Сборник задач по курсу "Математика в экономике". В 3-х ч. Ч.2 Математический анализ

УДК 330.4(076.5)
ББК 65в6я73
С23
А В Т О Р Ы :

Е.Н. Орел, А.А. Рылов, В.А. Бабайцев, А.В. Браилов,
В.Б. Гисин, О.Е. Орел, А.С. Солодовников, И.Г. Шандра

РЕЦЕНЗЕНТЫ:
Кафедра общенаучных дисциплин
Российского университета кооперации
(Владимирский филиал);
Г.И. Архипов,
доктор физико-математических наук,
профессор кафедры математического анализа
механико-математического факультета
МГУ им. М.В. Ломоносова

ISBN 978-5-279-03445-1
© Коллектив авторов, 2010, 2013
© Издательство «Финансы и статистика»,
2010, 2013

УДК 330.4(076.5)
ББК 65в6я73

Сборник задач по курсу «Математика в экономике». В 3-х ч.
Ч. 2. Математический анализ: учеб. пособие / Е.Н. Орел,
А.А. Рылов, В.А. Бабайцев и др.; под ред. В.А. Бабайцева и
В.Б. Гисина. – М.: Финансы и статистика, 2013. – 368 с.: ил.
ISBN 978-5-279-03445-1

Часть 2 Сборника задач содержит задачи по математическому анализу,
включающему дифференциальное и интегральное исчисления функций одной
и нескольких переменных, числовые и степенные ряды, обыкновенные дифференциальные уравнения и системы таких уравнений, разностные уравнения.
Содержание и набор задач полностью соответствуют программе обучения бакалавров по направлению «Экономика». Каждый параграф начинается с основных сведений по рассматриваемой теме, затем следует разбор решения
типовых примеров и задач и заканчивается набором задач и упражнений для
самостоятельной работы.
Для студентов и преподавателей экономических вузов и бизнес-школ, а
также для всех, кто интересуется математическими приложениями в экономике.

С23

ОГЛАВЛЕНИЕ 

Предисловие ..................................................................................... 
5 

Глава 1.  Введение в анализ ....................................................... 
7 

§ 1.1.  Функции действительной переменной ..................... 
7 
§ 1.2.  Предел числовой последовательности...................... 
12 
§ 1.3.  Предел и непрерывность функции............................ 
28 

Глава 2.  Производная и ее приложения ................................. 
44 

§ 2.1.  Производная, дифференциал и их вычисление........ 
44 
§ 2.2.  Геометрический и экономический смысл  
 
производной ............................................................... 
56 
§ 2.3.  Правило Лопиталя и формула Тейлора .................... 
65 
§ 2.4.  Исследование функции с помощью производной.... 
75 

Глава 3.  Неопределенный интеграл........................................ 
89 

§ 3.1.  Непосредственное интегрирование .......................... 
89 
§ 3.2.  Замена переменной и интегрирование по частям .... 
97 
§ 3.3.  Интегрирование некоторых классов функций ......... 105 

Глава 4.  Определенный интеграл............................................ 116 

§ 4.1.  Определение и способы вычисления ....................... 116 
§ 4.2.  Несобственные интегралы......................................... 123 
§ 4.3.  Приложения определенного интеграла..................... 130 
§ 4.4.  Численное интегрирование ....................................... 138 

Глава 5.  Введение в анализ функций  
 
нескольких переменных ............................................ 142 

§ 5.1.  Последовательности и множества в 
n
................... 142 
§ 5.2.  Функция нескольких переменных,  
 
ее область определения и линии уровня .................. 146 
§ 5.3.  Предел и непрерывность  
 
функции нескольких переменных ............................ 150 

Глава 6.  Частные производные................................................ 154 

§ 6.1.  Частные производные, дифференциал и градиент... 154 
§ 6.2.  Касательная плоскость.  
 
Производная по направлению................................... 163 
§ 6.3.  Приложения частных производных в экономике..... 169 

Глава 7.  Экстремумы функций 
 
нескольких переменных ............................................ 175 

§ 7.1.  Многомерные экстремальные задачи ....................... 175 
§ 7.2.  Выпуклые функции и их экстремумы....................... 192 

Глава 8.  Кратные интегралы.................................................... 208 

§ 8.1.  Двойной интеграл по прямоугольной области......... 208 
§ 8.2.  Двойной интеграл (общий случай) ........................... 213 
§ 8.3.  Замена переменных в двойном интеграле ................ 220 
§ 8.4.  Тройные интегралы.................................................... 223 
§ 8.5.  Несобственные двойные интегралы.......................... 227 

Глава 9.  Ряды............................................................................... 232 

§ 9.1.  Числовой ряд и его сумма ......................................... 232 
§ 9.2.  Ряды с положительными членами............................. 236 
§ 9.3.  Знакочередующиеся ряды ......................................... 242 
§ 9.4.  Степенные ряды и область сходимости.................... 245 
§ 9.5.  Разложение функции в степенной ряд...................... 250 

Глава 10.  Дифференциальные и разностные уравнения ...... 260 

§ 10.1.  Дифференциальное уравнение и его решения ......... 260 
§ 10.2.  Важнейшие типы уравнений первого порядка......... 263 
§ 10.3.  Линейные уравнения первого порядка ..................... 271 
§ 10.4.  Уравнения, допускающие понижение порядка ........ 285 
§ 10.5.  Линейные уравнения  
 
с постоянными коэффициентами .............................. 290 
§ 10.6.  Линейные системы уравнений первого порядка...... 301 
§ 10.7.  Линейные разностные уравнения.............................. 314 
§ 10.8.  Дифференциальные и разностные уравнения  
 
в моделях экономической динамики ........................ 321 

Ответы............................................................................................... 331 

ПРЕДИСЛОВИЕ 

Данный сборник задач подготовлен коллективом преподавателей кафедры математики Финансовой академии при Правительстве 
Российской Федерации на базе состоявшего из трех частей учебника «Математика в экономике»1. 
После выхода в свет упомянутого учебника возникла потребность в создании сборника задач, в полной мере отражающего содержание учебника и современные новации в области высшего образования на современном этапе развития экономики. 
Материал учебника и сборника задач отражает в полной мере 
программу бакалавриата по направлению «Экономика». 
Сборник задач состоит из трех частей: часть 1 «Линейная алгебра, аналитическая геометрия и линейное программирование»; 
часть 2 «Математический анализ»; часть 3 «Теория вероятностей» 
− и содержит более 2000 задач и упражнений, собранных в  
20 главах. 
Во второй части приводятся задачи и упражнения по основным 
разделам математического анализа, входящим в программу: дифференциальное и интегральное исчисления функций одной и нескольких переменных, числовые и степенные ряды, обыкновенные 
дифференциальные уравнения и системы таких уравнений, разностные уравнения. Вторая часть опирается на обозначения и понятия первой части Сборника задач и в свою очередь служит базой 
для обучения по теории вероятностей и математической статистике, частично содержащейся в третьей части. 
Так же, как и в других частях, каждый параграф начинается с 
изложения основных сведений по данной теме, затем  следует разбор типовых примеров, после чего приводится ряд упражнений и 
задач для самостоятельной работы. Почти ко всем задачам даны 
ответы, а к наиболее сложным приведены указания. Разделение 
задач по трудности  не проводилось, как правило, более трудные 
задачи отнесены в конец раздела и к ним даны указания. 
                                                        
1 Солодовников А.С. Математика в экономике: в 3-х ч. / А.С. Солодовников,  
В.А. Бабайцев, А.В. Браилов, .Г. Шандра. – 2-е изд., перераб. и доп. – М.: Финансы и 
статистика, 2007–2008.  

Особого внимания заслуживают разобранные примеры, имеющие экономическое содержание. Значительную часть задач для самостоятельной работы составляют задачи с экономическим и финансовым содержанием. Все специальные термины поясняются в 
разобранных примерах. 
При подборе задач были использованы многочисленные сборники задач по высшей математике, в частности, такие задачники, 
как «Сборник задач по высшей математике» В.П. Минорского, 
«Задачник по высшей математике» В.С. Шипачева. Задачи с экономическим содержанием подбирались из многочисленных учебников для экономистов, как отечественных, так и иностранных авторов.  
Авторы особое внимание уделили выверке ответов к задачам. 
Вместе с тем они отчетливо понимают, что опечатки возможны, и 
надеются на сотрудничество с вдумчивыми читателями в деле их 
нахождения и исправления. 
Содержание сборника задач формировалось и апробировалось в 
течение многих лет на кафедре математики, и авторы пользуются 
случаем поблагодарить администрацию Финансовой академии при 
Правительстве РФ за создание творческой атмосферы, благоприятствующей процессу его написания и издания. 
 

ГЛАВА 1 
 

ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ 

§ 1.1. Функции действительной переменной 

1. Понятие функции 

Основные сведения 

Пусть D  − множество на числовой прямой 
.
Если каждому 

x
D
∈
 поставлено в соответствие единственное число 
 ( ),
y
f x
=
 то 
говорят, что задана функция 
.f  Множество D  называют областью 
определения, а множество  

( )
{
}
|
,
E
y
y
f
x
x
D
=
∈
=
∈


− множеством значений функции. Иногда возникает необходимость использования более детальных обозначений 
( ),
f
D
D
D f
=
=
 

( ).
f
E
E
E f
=
=
  

Графиком функции 
 ( )
y
f x
=
 с областью определения D  называют множество точек на плоскости вида 
{( ,
( )) |
}.
x f x
x
D
Γ =
∈
 
Функцию 
( ),
f x  определенную на симметричном относительно 
нуля промежутке, называют четной (нечетной), если 
(
)
( )
f
x
f x
−
=
 
(
(
)
( )
f
x
f x
−
= −
). 
Пусть даны функции 
( )
f x  и 
( ).
g x  Составим из них две сложные функции. Считая функцию f  внешней (главной), а функцию 
g  – внутренней, получаем 
( )
( ( )).
u x
f g x
=
 Если же за внешнюю 
принять ,
g  то получится сложная функция ( )
( ( )).
v x
g f x
=
 
Если функция 
( )
y
f x
=
 такова, что разным значениям x  аргумента соответствуют разные значения y  функции, то переменную 
x  можно выразить как функцию переменной y : 
( ).
x
g y
=
 Функ

цию g  называют обратной к f  и обозначают 
1.
g
f −
=
 Переходя к 

более привычным обозначениям, получаем 
1
( )
( ).
y
g x
f
x
−
=
=
 Связь 

между исходной функцией f  и обратной к ней функцией 
1
f −  определяется следующими соотношениями:  

(
)

1
1
1
1
(
)
( );
(
)
( );
( )
( );
D f
E f
E f
D f
f
x
f x
−
−
−
−
=
=
=
 

1
1
( ( ))
,
( );
(
( ))
,
( ).
f
f x
x x
D f
f
f
x
x x
E f
−
−
=
∈
=
∈
  

Примеры  

1. Найти область определения и множество значений функции 

1 |
|.
y
x
=
−
  
Р е ш е н и е .  Область определения находится из неравенства 
1 |
| 0.
x
−
≥
 Отсюда 
[ 1,1].
D = −
 Очевидно, что выполняется двойное 
неравенство 0
1 |
| 1,
x
≤ −
≤
 поэтому 
[0,1].
E =
  
2. Определить, какие из указанных ниже функций являются 

четными или нечетными: а) 
( )
1
2 ;
1
2

x
f
x
x

−
=
+
 б) 
( )
2
2
;
2
2

x
x

x
x
f
x

−

−
−
=
+
  

в) 
( )
(
)
cos sin
.
f
x
x
=
 

Р е ш е н и е .  а) 
(
)
1
2 ,
1
2

x
f
x
x

+
−
=
−
 и функция не является ни чет
ной, ни нечетной, так как 
(
)
( );
f
x
f x
−
≠ ±
 

б) 
(
)
( )
2
2
,
2
2

x
x

x
x
f
x
f
x

−

−
−
−
=
= −
+
 функция нечетная; 

в) 
(
)
(
)
(
)
(
)
( )
cos sin
cos
sin
,
f
x
x
x
f
x
−
=
−
=
−
=
 функция четная.  

3. Для данной функции 
3
2
( )
3
3
f x
x
x
x
=
−
+
 найти обратную к 
ней. 
Р е ш е н и е .  Имеем 
(
)
3
1
1,
y
x
=
−
+
 так что (
)
3
1
1
x
y
−
=
−  и 

3
1
1,
x
y
=
− +
 откуда 
( )

1
3
1
1.
f
y
y
−
=
− +
 Заменяя y  на x , получаем 

( )

1
3
1
1.
f
x
x
−
=
− +
 

Для проверки равенства 
( )
(
)

1
f
f
x
x
−
=
 воспользуемся соотно
шением 
(
)
3
( )
1
1.
f x
x
=
−
+
 Имеем 
( )
(
) (
)

3
1
3
1
1 1
1
,
f
f
x
x
x
−
=
− + −
+ =
 

что и требуется. 

2. Элементарные функции 

Основные сведения 

Перечислим основные элементарные функции: а) постоянная 
,
y
a
=
 б) степенная 
a
y
x
=
 (
0
a ≠
), в) показательная 
x
y
a
=
 
(
0,
1
a
a
>
≠ ), г) логарифмическая 
loga
y
x
=
 (
0,
1
a
a
>
≠ ), д) тригонометрические 
sin ,
y
x
=
 
cos ,
y
x
=
 
tg ,
y
x
=
 
ctg
y
x
=
 и обратные к 
ним функции.  
Допустимыми действиями над функциями будем считать все 

арифметические действия ( f
g
±
, f g
⋅
, f

g ), а также построение 

сложной функции 
( ( )).
f g x
 Функции, которые получаются из основных элементарных функций с помощью последовательности 
допустимых действий, называют элементарными функциями.  

Примеры  

1. Показать, что 
( )
x
f x
x
=
 – элементарная функция.  
Р е ш е н и е .  В данном представлении функция f  не является 
ни степенной (так как показатель зависит от x ), ни показательной 
(так как основание также зависит от x ). Преобразуем выражение 
для функции с помощью основного логарифмического тождества: 
(
)

lg
lg
10
10
x
x
x
x
x
x =
=
 Теперь видно, что 
( )
(
(lg )),
f x
g x
x
=
⋅
 где 

( )
10x
g x =
 – показательная функция, являющаяся в данном случае 
корневой.  
2. Представить функции  

а) 
5
( )
5 sin
,
x
f x
x
x
=
−
   б) 
2
( )
2
3
,
f x
x
=
−
   в) 
( )
log cos
x
f x
x
=
  

с помощью допустимых действий над основными элементарными 
функциями. 
Р е ш е н и е :  
а) 
( )
( )
( )
( ),
f x
g x
h x
u x
=
⋅
−
 
где 
( )
5 ,
x
g x =
 

( )
sin ,
h x
x
=
 
5
( )
;
u x
x
=
 б) положим 
( )
,
g x
x
=
 
( )
2,
h x =
 
( )
3,
u x =
 

2
( )
,
v x
x
=
 тогда 
( )
( ( )
( )
( ));
f x
g h x
u x
v x
=
−
⋅
 в) переходя к основанию 

10,  получим 
lgcos
log cos
,
lg
x

x
x
x
=
 поэтому 
( ( ))
( )
,
( )

g h x
f x
g x
=
 где 

( )
lg ,
g x
x
=
 ( )
cos .
h x
x
=
 

Упражнения 

Найти область определения следующих функций: 

1.1. 
2
9.
y
x
=
−
 
1.2. 

2
3
.
1
9
y
x
=

−
−
  

1.3. 
1
3sin8 .
y
x
= −
 
1.4. 
1
2
log
.
y
x
=
  

1.5. 
2
.
y
x
x
=
−
+
+
 
1.6. 
1
cos ,
[
, ].
y
x x
π π
= −
∈ −
 
Найти область значений следующих функций: 

1.7. 
2
4
.
y
x
=
−
 
1.8. 

2
4 2
2
.
x x
y
−
−
=
  

1.9. 

2

2
4
4;
1
x
x
y
x
x
−
+
=
−
+
 
1.10. 
(
)

2
1
2
log
1 .
y
x
=
+
  

1.11. 

3
sin
1
.
3

x

y
⎛
⎞
= ⎜
⎟
⎝
⎠
 
1.12. 
lgtg .
y
x
=
  

1.13. 
(
)
arcsin
1
.
y
x
x
=
−
+
+
 
1.14. 
1
arctg
.
3

x

y
⎛
⎞
=
⎜
⎟
⎝
⎠
  

1.15. 

2
1
arccos .
x
y
x
x

−
=
+
 

Построить графики функций путем преобразований известных 
графиков: 

1.16. 
1
3
2cos
.
2
2
y
x
⎛
⎞
=
−
⎜
⎟
⎝
⎠
 
1.17. 
(
)
3sin 2
4
1.
y
x
=
−
−
  

1.18. 
1
1
sin
1
1.
2
2
y
x
⎛
⎞
= −
+
+
⎜
⎟
⎝
⎠
 
1.19. 
tg
2.
4
y
x
π
⎛
⎞
=
+
+
⎜
⎟
⎝
⎠
  

1.20. 
3 .
5
x
y
x
+
=
−
 
1.21. 
2
5
3 .
y
x
=
−
−
  

1.22. 
2
5
3 .
y
x
=
−
−
 
1.23. 
3
4 .
y
x
x
=
−
  

1.24. 
2
log
.
y
x
=
 
1.25. 
1
.
3

x

y
⎛
⎞
= ⎜
⎟
⎝
⎠
 

Выяснить, какие из следующих функций являются четными и 
нечетными: 

1.26. 
( )
sin
.
x
f
x
x
=
 
1.27. 
( )
3
1.
3
1

x

x
f
x
−
=
+

1.28. 
( )

3
cos
.
f
x
x
x
x
=
−
 
1.29. 
( )
cos
sin
cos
sin
.
cos
sin
cos
sin

x
x
x
x
f
x
x
x
x
x

+
−
=
+
−
+
  

1.30. Показать, что для любой функции 
( ),
f
x
 определенной на 
симметричном относительно начала координат промежутке, функция 
( )
(
)
f
x
f
x
+
−
 будет четной.  

1.31. Показать, что для любой функции 
( ),
f
x
 определенной на 
симметричном относительно начала координат промежутке, функция 
( )
(
)
f
x
f
x
−
−
 будет нечетной.  

1.32. Показать, что любую функцию 
( ),
f
x
 определенную на 
симметричном относительно начала координат промежутке, можно 
представить в виде суммы четной и нечетной функций.  
1.33. Показать, что если 
( )
f x  и 
( )
g x  – элементарные функции, 

то (
)
( )
( )

g x
f x
 и 
( )
log
( )
f x g x  – тоже элементарные функции. 

Для данных функций найти обратную функцию и построить их 
графики: 

1.34. 
( )
(
)

2,
, 0 .
f
x
x
x
=
∈ −∞
 1.35. 
( )
(
)
1
,
0,
.
2

x
f
x
x
⎛
⎞
=
∈
∞
⎜
⎟
⎝
⎠
  

1.36. Пусть функция 
( )
162 ,
0,
2
=
≥
+
dq
p
p
p
 выражает зависимость 

спроса на товар от цены, функция 
( )
2
4
sq
p
p
=
+
 − зависимость 
предложения товара от цены. Найти: а) координаты точки рыночного равновесия; б) для каждой функции обратную к ней и определить значения равновесной цены и количества товара; в) построить 
графики прямых и обратных функций, принимая сначала за аргумент 
,p  а затем .q  Примечание: в точке равновесия 
( )
( ).
d
s
q
p
q
p
=
 

Найти 
( ( ))
f g x
 и 
( ( ))
g f x
 для следующих функций: 

1.37. 
( )
( )

2,
.
f
x
x
g x
x
=
=
  1.38. 
( )
( )
2
2 ,
log
1.
x
f
x
g x
x
=
=
+
  

1.39. 
( )
( )

2
1
,
.
f
x
x g x
x
= −
=
  

1.40. 
Среди 
дробно-линейных 
функций 
( )
+
=
+
ax
b
f
x
cx
d  

(
)
0
ad
bc
−
≠
 найти все такие, для которых выполняется равенство 

( )
( )

1
.
f
x
f
x
−
=
 

Представить следующие функции с помощью допустимых действий над основными элементарными функциями: 

1.41. 
5
sin(log
1).
x −
 
1.42. 
(
)
cos 2
7
tg3 .
x
x
−
+
 

§ 1.2. Предел числовой последовательности 

1. Понятие последовательности 

Основные сведения 

Числовой последовательностью {
},  
 1,2,3,...,
nx
n =
 называют 
функцию, определенную на множестве натуральных чисел. Иногда 
отсчет начинается с нуля; в этих случаях начальным членом последовательности является 
0.
x  

Последовательность может задаваться перечислением, с помощью формулы общего члена 
( )
nx
f n
=
 или с помощью рекуррентной формулы 
1
(
,
,
),
n
n
n m
x
g x
x
−
−
=
…
 связывающей несколько соседних 
членов.  
Простейшим примером является последовательность, состоящая из одних и тех же чисел (постоянная последовательность), 
например, 3; 3; 3;
; 3;
.
…
…  

Для арифметической прогрессии {
}
na
 рекуррентная формула 

1
,
n
n
a
a
d
+ =
+
 где 
const
d =
 − разность прогрессии, связывает два 
соседних члена, а формула общего члена 
1
(
1)
na
a
d n
=
+
−
 определяет непосредственно n-й член последовательности. 
Каждый член 
nb  геометрической прогрессии выражается через 
предыдущий 
1
nb −  и q  − знаменатель прогрессии с помощью однородного линейного рекуррентного соотношения  

1
.
n
n
b
b
q
+ =
⋅
 

Отсюда легко получить формулу общего члена прогрессии 

1
1
.
n
nb
b q −
=
⋅
 Геометрическая прогрессия называется убывающей, 
если|
| 1,
q <
 и возрастающей, если |
| 1.
q >