Книжная полка Сохранить
Размер шрифта:
А
А
А
|  Шрифт:
Arial
Times
|  Интервал:
Стандартный
Средний
Большой
|  Цвет сайта:
Ц
Ц
Ц
Ц
Ц

Научное приборостроение, 2021, том 31, № 1

научный журнал
Покупка
Артикул: 757198.0001.99
Научное приборостроение : научный журнал. - Санкт-Петербург : Институт аналитического приборостроения РАН, 2021. - Т. 31, № 1. - 122 с. - ISSN 2312-2951. - Текст : электронный. - URL: https://znanium.ru/catalog/product/1323858 (дата обращения: 29.03.2024). – Режим доступа: по подписке.
Фрагмент текстового слоя документа размещен для индексирующих роботов. Для полноценной работы с документом, пожалуйста, перейдите в ридер.
ISSN 0868–5886          
НАУЧНОЕ ПРИБОРОСТРОЕНИЕ, 2021, том 31, № 1, c. 124–124

ПЕРСОНАЛИИ

124

ГЛАВНОМУ  РЕДАКТОРУ  ЖУРНАЛА 
«НАУЧНОЕ  ПРИБОРОСТРОЕНИЕ», 

ДИРЕКТОРУ  ИАП РАН,  Д.Т.Н.,  ПРОФЕССОРУ 

ВЛАДИМИРУ  ЕФИМОВИЧУ  КУРОЧКИНУ — 70 ЛЕТ

Владимир Ефимович работает в ИАП РАН с 1987 г. Пройдя путь от старшего научного сотрудника 

до заместителя директора по научной работе, в 2001 г. он был избран на должность директора Института.

В.Е. Курочкин — главный конструктор широкого спектра приборов экспресс-анализа для решения 

задач биофизики, аналитической химии, биохимии, иммунологии, генетики, экологии и биотехнологии. 
Среди них— приборы для анализа нуклеиновых кислот серии АНК, предназначенные для обнаружения 
и измерения исходного количества специфической ДНК (РНК) в исследуемом образце в широком динамическом диапазоне методом ПЦР в реальном времени и генетический анализатор "Нанофор-05" (прибор восьмикапиллярного электрофореза с пятицветной лазериндуцированной флуоресцентной детекцией).

В настоящее время под руководством Владимира Ефимовича полным ходом идет разработка аппа
ратно-программного комплекса нового поколения "Нанофор-СПС" для расшифровки последовательности нуклеиновых кислот патогенных микроорганизмов, основанного на высокопроизводительной технологии массового параллельного секвенирования.

В этот замечательный день коллектив Института сердечно поздравляет Владимира Ефимовича

с юбилеем и желает ему доброго здоровья, неиссякаемой энергии и успехов во всех начинаниях!

ISSN 0868–5886          
НАУЧНОЕ ПРИБОРОСТРОЕНИЕ, 2021, том 31, № 1, c. 107–123

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ  МЕТОДЫ  

И  МОДЕЛИРОВАНИЕ  В  ПРИБОРОСТРОЕНИИ

107

УДК 517.956.255; 621.319.7

 С. И. Шевченко, 2020

О РАСЧЕТЕ АБЕРРАЦИОННЫХ КОЭФФИЦИЕНТОВ 

ДЛЯ ЦИЛИНДРИЧЕСКОГО ЗЕРКАЛА

Для цилиндрического зеркала выведены аберрационные коэффициенты до четвертого порядка. Разработан 
метод вычисления аберрационных коэффициентов по результатам расчета нескольких траекторий. Аналитический и численный методы вычисления аберрационных коэффициентов дают результаты, совпадающие 
с высокой точностью.

Кл. сл.: энергоанализатор, цилиндрическое зеркало, кольцо эмиссии, выходная диафрагма

ВВЕДЕНИЕ

Данная работа является продолжением работ 

[1–3], посвященных изучению свойств электростатического энергоанализатора типа цилиндрическое зеркало (ЦЗ) (цилиндрический конденсатор) 
при учете заряженных частиц (в нашем случае это 
электроны), имеющих азимутальную компоненту 
скорости.

Ранее подобная тематика рассматривалась в ря
де работ [4–7]. В этих работах изучались траектории электронов в цилиндрической системе координат. Наиболее близкой к представленной статье 
является работа [4]. Нами использовались ее основные обозначения.

Можно выделить три области прохождения 

траекторий: первое пролетное (дрейфовое) пространство, дисперсионное пространство, второе 
пролетное пространство. Основную трудность 
представляет вычисление траекторий в дисперсионном пространстве.

Уравнение движения заряженных частиц (элек
тронов) в дисперсионном пространстве, записанное в цилиндрической системе координат, допускает упрощение, в результате которого получается 
зависимость времени от радиальной координаты 
в виде интеграла (в обозначениях работы [3])

1

0

2

2
2
2
0

1

2

d
,

1
sin
sin
sin
ln
 

m
r

r

T
V

r

r
r

r
k
r



























(1)

где  
mr
— величина наибольшего удаления элек
тронов от внутреннего цилиндра, являющаяся  

корнем функции, стоящей в (1) под знаком радикала

2

2
2
2
0

1

1
sin
sin
sin
ln
 
0
r
r

r
k
r





















.  
(2)

Начальные условия для уравнений движения: 

0r — радиус точки вылета электронов из источни
ка;
0
V
— скорость электронов до входа в диспер
сионное пространство;
)
,
(


— углы в локальной 

сферической системе координат, привязанной 
к точке эмиссии
0r ;  — угол между нормалью 

к плоскости XY (осью Z) и вектором скорости;
 — азимутальный угол, отсчитываемый вокруг 
точки 
0r , между осью  Y и проекцией вектора 

скорости на плоскость XY (
xy
V ); ось  Y локальной 

сферической 
системы 
координат 
совпадает 

с прямой линией, проведенной из точки пересечения оси Z с плоскостью XY до точки вылета электронов из источника;




2
1
ln
k
E U
r r
 
; E —

кинетическая энергия электронов до влета в дисперсное пространство;
1
2
,
r r — радиусы внутрен
него и внешнего электродов ЦЗ; U — потенциал 
на внешнем электроде ЦЗ; на внутреннем электроде ЦЗ установлен потенциал, равный нулю.

Решение уравнения движения в его преобразо
ванном виде (1) требует решения двух задач: нахождение корня уравнения (2) и собственно решение (интегрирование) уравнения (1). В [3] приведено выражение для наибольшего удаления 
mr

от внутреннего цилиндра:

0
m
m
r
r



С. И. ШЕВЧЕНКО

НАУЧНОЕ ПРИБОРОСТРОЕНИЕ, 2021, том 31, № 1

108

2

2
2
0
2
0

1
exp
LambertW
2sin
sin
,
2
m

r
r























(3)

где 

2
sin

1
0




k

m
e
r
r
— наибольшее удаление элек
тронов от внутреннего цилиндра при 
0


, т.е. 

без 
азимутальной 
компоненты 
скорости,

LambertW( )x — функция Ламберта [8].

Уравнение движения может быть решено раз
ложением редуцированного к виду (1) уравнения 
движения в ряд Тэйлора. В работе [4] расчет правой части (1) был выполнен с точностью до малой 
величины порядка 
2
tg ( )
 , где  — угол, пропор
циональный азимутальному углу. С одной стороны, в этом случае нельзя требовать изотропности 
начального распределения электронов по этому 
углу. С другой стороны, остается вопрос, достаточно ли разложение до членов порядка 
2
tg ( )


для получения приличных по точности результатов. Результаты работы [3] показывают, что в ряде 
случаев этого приближения может быть недостаточно.

В работе [3] проведено разложение правой ча
сти уравнения (1) в  ряд Маклорена по переменной 

)
(
sin2 

x
до четвертого порядка. Показано, что 

вплоть до величины угла  в 20° этот подход дает решение уравнения (1) с весьма хорошей точностью. При этом в каждой точке эмиссии рассматривалась  (местная) сферическая система координат (СК). Поэтому для этого случая изотропное 
распределение эмитируемых электронов является 
обоснованным.

Можно выражение в правой части (1) разло
жить в двойной ряд (Тэйлора по углу  и Маклорена по углу  ). Коэффициенты в этом ряду являются аберрационными коэффициентами (АК). 
До настоящего времени считалось невозможным 
аналитически  получить аберрационные коэффициенты 
для 
цилиндрического 
зеркала. 
Хотя 

в нескольких работах приведены аналитические 
выражения для некоторых АК. Так, в [9] приведены выражения для АК по углу  до второго порядка и приведено численное выражение для АК 
по углу  третьего порядка. В [4] рассмотрен более общий случай с азимутальными траекториями 
в приближении малости некоторого угла, который 
при стремлении к нулю сходится к углу  .

Все вычисления в данной работе проведены для 

ЦЗ с радиусом внутреннего цилиндра 
1
2 cм,
r 

радиусом внешнего цилиндра 
2
5 cм,
r 
на внут
реннем цилиндре установлено напряжение, равное 
нулю, на внешнем цилиндре —
100 B.
U  

Ниже все расстояния будем выражать в мм.

ВЫЧИСЛЕНИЕ ВКЛАДА В АБЕРРАЦИОННЫЕ 

КОЭФФИЦИЕНТЫ ОТ ДРЕЙФОВЫХ 

ПРОСТРАНСТВ

В каждом из дрейфовых пространств на заря
женную частицу не действует никакая сила, поэтому ее движение является прямолинейным. 
Описание такого движения является простым 
и подробно рассмотрено в [3]. Проекции траектории электрона в дрейфовых пространствах на ось 
Z приведены в [3]. 

Проекция на ось Z траектории электрона в пер
вом дрейфовом пространстве:




(
)
2
2
2

1
1
0
0
sin ( )
cos( )
tg( ).
P
L
r
r
r









Проекция на ось Z траектории электрона во вто
ром дрейфовом пространстве:





(
)
2
2
2

2
1
0
0

2
2
2

0

sin ( )
cos( )

sin ( )
tg( ),

P

y

L
r
r
r

P
r


















где 
yP — радиус цилиндра, содержащего выход
ную диафрагму.

Суммарный вклад в проекцию траектории 

электрона на ось Z от обоих дрейфовых пространств:





(
)
(
)
(
)
2
2
2

1
2
1
0

2
2
2

0
y
0

 2
 
 
sin ( )
 

 
cos( ) 
 
 
 
sin ( )   
tg( ).

P
P
P
L
L
L
r
r

r
P
r





















Введем обозначения 
0
0
sin(
),
cos(
).
s
c





Суммарный вклад в проекцию траектории 

электрона на ось Z от обоих дрейфовых пространств будем искать в виде разложения в ряд

(
)

(
)
(
)
(
)
(
)

0,0
1,0
0,1
1,1
...

P

P
P
P
P

L

A
A
A
A









 

 




(4)

Член разложения правой части выражения (1) 

порядка (

 j
i ,
) (с точностью до константы этот 

член равен производной этого порядка) обозначен 
как 
)
(
,
P
j
iA
.

( )
0,0
1
0
(2
 -   -  
)
/
P

y
A
r
r
P
c s



. 

(
)

2,0

0
0
0
1
1
1
(2
 
 
 
 
)
(2
).

P

y
y
y

A

r
r
P
r
r
r P
c
r P
s



 












( )
2

2,1
0
0
0
1
1
1
(2
 
 
 
) / (2
).
P

y
y
y
A
r
r
P
r
r
r P
s
r P












О  РАСЧЕТЕ  АБЕРРАЦИОННЫХ  КОЭФФИЦИЕНТОВ

НАУЧНОЕ ПРИБОРОСТРОЕНИЕ, 2021, том 31, № 1

109

(
)

2,2

3

0
0
0
1
1
1
(2
 
 
 
)
(2
).

P

y
y
y

A

r
r
P
r
r
r P
c
s
r P



 












(
)
3
3
3
2

4,0
0
0
0
1

2
3
3
3
3
3
3
3

0
1
0
1
1
1

(6
 
 8
 
 

4
  3
 
 
)
(24
).

P

y
y

y
y
y

A
r
P
r
P
r
r

P
r
r
r
r
r
P
c
s r
P

 









 








 


( )
2

0,1
1
0
(2
) /
.
P

y
A
r
P
r
s
 




( )
3

0,2
1
0
(2
 
  
 
)
/
.
P

y
A
r
r
P
c s






( )
2
4

0,3
1
0
(2
) (1
2
) /  (3
).
P

y
A
r
P
r
c
s
 








( )
2
5

0,4
1
0
(2
) (2 
 
) / (3
).
P

y
A
c
r
P
r
c
s
 







Отметим, что в силу того, что разложение пра
вой части выражения (1) по переменной  реализуется в окрестности точки 
0
0 

, по отношению 

к которой 
)
(P
L
симметрична, все нечетные по пе
ременной  вклады в AK равны нулю.

ЧИСЛЕННОЕ НАХОЖДЕНИЕ ВКЛАДА 

В АБЕРРАЦИОННЫЕ КОЭФФИЦИЕНТЫ 
ОТ ДИСПЕРСИОННОГО ПРОСТРАНСТВА

В основе метода лежит возможность вычислять 

значения 
)
(D
L
проекции траектории электрона 

в дисперсионном пространстве на ось Z (см. работу [3]). Фиксируем некоторое значение угла 

0,



для угла 
0

выбираем 
1
2



N
равноот
стоящих значений 
,
0







i
i
(
,
),
i
N
N


 

1


  и вычисляем на множестве 
i

значения

)
(D
iL
. Далее строим интерполяционный полином 

по переменной  в окрестности точки 
0
 , прохо
дящий через эти точки:

n

N

n

n

D

n

A
L
)
(
)
,
(
0

0

0,
0

)
(










.

Коэффициенты этого полинома равны вкладу 

в соответствующие аберрационные коэффициенты 

0,n
A
от дисперсионного пространства в окрестно
сти угла 
0
 и при
0

 
.

Аналогично проводим вычисление проекции 

траекторий электрона для фиксированного угла 

0



и 
1
2



N
равноотстоящих значений угла 

,
0







j
j
1


  . Строим интерполяци
онный полином, проходящий через все точки 

)
,
(
0

)
(

j

D
L


:
















N

m

m

m

D
A
L

0

0
,0
0

)
(
)
(
)
,
(
.

И получаем значения вклада в соответствую
щие аберрационные коэффициенты 
m
A ,0
от дис
персионного пространства в окрестности угла 
0


и при
0

 
.

Несколько более сложно обстоит ситуация 

с вычислением "смешанных" аберрационных коэффициентов (вычисление смешанных производных). Для этого вычисляем величину
)
(D
L
на пря
моугольном 
массиве 
точек 

( ,
)
(
) (
)
i
j
N
N
N
N






 

 

, равноотстоящих 

по углам  и  соответственно, 
,
0







i
i








j
j
0
,
1 ,


 
1 .


 

Нам 
необходимо 
вычислить 

(
)

,

1
d
( , ).
!
!
d
d

n m
D

n m
n
m

L
A
n m

 










Т.к. частную произ
водную от нескольких переменных можно вычислять последовательным дифференцированием в 
произвольном порядке, то справедливо равенство

(
)

,

(
)

1
d
1 d
( , )

! d
!
d

1
d
1 d
( , ) .
! d
!
d

n
m
D

n m
n
m

m
n
D

m
n

L
A
n
m

L

m
n

 




 

























Поэтому для вычисления АК порядка 
)
(
m
n 

можно сперва для всех возможных углов 
n

вы
числить производную 

(
)
d
(
, )

d

m
D

n

m

L
 


. Т.е. для каж
дого  
n



строим интерполяционный полином 

в окрестности точки 
0
 , коэффициент которого 

с номером n с точностью до 
!
1
m

равен этой про
изводной. Далее для вычисления производной от 
полученной величины по переменной  используем ранее описанную методику. Точно такое же 
действие можно проделать, поменяв порядок нахождения производных.

АНАЛИТИЧЕСКОЕ НАХОЖДЕНИЕ ВКЛАДА 

В АБЕРРАЦИОННЫЕ КОЭФФИЦИЕНТЫ 
ОТ ДИСПЕРСИОННОГО ПРОСТРАНСТВА

Основную трудность представляет вычисление 

вклада в аберрационные коэффициенты от дисперсионного пространства. 

С. И. ШЕВЧЕНКО

НАУЧНОЕ ПРИБОРОСТРОЕНИЕ, 2021, том 31, № 1

110

Проводим разложение правой части формулы 

(1) в ряд Тэйлора по углу  и Маклорена по углу 
 и выделяем коэффициенты этого разложения. 
Эти коэффициенты и будут искомыми АК. Ниже 
будем использовать обозначения:

(
)

(
)
(
)
(
)
(
)

0,0
1,0
0,1
1,1
...,

D

D
D
D
D

L

A
A
A
A









 




 

(5)

где 
)
(D
L
определено выше.

Для члена 
)
(

0
,
0

D
A
:

1

1

(
)

0,0
0

2

0

1

1
2 cos(
)
d .

1
sin (
)
ln

m
r

D

r

A
r

r

k
r




















Проведя 
в 
интеграле 
замену 
переменной 

2
2

0

1

sin (
)
ln
,
r
y
k
r











легко получить  

(
)

0,0
0
0
2
cos(
)
erf( ),
D

m
A
k
r
p








где 
)
(
sin
0

2 

 k
p
,  

2

0
sin (
)

0
1
. 
k

mr
r e





Это выражение практически совпадает с тем, 

что получено в [4]. Отличие только в определении 
функции erf( )
p . Мы пользовались определением 

справочника [10].

Для АК 
)
(

1,
0

D
A
имеем:

1

1

1

1

(
)

0,1
0

2

0

1

0
0

0
3/2

2

0

1

0
01

2

0

1

1
2sin(
)
d

1
sin (
)
ln

sin(
) cos(
)
2cos(
)
d

1
sin (
)
ln

2cos(
)
,

1
sin (
)
ln

m

m

r

D

r

r

r

m

A
r

r

k
r

r

r

k
r

r

r

k
r















 

















































где 
1

01

d
.
d

m

m

r
r



Особенности вычисления АК разберем подроб
но на примере 
)
(

1,
0

D
A
в Приложении 1.

(
)

0,1
0
 2
D

m
A
s
k r

 



2
2
(2
/
 
 
erf( ) ( 1 
 2
)).
p
e
p
p
c
k






 




2

2

( )
0,2
0

2
2
2
2
2

3/2
2
2
2
2

0

5/2
3
2
3

0

(4
6
2  
 
 1)
erf( )

2  
(2  
 3
)/

2
 
/
.

D

m

p

m

p

m

A
k c r

k
c
s
k s
k c
p

k
c r
e
k c
s
s
c
p

k
c s
r
e
p








 






  
 






 
 





 



 





2

2

(
)
2

0,3
0

2
2
2
2
3
2
4

4
2

3/2
2
2
2

0

2
2
2
4
4

5/2
2
2

0

2
2

 
 
(1 
 20
 
 

24
 
 6
8

12
)
erf( ) / 3

 
( 20
24

6
8
 
12
) / (3
)
 

 
(12

4
6

D

m

p

m

p

m

A
k s
r
c
k

s
c
k
k s
k
s
c

c
k
p

k
s r
e
c
k s
c

s
k
s
c
k c
p

k
s c
r
e
s

k s
c
c








 













 












 

 









 



 




 







 



2

2

7/2
3
4
5

0

) / (3
)

2
 
.
p

m

p

k
s
c
r
e
p











Введем для удобства величины
1 5 :
L 

4
4
4
4
3
2

1
0

2
3
4
4
2
2
2
2

2
4
2
2

(16
 
 48
 

 80
12
 160
 

+60
 
 20
 
 60
 

 1)
erf( ) / 6 .

m
L
c
k r
c
k
s
c
k
s

c
k
s
c
k
c
k
s

k
s
c
k
k s

p










































2
3/2
4
3
4

2
0

4
2
2
2
2
4

4
2
2
4

2
2

(4  
 

+12
 
 20
 
 

+3
 
 40
 
 15
 
 

5
 
 15
) / (3
).

p

m
L
c k
r
e
c
k
s

c
k
s
c
k
s

c
k
c
k s
k s

c
s
p


 



























 




2
5/2
4
2
4

3
0

4
2
2
4
4

2
2
4
3

 
 
(4
 
 

+12
 
 20
 
 3
 

        
 40
 
 15
) / (6
).

p

m
L
k
c
r
e
c
k
s

c
k s
c
k s
c

c
s
s
p


 
 








 


 











2
7/2
2
3
2
2
2
5

4
0
((
 
 3)
 5
) /
,
p

m
L
k
r
s
c
e
k s
c
s
p













2
9/2
4
5
7

5
0
15
/ (6
). 
p

m
L
k
s
c
r
e
p

 







Тогда:

.
5
4
3
2
1

)
(

4
,
0
L
L
L
L
L
A D






О  РАСЧЕТЕ  АБЕРРАЦИОННЫХ  КОЭФФИЦИЕНТОВ

НАУЧНОЕ ПРИБОРОСТРОЕНИЕ, 2021, том 31, № 1

111




2
(
)
3/2
2
2

2,0
0
0
2
/
i
erf(i
) /
.
D
p

m
A
k
s
c r
e
p
p
r

  

 

 



2

2

(
)
3/2
2
2
2
2

2,1

2
3/2
2

0

2
2
2
2

0

5/2
3
2
2
3

0

2
(
 
 2
 
 

2
) i
erf(i
)
2

(
2
 
 2
) / (
)

   
2
/ (
).

D

o

p

m
o

m

p

o
m

A
k
s r
s
k s
c

c
p
r
k
s r
e

s
s
c
k
c
p r

k
s
r
c
e
r
p



  
 


 





 




 





















2

(
)
3/2
2
2
4

2,2
0

2
4
2
2
2

2
2
4
2

3/2
2
2

0

4
2
4
2
2
2

2
2
4
2

0

2
( 7
 4
 

+4
 8
 
 

2
 
 2
 
 2
)

i
erf(i
)
(7
 

4
 
 4
 
 8
+ 

 2
 
 2
 
 2
) / (
)

D

p

m

A
k
c r
s
k s

k
s
c
k s
c

k s
c
k s
c

p
k
c r
e
s

k s
k
s
c
k s
c

k s
c
k s
c
r
p

k



  
 
  

























 



 





 
























2

2

5/2
2
2
2
2
2

0

2
2
3

0

7/2
4
2
3
5

0
0

( 2
 
 2
 
 

+5
  -  
) / (
)

  
 
3
/ (
).

p

m

p

m

s
c r
e
s
k s
c

c
s
r
p

k
s
r
c
e
r
p


 

  










 






2

2

2

(
)

4,0

5/2
4
4
3

0
0

3/2
2
2
0
0

5/2
4
4
3
3

0
0

3/2
2
2
0
0

5/2
4
4
3
3
3

0
0

3
3 i
erf(i
3
) /
 
 

2
i
erf(i
) / (3
)
 

   
3
/ (
)
 

  
2
/ (3
)

  
/ (2
).

D

m

m

p

m

p

m

p

m

A

k
s
c r
p
r

k
s
c r
p
r

k
s
c r
e
p r

k
s
c r
e
r
p

k
s
c r
e
r
p











  

 

 





 

 
 





 

 




 

 







 




СРАВНЕНИЕ РЕЗУЛЬТАТОВ 

АНАЛИТИЧЕСКОГО И ЧИСЛЕННОГО 

НАХОЖДЕНИЯ АБЕРРАЦИОННЫХ 

КОЭФФИЦИЕНТОВ

Выше были получены вклады в аберрацион
ные коэффициенты от двух дрейфовых и дисперсионного пространства численным и аналитическим методами. Сравним полные аберрационные 
коэффициенты (сумму вкладов от двух дрейфовых и дисперсионного пространств) для цилиндрического зеркала. Сравниваемые данные сведены в 9 таблиц, приведенных в Приложении 2: 
табл.1, 4, 7 — результаты вычисления аберрационных коэффициентов ЦЗ, табл. 2, 3, 5, 6, 8, 9 —
результаты вычисления проекции траекторий на 
ось Z.

Сравнение результатов вычисления аберраци
онных коэффициентов цилиндрического зеркала, 

полученных аналитическим и численным методами при разных значениях 
0r
и 
yP (см. Приложе
ние 2, табл. 1, 4, 7), показывает хорошее совпадение результатов. Из этого можно сделать вывод, 
что и аналитический, и численный методы вычисления аберрационных коэффициентов цилиндрического зеркала работают.

В Приложении 2, табл. 2, 3, 5, 6, 8, 9, приведе
но сравнение результатов вычисления проекции 
траекторий на ось Z при тех же параметрах, что 
и в табл. 1, 4, 7, соответственно, в окрестности точек (
0
0,

). Причем в табл. 2, 5, 8 проекции вы
числялись при изменении 
(0
20 )
 


и
0





const,

а в табл. 3, 6, 9 — при 
0
const





и изменении 
( 10
10 ).
  
 

Видно, что и в том,

и в другом случае величины проекций траекторий 
на ось Z, полученные подстановкой аналитических 
или численных значений аберрационных коэффициентов в формулу (5), совпадают с очень высокой 
точностью. Проекции траекторий на ось Z, получаемые прямым интегрированием правой части 
выражения (1), совпадают с хорошей точностью с 
результатами использования выражения (5) вдоль 
линии 
0
const




вплоть до 
20 ,
 

а вдоль 

линии 
0
const




— только до значений угла 

 , меньших 10 .

ВЫВОДЫ

Данные, приведенные в Приложении 2, табл. 1–

9, показывают, что аналитические формулы и численный метод вычисления АК дают совпадающие 
с высокой точностью результаты.

Вычисления по аналитическим формулам осу
ществляются несколько быстрее, чем численным 
методом. 

То, что в качестве центра разложения по углу 

 было использовано значение 
0
 =0, с одной 

стороны, значительно упрощает процесс выведения формул и сами формулы, а, с другой стороны, 
относительно точки 
0
 =0 такие функции, как 

(
)
P
L
, являются симметричными. Это приводит 

к тому, что все нечетные по переменной  АК 
равны нулю.

В случае аналитических формул переход 

к большим порядкам АК ведет сперва к большой, 
а потом и к очень большой громоздкости формул. 
В то время как в случае численного метода вычисления АК для перехода к большим порядкам АК 
следует просто в программе поставить большие 
порядки интерполяции  и увеличить точность вычисления базовых траекторий, по которым осуществляется упомянутая выше интерполяция. 

С. И. ШЕВЧЕНКО

НАУЧНОЕ ПРИБОРОСТРОЕНИЕ, 2021, том 31, № 1

112

Еще одним фактором, влияющим на точность 

конечных результатов (АК или проекция траектории на ось Z), является то, что с увеличением 

0

 
и 
0

 
точность как аналитических 

формул, так и численных результатов уменьшается (как у всякой полиномиальной интерполяции 
при удалении от центра интерполяции). Поэтому 
в этом численный метод, для которого центр интерполяции может изменяться, выгодно отличается от аналитического метода.

ПРИЛОЖЕНИЕ 1

Преобразование АК 
1,0
A
начнем с замены пе
ременной 

2
2

0

1

sin (
)
ln r
y
k
r











, 
1
r
r



2
2

0
exp( sin (
)
)
k
y



, 

2

0
d
2
d .
y

m
r
r
y e
y

  



При этом пределы интегрирования преобразу
ются следующим образом:

1
1
;
0.
m
r
r
y
p
r
r
y







Подставляем все это в АК 
1,0
A
:

2

2

1/2

0,1
0
0
0

0

1/2

0
0
0
01

3

0

2sin(
)
2
d
2cos(
)

sin(
) cos(
) 2
d
.
0

p

y

m

p
y

m
m

k
A
r
y e
y
y

r
y e
y
k
r

y
y











 










 

















Видно, что при 
0

y
у одного из интегралов 

в подынтегральной функции содержится сингулярность. Это наблюдается у всех АК. В действительности все сингулярности взаимно сокращаются. Чтобы продемонстрировать это, все промежуточные преобразования будем проводить при условии, что 




y
r
r
m1
. А в конечном выра
жении, если какие-то члены, содержащие  , еще 
останутся, подставим предел 
0


.

(
)
1/2

0,1
0
0

3/2

0
0
0
0
02

3/2

0
0
0

2 sin( )
erf( ) 
 

+2 cos( ) ( 2 sin( ) cos( )
+ 

 2
sin( ) cos( )
) / ),

D

m

m

m

A
t
k
r
p

t
t
t
k
r
i

r
t
t
k





  







  











где 

2
2

02
2

0

d
1
 i
erf(i
). 

p
y
p
e
y
e
i
p
y
p















Видно, что члены с 

1
(стоят в круглых скоб
ках) в АК 
1,0
A
сокращаются. Аналогично проис
ходит и во всех остальных АК.

ПРИЛОЖЕНИЕ 2

Табл. 1. Сравнение аберрационных коэффициентов для цилиндрического зеркала,  полученных аналитическим (строка А) и численным (строка Ч) методами, при 
r0 = 5 мм, Py =1.818182 мм, Е = 157.46272 эВ, 

0
43.5
 


Метод
A2,0
A2,1
A2,2
A4,0

А
0.0083561879   
–0.0151914388
0.0166378967
0.0115541034

Ч
0.0083561879
–0.0151914388  
0.0166378967  
0.0115541021

Метод
A0,1
A0,2
A0,3
A0,4

А
0.0363159922
–0.0388008040
–0.3284181963
–0.0096111739

Ч
0.0363159922   
–0.0388008040   
–0.3284181961
–0.0096111742

О  РАСЧЕТЕ  АБЕРРАЦИОННЫХ  КОЭФФИЦИЕНТОВ

НАУЧНОЕ ПРИБОРОСТРОЕНИЕ, 2021, том 31, № 1

113

Табл. 2. Сравнение проекции траектории на ось Z при  r0 = 5 мм, Py = 1.818182 мм, Е = 157.462 эВ, 
0
43.5
 


для цилиндрического зеркала,  полученной расчетом этой проекции по методу работы [3] (строка LzT ), подстановкой найденных аналитическим методов аберрационных коэффициентов в формулу (5) (строка Lzan) 
и численным (строка Lznu) методом. В верхней строке показаны последовательно 
0
0



 , 
0
5 ,



 

0
10 ,





0
15 ,





0
20






Метод
0
0



 
0
5



 
0
10





0
15





0
20






LzT
0.1276964045
0.1277028591
0.1277223066
0.1277550057
0.1278014140

Lzan
0.1276964045
0.1277028591   
0.1277223066
0.1277549908  
0.1278013284

Lznu
0.1276964045
0.1277028591   
0.1277223066
0.1277549908  
0.1278013284

Табл. 3. Сравнение проекции траектории на ось Z при  r0 = 5 мм, Py = 1.818182 мм, Е = 157.462720 эВ, 

0
43.5
 
 для цилиндрического зеркала,  полученной расчетом этой проекции по методу работы [3] (строка 

LzT ), подстановкой найденных аналитическим методов аберрационных коэффициентов в формулу (5) 
(строка Lzan) и подстановкой найденных  численным методом аберрационных коэффициентов в формулу (5) 
(строка Lznu). В верхней строке показаны последовательно 
0
10 ,





0
5 ,



 
0

 
,  
0
5 ,



 

0
10






Метод
0
10





0
5



 
0

 
0
5



 
0
10






LzT
0.1256153747
0.1266647232
0.1276964045
0.1286681971
0.1295377643

Lzan
0.1256153154
0.1266647215
0.1276964045
0.1286681983
0.1295377994

Lznu
0.1256153154
0.1266647215
0.1276964045
0.1286681983
0.1295377994

Табл. 4. Сравнение аберрационных коэффициентов для цилиндрического зеркала,  полученных аналитическим (строка А) и численным (строка Ч) методами, при r0 = 10 мм, Py = 7.272727 мм, Е = 127.478 эВ, 

0
41.04
 


Метод
A2,0
A2,1
A2,2
A4,0

А
0.0063261255
–0.0097267032
0.0186543141
0.0025918275

Ч
0.0063261255
–0.0097267032
0.0186543144
0.0025918276

Метод
A0,1
A0,2
A0,3
A0,4

А
0.0191871238
–0.0224070994
–0.2176317766
0.0521608189

Ч
0.0191871238
–0.0224070994
–0.2176317764
0.0521608189

Табл. 5. Сравнение проекции траектории на ось Z при  r0 = 10 мм, Py = 7.272727 мм, Е = 127.478 эВ, 
0
41.04
 


для цилиндрического зеркала,  полученной расчетом этой проекции по методу работы [3] (строка LzT), подстановкой найденных аналитическим методов аберрационных коэффициентов в формулу (5) (строка Lzan) и численным 
методом  (строка Lznu). В верхней строке показаны последовательно 
0
0



 , 
0
5 ,



 
0
10 ,






0
15 ,





0
20






Метод
0
0



 
0
5



 
0
10





0
15





0
20






LzT
0.0915553589   
0.0915602417   
0.0915749087   
0.0915994157   
0.0916338568   

Lzan
0.0915553589   
0.0915602417   
0.0915749086  
0.0915994153  
0.0916338542   

Lznu
0.0915553589   
0.0915602417   
0.0915749086  
0.0915994153  
0.0916338542   

С. И. ШЕВЧЕНКО

НАУЧНОЕ ПРИБОРОСТРОЕНИЕ, 2021, том 31, № 1

114

Табл. 6. Сравнение проекции траектории на ось Z при  r0 = 15 мм, Py = 12.727273 мм, Е = 87.32 эВ, 

0
37.35
 
 для цилиндрического зеркала,  полученной расчетом этой проекции по методу работы [3] 

(строка LzT), подстановкой найденных аналитическим методов аберрационных коэффициентов в формулу (5) (cтрока Lzan) и подстановкой найденных  численным методом аберрационных коэффициентов 
в формулу (5) (строка Lznu). В верхней строке показаны последовательно 
0
10 ,





0
5 ,



 

0

 
,  
0
5 ,



 
0
10






Метод
0
10





0
5



 
0

 
0
5



 
0
10






LzT
0.0904581366  
0.0910097916 
0.0915553589  
0.0920664097  
0.0925152784  

Lzan
0.0904580635  
0.0910097894
0.0915553589  
0.0920664115  
0.0925153325  

Lznu
0.0904580635  
0.0910097894
0.0915553589  
0.0920664115  
0.0925153325  

Табл. 7. Сравнение аберрационных коэффициентов для цилиндрического зеркала,  полученных аналитическим (строка А) и численным (строка Ч) методами, при r0 = 15 мм, Py = 12.727273 мм, Е = 87.32 эВ, 

0
37.35
 


Метод
A2,0
A2,1
A2,2
A4,0

А
0.0022050038   
–0.0072969510 
0.0295819374
0.0295819371

Ч
0.0022050038
–0.0072969510 
0.0295819371
0.0024862935

Метод
A0,1
A0,2
A0,3
A0,4

А
0.0074284139
–0.0088784501
–0.1244928874
0.0852010019

Ч
.0074284139
–0.0088784501 
–0.1244928870 
0.0852010012

Табл. 8. Сравнение проекции траектории на ось Z при  r0 = 15 мм, Py = 12.727273 мм, Е = 87.32 эВ, 

0
37.35
 
 для цилиндрического зеркала,  полученной расчетом этой проекции по методу работы [3] (стро
ка LzT), подстановкой найденных аналитическим методом аберрационных коэффициентов в формулу (5) 
(строка Lzan) и численным методом  (строка Lznu). В верхней строке показаны последовательно 
0
0



 , 

0
5 ,



 
0
10 ,





0
15 ,





0
20






Метод
0
0



 
0
5



 
0
10





0
15





0
20






LzT
0.0537897179   
0.0537914208   
0.0537965472   
0.0538051507   
0.0538173209   

Lzan
0.0537897179   
0.0537914208   
0.0537965472   
0.0538051503  
0.0538173191   

Lznu
0.0537897179   
0.0537914208   
0.0537965472   
0.0538051503  
0.0538173191   

Табл. 9. Сравнение проекции траектории на ось Z
при r0 = 15 мм, Py = 12.727273 мм, Е = 87.32 эВ, 

0
37.35
 
 для цилиндрического зеркала,  полученной расчетом этой проекции по методу работы [3] (стро
ка LzT), подстановкой найденных аналитическим методов аберрационных коэффициентов в формулу (5) 
(трока Lzan) и подстановкой найденных  численным методом аберрационных коэффициентов в формулу (5) 
(строка Lznu). В верхней строке показаны последовательно 
0
10 ,





0
5 ,



 
0

 
,  
0
5 ,



 

0
10






Метод
0
10





0
5



 
0

 
0
5



 
0
10






LzT
0.0533718658  
0.0535792439
0.0537897179  
0.0539865923  
0.0541544042  

Lzan
0.0533717838  
0.0535792415         0.0537897179  
0.0539865945  
0.0541544701  

Lznu
0.0533717838  
0.0535792415      0.0537897179  
0.0539865945  
0.0541544701  

О  РАСЧЕТЕ  АБЕРРАЦИОННЫХ  КОЭФФИЦИЕНТОВ

НАУЧНОЕ ПРИБОРОСТРОЕНИЕ, 2021, том 31, № 1

115

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Шевченко С.И. О свойствах цилиндрического зеркала 

при учете электронов, имеющих азимутальную компоненту скорости. Распределение электронов вблизи 
выходной диафрагмы // Научное приборостроение. 
2017. Т. 27, № 1. С. 90–101.
URL: http://iairas.ru/mag/2017/abst1.php#abst15

2. Шевченко С.И. О свойствах цилиндрического зеркала 

при учете электронов, имеющих азимутальную компоненту скорости. Фокусировка и линия фокусов // 
Научное приборостроение. 2017. Т. 27, № 3. С. 81–89.
URL: http://iairas.ru/mag/2017/abst3.php#abst10

3. Шевченко С.И. Об аналитическом решении уравнения 

движения электронов в цилиндрическом зеркале при 
учете электронов, имеющих азимутальную компоненту скорости
// Научное
приборостроение.
2019.

Т. 29, № 2. С. 109–117.
URL: http://iairas.ru/mag/2019/abst2.php#abst14

4. Зашквара В.В., Корсунский М.И., Лавров В.П., Редь
кин В.С. О влиянии конечного размера источника на 
фокусировку пучка заряженных частиц в электростатическом спектрометре с цилиндрическим полем //
ЖТФ. 1971. Т. 41, № 1. С. 187–192.

5. Сар-Эль Х.З. Анализатор типа цилиндрического зер
кала с входной и выходной щелями на поверхности 
электрода. I. Нерелятивистский случай // Приборы для 
научных исследований. 1971. Т. 42, № 11. С. 43–48 
(первоисточник англ.). DOI: 10.1063/1.1684948

6. Аксела С. Аппаратная функция цилиндрического ана
лизатора энергий электронов // Приборы для научных 
исследований. 1972. Т. 43, № 9. С. 122–128 (первоисточник англ.). DOI: 10.1063/1.1685923

7. Дрейпер Д.Е., Ли Ч.-И. Характеристики анализатора 

типа цилиндрического зеркала с геометрией "кольцо
ось", "ось-ось" и n = 1.5 при конечных размерах источника и щели для углов средней траектории 
30°…65° // Приборы для научных исследований. 1977. 
Т. 48, № 7. С. 138–154 (первоисточник англ.). DOI: 
10.1063/1.1135170

8. Дубинов А.Е., Дубинова И.Д., Сайков С.К. W-функция 

Ламберта и ее применение в математических задачах 
физики. Учеб. пособие для вузов. Саров: ФГУП, 
"РФЯЦ-ВНИИЭФ", 2006. 160 c.

9. Зашквара В.В., Корсунский М.И., Космачев О.С. Фо
кусирующие свойства электростатического зеркала 
с цилиндрическим полем // ЖТФ, 1966, т. 36, вып. 1.
С. 132–137. 

10. Абрамовиц В.А., Стиган И. Справочник по специаль
ным функциям. М.: Наука, 1979. 830 с.

Институт аналитического приборостроения РАН,  
Санкт-Петербург

Контакты: Шевченко Сергей Иванович,
nyro2@yandex.ru

Материал поступил в редакцию 30.12.2020