таким образом, в зависимости от природы множества T значений аргумента t , моментов 

времени, в которые возможны переходы системы из состояния в состояние, а также природы 

множества самих состояний,  все случайные процессы делят на 4 основных класса: 

1. Процессы с дискретным множеством состояний и дискретным временем (при
мер 1.а). 

 
2. Процессы с дискретным множеством состояний и непрерывным временем (при
мер 2.а). 

 

Теория случайных процессов 

10 

3. Процессы с непрерывным множеством состояний и дискретным временем (при
мер 3.а). 

 

4. Процессы с непрерывным множеством состояний и непрерывным временем (при
мер 3.б). 

 

 

Пример 1.1. Пусть случайный процесс задается формулой ( )
arcsin ( )
t
U
t



, где U  – слу
чайная величина. Найти сечения, соответствующие фиксированным значениям аргумента  

t : а) 
1
t  ; б) 
1

2
t 
. 

Решение. Сечением случайного процесса ( , )t
 
 является случайная величина 
0
( ,
)
t
 
, соот
ветствующая фиксированному значению аргумента 
0
t
t

, т.е. 

1. Определение и описание случайных процессов 

11 

a) при 
1
t   получаем в сечении случайную величину: 

 
1
( , )
( ,1)
arcsin
;
2
t
U
U


 
  



 

b) при 
1

2
t 
 получаем в сечении другую случайную величину: 

1
1
2
2
( , )
( , )
arcsin
6
t
U
U








 
  


. 

 
Пусть, например, U  дискретная случайная величина, заданная рядом распределения: 

iu  
1 
2 

ip
1 2  
1 2  

Тогда обозначим 
 
1
( ,1)
arcsin
2
V
U
U


  



 – это случайная величина, функционально 

связанная с U и имеющая следующий закон распределения: 

iv  
2

 
 

ip
1 2  
1 2  

 

Или положим, что U  – непрерывная случайная величина с плотностью вероятности: 

1 , 4
6
( )
;
2
0,

U
x
p
x

else






 

тогда т.к. 

2
V
U



 – случайная величина, связанная функциональной зависимостью сU , 

найдем плотность распределения вероятностей V . Пары точек 

,
U V
 лежат на прямой 

 
2
y
x
x



 
, данная функция монотонна в интервале 

4,6 , поэтому обратная функция, 

находится однозначно: 
 
2
x
y
y

 

, тогда плотность случайной величины V  можем 

найти по известной формуле:
'
( )
( ( ))
( )
V
U
p
y
p
y
y


 
, т.к. 
 
2
' y



, можем записать: