Многочлены над областями целостности (теория и приложения)
Покупка
Издательство:
Томский государственный университет
Год издания: 2016
Кол-во страниц: 152
Дополнительно
Вид издания:
Учебное пособие
Уровень образования:
ВО - Бакалавриат
ISBN: 978-5-94621-555-8
Артикул: 761255.01.99
Доступ онлайн
В корзину
В пособии введено понятие равенства многочленов в алгебраическом и функциональном смыслах, рассмотрена операция деления многочленов, сформулировано правило нахождения рациональных корней многочленов с целыми коэффициентами, основная теорема алгебры многочленов. Даны приложения теории многочленов, которые применяются в курсе высшей математики. Для студентов классических и педагогических университетов.
Тематика:
ББК:
УДК:
ОКСО:
- ВО - Бакалавриат
- 01.03.01: Математика
- 01.03.02: Прикладная математика и информатика
- 02.03.01: Математика и компьютерные науки
- 44.03.01: Педагогическое образование
ГРНТИ:
Скопировать запись
Фрагмент текстового слоя документа размещен для индексирующих роботов.
Для полноценной работы с документом, пожалуйста, перейдите в
ридер.
Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего образования «НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ТОМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ» С.Я. Гриншпон, И.Э. Гриншпон МНОГОЧЛЕНЫ НАД ОБЛАСТЯМИ ЦЕЛОСТНОСТИ (теория и приложения) Учебное пособие Томск Издательский Дом Томского государственного университета 2016
УДК 512.6 ББК 22.14 Г856 Гриншпон С.Я., Гриншпон И.Э. Г856 Многочлены над областями целостности (теория и приложения) : учеб. пособие. – Томск: Издательский Дом Томского государственного университета, 2016. – 152 с. ISBN 978-5-94621-555-8 В пособии введено понятие равенства многочленов в алгебраическом и функциональном смыслах, рассмотрена операция деления многочленов, сформулировано правило нахождения рациональных корней многочленов с целыми коэффициентами, основная теорема алгебры многочленов. Даны приложения теории многочленов, которые применяются в курсе высшей математики. Для студентов классических и педагогических университетов. УДК 512.6 ББК 22.14 Рецензенты: Л.И. Магазинников, канд. физ.-мат. наук, профессор; В.М. Мисяков, канд. физ.-мат. наук, доцент ISBN 978-5-94621-555-8 Гриншпон С.Я., Гриншпон И.Э., 2016 Томский государственный университет, 2016
ПРЕДИСЛОВИЕ Настоящее пособие предназначено для студентов младших курсов классических университетов и педагогических вузов, изучающих математику. Теория многочленов часто применяется в курсе линейной алгебры (например, при решении характеристических уравнений для нахождения собственных значений линейного оператора), в курсе математического анализа (например, при интегрировании рациональных функций и аппроксимации функций многочленами), в методах приближенных вычислений, при изучении других разделов математики. С изучением многочленов связан целый ряд важных преобразований в математике. Изучение полиномиальных уравнений и их решений являлось основой развития классической алгебры на протяжении нескольких столетий. Техническая простота вычислений, связанных с многочленами, по сравнению с более сложными классами функций, а также тот факт, что множество многочленов плотно в пространстве непрерывных функций, способствовали развитию методов разложения в ряды и полиномиальной интерполяции в математическом анализе. В работе изложены основные факты теории многочленов от одной переменной, приведены их доказательства. Даны некоторые приложения теории многочленов. Рассмотрены всевозможные задачи, связанные с многочленами, тщательно разобраны их решения, а также предлагается большой набор задач и упражнений для самостоятельного решения. Достаточно много внимания уделяется в связи со школьной математикой. Поэтому настоящее пособие может быть использовано в средней школе на факультативных занятиях
и при подготовке к ЕГЭ, а также на занятиях с учащимися физико-математических классов. Хотя в необозримом царстве функций многочлены занимают, на первый взгляд, очень скромное место, но это первое впечатление обманчиво. Известный математик-вычислитель Р.В. Хемминг пишет: «Поскольку с многочленами легко обращаться, большая часть классического численного анализа основывается на приближении многочленами».
§ 1. Предварительные замечания Пусть М – произвольное непустое множество. Всякое отображение : f M M M называется бинарной алгебраической операцией, определенной на множестве М. Вместо f часто пишут +, –, , или другой символ. Пусть на М задана операция . Операция называется коммутативной, если a b = b a a, b M. Операция называется ассоциативной, если (a b) c = a (b c) a, b, с M. Множество М с заданной на нем операцией называется группоидом. Группоид G; называется группой, если 1) – ассоциативная операция; 2) в G существует нейтральный элемент, т.е. такой элемент е, что g e = e g = g g G; 3) g G в G существует симметричный элемент, т.е такой элемент g G , что g g g g e . Если групповая операция обозначена ◦ (умножение), т.е. мы пользуемся мультипликативной записью, то нейтральный элемент называется единичным, а элемент, симметричный к g, называется обратным элементу g и обозначается g–1. Пусть G; – группа. Если групповая операция коммутативна, то G называется абелевой или коммутативной группой. Для абелевой группы часто используется аддитивная запись (т.е. групповая операция обозначается через +, нейтральный элемент – 0, а элемент симметричный g обозначается –g и называется противоположным элементу g). Пусть K – непустое множество с двумя бинарными операциями «+» (сложением) и «» (умножением). K; +, называется кольцом, если: 1) K; + – абелева группа; 2) операция «» ассоциативна; 3) a, b, с K (a + b) c = a c + b c и c (a + b) = c a + c b (т.е. вторая операция дистрибутивна относительно первой).
Если операция умножения в кольце K коммутативна, то K называется коммутативным кольцом. Кольцо K называют кольцом с единицей, если в K существует элемент 1, такой, что 1а = а1 = а. Пусть K K . K называют подкольцом кольца K, если оно само образует кольцо относительно операций, определенных на K. Непустое подмножество K является подкольцом кольца K, тогда и только тогда, когда K содержит разность и произведение двух своих элементов. Коммутативное кольцо {0} P называется полем, если \{0}; P является группой. Таким образом, Р – это непустое множество с двумя бинарными операциями «+» и «», в котором Р; + и \{0}; P – абелевы группы и вторая операция дистрибутивна относительно первой. Пусть \{0}; ; P – поле и P P . Подмножество P называется подполем поля Р, если P само является полем относительно операций, определенных на Р. P является подполем поля Р тогда и только тогда, когда выполняются следующие два условия: 1) ,a b P a b P ; 2) ,a b P , где 0 b , 1 ab P . Непустое подмножество I кольца K называют правым (левым) идеалом кольца K, если: 1) для любых элементов ,a b I разность a b I ; 2) для любого элемента a I и для любого элемента p K произведение ap I ( pa I ). Непустое подмножество I кольца K называют идеалом (двусторонним идеалом), если оно является одновременно и правым и левым идеалом кольца K. Для коммутативного кольца все три понятия совпадают, поэтому говорят просто об идеалах.
Пусть K – коммутативное кольцо с единицей. Множество { | } ka k K , состоящее из всех элементов кольца, кратных а, является идеалом. Этот идеал называется главным идеалом, порожденным элементом а. Главный идеал является пересечением всех идеалов кольца K, содержащих элемент а. Любой идеал I кольца K определяет некоторое разбиение кольца на смежные классы или классы вычетов по идеалу I. Два элемента a и b называются сравнимыми по идеалу I (сравнимыми по модулю I), если они принадлежат одному классу вычетов, т.е. если a b I . Обозначают (mod ) a b I или просто ( ) a b I . Во множестве смежных классов вводятся операции сложения и умножения. Если , a I b I – два смежных класса по идеалу I, то ( ) ( ) ( ) a I b I a b I , ( )( ) a I b I ab I . Относительно введенных таким образом операций множество смежных классов образует кольцо, которое называют факторкольцом (кольцом вычетов) кольца K по идеалу I. Если – кольцо целых чисел, то кольцо вычетов по модулю m конечно, содержит m классов, и каждый класс состоит из чисел, имеющих одинаковые остатки при делении на m, т.е. {0,1, 2,..., 1} m m , где через r обозначено множество чисел, дающих при делении на m остаток r. Сложение и умножение классов вычетов по модулю m выполняется по правилам: , a b a b a b a b для любых ,a b . Заметим, что сложение и умножение классов вычетов не зависит от выбора представителей этих классов. Если m – простое число, то m является полем. Пусть K – коммутативное кольцо с единицей. Ненулевой элемент a K называют обратимым, если существует элемент 1 a K такой, что 1 1 1 a a aa . В противном случае
элемент а называют необратимым. Множество обратимых элементов кольца K обозначают K*. Ненулевые элементы a и b коммутативного кольца K называют делителями нуля, если их произведение равно нулю, т. е. 0 ab , но 0, 0 a b (если кольцо некоммутативное, то говорят о левом или правом делителях нуля). Коммутативное кольцо с единицей без делителей нуля называют областью целостности. Пусть K – область целостности. Говорят, что элемент a K делится на элемент b K (b делитель a или a кратен b), если существует такой элемент c K , что a bc 1, обозначают a b . Элементы a и b коммутативного кольца K называют ассоциированными в K, если a b и b a . Если a и b ассоциированные элементы, то b = ua, где u – обратимый элемент кольца K. Делители элемента а называют собственными, если они отличны от ассоциированных с а элементами кольца. Справедлива следующая теорема. Теорема 1.1. Коммутативное кольцо с единицей является областью целостности тогда и только тогда, когда в нем выполнен закон сокращения ( , 0 ab ac a b c ). Элемент p K называют приводимым или составным, если его можно представить в виде произведения двух необратимых элементов кольца, т. е. p ab , где a, b – необратимые элементы. Если элемент p K нельзя представить в виде p ab , где a, b – необратимые элементы, то его называют простым или неразложимым. В поле Р каждый ненулевой элемент обратим и в Р нет простых элементов. 1 Если кольцо K некоммутативно, то говорят о левых и правых делителях элемента.
Область целостности K называют кольцом с однозначным разложением на простые множители (факториальным кольцом), если любой элемент ( 0) a K a можно представить в виде 1 2... k a cp p p , где c – обратимый элемент кольца, 1 2 , ,..., k p p p – простые элементы (не обязательно различные), причем если 1 2... m a dq q q – другое такое разложение элемента а на простые множители, то k m и i i i q s p ( 1,2,..., ) i k , все is – обратимые элементы (при соответствующей нумерации элементов). Заметим, что если р – простой элемент, то ассоциированный с р элемент up тоже простой. Справедливы следующие утверждения. Теорема 1.2. Пусть K – произвольная область целостности с разложением на простые множители. Разложение на множители в K однозначно (K – факториальное кольцо) тогда и только тогда, когда любой простой элемент p K , делящий произведение ab, делит хотя бы один из множителей a или b. Теорема 1.3. Кольцо главных идеалов факториально. Область целостности K называется евклидовым кольцом, если существует отображение : h K , удовлетворяющее условиям (1) для любых , ( 0) a b K b существуют ,q r K такие, что a bq r и ( ) ( ) h r h b ; (2) ( ) 0 h a тогда и только тогда, когда 0 a . Можно показать, что всякое евклидово кольцо является кольцом главных идеалов. Пусть А – область целостности. Разобьем декартово произведение множеств АА*, на классы, полагая, что пары (a, b) и (c, d) (b 0, d 0) принадлежат одному классу, если ad = bc.
Введенное таким образом бинарное отношение есть отношение эквивалентности и оно определяет разбиение множества АА* на непересекающиеся классы эквивалентности. Пусть Q(A) – множество классов эквивалентности. На множестве Q(A) введем операции сложения и умножения: a c ad bc b d bd и a c ac b d bd (1.1) (через a b обозначили класс эквивалентности, содержащий пару (a, b)). Заметим, что введенные таким образом операции не зависят от выбора представителя класса. Множество Q(A) с введенными по правилам (1.1) операциями образует поле. Это поле называют полем отношений или полем частных области целостности А. Элементы поля отношений часто называют дробями. Пусть ( , , ) K и ( , , ) K – два кольца. Взаимно однозначное отображение кольца K на кольцо K , сохраняющее операции, называется изоморфизмом. Отображение : K K – изоморфизм ( K K ), если φ – биекция и ( ) ( ) ( ) a b a b , ( ) ( ) ( ) a b a b . Поля Р и P называют изоморфными, если они изоморфны как кольца. Поле P называют расширением поля Р, полученным присоединением элемента а, если P наименьшее поле, содержащее множество { , } P a . Обозначают такое расширение обычно через Р(а). В различных разделах математики широко используется кольцо функций. Пусть Х – произвольное множество, K – произвольное кольцо. Пусть X K – множество отображений (функций) : f X K с двумя бинарными операциями поточечной
Доступ онлайн
В корзину