Спецглавы физики. Статистическая физика равновесных систем

 
 
 
 
РЕДАКЦИОННАЯ КОЛЛЕГИЯ 
СЕРИИ «УЧЕБНИКИ НГТУ» 
 
 
д-р техн. наук, проф. (председатель)  Н.В. Пустовой 
д-р техн. наук, проф. (зам. председателя)  Г.И. Расторгуев 
 
д-р техн. наук, проф. А.А. Батаев 
д-р техн. наук, проф. А.Г. Вострецов 
д-р техн. наук, проф. В.А. Жмудь 
д-р техн. наук, проф. В.А. Гридчин 
д-р техн. наук, проф. В.И. Денисов 
д-р физ.-мат. наук, проф. В.Г. Дубровский 
д-р экон. наук, проф. К.Т. Джурабаев 
д-р филос. наук, проф. В.И. Игнатьев 
д-р филос. наук, проф. В.В. Крюков 
д-р техн. наук, проф. Х.М. Рахимянов 
д-р филос. наук, проф. М.В. Ромм 
д-р техн. наук, проф. Ю.Г. Соловейчик 
д-р физ.-мат. наук, проф. В.А. Селезнев 
д-р техн. наук, проф. А.А. Спектор 
д-р юрид. наук, доц. В.Л. Толстых 
д-р техн. наук, проф. А.Г. Фишов 
д-р экон. наук, проф. М.В. Хайруллина 
д-р техн. наук, проф. А.Ф. Шевченко 
д-р техн. наук, проф. Н.И. Щуров 
 
 
 
 
 

УДК 53:519.25(075.8) 
         К 782 
 
 
 
Рецензенты: 
д-р физ.-мат. наук, доцент В.А. Гайслер; 
д-р физ.-мат. наук, профессор В.Г. Дубровский; 
д-р физ.-мат. наук, доцент Т.С. Шамирзаев 
 
 
Работа подготовлена на кафедре 
полупроводниковых приборов и микроэлектроники НГТУ 
для студентов инженерно-физических специальностей 
 
 
 
Краснопевцев Е.А. 
К 782 
Спецглавы физики. Статистическая физика равновесных систем: учеб. пособие / Е.А. Краснопевцев. – Новосибирск:  Изд-во 
НГТУ, 2014. – 387 с. (Серия «Учебники НГТУ»).  

ISBN 978-5-7782-2565-7 

Излагаются основы статистической физики классических и квантовых 
равновесных систем. Приводятся примеры, иллюстрирующие теоретические 
положения из области микро- и наноэлектроники. Представлены задачи для 
самостоятельной работы и индивидуальных заданий.  
 
  
 
 
 
 
 
УДК 53:519.25(075.8) 
 
 
 
 
ISBN 978-5-7782-2565-7 
 Краснопевцев Е.А., 2014 
 
 Новосибирский государственный 
 
    технический университет, 2014 

ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ 

5 

ОГЛАВЛЕНИЕ 

Введение .................................................................................................................. 7 
Основные положения ............................................................................................. 9 
Г л а в а  1. Основы  теории  вероятностей. Дискретные  
распределения .................................................................................. 11 
1.1. Вероятность случайного события ........................................................... 11 
1.2. Теоремы о вероятности ............................................................................ 12 
1.3. Характеристики случайной  дискретной величины .............................. 13 
1.4. Характеристики случайной  непрерывной величины ........................... 17 
1.5. Биномиальное распределение .................................................................. 19 
1.6. Распределение Пуассона .......................................................................... 22 
1.7. Нормальное распределение ..................................................................... 24 
Примеры  1 ............................................................................................................ 27 
Г л а в а  2. Статистическая  физика  классических  систем ....................... 45 
2.1. Фазовое пространство системы частиц .................................................. 47 
2.2. Число микросостояний ............................................................................. 49 
2.3. Энергетическая плотность состояний ..................................................... 53 
2.4. Характеристики макросостояния ............................................................ 57 
2.5. Фазовый ансамбль  и функция распределения ...................................... 60 
2.6. Теорема Лиувилля .................................................................................... 63 
2.7. Микроканоническое распределение ....................................................... 67 
Примеры  2 ............................................................................................................ 73 
2.8. Каноническое распределение .................................................................. 82 
2.9. Макрохарактеристики  и статистический интеграл .............................. 88 
Примеры  3 ............................................................................................................ 92 
2.10. Распределение тепловой энергии  по степеням свободы .................. 106 
Примеры  4 .......................................................................................................... 110 
2.11. Распределение Максвелла .................................................................... 120 
2.12. Поток частиц ......................................................................................... 129 
Примеры  5 .......................................................................................................... 134 
Задачи  1 ............................................................................................................... 146 
2.13. Распределение Больцмана .................................................................... 151 
Примеры  6 .......................................................................................................... 155 
2.14. Химический потенциал и активность ................................................. 163 

2.15. Распределение частиц по состояниям. ................................................ 168 
2.16. Термодинамические потенциалы системы с переменным  
числом частиц ...................................................................................... 172 
2.17. Большое каноническое распределение ............................................... 173 
Примеры  7 .......................................................................................................... 178 
2.18. Условия применимости  классической статистической физики ...... 187 
Задачи  2 ............................................................................................................... 192 
Г л а в а  3. Квантовая  статистическая  физика .......................................... 197 
3.1. Плотность состояний частицы ............................................................... 197 
Примеры  8 .......................................................................................................... 201 
3.2. Каноническое распределение  квантового газа.................................... 218 
Примеры  9 .......................................................................................................... 224 
Г л а в а  4. Статистические распределения  газов фермионов  
и бозонов .......................................................................................... 239 
4.1. Большое каноническое распределение  квантовой системы .............. 240 
4.2. Распределение фермионов ..................................................................... 242 
4.3. Распределение бозонов........................................................................... 245 
4.4. Распределения в квантовых  и классических системах ....................... 246 
4.5. Электронный  газ  металла и  полупроводника ................................... 250 
4.6. Распределение Ферми–Дирака  для f-мерного газа ............................. 259 
4.7. Двухмерный  электронный  газ ............................................................. 265 
4.8. Одномерный  электронный  газ ............................................................. 271 
4.9. Баллистический  проводник ................................................................... 274 
4.10. Сканирующий туннельный микроскоп .............................................. 283 
Примеры 10 ......................................................................................................... 288 
4.11. Фотонный  газ ....................................................................................... 310 
Примеры 11 ......................................................................................................... 320 
4.12. Фононный  газ ....................................................................................... 329 
Примеры 12 ......................................................................................................... 338 
4.13. Конденсация  Бозе–Эйнштейна ........................................................... 347 
4.14. Осуществление  и  применение  конденсации ................................... 355 
Примеры  13 ........................................................................................................ 363 
Задачи  3 ............................................................................................................... 372 
Приложения ......................................................................................................... 378 
1. Физические постоянные ............................................................................ 378 
2. Интегралы классической статистики ....................................................... 379 
3. Интегралы квантовой статистики ............................................................ 380 
4. Суммы рядов .............................................................................................. 381 
Библиографический список ............................................................................... 382 

Предметный указатель ....................................................................................... 384 

ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ 

7 

 
 
 
 
 
 
При изучении наук примеры полезнее правил. 

Исаак Ньютон 

Введение 

татистика (от лат. status – «состояние дел») представляет 
сложные и многообразные факты в сжатой форме, используя 
методы теории вероятностей. Макроскопический объект состоит из 
множества заряженных микрочастиц. Описать их детальное поведение 
на основе законов механики и электродинамики невозможно, поскольку слабое изменение начальных условий кардинально меняет последующее поведение частиц. Соотношение неопределенности квантовой 
механики запрещает одновременное высокоточное измерение положения и импульса частицы. Экспериментальное исследование также не 
может зарегистрировать данные о всех микрочастицах, но дает лишь 
усредненные характеристики. При недостатке информации статистическая физика использует метод, который учитывает все возможные 
микросостояния системы и определяет вероятности реализации каждого из них. В результате устанавливается связь между микросостояниями и усредненными макроскопическими характеристиками системы. Статистическая физика позволяет понять, количественно описать и 
использовать в технических устройствах явления в газах, жидкостях, 
твердых телах, а также в микро- и нанообъектах, состоящих из многих 
частиц.  
Для системы в термодинамическом равновесии температура и 
некоторые другие макроскопические параметры одинаковы для любой 
подсистемы и не зависят от времени. Изолированная система самопроизвольно приходит к термодинамическому равновесию. Особенности 
этого процесса зависят от начального состояния системы и от свойств 
частиц. Термодинамически равновесная система, рассматриваемая как 
макросостояние, описывается средними по микросостояниям значениями физических величин, и их законы имеют универсальный характер.   

С

Для описания термодинамически равновесной системы используется многомерное фазовое пространство, каждая точка которого в 
рамках классической механики представляет микросостояние системы, 
т. е. совокупность координат и импульсов всех частиц в определенный 
момент времени. С течением времени эта точка перемещается по фазовому пространству, поскольку импульсы частиц не равны нулю, а также за счет взаимодействий частиц. Квантовая механика уточняет этот 
подход, заменяя точку фазового пространства малой областью с размером, пропорциональным постоянной Планка в соответствии с соотношением неопределенностей Гейзенберга. Одному и тому же макросостоянию отвечает множество микросостояний, через которые проходит 
система с течением времени. Совокупность таких микросостояний образует фазовый ансамбль. Вероятность обнаружения системы в единице объема фазового пространства есть функция распределения. 
Она позволяет получить средние значения и флуктуации макро- и микрохарактеристик системы. Универсальный метод нахождения функции 
распределения разработал в 1902 г. американский физик Джозайя Уиллард Гиббс (1839–1903) в работе «Основные принципы статистической 
механики, излагаемые со специальным применением к рациональному 
обоснованию термодинамики». Для термодинамически равновесной 
изолированной системы, имеющей определенную энергию, объем и 
число частиц, он получил микроканоническое распределение. Система, являющаяся частью термостата, т. е. имеющая определенную 
температуру, а также объем и число частиц, описывается каноническим распределением.  
Частицы идеального газа независимы друг от друга. В случае канонического распределения можно мысленно выделить одну частицу 
газа и рассматривать остальные как термостат. Поведение частицы 
определяется ее гамильтонианом, т. е. полной энергией, выраженной 
через координаты и импульсы, а также начальными и граничными 
условиями. Гамильтониан задает поведение частицы в фазовом пространстве и энергетический спектр состояний, описываемый плотностью состояний. Распределение частиц по состояниям зависит от температуры и описывается каноническим распределением. Этот метод 
использовали в 1924–1926 годах для описания квантовых частиц с целым спином Шатьендранат Бозе (1858–1937) и Альберт Эйнштейн 
(1879–1955) и для частиц с полуцелым спином – Энрико Ферми (1901–
1954) и Поль Дирак (1902–1984).  

ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ 

9 

Обзор исторического развития статистической физики дан в учебнике [1]. Концептуальные детали дисциплины читатель найдет в приложенном библиографическом списке. В пособии изложены и обоснованы основные положения 
и 
методы статистической 
физики 
равновесных состояний идеального газа, имеющие практические приложения к микро- и наносистемам, приведены примеры применения 
теории.  
Идеальный газ образуют разреженные газы атомов и молекул, валентные электроны металла, электроны и дырки полупроводника, фононы – кванты упругих волн теплового движения узлов кристалла, фотоны – кванты электромагнитных волн теплового излучения в полости. 
В первой части учебного пособия рассматриваются  системы частиц, 
подчиняющихся классической механике. Во второй части изучаются 
системы частиц, описываемые квантовой механикой. Все разделы проиллюстрированы примерами решений задач, подобранных из курсов 
физики твердого тела и физики полупроводников и являющихся своеобразным введением к этим дисциплинам. Приведены задачи для самостоятельной работы. Пособие предназначено для студентов инженерно-физических специальностей, прослушавших курсы: Общая и 
прикладная физика, Математический анализ, Методы математической 
физики, Квантовая механика. Основные понятия, законы и соотношения термодинамики предполагаются известными читателю.  

Основные положения 

Объектом исследования является равновесный идеальный газ 
частиц, находящихся в сосуде, или в потенциальной яме. Газ – от греч. 
χάος – «хаос» – множество частиц, движущихся хаотически. Особенности идеального газа:  
– частицы движутся независимо друг от друга; 
– суммарный объем частиц мал по сравнению с объемом сосуда; 
– частицы не взаимодействуют на расстоянии; 
– соударения частиц друг с другом и со стенкой упругие и происходят за пренебрежимо малое время.   
Равновесный газ имеет постоянные во времени макрохарактеристики, например: температуру, давление, внутреннюю энергию и другие.  
Частица газа характеризуется в классической механике гамильтонианом, ее движение определяется уравнениями Гамильтона. Микро

состояние системы описывается совокупностью координат и импульсов всех частиц газа, взятых в один момент времени. С течением времени микросостояние равновесного газа изменяется.  
Для отображения множества микросостояний системы используется фазовое пространство с размерностью, пропорциональной числу 
частиц. Каждая точка пространства с малой окрестностью представляет микросостояние, т. е. включает положения в пространстве и импульсы всех частиц газа, взятых с минимальной погрешностью. С течением времени точка перемещается по фазовому пространству. 
Методы статистической физики позволяют найти вероятность обнаружения микросостояния в той или иной области фазового пространства.  
Система как макрообъект характеризуется макросостоянием, его 
описывают макрохарактеристики – температура, энергия, давление, 
энтропия, намагниченность и др. Для стационарной системы макрохарактеристики постоянны во времени. Микрохарактеристики газа, описывающие микросостояние, изменяются хаотически. Макрохарактеристика получается усреднением микрохарактеристик по фазовому 
пространству.  
Задача статистической физики – связать вероятность микросостояния с макрохарактеристиками системы. Для этого используется 
функция распределения микросостояний по фазовому пространству 
или функция распределения частиц по уровням энергии системы. 
Функции получаются методом Гиббса при помощи теории вероятностей.  
Изолированная от окружающей среды система с фиксированными 
энергией, объемом и числом частиц описывается микроканоническим распределением.  
Система с фиксированной температурой, объемом и числом частиц подчиняется каноническому распределению.  
Система с фиксированными температурой, объемом и с переменным числом частиц описывается большим каноническим распределением.  
Система квантовых частиц с полуцелым спином (электроны, дырки полупроводника, атомы) подчиняется распределению Ферми–
Дирака. 
Система квантовых частиц с целым спином (фотоны, фононы, 
атомы) описывается распределением Бозе–Эйнштейна.  
 

1.3. ХАРАКТЕРИСТИКИ СЛУЧАЙНОЙ ДИСКРЕТНОЙ ВЕЛИЧИНЫ 

11 

Глава 1 

ОСНОВЫ  ТЕОРИИ  ВЕРОЯТНОСТЕЙ. 
 ДИСКРЕТНЫЕ  РАСПРЕДЕЛЕНИЯ 

 
 
 

1.1. Вероятность случайного события 

обытие – появление определенного признака. Вероятность 
события равна относительному числу его появлений. Например, у газа в сосуде с течением времени хаотически изменяется концентрация частиц около точки r, т. е. число частиц в единице  
объема  

число частиц в элементе объема
( , )
объем элемента
n
t ≡
r
. 

Для дискретного набора возможных концентраций событием является наблюдение определенной концентрации 
k
n . Для получения веро
ятности этого события проводим N измерений, концентрация 
k
n , рас
сматриваемая как положительный результат, наблюдается 
k
N  раз, 

тогда вероятность результата  

 
число положительных результатов
(
)
lim
число измерений

k
k
N
N
W n
N
→∞
≡
=
→ ∞
.  
(1.1) 

Область значений вероятности ограничена интервалом 

0
1
W
≤
≤  между невозможным и достоверным событиями. Зависимость 
( )
W n  называется функцией распределения вероятности событий. Например, при бросании симметричной игральной кости, 
имеющей 6 граней, вероятность выпадения какой-либо определенной 
грани равна 1/6 и распределение вероятности равномерное.  
 

С

Г л а в а  1. ОСНОВЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ. ДИСКРЕТНЫЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ 

12 

1.2. Теоремы о вероятности 

Несовместимые события 
1
2
,
,...,
k
A
A
A  не могут произойти одновременно. Например, если бросать шестигранную кость, на каждой 
грани которой написано число от 1 до 6, можно получить результат: 
или 1, или 2,…, или 6. Выполняется теорема сложения вероятностей 
несовместимых событий – вероятность сложного события A или B 
равна сумме вероятностей отдельных событий:  

 
( )
( )
(
или
)
lim
( )
( )
N
N A
N B
W A
B
W A
W B
N
→∞
+
≡
=
+
. 
(1.2) 

Если 
1
2
,
,...,
k
A
A
A  – полный набор несовместимых событий, 
включающий все возможные события, то какое-либо из них обязательно происходит, тогда выполняется   

1
2
(
или
,..., или
)
1
k
W A
A
A
= . 

С учетом (1.2) получаем условие нормировки вероятностей для полного набора несовместимых событий  

 

1
(
)
1
k

i

i

W A

=

=
∑
. 
(1.3) 

Например, движения молекулы газа по и против некоторой оси образуют полный набор независимых направлений движения   

(влево)
(вправо)
1
W
W
+
= . 

Если гамильтониан системы симметричен по направлениям, тогда  

(влево)
(вправо)
1/ 2
W
W
=
=
. 

Независимые события 
1
2
,
, ...,
k
A
A
A  не влияют друг на друга. 
Например, частицы идеального газа движутся независимо друг от друга, и положение одной частицы не влияет на положение другой частицы. Выполняется теорема об умножении вероятностей независимых 
событий – вероятность сложного события А и B равна произведению вероятностей отдельных событий  

 
(
и
)
( )
( )
W A
B
W A W B
=
. 
(1.4)