Сборник задач по курсу "Математика в экономике". В 3-х ч. Ч.1. Линейная алгебра, аналитическая геометрия и линейное программирование

УДК 330.4(076.5)
ББК 65в6я73
С23
А В Т О Р Ы :

С.В. Пчелинцев, В.А. Бабайцев, А.С. Солодовников,
А.В. Браилов, И.Г. Шандра, С.А. Посашков

РЕЦЕНЗЕНТЫ:
Кафедра высшей и прикладной математики
Российского государственного
торгово-экономического университета
(заведующий кафедрой – М.В. Зайцев,
доктор физико-математических наук, профессор);
В.А. Ведерников,
доктор физико-математических наук,
профессор кафедры алгебры, геометрии
и методики их преподавания
Московского государственного педагогического
университета (МГПУ)

ISBN 978-5-279-03441-3
© Коллектив авторов, 2010, 2013
© Издательство «Финансы и статистика»,
2010, 2013

УДК 330.4(076.5)
ББК 65в6я73

Сборник задач по курсу «Математика в экономике». В 3-х ч.
Ч. 1. Линейная алгебра, аналитическая геометрия и линейное
программирование: учеб. пособие / С.В. Пчелинцев, В.А. Бабайцев, А.С. Солодовников и др.; под ред. В.А. Бабайцева и
В.Б. Гисина. – М.: Финансы и статистика, 2013. – 256 с.: ил.
ISBN 978-5-279-03441-3

Содержание и набор этой части сборника задач полностью соответствуют программе обучения бакалавров по направлению «Экономика». Тематика
задач максимально приближена к соответствующим главам учебника тех же
авторов. Структура книги состоит из глав и параграфов. Каждый параграф
начинается с основных сведений по рассматриваемой теме, затем следует разбор решения типовых примеров и задач и заканчивается набором задач и
упражнений для самостоятельной работы.
Для студентов и преподавателей экономических вузов и бизнес-школ, а
также для всех, кто интересуется математическими приложениями в экономике, научных работников, менеджеров и бизнесменов.

С23

ОГЛАВЛЕНИЕ 

Предисловие ..................................................................................... 
5 

Глава 1. Линейные пространства  
и системы линейных уравнений ............................... 
7 

§ 1.1.  Системы линейных уравнений  
и их решение методом Гаусса .................................... 
7 
§ 1.2.  Линейные пространства.............................................. 
17 
§ 1.3.  Линейно зависимые  
и линейно независимые системы векторов ............... 
20 
§ 1.4.  Базис и размерность линейного пространства .......... 
25 
§ 1.5.  Евклидовы пространства ............................................ 
29 

Глава 2. Матрицы и определители ........................................... 
36 

§ 2.1.  Матрицы и операции над ними .................................. 
36 
§ 2.2.  Матрицы и системы линейных уравнений ................ 
47 
§ 2.3.  Определители.............................................................. 
54 
§ 2.4.  Обратная матрица ....................................................... 
66 
§ 2.5.  Преобразование координат вектора  
при замене базиса........................................................ 
78 

Глава 3. Комплексные числа ..................................................... 
81 

§ 3.1.  Алгебраическая форма комплексного числа............. 
81 
§ 3.2.  Тригонометрическая форма комплексного числа..... 
86 
§ 3.3.  Многочлены в комплексной области......................... 
91 

Глава 4. Линейные преобразования  
и квадратичные формы .............................................. 
96 

§ 4.1.  Линейные преобразования и матрицы....................... 
96 
§ 4.2.  Собственные векторы и собственные значения  
линейного преобразования......................................... 107 
§ 4.3.  Симметрические линейные преобразования ............. 115 
§ 4.4.  Квадратичные формы ................................................. 120 

Глава 5. Неотрицательные матрицы  
и линейные экономические модели.......................... 129 

§ 5.1.  Собственные векторы неотрицательных матриц ...... 129 
§ 5.2.  Продуктивные матрицы.............................................. 133 
§ 5.3.  Балансовые модели ..................................................... 139 

Глава 6. Элементы аналитической геометрии ....................... 145 

§ 6.1.  Прямая на плоскости .................................................. 145 
§ 6.2.  Прямая и плоскость в 
3
............................................ 151 
§ 6.3.  Геометрия в 
4
........................................................... 160 
§ 6.4.  Выпуклые множества в 
n
........................................ 164 
§ 6.5.  Кривые второго порядка............................................. 175 

Глава 7. Линейное программирование .................................... 185 

§ 7.1.  Задача линейного программирования.  
Каноническая и стандартная формы.......................... 185 
§ 7.2.  Графический метод решения...................................... 196 
§ 7.3.  Симплексный метод решения 
задачи линейного программирования........................ 204 
§ 7.4.  Использование симплекс-метода для отыскания 
допустимого базисного решения. 
Метод искусственных переменных............................ 212 
§ 7.5.  Взаимно двойственные задачи  
линейного программирования.................................... 217 

Ответы............................................................................................... 227 

ПРЕДИСЛОВИЕ 

Сборник задач подготовлен коллективом авторов кафедры математики Финансовой академии при Правительстве Российской 
Федерации на базе изданного ранее учебника1. 
После выхода в свет упомянутого учебника возникла потребность в создании сборника задач, в полной мере отражающего содержание учебника, а также новации в области высшего образования на современном этапе развития экономики. 
Материал указанных учебника и сборника задач в полной мере 
соответствует программе бакалавриата по направлению «Экономика». 
Задачник состоит из трех частей: часть 1. Линейная алгебра, 
аналитическая геометрия и линейное программирование; часть 2. 
Математический анализ; часть 3. Теория вероятностей − и содержит более 2000 задач и упражнений, собранных в 20 главах.  
В части 1 приводятся задачи и упражнения по основным разделам линейной алгебры, аналитической геометрии и линейного программирования, входящим в программу. Эта часть служит базой 
для обучения по математическому анализу, теории вероятностей и 
математической статистике в частях 2 и 3. 
Каждый параграф сборника задач начинается с изложения основных сведений по данной теме, затем следует разбор типовых 
примеров, а заканчивается рядом упражнений и задач для самостоятельной работы. Почти ко всем задачам даны ответы, а к наиболее сложным приведены указания к их решению. Разделение задач по трудности не проводилось, но, как правило, более трудные 
задачи отнесены в конец параграфа и к ним даны указания. 
Кроме традиционного материала по линейной алгебре и аналитической геометрии в задачнике присутствуют такие темы, как 
продуктивные и неотрицательные матрицы, балансовые модели, 
линейные экономические модели и линейное программирование. 
Следует подчеркнуть, что особое место занимают разобранные 
примеры, имеющие экономическое содержание. Авторы имели  

                                                        
1  Солодовников А.С. Математика в экономике: в 3-х ч. / А.С. Солодовников,  
В.А. Бабайцев, А.В. Браилов, И.Г. Шандра. − 2-е изд., перераб. и доп. − М.: Финансы и 
статистика, 2007−2008. 

целью иллюстрировать все используемые математические понятия 
экономическими примерами. Значительную часть задач для самостоятельной работы составляют задачи с экономическим и финансовым содержанием. Все специальные термины поясняются в разобранных примерах.  
При подборе задач были использованы многочисленные сборники задач по высшей математике, в частности, такие задачники, 
как «Сборник задач по высшей математике» В.П. Минорского, 
«Задачник по высшей математике» В.С. Шипачева. Задачи с экономическим содержанием подбирались из многочисленных учебников для экономистов как отечественных, так и иностранных авторов.  
Большое внимание авторы уделили выверке ответов к задачам. 
Вместе с тем они отчетливо понимают, что опечатки возможны, и 
надеются на сотрудничество с вдумчивыми читателями в деле их 
нахождения и исправления. 
Содержание сборника задач формировалось и апробировалось в 
течение многих лет на кафедре математики, и авторы пользуются 
случаем поблагодарить администрацию Финансовой академии при 
Правительстве РФ за создание творческой атмосферы, благоприятствующей процессу его написания и издания. 
 

ГЛАВА 1 
 

ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА  
И СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ 

§ 1.1. Системы линейных уравнений  
и их решение методом Гаусса 

Основные сведения 

Система m линейных уравнений с n неизвестными, или, как  
будем дальше говорить, система m × n, записывается в общем виде 
так: 

 

11
1
12
2
1
1

21
1
22
2
2
2

1
1
2
2

,
,
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

n
n

n
n

m
m
mn
n
m

a x
a
x
a
x
b
a
x
a
x
a
x
b

a
x
a
x
a
x
b

+
+
+
=
⎧
⎪
+
+
+
=
⎪⎨
⎪
⎪
+
+
+
=
⎩

…
…

…

 
(1.1) 

Для сокращения этой записи можно использовать таблицу Гаусса (табл. 1.1), которая содержит всю информацию о системе (1.1). 

 
Таблица 1.1 

x1 
x2 
. . . 
xn 
− 

a11 
a12 
. . . 
a1n 
b1 

a21 
a22 
. . . 
a2n 
b2 

. . . 
. . . 
. . . 
. . . 
. . . 

am1 
am2 
. . . 
amn 
bm 

С помощью элементарных преобразований систему (1.1) можно 
привести к специальному виду. При этом найдутся r  неизвестных, 
называемых 
базисными, 
которые 
будут 
выражаться 
через  

остальные n
r
−  свободные неизвестные. Предположим, что базисными являются неизвестные 
1
2
,
,
,
,
r
x
x
x
…
 тогда систему (1.1) можно переписать в следующем виде: 

 

1
1
1,
1
1
1,

2
2
2,
1
1
2,

,
1
1
,

,
,
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

r
r
n
n

r
r
n
n

r
r
r r
r
r n
n

x
b
a
x
a
x

x
b
a
x
a
x

x
b
a
x
a
x

+
+

+
+

+
+

′
′
′
=
+
+
+
⎧
⎪
′
′
′
=
+
+
+
⎪⎨
⎪
⎪
′
′
′
=
+
+
+
⎩

…
…

…

 
(1.2) 

Запись (1.2) называют общим решением системы (1.1). Действительно, придав свободным переменным 
1,
,
r
n
x
x
+ …
 произвольные 
значения и вычислив по формулам (1.2) значения базисных неизвестных, получим некоторое частное решение системы (1.1). Базисное решение системы (1.1) получим, если положим все свободные неизвестные равными нулю: 

1
1
2
2
1
,
,
,
,
0,
,
0.
r
r
r
n
x
b x
b
x
b
x
x
+
′
′
′
=
=
=
=
=
…
…
 

Замечание. Один шаг исключения по методу Гаусса − Жордана состоит в следующем. Разрешающий элемент 
0
pq
a
≠
 выбирают из строки, 

которую не использовали в предыдущих действиях. Строка и столбец, в 
которых стоит выбранный элемент, называют разрешающими. Выполнить 
следующие действия: 

1. Все элементы разрешающей строки разделить на разрешающий 
элемент. 

2. Все остальные элементы разрешающего столбца заменить нулями. 

3. Все остальные элементы табл. 1.1 пересчитать по «правилу прямоугольника»: 

 
,
,
,
.
ij
pq
ip
pj
i
pq
p
iq
ij
i
pq
pq

a a
a a
b a
b a
a
b
i
p j
q
a
a

−
−
′
′
=
=
≠
≠
 
(1.3) 

Числители этих формул содержат элементы, расположенные в  
табл. 1.1 в вершинах прямоугольника, и равны разности попарных произведений элементов, стоящих в противоположных вершинах.  

Примеры 

1. Решить систему уравнений 

1
2
3

1
2
3

1
2
3

3
5,

4
2
8,
2
2.

x
x
x

x
x
x
x
x
x

+
+
=
−
⎧
⎪
+
+
=
−
⎨
⎪−
−
+
=
⎩

 

Р е ш е н и е .  Выполним преобразования по методу Гаусса в соответствующих таблицах:  

1
3
1
5
1
4
2
8
1
2
1
2

⎛
⎞
−
⎜
⎟
−
⎜
⎟
⎜
⎟
−
−
⎝
⎠

 ~ 

1
3
1
5

0
1
1
3
0
1
2
3

−
⎛
⎞
⎜
⎟
−
⎜
⎟
⎜
⎟
−
⎝
⎠

 ~  

 
~ 

1
0
2
4
0
1
1
3

0
0
1
0

⎛
⎞
−
⎜
⎟
−
⎜
⎟
⎜
⎟
⎝
⎠

 ~ 

1
0
0
4
0
1
0
3
0
0
1
0

⎛
⎞
⎜
⎟
−
⎜
⎟
⎜
⎟
⎝
⎠

. 

Разрешающие элементы помещены в рамку. На первом шаге 
выбирается разрешающий элемент 
11
1,
a
=
 первая строка переписывается без изменения, остальные элементы первого столбца обнуляются. Остальные элементы второй таблицы пересчитываются по 

правилу прямоугольника. Например, 
(
)
(
)

32
2 1
3
1
1.
1
a
−
⋅ − ⋅ −
′ =
=
 На 

втором шаге выбирается разрешающий элемент 
22
1,
a
=
 на третьем 
− 
33
1.
a
=
  
Последней таблице соответствует система 

1

2

3

4,
3,
0.

x
x
x

=
⎧
⎪
=
−
⎨
⎪
=
⎩

 

Ответ: решение единственно: 
1
4,
x =
 
2
3,
x = −
 
3
0.
x =

2. Решить систему уравнений 

1
2
3

1
2
3

1
2
3

3
8
42,

2
7
19
99,

3
11
30
100.

x
x
x

x
x
x

x
x
x

−
−
=
−
⎧
⎪−
+
+
=
⎨
⎪−
+
+
=
⎩

 

Р е ш е н и е .  Выполним преобразования по методу Гаусса в соответствующих таблицах:  

1
3
8
42

2
7
19
99

3
11
30
100

⎛
⎞
−
−
−
⎜
⎟
−
⎜
⎟
⎜
⎟
−
⎝
⎠

 ~ 

1
3
8
42

0
1
3
15

0
2
6
26

−
−
−
⎛
⎞
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
−
⎝
⎠

 ~ 

1
0
1
3

0
1
3
15

0
0
0
56

⎛
⎞
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
−
⎝
⎠

. 

На втором шаге получилась таблица, третьей строке которой 
соответствует уравнение 0 = −56, не имеющее решений. Следовательно, исходная система уравнений решений не имеет. 
Ответ: решений нет. 
3. Решить систему уравнений 

1
2
3

1
2
3

1,

2
2.

x
x
x

x
x
x

+
+
=
⎧
⎨
−
+
=
−
⎩
 

Р е ш е н и е .  Запишем расширенную матрицу системы и применим метод Гаусса. На первом шаге в качестве разрешающего 
элемента выберем a11 = 1, а на втором шаге – a23 = 1:  

1
1
1
1

1
1
2
2

⎛
⎞
⎜
⎟
−
−
⎝
⎠
 ~ 

1
1
1
1

0
2
1
3

⎛
⎞
⎜
⎟
−
−
⎝
⎠
 ~ 1
3
0
4
0
2
1
3
⎛
⎞
⎜
⎟
−
−
⎝
⎠
. 

Последней таблице соответствует система уравнений  

1
2

2
3

3
4,
2
3.
x
x
x
x
+
=
⎧
⎨
−
+
=
−
⎩
 

Здесь 
1
3
,
x
x  – базисные переменные, 
2x  – свободная переменная. Выразим базисные переменные через свободную:  

1
2

3
2

4
3
,
3
2
.

x
x

x
x
=
−
⎧
⎨
=
−
+
⎩
 

Тем самым мы нашли общее решение. Полагая 
2
0,
x =
 получим 
базисное решение 
1
2
3
4,
0,
3.
x
x
x
=
=
= −
 Для значения 
2
1
x =  получим частное решение 
1
2
3
1,
1,
1.
x
x
x
=
=
= −
 

Ответ: 
1
2

3
2

4
3
,

3
2

x
x

x
x

=
−
⎧
⎨
=
−
+
⎩
 − общее решение. 

4. Найти значения параметра 
,
λ  при которых система линейных уравнений 

1
2
3
4

1
2
3
4

1
2
3
4

3
6
5
2
6,
4
5
3
2
5,
5
4
1

x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
λ

+
−
−
=
⎧
⎪
+
−
−
=
−
⎨
⎪
+
−
+
=
−
⎩

 

несовместна. 
Р е ш е н и е .  Для того чтобы не иметь дело с дробями, сначала 
вычтем из второй и третьей строк первую, потом поменяем первые 
две строки местами.  

3
6
5
2
6
4
5
3
2
5
5
4
1
1
λ

−
−
⎛
⎞
⎜
⎟
−
−
−
⎜
⎟
⎜
⎟
−
−
⎝
⎠

 ~ 

3
6
5
2
6
1
1
2
0
11
2
2
4
2
7
λ

−
−
⎛
⎞
⎜
⎟
−
−
⎜
⎟
⎜
⎟
−
+
−
⎝
⎠

 ~  

 
~ 

1
1
2
0
11
3
6
5
2
6
2
2
4
2
7
λ

−
−
⎛
⎞
⎜
⎟
−
−
⎜
⎟
⎜
⎟
−
+
−
⎝
⎠

. 

Выбрав за разрешающий элемент a11 = 1, выполним один шаг по 
методу Гаусса: 

1
1
2
0
11

0
9
11
2
39
0
0
0
2
7
λ

−
−
⎛
⎞
⎜
⎟
−
−
⎜
⎟
⎜
⎟
+
−
⎝
⎠

.  

Из последней строки видно, что система несовместна при 
2.
λ = −
 
Ответ: 
2.
λ = −
 
5. Найти значения параметра 
,
λ  при которых система линейных уравнений 

1
2
3
4

1
2
3
4

1
2
3
4

1
2
3
4

8
15
21
30
34,

6
11
16
24
27,

7
14
22
30
38,
4
8
12
20

x
x
x
x

x
x
x
x

x
x
x
x
x
x
x
x
λ

+
+
+
=
⎧
⎪−
−
−
−
=
−
⎪⎨
+
+
+
=
⎪
⎪
+
+
+
=
⎩

 

имеет бесконечное множество решений. Для найденных значений 
параметра  указать общее решение системы. 
Р е ш е н и е .  Применим метод Гаусса к расширенной матрице 
системы. Сначала вычтем из первой строки третью, а ко второй 
прибавим третью:  

8
15
21
30
34

6
11
16
24
27

7
14
22
30
38

4
8
12
20
λ

⎛
⎞
⎜
⎟
−
−
−
−
−
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎝
⎠

 ~ 

4
1
1
1
0
11
1
3
6
6
.
38
7
14
22
30
20
4
8
12
λ

⎛
⎞
−
−
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎝
⎠

  

Выполним шаг полного исключения с помощью разрешающего 
элемента 
11
1:
a
=
 

1
1
1
0
4

0
2
7
6
15 .
0
7
29
30
66

0
4
16
36
λ

−
−
⎛
⎞
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎝
⎠

 

Прибавим к третьей и четвертой строкам вторую строку, умноженную на числа 3
−  и 2
−  соответственно: 

1
1
1
0
4

0
2
7
6
15 .
0
1
8
12
21

0
0
2
12
6
λ

−
−
⎛
⎞
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
−
⎝
⎠