Автоморфизм-инвариантные и эндоморфизм-продолжаемые модули

А.А. Туганбаев 

АВТОМОРФИЗМ-ИНВАРИАНТНЫЕ  
И ЭНДОМОРФИЗМ-ПРОДОЛЖАЕМЫЕ 
МОДУЛИ 

Монография 

Москва 
Издательство «ФЛИНТА» 
2017 

УДК 512.55 
ББК  22.144 
 Т81 

 Туганбаев А.А. 
Т81       Автоморфизм-инвариантные и эндоморфизм-продолжаемые модули 
[Электронный ресурс] : монография / А.А. Туганбаев. — М. : 
ФЛИНТА, 2017. — 113 с. 

ISBN 978-5-9765-3383-7 

Данная 
монография 
посвящена 
изучению 
автоморфизминвариантных 
модулей, 
т.е. 
характеристические 
подмодули 
инъективных модулей, а также модулей, в которых все автоморфизмы 
(эндоморфизмы) подмодулей продолжаются до эндоморфизмов всего 
модуля.  Рассматриваются приложения таких модулей к различным 
важным классам колец. 
Книга может быть полезна всем алгебраистам, интересующимся 
кольцами и модулями. Она может служить учебным пособием для 
студентов и аспирантов, изучающих современную алгебру. 
Исследование выполнено за счет гранта Российского научного 
фонда.  
(проект 16-11-10013). 

УДК 512.55 
ББК  22.144 

ISBN 978-5-9765-3383-7
© Туганбаев А.А., 2017
© Издательство «ФЛИНТА», 2017

Оглавление

Предисловие........................................................................................... 4

1  Предварительные сведения................................................................ 9

2  Автоморфизм-продолжаемые модули ........................................... 29

3  Эндоморфизм-продолжаемые модули ........................................... 58

4 Автоморфизм-инвариантные несингулярные модули ............... 82

5 Конечно-эндоморфизм-продолжаемые модули ............................ 95

Список литературы .............................................................................. 108

Предметный указатель ........................................................................ 112

. 1 A, .. Mod-A A-.
M X
X-, X1 X X1 → M X → M. M A ,
M A-. ,
. , M
Z , M , .. M , Q Z(p∞).

, M 2 X, M, X () . , Z , Q ZZ.

-. M
-(.,
-), (., )3 .

[9, Theorem 16] , M
-, M , .. X M

1,
.
2M X , M ∩ X1 ̸= 0
X1 X.
3M X (.,
) X, M ⊆ α(M) (., ) α X.

X → M M. ;
., , [18], [38], [9]. -; ., , [2], [5], [9], [15], [25],
[33], [49], [50], [52], [53], [54], [55].

, Z -Z, α(Z) ̸⊆ Z, α: q → q/2 Z-Q.

M , M . , M , M -, .. α(M) ⊆ M α M, .
[21] [59, 17.11]. , -.

1. {F ∞
i=1} Z/2Z A Fi, , . [9, Example 9] , A A-, .

2. F 2, A 5F, (3 × 3)
f11
f12
f13
0
f22
0
0
0
f33

, fij ∈ F. [33] , e11A = e11F + e12F + e13F -, . 3.1 , e11A -,
-. , e11A .

, .
(-) Z.

M -(., -, X M (., ) X

M.

1.
,
-(.,
)
(.,
-)
--.

2. , -. M -,
M  M, . 1.3;
, M -. , Z -()
Z-,
().

, MA M = A () , M = A .

3. F A F x, y xy−yx = 1.
, AA AA -,
AA AA -. , A ()
, A , U(A) A F \ 0. , U(A) A.

a A. :

(*) α aAA u ∈ U(A), α(ab) = uab b ∈ A;

(**) f aA, AA.

(*). α(aA) = aA, α(a) = au a = auv 

u, v ∈ A. uv = 1. A ,
vu = 1 u ∈ U(A) ⊂ F. uab = aub = α(ab) b ∈ A.

(**). A a , AaA = A ̸= Aa. ab ̸⊆ Aa b ∈ A. A , A , a−1.
aba−1aA ⊆ aA f(ac) = aba−1c f aAA AA. ,  f φ AA. d = φ(a). ab = aba−1a = f(a)a = φ(a)a = da ∈ Aa.

.
□

3. A , . AAa A AA. A , () .

A . AA , 10.47 [46] AA
.

4. {F ∞
i=1} Z/2Z A Fi, , . A .
[9, Example 9] , A -, . 2 3 AA -, -.

4
. , 4.6 A G , -A-, A/G . 4.9 A A-X , B A, X BA, X 

. 4.23 , A , A A = S × T, S T , .

5
-. ,
5.1 A :
1) A--;
-A
-;
3)
A-2-;
4) -A 2-;
5) A ---;
6) A --;
7) A .

.
f : X → Q M Q, f −1(M) {x ∈ X | f(x) ∈ M
X.

A , X A-, Y A, X1, X2 (. Y1, Y2) X (., Y ).
(X1
.
. X2) = {a ∈ A | X1a ⊆ X2}, (Y2
.
. Y1) = {a ∈
A | aY1 ⊆ Y2}, r(X1) {a ∈ A | X1a = 0}
X1
ℓ(Y1) {a ∈ A | aY1 = 0}
Y1. rA(X1) ℓA(Y1) r(X1) ℓ(Y1) . , r(X1) A ℓ(Y1) A. B A, r(B) ℓ(B) 
A.

1. , . , . A , AA AA .

, ; ., , [3], [19], [11], [27], [46], [59].

1.1. , .
.

A . A-X , x ∈ X, X, X = xA
r(x) x . , X , X ∼= AA.

XA , {xi}i∈I ⊆ X, X, X = ⊕i∈IxiA r(xi) = 0 i ∈ I; card(I)
X. , .

M X X-, h: X → X f : M → X, f : M → X, f = hf.

A, A-) . , , .

, , Z. , n , Z/nZ
Z

M

X
X

X1
X
X1
M

X
M

A
M
A

M

M

I

AA

XA
f
xi
i I
X
MA
g(
xiai) =

f(xi)ai
g: X

M
f(xi) i I
M

g: X
M

X
M

X

Y
M

Y

X
A

AA
M

X
M
A

A

M, M-. , .

, M, M-. , .

8. M X f : M → X, f(M) X, M  X. , X ,
f(M) X, f : M → X .

9. M X h: X → M, Ker h X M , X. , X ,
h: X → M .

10. Y X X/Y X, Y X. ,
xA ,
r(x) AA, , r(x) = eA e ∈ A.

11. .

12. M , M .

13 M , h: X → M Ker(h) X.

14. M = ⊕i∈IMi i ∈ I Mi ⊕j̸=iMj Mi-, M .

. 1, 2. .

3. {mi}i∈I ℵ MA. XA {xi}i∈I
ℵ. f : {xi}i∈I → {mi}i∈I,