Линейная алгебра и аналитическая геометрия


        Российская академия народного хозяйства и государственной службы при Президенте Российской Федерации



    В. А. Артамонов




                Линейная алгебра и аналитическая геометрия




    Курс лекций для экономических специальностей








        Издательский дом «Дело» Москва • 2012

УДК 512/514
ББК 22
    А86









    Рецензент
    В. Г. Чирский — доктор физико-математических наук, профессор
















     Артамонов, В. А.
А86 Линейная алгебра и аналитическая геометрия : курс лекций для экономических специальностей/В. А. Артамонов. —М.: Издательский дом «Дело» РАНХиГС, 2012,—224 с.
     ISBN 978-5-7749-0720-5

     Излагается теория систем линейных уравнений и способы их решения, теория матриц и определителей, комплексных чисел и многочленов, рассматривается линейное пространство. Освещаются геометрия евклидовых пространств и теория линейных операторов. Дается классификация кривых и поверхностей второго порядка. Рассматриваются линейное программирование и теория конечных антагонистических игр, а также симплекс-метод и метод решения транспортной задачи. В качестве примера одного из алгоритмов решения оптимизации на графах дается решение задачи о распределении кредита.
     Для студентов экономических специальностей, изучающих математические методы.
УДК 512/514
                                                                  ББК 22


     ISBN 978-5-7749-0720-5


    © ФГБОУ ВПО «Российская академия народного хозяйства
    и государственной службы при Президенте Российской Федерации», 2012

Оглавление


Предисловие.......................................6

Глава 1. Линейные уравнения и матрицы.............8
  1. Метод Гаусса.................................8
  2. Матрицы и операции над ними...............  13

Глава 2. Перестановки и их знаки.................18

Глава 3. Определители, обратная матрица..........21
  1. Определители................................21
  2. Обратная матрица. Матричные уравнения.......27

Етава 4. Комплексные числа.....................  31
  1. Действия с комплексными числами.............31
  2. Тригонометрическая форма комплексного числа..32

Глава 5. Многочлены от одной переменной..........35
  1. Многочлены от одной переменной..............35
  2. Деление многочленов.........................36
  3. Корни многочленов...........................38
  4. Интерполяция..............................  41
  5. Корни многочленов над С и 1R................42
  6. Рациональные дроби........................  45

Глава 6. Линейные пространства. Ранг матрицы.....49
  1. Линейные пространства.......................49
  2. Ранг матрицы............................    56
  3. Плоскости...................................58

Глава 7. Евклидовы пространства..................66
  1. Билинейные функции..........................66
  2. Квадратичные функции......................  68
  3. Скалярные произведения......................68
  4. Процесс ортогонализации и матрица Грама.....70

3

  5. Геометрия евклидовых (эрмитовых) пространств.74

Глава  8. Линейные операторы......................81
  1. Матрицы линейных операторов..................81
  2. Инвариантные подпространства.................84
  3. Собственные векторы и собственные значения...84
  4. Симметрические операторы.....................87
  5. Ортогональные операторы......................90

Глава  9. Кривые и поверхности второго порядка....93
  1. Движения евклидова пространства..............93
  2. Квадрики.....................................94
  3. Эллипс, гипербола и парабола.................96
  4. Кривые второго порядка.......................98
  5. Поверхности второго порядка.................101

Глава  10. Задача линейного программирования.....105
  1. Примеры задач линейного программирования....105
  2. Геометрическая интерпретация задачи линейного программирования..............................106
  3. Сведение задачи линейного программирования к симплексной форме.............................107
  4. Симплекс-метод..............................108
  5. Двойственная задача линейного программирования 113

Глава  11. Матричные игры........................118
  1. Конечные антагонистические игры.............118
  2. Решение матричной игры с помощью линейного программирования..............................120

Глава  12. Транспортная задача...................132
  1. Постановка транспортной задачи..............132
  2. Метод потенциалов решения транспортной задачи..136

Упражнения.......................................152
  1. Арифметические пространства.................152
  2. Ранг матрицы................................154
  3. Системы линейных уравнений..................156
  4. Определители................................159
  5. Действия над матрицами......................162
  6. Комплексные числа...........................166
  7. Многочлены..................................170
  8. Векторные пространства. Базисы. Подпространства..174

4

  10. Линейные операторы.......................178
  11. Евклидовы пространства...................180
  12. Симметрические операторы. Приведение
      квадратичных функций к главным осям......183
  13. Ортогональные операторы..................184
  14. Плоскости................................185
  15. Квадрики.................................187
  16. Линейное программирование................188
  17. Матричные игры...........................193
  18. Транспортная задача......................195
Ответы к упражнениям...........................199
  1.  Арифметические пространства..............199
  2.  Ранг матрицы.............................199
  3.  Системы линейных уравнений...............199
  4.  Определители.............................201
  5.  Действия над матрицами...................201
  6.  Комплексные числа........................204
  7.  Многочлены...............................205
  8.  Векторные пространства. Базисы. Подпространства 208
  9.  Билинейные функции.......................209
  10. Линейные операторы.......................209
  11. Евклидовы пространства...................211
  12. Симметрические операторы. Приведение
      квадратичных функций к главным осям......212
  13. Ортогональные операторы..................214
  14. Плоскости................................215
  15. Квадрики.................................215
  16. Линейное программирование................218
  17. Матричные игры...........................219

Литература.......................................220

Список обозначений...............................221

Предисловие










   Математические методы анализа развития природы и общества являются существенным элементом современного научного образования. Они позволяют в численной форме отразить взаимодействия различных факторов развития. Это дает возможность предвидеть направления развития различных процессов в экономической деятельности и осознавать последствия принимаемых решений.
   Важную роль в современном математическом образовании экономистов играет линейная алгебра и аналитическая геометрия, поскольку многие соотношения и зависимости в микро- и макроэкономике записываются в виде систем линейных уравнений и неравенств.
   Настоящий курс содержит материал лекций, читавшихся автором на экономическом факультете Российской академии народного хозяйства и государственной службы при Президенте Российской Федерации.
   В курсе лекций излагается теория систем линейных уравнений и способы их решения, теория матриц и определителей, комплексных чисел и многочленов. Между этими алгебраическими понятиями и их геометрическими образами в линейных пространствах имеется тесная связь. Так, все решения заданной системы уравнений образуют плоскость в линейном пространстве. Поэтому в курс включены основы линейной алгебры.
   В книге представлены геометрия евклидовых пространств, теория линейных операторов, в частности, симметрических и ортогональных. Это является важным для классификации квадрик, т.е. кривых и поверхностей второго порядка.

6

   Рассматриваются прикладные задачи, важные для современного экономического образования — линейное программирование и теория конечных антагонистических игр, а также симплекс-метод и его применение для решения матричной игры и метод потенциалов решения транспортной задачи.
   В качестве примера одного из алгоритмов решения задачи оптимизации на графах приводится решение задачи о распределении кредита.
   В конце курса лекций даются упражнения и ответы к ним,¹ а также приведен список постоянно использующихся обозначений (указывается страница, где впервые встречается обозначение и объясняется его смысл). Обозначение □ указывает на конец доказательства.
   Настоящее издание представляет собой переработанный и дополненный вариант книги Артамонов В.А. Введение в высшую алгебру и аналитическую геометрию. М.: Факториал Пресс, 2007. — (Методы современной математики. Вып. 4), а также некоторых глав из книги Артамонов В.А., Латышев В.Н. Линейная алгебра и выпуклая геометрия. М.: Факториал Пресс, 2004.
   Автор выражает благодарность деканату экономического факультета Российской академии народного хозяйства и государственной службы при Президенте Российской Федерации и рецензенту — доктору физико-математических наук, профессору В.Г. Чирскому за поддержку и полезные советы.














    ^Частично использованы материалы: Сборник задач по алгебре / под ред. А.И. Костыркина. М.: МЦНМО, 2009; Зайцев М.В., Беляев А. А., Фомин Г.П. Прикладная математика: сборник задач. Части I, IL М.: Изд-во РГТЭУ, 2005.

7

Глава 1
Линейные уравнения и матрицы









    Одной из важных задач алгебры является нахождение всех решений систем линейных уравнений. В этой главе мы рассмотрим метод Гаусса решения систем уравнений, называемый часто методом исключения неизвестных. Он был предложен немецким математиком XIX века Гауссом.


1. Метод Гаусса
   Рассмотрим прямоугольную систему линейных уравнений

              лц%1 +       • • • +  а-[пхп   —
< ...................................... (1)
“Г   ’ * ’ “Ь йтпХп    —   Ьт

коэффициенты которой aij, bj заданы. Наша цель - найти все решения системы и указать алгоритм для нахождения всех решений.
   Определение 1.1. Решением системы (1) называется такой набор чисел (aₗz.. .,ап),что для всех / = 1,.. .,т выполнены равенства ацос^ Н-h aiₙocₙ = bj.

    Различаются следующие виды систем линейных уравнений вида (1). Система
      • несовместна, если она не имеет решения;
      • совместна, если она имеет решение;
      • неопределенна, если она имеет более одного решения;
      • определенна, если она имеет единственное решение.
Скажем, что две системы линейных уравнений вида (1) эквивалентны, если они имеют одинаковые множества решений.
    Для нахождения всех решений системы мы будем совершать ряд простейших преобразований системы, сохраняющих

8

множества решений. Заметим, что вся информация о системе (1) содержится в таблице ее коэффициентов.
   Матрицей системы (1) называется прямоугольная таблица коэффициентов при неизвестных в системе

                  «и


                      ат1

(2)

Расширенной матрицей системы (1) называется таблица коэффициентов при неизвестных и свободных членов

ЙЦ * ‘ ’ <Цп ^1


^ml ' ' ' атп Ьт

Иногда расширенную матрицу системы (1) обозначают через

                    «и

                    «т1



Следующие преобразования системы (1) (и ее (расширенной) матрицы) называются элементарными:
     О к одному уравнению (к одной строке) прибавить другое уравнение (другую строку), умноженное (умноженную) на произвольное число;
     V умножить одно уравнение (одну строку) на ненулевое число.

    Упражнение 1.1. Доказать, что любые две строки матрицы можно поменять местами, совершая 4 элементарных преобразования.
    Теорема 1.1. Элементарные преобразования переводят систему (1) в эквивалентную систему.
Доказательство. Предположим, что мы совершаем преобразование типа О, именно, к z-ому уравнению прибавляем/-ое, умноженное на ос. Пусть (£1,.. .,/?„) - решение исходной системы (1). Все уравнения новой системы, кроме z-го, не изменились. Если мы подставим набор (/Ч,..., /5П) в /-ое уравнение новой системы, то получим
(я/1 + ocaji) ^i + • • • + («/и + ocajₙ) =
(«и^1 + •••• + ainfrn) + oc^aji^i + • • • + ajₙflₙ) = bj + ocb.

9

Таким образом, (/5ₗz.. .,/?и) является решением новой системы. Поскольку исходная система (1) получается из новой системы элементарным преобразованием прибавлением к z-ому уравнению у-го, умноженного на —ос, то аналогично, каждое решение новой системы является решением исходной системы.                                           □


   Будем приводить матрицу системы с помощью элементарных преобразований к наиболее простому — ступенчатому виду.
   Матрица (3) называется ступенчатой, если
1) ниже нулевой строки находятся нулевые строки;
2) первый слева ненулевой элемент каждой строки равен 1, причем все остальные элементы столбца, в котором расположена эта 1, равны нулю;
3) первый ненулевой i 4- 1-ой строки расположен правее первого ненулевого элемента z-ой строки.

   Теорема 1.2. Каждая матрица конечным числом элементарных преобразований строк приводится к ступенчатому виду.

Доказательство. Пусть матрица А имеет вид (3). Если А = О, то она уже имеет ступенчатый вид.
   Пусть А о. Будем вести доказательство индукцией по числу строк т. Без ограничения общности можно считать, что в первом столбце есть ненулевой элементу. Если / > 1ияц = О, то к первой строке можно прибавить z-ую и добиться, чтобы ац 0. Далее умножив Рую строку на можно считать, что
   = 1. Отсюда следует утверждение теоремы при т = 1.
   Пусть т > 1, и для т — 1 теорема доказана. Для каждого z > 1 вычтем из z-ой строки первую строку, умноженную на
   В новой матрице все коэффициенты ац = 0, z > 1.
   Рассмотрим подматрицу В в А, получающуюся отбрасыванием первой строки. По индукции можно считать, что матрица В имеет ступенчатый вид. Пусть в матрице В первые ненулевые элементы расположены в столбцах с номерами 1 < /с₂ < fc₃ < • • •. Вычтем из первой строки 2-ую строку, умноженную на aₗfₖ₂, третью строку 3-ую строку, умноженную на а₁/кз, и т. д. В результате получается ступенчатая матрица.       □


   Пусть матрица системы (1) имеет ступенчатый вид. Назовем неизвестную х/ главной, если в некотором уравнении

10

все коэффициенты при xi,.. .,xz_i равны нуля, а коэффициент при Xi отличен от нуля (и потому равен 1). Все остальные неизвестные назовем свободными.
   Применим теоремы 1.1 и 1.2 к исследованию системы (1). В силу указанных теорем можно считать, что расширенная матрица (З)системы (1) имеет ступенчатый вид.
   Пусть ее последняя ненулевая строка имеет вид

(О....О, 1).                   (4)
Это означает, что система (1) содержит несовместное уравнение Oxi Н--И 0хп = 1. Поэтому в этом случае исходная система несовместна.
   Пусть в А нет строки (4). Предположим для простоты, что переменные xi,..., хг главные, a xᵣ₊i,..., хп свободные. Тогда система имеет вид

Х1           +Я1/Г+1Хг+1                в1пХп  = h 
<      Х2       +fl2,r+l*r+l      + •'  ^2п^п  = Ь2
k             Xr -|-^rzr4-lXr_|_i + •'  Я-гпХп = Ьг

Перенося свободные переменные в правую часть, получаем выражение главных неизвестных через свободные

Xi     —  bi    ^i,r+i^r+i  • • • eiₙxₙ
              Х2    —   ^2  — Й2,г+1^г+1 • • • — С12пХп

<^r    =  bᵣ   ciᵣᵣ^ixᵣ_^i • • • aᵣₙxₙ.

Таким образом, придавая свободным неизвестным произвольные значения, мы однозначно находим значения главных неизвестных. Итак, система совместна, и, если есть свободные неизвестные, то система неопределенна. Если все неизвестные главные, то система определенна.
   Разберем следующий пример. Пусть задана система уравнений
         2xi —2x2 +3хз —Х4 = 3, < -XI +х₂  -х₃     = 1,
Xi —Х2       +Х4 = —6.
Составим расширенную матрицу системы / 2              -2  3  -1  3  \
(—11—10          1
\ 1  -1  0   1  —6 /

и

и приведем ее к ступенчатому виду. Для этого к первой строке прибавим вторую и получим


        1 -1 2 -1 4 \
-11-10  1 .
        1-10   1  -6 /


Далее ко второй строке прибавим первую, а из третьей вычтем

первую. Получаем    
/1-1 2  -1       4  
        0 0  1-1 5  
\ 0  0   -2  2   -10

Все элементы третьей строки разделим на -2,


          1 -1 2 -1 4 \ 0 0 1—151.
0 0 1-15/


Затем из первой строки вычтем вторую, умноженную на 2, и из третьей строки вычтем вторую. Получаем


           1-10  1
           0 0 1-1
           0 0 0 0


-6 5 0

Последнюю нулевую строку можно отбросить. Таким образом, возвращаясь от матрицы к системе уравнений, получаем, что исходная система эквивалентна следующей системе уравнений
Xi — Х2 Х4= —6,

*з “*4 = 5.

Главными являются неизвестные хз, а свободными — х₂, *4. Поэтому система совместна и неопределённа, а её ответ записывается в виде
Х^ ⁼ —6 *Т Х₂ — Х\
Хз = 5 + Х4


   Определение 1.2. Система (1) однородна, если все ее сво


бодные члены нулевые, т. е. = • • • = Ьт = 0.


   Предложение 1.1. Если в однородной системе число неизвестных п больше числа уравнений т, то система неопределенна.


12

Доказательство. Приведем систему уравнений к ступенчатому виду. При этом мы получим снова однородную систему, в которой число главных неизвестных не превосходит числа ненулевых уравнений исходной системы. Поэтому не все неизвестные главные, и им можно придать ненулевые значения. Тем самым получается ненулевое решение системы. □


2. Матрицы и операции над ними

   При решении систем уравнений методом Гаусса возникла необходимость работы с матрицами. В этом разделе мы рассмотрим основным операции над матрицами. Введем следующие обозначения. Через Mat (и х т) будем обозначать множество всех матриц с п строками и т столбцами. Если А е Mat(n х m), то мы будем также писать А = Апхт. Если Апхт =
    Впхт = (bij), то через сумму А + В обозначим матрицу того же размера, в которой на месте (/,;) стоит сумма соответствующих элементов слагаемых. Кроме того, \Апхт =

   Например,

           1  2 0\    /3 -2 1\
          -1 0      ⁺     2 З)

4 0 1\
О 2 б) '

1  2 0\
-1 О з)

3 6 0\
-3 О 9J '

   Предложение 1.2. Пусть А, В, С е Mat(n х т) и Л, v - числа. Тогда справедливы следующие 8 аксиом векторного пространства:
1) А + В = В + А\
2) А + (В + С) = (А + В)+С\
3) если 0 - нулевая матрица (все ее коэффициенты равны нулю), то А + 0 = А для любой матрицы А;
4) для любой матрицы А существует такая матрица —А, что А + (-А) = 0;
5) А(А + В) = ЛА + ЛВ;
6) (A + v)A = AA + vA;
7) (Av)A —A(vA);
8) 1А = А.

Доказательство. Рассмотрим первое утверждение. Если А = (йу), В = (bij), то А + В = (д,у + bjj) = (bij + aij) = В + А. Остальные утверждения доказываются аналогично. □

13