Геометрия: Топология. Гладкие линии и поверхности. Основания геометрии

А.А. Уткин  
Т.И. Уткина  
 
 
ГЕОМЕТРИЯ: ТОПОЛОГИЯ. ГЛАДКИЕ ЛИНИИ 
И ПОВЕРХНОСТИ. ОСНОВАНИЯ ГЕОМЕТРИИ 

Учебное пособие 

2-е издание, стереотипное 

 
 
 
 
 
 
 
Москва 
Издательство «ФЛИНТА» 
2017 

УДК 515.1 
ББК  22.17 
    У84 
  
 
Рецензенты:  
доктор физико-математических наук,  
профессор Тверского государственного университета А.М. Шелехов  
 
кандидат физико-математических наук,  
доцент кафедры общих и профессиональных дисциплин филиала  
Самарского государственного университета путей сообщения  
в г. Орске В.Б. Чурсин  
 
 Уткин А.А. 
У84
Геометрия: Топология. Гладкие линии и поверхности. Основания 
геометрии. [Электронный ресурс] : учеб. пособие / А.А. Уткин, 
Т.И. Уткина. — 2-е изд., стер. — М. : ФЛИНТА, 2017. — 127 с.

ISBN 978-5-9765-3436-0 

Учебное пособие предназначено для преподавания дисциплин 
«Геометрия» для бакалавров и «Теоретические основы и технологии 
профессионального 
математического 
образования», 
«Реализация 
дополнительных профессиональных программ по математике в 
организациях высшего образования» для магистров по направлению 
«Педагогическое образование». 

УДК 515.1 
ББК  22.17 

ISBN 978-5-9765-3436-0
© Уткин А.А., Уткина Т.И., 2017
© Издательство «ФЛИНТА», 2017

ОГЛАВЛЕНИЕ

ПРЕДИСЛОВИЕ ………………………………………………...
5

1 ТОПОЛОГИЯ …………………………………………………
6

1.1 Понятие топологического пространства ……………..
6

1.2 Естественные топологии ………………………………
9

1.3 Окрестность точки в топологическом пространстве ..
11

1.4 База топологии …………………………………………
14

1.5 Непрерывные отображения в топологических 

пространствах …………………………………………………….
16

1.6 Топологические отображения …………………………
19

1.7 Основные топологические инварианты ………………
21

1.8 Понятие многообразия …………………………………
25

2 ВЕКТОРЫЕ ФУНКЦИИ В ЕВКЛИДОВОМ 
ПРОСТРАНСТВЕ ………………………………………………
28

2.1 Понятие векторного пространства …………………….
28

2.2 Векторное и смешанное произведения векторов …….
33

2.3 Общий подход к решению содержательных 

геометрических задач методом векторов ……………………….
35

2.4 Векторная функция скалярного аргумента ……………
37

Задания для самостоятельной работы ………………………
43

3 ЛИНИИ В ЕВКЛИДОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ …………… 44

3.1 Понятие гладкой параметризованной кривой ………...
44

3.2 Касательная к кривой …………………………………..
49

3.3 Геометрические образы, связанные с точкой 

пространственной кривой ………………………………………..
52

3.4 Кривизна и кручение линии ……………………………
54

3.5 Исследование плоских кривых ………………………… 58

Задания для самостоятельной работы ………………………
73

4 ПОВЕРХНОСТИ В ЕВКЛИДОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ ...
75

4.1 Понятие гладкой параметризованной поверхности ….
75

4.2 Касательная плоскость и нормаль к поверхности ……
78

4.3 Первая квадратичная форма поверхности. 

Вычисление угла между кривыми на поверхности …………….
79

4.4 Кривизна поверхности …………………………………
82

4.5 Понятие о внутренней геометрии поверхности ………
87

Задания для самостоятельной работы ………………………
89

5 ОСНОВАНИЯ ГЕОМЕТРИИ ………………………………..
91

5.1 Аксиоматический метод построения теорий …………
91

5.2 Непротиворечивость системы аксиом ………………… 97
5.3 Независимость системы аксиом ……………………….
100

5.4 Полнота системы аксиом ………………………….……
102

5.5 Аксиоматики евклидовой планиметрии ………………
106

5.6. Аксиоматика курса планиметрии в школьных 

учебниках федерального комплекта …………..………………… 113

5.7 Измерение длин отрезков и площадей многоугольников
119

Задания для самостоятельной работы ………………………
124

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК ………………………..
126

ПРЕДИСЛОВИЕ

В Концепции [1] одной из задач является повышение качества 

математической подготовки студентов и популяризация математических знаний и математического образования, а в области профессионального образования – привлечение студентов к научной работе. В 
этой связи студентам рекомендуется «уделять больше времени решению творческих учебных и исследовательских задач». 

Данное учебное пособие является методическим обеспечением 

дисциплин «Геометрия» и «Математические модели, методы и теории: векторный анализ и аксиоматические теории», а также учебноисследовательской деятельности бакалавров по направлению «Педагогическое образование (профиль Математика)».

В первой главе дается обзор основных понятий топологии и 

вводится главное понятие дифференциальной геометрии – понятие 
многообразия.

Во второй главе рассматриваются понятие векторной функции 

скалярного аргумента, ее свойства и описывается класс задач, решаемых с помощью векторов.

В третьей главе даются понятия гладкой параметризированной 

кривой, геометрических образов, связанных с точкой на линии и параметрами, задающими кривую линию.

В четвертой главе описываются гладкие параметризованные по
верхности, квадратичные формы, связанные с поверхностью, изгибание поверхностей, внутренняя геометрия поверхности.

В пятой главе рассматриваются вопросы аксиоматического по
строения геометрических теорий, в том числе аксиоматики в школьных учебниках геометрии.

1 ТОПОЛОГИЯ

1.1 Понятие топологического пространства

Математика (и геометрия в том числе) как наука занимается 

изучением различных математических структур. Математическая 
структура понимается как набор множеств и отношений, связывающих между собой элементы этих множеств. При этом отношения 
должны подчиняться определенным аксиомам.

Простейшей (по устройству) геометрической структурой явля
ется топологическая структура. Такая структура является неотъемлемой частью более сложных геометрических структур, например, 
структуры евклидова пространства. Покажем, как задается топологическая структура. 

Возьмем не пустое множество элементов Е и образуем новое 

множество , в которое включим в качестве элементов пустое множество, само множество Е и некоторые его подмножества O., то есть
 = {
, Е , O  Е}.

Пусть, например, дано числовое множество Е = {1, 2, 3, 4}. Для 

этого множества можно в качестве множества  составить следующие 
множества:

1 = {
, Е}, 2={
, Е, всевозможные подмножества из Е},

3={
, Е, (1, 2), (2, 3)}.
Определение 1.1.1. Пару множеств {Е, } называют топологи
ческим пространством, если выполняются следующие аксиомы:

1) множество  замкнуто относительно операции объединения 

произвольного числа его элементов;

2) множество  замкнуто относительно операции пересечения 

конечного числа его элементов.

Множество Е называют базисным множеством, а множество  –

топологией. Элементы топологии  называют открытыми множествами.

Выясним, например, образуют ли топологии множества 1, 2, 3

в указанном выше примере.

1) 1={
, Е}. Проверим выполнимость условий определения:

 Е = Е  1,
 Е= 
 1.

Отсюда: {Е, 1} – топологическое пространство с топологией 1.
2) 2 = {
, Е, всевозможные подмножества из Е}. В данном слу
чае объединение подмножеств из 2 либо само множество Е, либо 
подмножество из 2. Пересечение подмножеств из 2 есть пустое 
множество либо подмножество из 2. Значит, {Е, 2} – топологическое пространство с топологией 2 .

3) 3 = {
, Е, (1, 2), (2, 3)}. Для этого набора элементов будем 

иметь (1, 2)  (2, 3) = (1, 2, 3) и (1, 2)  (2, 3) = 2. Подмножества 2 и
(1, 2, 3) множеству 3 не принадлежат. Значит, 3 – не топология. 

Если дополнить множество 3 подмножествами (1, 2, 3) и 2, то 

получим топологию 4 = {
, Е, 2, (1, 2), (2, 3), (1, 2, 3)} и топологиче
ское пространство (Е, 4).

Из рассмотренных примеров видно, что на одном и том же мно
жестве можно задавать различные топологии. Причем на любом непустом множестве Е существуют топологии вида 1 и 2. Топологию
1 = {
, Е} называют антидискретной, а топологию 2 = {
, Е, все
возможные подмножества из Е} – дискретной.

Определение 1.1.2. Дополнение открытого множества тополо
гического пространства до базисного называется замкнутым множеством. 

Таким образом, если O – открытое множество, то есть O  , то 

F = Е / O – замкнутое множество. 

Очевидно, что пустое и базисное множества замкнутые и в то
пологическом пространстве множеств замкнутых столько, сколько 
открытых.

В качестве примера найдем для топологии 4 = {
, Е, 2, (1, 2), 

(2, 3), (1, 2, 3)} замкнутые множества. Для пустого множества замкнутым будет само множество Е, для X замкнутым будет пустое 
множество, для 2 соответственно (1, 3, 4), для (2, 3) – (1, 4), для (1, 2) 
– (3, 4), для (1, 2, 3) – 4. Таким образом, искомая система будет иметь 
вид:

*
4

={Е,
, (1, 3, 4), (3, 4), (1, 4), 4}.

Рассмотрим свойства замкнутых множеств. Пусть, например, O1 

и O2 – открытые множества в топологическом пространстве {Е, } и
F1 и F2 – замкнутые множества для O1 и O2 соответственно. Тогда, по 
определению операций объединения и пересечения множеств, будем 
иметь:

F1  F2 = (Е / O1)  (Е / O2) = Е / (O1  O2) – замкнутое множество;
F1  F2 = (Е / O1)  (Е / O2) = Е / (O1  O2) – замкнутое множество.

Очевидно, что:
1) пересечение любого числа замкнутых множеств есть множе
ство замкнутое;

2) объединение конечного числа замкнутых множеств есть мно
жество замкнутое.

Из этих свойств вытекает второй способ задания топологическо
го пространства – при помощи системы замкнутых множеств.

В топологическом пространстве могут присутствовать четыре 

вида подмножеств: открытые, замкнутые, открытые и замкнутые одновременно (например, в топологиях 1 и 2), неоткрытые и незамкнутые (например, 4 относительно топологии 4).

Существует способ получения многочисленных примеров топо
логических пространств на базе данного. 

Рассмотрим топологическое пространство {Е, }. Пусть A –

подмножество из множества Е. Обозначим через А пересечение 
множества A с открытыми множествами из топологии . Докажите 
самостоятельно, что множество ΄ = {
, А, А} – является топологией 

на множестве A. Множество ΄ порождается топологией исходного 
пространства, поэтому ΄ называют индуцированной топологией. 

1.2 Естественные топологии

Пусть на множестве задана какая-либо математическая структу
ра. Топология, заданная с помощью элементов этой структуры, называется естественной. 

В геометрических теориях важную роль играют метрические

пространства. Напомним, что метрическое пространство – это пространство, в котором определено расстояние между точками. Структура метрического пространства выглядит следующим образом:
{Е, R+, } , где R+ – множество неотрицательных чисел,  – отображение Е × Е  R+, обладающее свойствами:

1.  (А, В) = 0  А = В,
2.  (А, В) =  (В, А),
3.  (А, В) +  (В, С)   (А, С),

где А, В и С – произвольные точки из множества Х.

Построим естественную топологию в метрическом простран
стве. 

Определение 1.2.1. Открытым шаром с центром в точке O и ра
диусом ε  0 называется множество точек М таких, что расстояние от 
точки М до точки O меньше  .

Открытый шар с центром в точке O и радиусом ε  0 будем обо
значать ω (О, ε). Например, на числовой прямой открытым шаром 
 (2, 1) будет интервал (1, 3).

Определение 1.2.2. Точка М, принадлежащая подмножеству А

метрического пространства (Е, ), называется внутренней точкой 
множества А, если существует открытый шар с центром в точке М и 
радиусом  , содержащийся во множестве А, то есть
А.

Определение 1.2.3. Множество А называется «открытым», если 

каждая точка множества А является внутренней.

Теорема 1.2.1. Совокупность «открытых» множеств метриче
ского пространства {Е, } образуют топологию.

Доказательство. 
1) Пустое множество «открыто», так как в нем нет точек.
2) Базисное множество метрического пространства {Е, } «от
крыто», так как все шары с центром в любой точке из Е принадлежат 
этому множеству.

3) Пусть А1, А2,…., Аα… – «открытые» подмножества в метриче
ском пространстве и А = 
Аα – объединение этих множеств. Возьмем

точку М, принадлежащую множеству А. Тогда, по определению объединения, в А существует множество Аi такое, что точка М будет 
принадлежать ему. Так как Аi «открытое», то точка М для него внутренняя. Следовательно, существует открытый шар с центром в точке
М и радиусом  , принадлежащий множеству Аi, а значит, и множеству А. Тогда, по определению 1.2.2, точка М внутренняя для множества А. Так как точка М – произвольная точка множества А, то любая 
точка в этом множестве внутренняя и, следовательно, множество А
«открытое».

4) Рассмотрим теперь множество А = 
. Если А – пустое 

множество, то оно «открыто». Пусть множество А не пустое и М –
произвольная его точка. Тогда, по определению пересечения, точка М
принадлежит любому подмножеству Аα (α = 1,…,к). Так как Аα – «открытые» множества, то М – внутренняя точка для любого множества 
Аα. Следовательно, в каждом множестве Аα существует открытый шар 
ω(М, εα), принадлежащий этому множеству. Радиусы этих шаров  1, 

 2,  3, …,  k образуют конечную последовательность. Пусть ε – минимум в этой последовательности. Рассмотрим открытый шар с центром в точке М и радиусом  . Так как ε – минимальный радиус и все 
открытые шары имеют общий центр М, то шар ω (М, ε) содержится в 
каждом открытом шаре  1,  2, …, k и, следовательно, в каждом 
множестве А (α= 1, ,к). По определению пересечения, открытый шар 
 содержится во множестве А и, следовательно, М – внутренняя точка множества А. Отсюда, множество А «открытое». Теорема доказана.

Таким образом, кавычки в термине «открытое» можно снять, а 

построенная топология является естественной в метрическом пространстве.

Примеры
1. На евклидовой плоскости открытый шар – это открытый круг. 

Тогда открытое множество – это такое множество, в котором каждая 
точка является центром открытого круга, целиком содержащегося в 
этом множестве. Совокупность таких открытых множеств образует 
естественную топологию плоскости.

2. Возьмем на евклидовой плоскости параболу и рассмотрим пе
ресечение параболы с открытыми кругами плоскости. В результате 
получим естественную индуцированную топологию на множестве 
точек параболы, в которой открытые множества – это всевозможные 
открытые дуги параболы. 

3. Индуцированная естественная топология на гиперболе состо
ит из пустого множества, самой гиперболы, ветвей гиперболы и различных открытых дуг гиперболы.

1.3 Окрестность точки в топологическом пространстве

Топология, заданная на некотором множестве, позволяет ввести 

понятие окрестности точки в этом множестве. Рассмотрим топологическое пространство {Е,  }, где  = {, Е, Оα}. Пусть М – точка из 
множества Е. Возьмем в Е некоторое подмножество О.

Определение 1.3.1. Подмножество О из Е называют окрестно
стью точки М в топологическом пространстве {Е,  }, если существует открытое множество Оα такое, что выполняется условие

М 
Оα
О
(1.3.1)

Если множество O является окрестностью точки М, то в этом 

случае записывают О(М).

Пример. Пусть Е = {1, 2, 3, 4},  ={
, Е, (1, 2), (3, 4)}. Возьмем, 

например, точку 2 и два подмножества (1, 2, 3) и (2, 3, 4). Для первого 
подмножества имеем 2 (1, 2) (1, 2, 3). Следовательно, множество
(1, 2, 3)
–
окрестность точки
2.
Для второго подмножества

2 (1, 2)  (2, 3, 4) и 2 Е  (1, 2, 3). Следовательно, множество
(2, 3, 4) не является окрестностью точки 2.

При отыскании окрестностей точки необходимо учитывать сле
дующие свойства окрестности:

а) Для того чтобы множество О служило окрестностью некото
рой точки, то оно прежде всего обязано эту точку содержать. 

б) Базисное множество в топологическом пространстве является 

открытым и для любой его точки М условие (1.3.1) формально записывается в виде М 
Е = Е. Следовательно, базисное множество вы
ступает окрестностью для любой своей точки. Таким образом, у всякой точки в топологическом пространстве существует хотя бы одна 
окрестность – само базисное множество. Существование окрестностей, отличных от базисного множества зависит от топологии.

в) Любое открытое множество, содержащее данную точку, слу
жит окрестностью этой точки (следует из (1.3.1)).

г) Окрестность точки не всегда открытое множество.
д) В дискретном топологическом пространстве каждая точка яв
ляется сама для себя окрестностью. 

е) В антидискретном топологическом пространстве у всех точек 

существует только одна окрестность – базисное множество.