Научное приборостроение, 2021, том 31, № 1
научный журнал
Покупка
Тематика:
Приборостроение. Биомедицинская техника
Издательство:
Институт аналитического приборостроения РАН
Наименование: Научное приборостроение
Год издания: 2021
Кол-во страниц: 122
Дополнительно
Тематика:
ББК:
УДК:
ГРНТИ:
Скопировать запись
Фрагмент текстового слоя документа размещен для индексирующих роботов.
Для полноценной работы с документом, пожалуйста, перейдите в
ридер.
ISSN 0868–5886 НАУЧНОЕ ПРИБОРОСТРОЕНИЕ, 2021, том 31, № 1, c. 124–124 ПЕРСОНАЛИИ 124 ГЛАВНОМУ РЕДАКТОРУ ЖУРНАЛА «НАУЧНОЕ ПРИБОРОСТРОЕНИЕ», ДИРЕКТОРУ ИАП РАН, Д.Т.Н., ПРОФЕССОРУ ВЛАДИМИРУ ЕФИМОВИЧУ КУРОЧКИНУ — 70 ЛЕТ Владимир Ефимович работает в ИАП РАН с 1987 г. Пройдя путь от старшего научного сотрудника до заместителя директора по научной работе, в 2001 г. он был избран на должность директора Института. В.Е. Курочкин — главный конструктор широкого спектра приборов экспресс-анализа для решения задач биофизики, аналитической химии, биохимии, иммунологии, генетики, экологии и биотехнологии. Среди них— приборы для анализа нуклеиновых кислот серии АНК, предназначенные для обнаружения и измерения исходного количества специфической ДНК (РНК) в исследуемом образце в широком динамическом диапазоне методом ПЦР в реальном времени и генетический анализатор "Нанофор-05" (прибор восьмикапиллярного электрофореза с пятицветной лазериндуцированной флуоресцентной детекцией). В настоящее время под руководством Владимира Ефимовича полным ходом идет разработка аппа ратно-программного комплекса нового поколения "Нанофор-СПС" для расшифровки последовательности нуклеиновых кислот патогенных микроорганизмов, основанного на высокопроизводительной технологии массового параллельного секвенирования. В этот замечательный день коллектив Института сердечно поздравляет Владимира Ефимовича с юбилеем и желает ему доброго здоровья, неиссякаемой энергии и успехов во всех начинаниях!
ISSN 0868–5886 НАУЧНОЕ ПРИБОРОСТРОЕНИЕ, 2021, том 31, № 1, c. 107–123 МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ И МОДЕЛИРОВАНИЕ В ПРИБОРОСТРОЕНИИ 107 УДК 517.956.255; 621.319.7 С. И. Шевченко, 2020 О РАСЧЕТЕ АБЕРРАЦИОННЫХ КОЭФФИЦИЕНТОВ ДЛЯ ЦИЛИНДРИЧЕСКОГО ЗЕРКАЛА Для цилиндрического зеркала выведены аберрационные коэффициенты до четвертого порядка. Разработан метод вычисления аберрационных коэффициентов по результатам расчета нескольких траекторий. Аналитический и численный методы вычисления аберрационных коэффициентов дают результаты, совпадающие с высокой точностью. Кл. сл.: энергоанализатор, цилиндрическое зеркало, кольцо эмиссии, выходная диафрагма ВВЕДЕНИЕ Данная работа является продолжением работ [1–3], посвященных изучению свойств электростатического энергоанализатора типа цилиндрическое зеркало (ЦЗ) (цилиндрический конденсатор) при учете заряженных частиц (в нашем случае это электроны), имеющих азимутальную компоненту скорости. Ранее подобная тематика рассматривалась в ря де работ [4–7]. В этих работах изучались траектории электронов в цилиндрической системе координат. Наиболее близкой к представленной статье является работа [4]. Нами использовались ее основные обозначения. Можно выделить три области прохождения траекторий: первое пролетное (дрейфовое) пространство, дисперсионное пространство, второе пролетное пространство. Основную трудность представляет вычисление траекторий в дисперсионном пространстве. Уравнение движения заряженных частиц (элек тронов) в дисперсионном пространстве, записанное в цилиндрической системе координат, допускает упрощение, в результате которого получается зависимость времени от радиальной координаты в виде интеграла (в обозначениях работы [3]) 1 0 2 2 2 2 0 1 2 d , 1 sin sin sin ln m r r T V r r r r k r (1) где mr — величина наибольшего удаления элек тронов от внутреннего цилиндра, являющаяся корнем функции, стоящей в (1) под знаком радикала 2 2 2 2 0 1 1 sin sin sin ln 0 r r r k r . (2) Начальные условия для уравнений движения: 0r — радиус точки вылета электронов из источни ка; 0 V — скорость электронов до входа в диспер сионное пространство; ) , ( — углы в локальной сферической системе координат, привязанной к точке эмиссии 0r ; — угол между нормалью к плоскости XY (осью Z) и вектором скорости; — азимутальный угол, отсчитываемый вокруг точки 0r , между осью Y и проекцией вектора скорости на плоскость XY ( xy V ); ось Y локальной сферической системы координат совпадает с прямой линией, проведенной из точки пересечения оси Z с плоскостью XY до точки вылета электронов из источника; 2 1 ln k E U r r ; E — кинетическая энергия электронов до влета в дисперсное пространство; 1 2 , r r — радиусы внутрен него и внешнего электродов ЦЗ; U — потенциал на внешнем электроде ЦЗ; на внутреннем электроде ЦЗ установлен потенциал, равный нулю. Решение уравнения движения в его преобразо ванном виде (1) требует решения двух задач: нахождение корня уравнения (2) и собственно решение (интегрирование) уравнения (1). В [3] приведено выражение для наибольшего удаления mr от внутреннего цилиндра: 0 m m r r
С. И. ШЕВЧЕНКО НАУЧНОЕ ПРИБОРОСТРОЕНИЕ, 2021, том 31, № 1 108 2 2 2 0 2 0 1 exp LambertW 2sin sin , 2 m r r (3) где 2 sin 1 0 k m e r r — наибольшее удаление элек тронов от внутреннего цилиндра при 0 , т.е. без азимутальной компоненты скорости, LambertW( )x — функция Ламберта [8]. Уравнение движения может быть решено раз ложением редуцированного к виду (1) уравнения движения в ряд Тэйлора. В работе [4] расчет правой части (1) был выполнен с точностью до малой величины порядка 2 tg ( ) , где — угол, пропор циональный азимутальному углу. С одной стороны, в этом случае нельзя требовать изотропности начального распределения электронов по этому углу. С другой стороны, остается вопрос, достаточно ли разложение до членов порядка 2 tg ( ) для получения приличных по точности результатов. Результаты работы [3] показывают, что в ряде случаев этого приближения может быть недостаточно. В работе [3] проведено разложение правой ча сти уравнения (1) в ряд Маклорена по переменной ) ( sin2 x до четвертого порядка. Показано, что вплоть до величины угла в 20° этот подход дает решение уравнения (1) с весьма хорошей точностью. При этом в каждой точке эмиссии рассматривалась (местная) сферическая система координат (СК). Поэтому для этого случая изотропное распределение эмитируемых электронов является обоснованным. Можно выражение в правой части (1) разло жить в двойной ряд (Тэйлора по углу и Маклорена по углу ). Коэффициенты в этом ряду являются аберрационными коэффициентами (АК). До настоящего времени считалось невозможным аналитически получить аберрационные коэффициенты для цилиндрического зеркала. Хотя в нескольких работах приведены аналитические выражения для некоторых АК. Так, в [9] приведены выражения для АК по углу до второго порядка и приведено численное выражение для АК по углу третьего порядка. В [4] рассмотрен более общий случай с азимутальными траекториями в приближении малости некоторого угла, который при стремлении к нулю сходится к углу . Все вычисления в данной работе проведены для ЦЗ с радиусом внутреннего цилиндра 1 2 cм, r радиусом внешнего цилиндра 2 5 cм, r на внут реннем цилиндре установлено напряжение, равное нулю, на внешнем цилиндре — 100 B. U Ниже все расстояния будем выражать в мм. ВЫЧИСЛЕНИЕ ВКЛАДА В АБЕРРАЦИОННЫЕ КОЭФФИЦИЕНТЫ ОТ ДРЕЙФОВЫХ ПРОСТРАНСТВ В каждом из дрейфовых пространств на заря женную частицу не действует никакая сила, поэтому ее движение является прямолинейным. Описание такого движения является простым и подробно рассмотрено в [3]. Проекции траектории электрона в дрейфовых пространствах на ось Z приведены в [3]. Проекция на ось Z траектории электрона в пер вом дрейфовом пространстве: ( ) 2 2 2 1 1 0 0 sin ( ) cos( ) tg( ). P L r r r Проекция на ось Z траектории электрона во вто ром дрейфовом пространстве: ( ) 2 2 2 2 1 0 0 2 2 2 0 sin ( ) cos( ) sin ( ) tg( ), P y L r r r P r где yP — радиус цилиндра, содержащего выход ную диафрагму. Суммарный вклад в проекцию траектории электрона на ось Z от обоих дрейфовых пространств: ( ) ( ) ( ) 2 2 2 1 2 1 0 2 2 2 0 y 0 2 sin ( ) cos( ) sin ( ) tg( ). P P P L L L r r r P r Введем обозначения 0 0 sin( ), cos( ). s c Суммарный вклад в проекцию траектории электрона на ось Z от обоих дрейфовых пространств будем искать в виде разложения в ряд ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0,0 1,0 0,1 1,1 ... P P P P P L A A A A (4) Член разложения правой части выражения (1) порядка ( j i , ) (с точностью до константы этот член равен производной этого порядка) обозначен как ) ( , P j iA . ( ) 0,0 1 0 (2 - - ) / P y A r r P c s . ( ) 2,0 0 0 0 1 1 1 (2 ) (2 ). P y y y A r r P r r r P c r P s ( ) 2 2,1 0 0 0 1 1 1 (2 ) / (2 ). P y y y A r r P r r r P s r P
О РАСЧЕТЕ АБЕРРАЦИОННЫХ КОЭФФИЦИЕНТОВ НАУЧНОЕ ПРИБОРОСТРОЕНИЕ, 2021, том 31, № 1 109 ( ) 2,2 3 0 0 0 1 1 1 (2 ) (2 ). P y y y A r r P r r r P c s r P ( ) 3 3 3 2 4,0 0 0 0 1 2 3 3 3 3 3 3 3 0 1 0 1 1 1 (6 8 4 3 ) (24 ). P y y y y y A r P r P r r P r r r r r P c s r P ( ) 2 0,1 1 0 (2 ) / . P y A r P r s ( ) 3 0,2 1 0 (2 ) / . P y A r r P c s ( ) 2 4 0,3 1 0 (2 ) (1 2 ) / (3 ). P y A r P r c s ( ) 2 5 0,4 1 0 (2 ) (2 ) / (3 ). P y A c r P r c s Отметим, что в силу того, что разложение пра вой части выражения (1) по переменной реализуется в окрестности точки 0 0 , по отношению к которой ) (P L симметрична, все нечетные по пе ременной вклады в AK равны нулю. ЧИСЛЕННОЕ НАХОЖДЕНИЕ ВКЛАДА В АБЕРРАЦИОННЫЕ КОЭФФИЦИЕНТЫ ОТ ДИСПЕРСИОННОГО ПРОСТРАНСТВА В основе метода лежит возможность вычислять значения ) (D L проекции траектории электрона в дисперсионном пространстве на ось Z (см. работу [3]). Фиксируем некоторое значение угла 0, для угла 0 выбираем 1 2 N равноот стоящих значений , 0 i i ( , ), i N N 1 и вычисляем на множестве i значения ) (D iL . Далее строим интерполяционный полином по переменной в окрестности точки 0 , прохо дящий через эти точки: n N n n D n A L ) ( ) , ( 0 0 0, 0 ) ( . Коэффициенты этого полинома равны вкладу в соответствующие аберрационные коэффициенты 0,n A от дисперсионного пространства в окрестно сти угла 0 и при 0 . Аналогично проводим вычисление проекции траекторий электрона для фиксированного угла 0 и 1 2 N равноотстоящих значений угла , 0 j j 1 . Строим интерполяци онный полином, проходящий через все точки ) , ( 0 ) ( j D L : N m m m D A L 0 0 ,0 0 ) ( ) ( ) , ( . И получаем значения вклада в соответствую щие аберрационные коэффициенты m A ,0 от дис персионного пространства в окрестности угла 0 и при 0 . Несколько более сложно обстоит ситуация с вычислением "смешанных" аберрационных коэффициентов (вычисление смешанных производных). Для этого вычисляем величину ) (D L на пря моугольном массиве точек ( , ) ( ) ( ) i j N N N N , равноотстоящих по углам и соответственно, , 0 i i j j 0 , 1 , 1 . Нам необходимо вычислить ( ) , 1 d ( , ). ! ! d d n m D n m n m L A n m Т.к. частную произ водную от нескольких переменных можно вычислять последовательным дифференцированием в произвольном порядке, то справедливо равенство ( ) , ( ) 1 d 1 d ( , ) ! d ! d 1 d 1 d ( , ) . ! d ! d n m D n m n m m n D m n L A n m L m n Поэтому для вычисления АК порядка ) ( m n можно сперва для всех возможных углов n вы числить производную ( ) d ( , ) d m D n m L . Т.е. для каж дого n строим интерполяционный полином в окрестности точки 0 , коэффициент которого с номером n с точностью до ! 1 m равен этой про изводной. Далее для вычисления производной от полученной величины по переменной используем ранее описанную методику. Точно такое же действие можно проделать, поменяв порядок нахождения производных. АНАЛИТИЧЕСКОЕ НАХОЖДЕНИЕ ВКЛАДА В АБЕРРАЦИОННЫЕ КОЭФФИЦИЕНТЫ ОТ ДИСПЕРСИОННОГО ПРОСТРАНСТВА Основную трудность представляет вычисление вклада в аберрационные коэффициенты от дисперсионного пространства.
С. И. ШЕВЧЕНКО НАУЧНОЕ ПРИБОРОСТРОЕНИЕ, 2021, том 31, № 1 110 Проводим разложение правой части формулы (1) в ряд Тэйлора по углу и Маклорена по углу и выделяем коэффициенты этого разложения. Эти коэффициенты и будут искомыми АК. Ниже будем использовать обозначения: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0,0 1,0 0,1 1,1 ..., D D D D D L A A A A (5) где ) (D L определено выше. Для члена ) ( 0 , 0 D A : 1 1 ( ) 0,0 0 2 0 1 1 2 cos( ) d . 1 sin ( ) ln m r D r A r r k r Проведя в интеграле замену переменной 2 2 0 1 sin ( ) ln , r y k r легко получить ( ) 0,0 0 0 2 cos( ) erf( ), D m A k r p где ) ( sin 0 2 k p , 2 0 sin ( ) 0 1 . k mr r e Это выражение практически совпадает с тем, что получено в [4]. Отличие только в определении функции erf( ) p . Мы пользовались определением справочника [10]. Для АК ) ( 1, 0 D A имеем: 1 1 1 1 ( ) 0,1 0 2 0 1 0 0 0 3/2 2 0 1 0 01 2 0 1 1 2sin( ) d 1 sin ( ) ln sin( ) cos( ) 2cos( ) d 1 sin ( ) ln 2cos( ) , 1 sin ( ) ln m m r D r r r m A r r k r r r k r r r k r где 1 01 d . d m m r r Особенности вычисления АК разберем подроб но на примере ) ( 1, 0 D A в Приложении 1. ( ) 0,1 0 2 D m A s k r 2 2 (2 / erf( ) ( 1 2 )). p e p p c k 2 2 ( ) 0,2 0 2 2 2 2 2 3/2 2 2 2 2 0 5/2 3 2 3 0 (4 6 2 1) erf( ) 2 (2 3 )/ 2 / . D m p m p m A k c r k c s k s k c p k c r e k c s s c p k c s r e p 2 2 ( ) 2 0,3 0 2 2 2 2 3 2 4 4 2 3/2 2 2 2 0 2 2 2 4 4 5/2 2 2 0 2 2 (1 20 24 6 8 12 ) erf( ) / 3 ( 20 24 6 8 12 ) / (3 ) (12 4 6 D m p m p m A k s r c k s c k k s k s c c k p k s r e c k s c s k s c k c p k s c r e s k s c c 2 2 7/2 3 4 5 0 ) / (3 ) 2 . p m p k s c r e p Введем для удобства величины 1 5 : L 4 4 4 4 3 2 1 0 2 3 4 4 2 2 2 2 2 4 2 2 (16 48 80 12 160 +60 20 60 1) erf( ) / 6 . m L c k r c k s c k s c k s c k c k s k s c k k s p 2 3/2 4 3 4 2 0 4 2 2 2 2 4 4 2 2 4 2 2 (4 +12 20 +3 40 15 5 15 ) / (3 ). p m L c k r e c k s c k s c k s c k c k s k s c s p 2 5/2 4 2 4 3 0 4 2 2 4 4 2 2 4 3 (4 +12 20 3 40 15 ) / (6 ). p m L k c r e c k s c k s c k s c c s s p 2 7/2 2 3 2 2 2 5 4 0 (( 3) 5 ) / , p m L k r s c e k s c s p 2 9/2 4 5 7 5 0 15 / (6 ). p m L k s c r e p Тогда: . 5 4 3 2 1 ) ( 4 , 0 L L L L L A D
О РАСЧЕТЕ АБЕРРАЦИОННЫХ КОЭФФИЦИЕНТОВ НАУЧНОЕ ПРИБОРОСТРОЕНИЕ, 2021, том 31, № 1 111 2 ( ) 3/2 2 2 2,0 0 0 2 / i erf(i ) / . D p m A k s c r e p p r 2 2 ( ) 3/2 2 2 2 2 2,1 2 3/2 2 0 2 2 2 2 0 5/2 3 2 2 3 0 2 ( 2 2 ) i erf(i ) 2 ( 2 2 ) / ( ) 2 / ( ). D o p m o m p o m A k s r s k s c c p r k s r e s s c k c p r k s r c e r p 2 ( ) 3/2 2 2 4 2,2 0 2 4 2 2 2 2 2 4 2 3/2 2 2 0 4 2 4 2 2 2 2 2 4 2 0 2 ( 7 4 +4 8 2 2 2 ) i erf(i ) (7 4 4 8 + 2 2 2 ) / ( ) D p m A k c r s k s k s c k s c k s c k s c p k c r e s k s k s c k s c k s c k s c r p k 2 2 5/2 2 2 2 2 2 0 2 2 3 0 7/2 4 2 3 5 0 0 ( 2 2 +5 - ) / ( ) 3 / ( ). p m p m s c r e s k s c c s r p k s r c e r p 2 2 2 ( ) 4,0 5/2 4 4 3 0 0 3/2 2 2 0 0 5/2 4 4 3 3 0 0 3/2 2 2 0 0 5/2 4 4 3 3 3 0 0 3 3 i erf(i 3 ) / 2 i erf(i ) / (3 ) 3 / ( ) 2 / (3 ) / (2 ). D m m p m p m p m A k s c r p r k s c r p r k s c r e p r k s c r e r p k s c r e r p СРАВНЕНИЕ РЕЗУЛЬТАТОВ АНАЛИТИЧЕСКОГО И ЧИСЛЕННОГО НАХОЖДЕНИЯ АБЕРРАЦИОННЫХ КОЭФФИЦИЕНТОВ Выше были получены вклады в аберрацион ные коэффициенты от двух дрейфовых и дисперсионного пространства численным и аналитическим методами. Сравним полные аберрационные коэффициенты (сумму вкладов от двух дрейфовых и дисперсионного пространств) для цилиндрического зеркала. Сравниваемые данные сведены в 9 таблиц, приведенных в Приложении 2: табл.1, 4, 7 — результаты вычисления аберрационных коэффициентов ЦЗ, табл. 2, 3, 5, 6, 8, 9 — результаты вычисления проекции траекторий на ось Z. Сравнение результатов вычисления аберраци онных коэффициентов цилиндрического зеркала, полученных аналитическим и численным методами при разных значениях 0r и yP (см. Приложе ние 2, табл. 1, 4, 7), показывает хорошее совпадение результатов. Из этого можно сделать вывод, что и аналитический, и численный методы вычисления аберрационных коэффициентов цилиндрического зеркала работают. В Приложении 2, табл. 2, 3, 5, 6, 8, 9, приведе но сравнение результатов вычисления проекции траекторий на ось Z при тех же параметрах, что и в табл. 1, 4, 7, соответственно, в окрестности точек ( 0 0, ). Причем в табл. 2, 5, 8 проекции вы числялись при изменении (0 20 ) и 0 const, а в табл. 3, 6, 9 — при 0 const и изменении ( 10 10 ). Видно, что и в том, и в другом случае величины проекций траекторий на ось Z, полученные подстановкой аналитических или численных значений аберрационных коэффициентов в формулу (5), совпадают с очень высокой точностью. Проекции траекторий на ось Z, получаемые прямым интегрированием правой части выражения (1), совпадают с хорошей точностью с результатами использования выражения (5) вдоль линии 0 const вплоть до 20 , а вдоль линии 0 const — только до значений угла , меньших 10 . ВЫВОДЫ Данные, приведенные в Приложении 2, табл. 1– 9, показывают, что аналитические формулы и численный метод вычисления АК дают совпадающие с высокой точностью результаты. Вычисления по аналитическим формулам осу ществляются несколько быстрее, чем численным методом. То, что в качестве центра разложения по углу было использовано значение 0 =0, с одной стороны, значительно упрощает процесс выведения формул и сами формулы, а, с другой стороны, относительно точки 0 =0 такие функции, как ( ) P L , являются симметричными. Это приводит к тому, что все нечетные по переменной АК равны нулю. В случае аналитических формул переход к большим порядкам АК ведет сперва к большой, а потом и к очень большой громоздкости формул. В то время как в случае численного метода вычисления АК для перехода к большим порядкам АК следует просто в программе поставить большие порядки интерполяции и увеличить точность вычисления базовых траекторий, по которым осуществляется упомянутая выше интерполяция.
С. И. ШЕВЧЕНКО НАУЧНОЕ ПРИБОРОСТРОЕНИЕ, 2021, том 31, № 1 112 Еще одним фактором, влияющим на точность конечных результатов (АК или проекция траектории на ось Z), является то, что с увеличением 0 и 0 точность как аналитических формул, так и численных результатов уменьшается (как у всякой полиномиальной интерполяции при удалении от центра интерполяции). Поэтому в этом численный метод, для которого центр интерполяции может изменяться, выгодно отличается от аналитического метода. ПРИЛОЖЕНИЕ 1 Преобразование АК 1,0 A начнем с замены пе ременной 2 2 0 1 sin ( ) ln r y k r , 1 r r 2 2 0 exp( sin ( ) ) k y , 2 0 d 2 d . y m r r y e y При этом пределы интегрирования преобразу ются следующим образом: 1 1 ; 0. m r r y p r r y Подставляем все это в АК 1,0 A : 2 2 1/2 0,1 0 0 0 0 1/2 0 0 0 01 3 0 2sin( ) 2 d 2cos( ) sin( ) cos( ) 2 d . 0 p y m p y m m k A r y e y y r y e y k r y y Видно, что при 0 y у одного из интегралов в подынтегральной функции содержится сингулярность. Это наблюдается у всех АК. В действительности все сингулярности взаимно сокращаются. Чтобы продемонстрировать это, все промежуточные преобразования будем проводить при условии, что y r r m1 . А в конечном выра жении, если какие-то члены, содержащие , еще останутся, подставим предел 0 . ( ) 1/2 0,1 0 0 3/2 0 0 0 0 02 3/2 0 0 0 2 sin( ) erf( ) +2 cos( ) ( 2 sin( ) cos( ) + 2 sin( ) cos( ) ) / ), D m m m A t k r p t t t k r i r t t k где 2 2 02 2 0 d 1 i erf(i ). p y p e y e i p y p Видно, что члены с 1 (стоят в круглых скоб ках) в АК 1,0 A сокращаются. Аналогично проис ходит и во всех остальных АК. ПРИЛОЖЕНИЕ 2 Табл. 1. Сравнение аберрационных коэффициентов для цилиндрического зеркала, полученных аналитическим (строка А) и численным (строка Ч) методами, при r0 = 5 мм, Py =1.818182 мм, Е = 157.46272 эВ, 0 43.5 Метод A2,0 A2,1 A2,2 A4,0 А 0.0083561879 –0.0151914388 0.0166378967 0.0115541034 Ч 0.0083561879 –0.0151914388 0.0166378967 0.0115541021 Метод A0,1 A0,2 A0,3 A0,4 А 0.0363159922 –0.0388008040 –0.3284181963 –0.0096111739 Ч 0.0363159922 –0.0388008040 –0.3284181961 –0.0096111742
О РАСЧЕТЕ АБЕРРАЦИОННЫХ КОЭФФИЦИЕНТОВ НАУЧНОЕ ПРИБОРОСТРОЕНИЕ, 2021, том 31, № 1 113 Табл. 2. Сравнение проекции траектории на ось Z при r0 = 5 мм, Py = 1.818182 мм, Е = 157.462 эВ, 0 43.5 для цилиндрического зеркала, полученной расчетом этой проекции по методу работы [3] (строка LzT ), подстановкой найденных аналитическим методов аберрационных коэффициентов в формулу (5) (строка Lzan) и численным (строка Lznu) методом. В верхней строке показаны последовательно 0 0 , 0 5 , 0 10 , 0 15 , 0 20 Метод 0 0 0 5 0 10 0 15 0 20 LzT 0.1276964045 0.1277028591 0.1277223066 0.1277550057 0.1278014140 Lzan 0.1276964045 0.1277028591 0.1277223066 0.1277549908 0.1278013284 Lznu 0.1276964045 0.1277028591 0.1277223066 0.1277549908 0.1278013284 Табл. 3. Сравнение проекции траектории на ось Z при r0 = 5 мм, Py = 1.818182 мм, Е = 157.462720 эВ, 0 43.5 для цилиндрического зеркала, полученной расчетом этой проекции по методу работы [3] (строка LzT ), подстановкой найденных аналитическим методов аберрационных коэффициентов в формулу (5) (строка Lzan) и подстановкой найденных численным методом аберрационных коэффициентов в формулу (5) (строка Lznu). В верхней строке показаны последовательно 0 10 , 0 5 , 0 , 0 5 , 0 10 Метод 0 10 0 5 0 0 5 0 10 LzT 0.1256153747 0.1266647232 0.1276964045 0.1286681971 0.1295377643 Lzan 0.1256153154 0.1266647215 0.1276964045 0.1286681983 0.1295377994 Lznu 0.1256153154 0.1266647215 0.1276964045 0.1286681983 0.1295377994 Табл. 4. Сравнение аберрационных коэффициентов для цилиндрического зеркала, полученных аналитическим (строка А) и численным (строка Ч) методами, при r0 = 10 мм, Py = 7.272727 мм, Е = 127.478 эВ, 0 41.04 Метод A2,0 A2,1 A2,2 A4,0 А 0.0063261255 –0.0097267032 0.0186543141 0.0025918275 Ч 0.0063261255 –0.0097267032 0.0186543144 0.0025918276 Метод A0,1 A0,2 A0,3 A0,4 А 0.0191871238 –0.0224070994 –0.2176317766 0.0521608189 Ч 0.0191871238 –0.0224070994 –0.2176317764 0.0521608189 Табл. 5. Сравнение проекции траектории на ось Z при r0 = 10 мм, Py = 7.272727 мм, Е = 127.478 эВ, 0 41.04 для цилиндрического зеркала, полученной расчетом этой проекции по методу работы [3] (строка LzT), подстановкой найденных аналитическим методов аберрационных коэффициентов в формулу (5) (строка Lzan) и численным методом (строка Lznu). В верхней строке показаны последовательно 0 0 , 0 5 , 0 10 , 0 15 , 0 20 Метод 0 0 0 5 0 10 0 15 0 20 LzT 0.0915553589 0.0915602417 0.0915749087 0.0915994157 0.0916338568 Lzan 0.0915553589 0.0915602417 0.0915749086 0.0915994153 0.0916338542 Lznu 0.0915553589 0.0915602417 0.0915749086 0.0915994153 0.0916338542
С. И. ШЕВЧЕНКО НАУЧНОЕ ПРИБОРОСТРОЕНИЕ, 2021, том 31, № 1 114 Табл. 6. Сравнение проекции траектории на ось Z при r0 = 15 мм, Py = 12.727273 мм, Е = 87.32 эВ, 0 37.35 для цилиндрического зеркала, полученной расчетом этой проекции по методу работы [3] (строка LzT), подстановкой найденных аналитическим методов аберрационных коэффициентов в формулу (5) (cтрока Lzan) и подстановкой найденных численным методом аберрационных коэффициентов в формулу (5) (строка Lznu). В верхней строке показаны последовательно 0 10 , 0 5 , 0 , 0 5 , 0 10 Метод 0 10 0 5 0 0 5 0 10 LzT 0.0904581366 0.0910097916 0.0915553589 0.0920664097 0.0925152784 Lzan 0.0904580635 0.0910097894 0.0915553589 0.0920664115 0.0925153325 Lznu 0.0904580635 0.0910097894 0.0915553589 0.0920664115 0.0925153325 Табл. 7. Сравнение аберрационных коэффициентов для цилиндрического зеркала, полученных аналитическим (строка А) и численным (строка Ч) методами, при r0 = 15 мм, Py = 12.727273 мм, Е = 87.32 эВ, 0 37.35 Метод A2,0 A2,1 A2,2 A4,0 А 0.0022050038 –0.0072969510 0.0295819374 0.0295819371 Ч 0.0022050038 –0.0072969510 0.0295819371 0.0024862935 Метод A0,1 A0,2 A0,3 A0,4 А 0.0074284139 –0.0088784501 –0.1244928874 0.0852010019 Ч .0074284139 –0.0088784501 –0.1244928870 0.0852010012 Табл. 8. Сравнение проекции траектории на ось Z при r0 = 15 мм, Py = 12.727273 мм, Е = 87.32 эВ, 0 37.35 для цилиндрического зеркала, полученной расчетом этой проекции по методу работы [3] (стро ка LzT), подстановкой найденных аналитическим методом аберрационных коэффициентов в формулу (5) (строка Lzan) и численным методом (строка Lznu). В верхней строке показаны последовательно 0 0 , 0 5 , 0 10 , 0 15 , 0 20 Метод 0 0 0 5 0 10 0 15 0 20 LzT 0.0537897179 0.0537914208 0.0537965472 0.0538051507 0.0538173209 Lzan 0.0537897179 0.0537914208 0.0537965472 0.0538051503 0.0538173191 Lznu 0.0537897179 0.0537914208 0.0537965472 0.0538051503 0.0538173191 Табл. 9. Сравнение проекции траектории на ось Z при r0 = 15 мм, Py = 12.727273 мм, Е = 87.32 эВ, 0 37.35 для цилиндрического зеркала, полученной расчетом этой проекции по методу работы [3] (стро ка LzT), подстановкой найденных аналитическим методов аберрационных коэффициентов в формулу (5) (трока Lzan) и подстановкой найденных численным методом аберрационных коэффициентов в формулу (5) (строка Lznu). В верхней строке показаны последовательно 0 10 , 0 5 , 0 , 0 5 , 0 10 Метод 0 10 0 5 0 0 5 0 10 LzT 0.0533718658 0.0535792439 0.0537897179 0.0539865923 0.0541544042 Lzan 0.0533717838 0.0535792415 0.0537897179 0.0539865945 0.0541544701 Lznu 0.0533717838 0.0535792415 0.0537897179 0.0539865945 0.0541544701
О РАСЧЕТЕ АБЕРРАЦИОННЫХ КОЭФФИЦИЕНТОВ НАУЧНОЕ ПРИБОРОСТРОЕНИЕ, 2021, том 31, № 1 115 СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 1. Шевченко С.И. О свойствах цилиндрического зеркала при учете электронов, имеющих азимутальную компоненту скорости. Распределение электронов вблизи выходной диафрагмы // Научное приборостроение. 2017. Т. 27, № 1. С. 90–101. URL: http://iairas.ru/mag/2017/abst1.php#abst15 2. Шевченко С.И. О свойствах цилиндрического зеркала при учете электронов, имеющих азимутальную компоненту скорости. Фокусировка и линия фокусов // Научное приборостроение. 2017. Т. 27, № 3. С. 81–89. URL: http://iairas.ru/mag/2017/abst3.php#abst10 3. Шевченко С.И. Об аналитическом решении уравнения движения электронов в цилиндрическом зеркале при учете электронов, имеющих азимутальную компоненту скорости // Научное приборостроение. 2019. Т. 29, № 2. С. 109–117. URL: http://iairas.ru/mag/2019/abst2.php#abst14 4. Зашквара В.В., Корсунский М.И., Лавров В.П., Редь кин В.С. О влиянии конечного размера источника на фокусировку пучка заряженных частиц в электростатическом спектрометре с цилиндрическим полем // ЖТФ. 1971. Т. 41, № 1. С. 187–192. 5. Сар-Эль Х.З. Анализатор типа цилиндрического зер кала с входной и выходной щелями на поверхности электрода. I. Нерелятивистский случай // Приборы для научных исследований. 1971. Т. 42, № 11. С. 43–48 (первоисточник англ.). DOI: 10.1063/1.1684948 6. Аксела С. Аппаратная функция цилиндрического ана лизатора энергий электронов // Приборы для научных исследований. 1972. Т. 43, № 9. С. 122–128 (первоисточник англ.). DOI: 10.1063/1.1685923 7. Дрейпер Д.Е., Ли Ч.-И. Характеристики анализатора типа цилиндрического зеркала с геометрией "кольцо ось", "ось-ось" и n = 1.5 при конечных размерах источника и щели для углов средней траектории 30°…65° // Приборы для научных исследований. 1977. Т. 48, № 7. С. 138–154 (первоисточник англ.). DOI: 10.1063/1.1135170 8. Дубинов А.Е., Дубинова И.Д., Сайков С.К. W-функция Ламберта и ее применение в математических задачах физики. Учеб. пособие для вузов. Саров: ФГУП, "РФЯЦ-ВНИИЭФ", 2006. 160 c. 9. Зашквара В.В., Корсунский М.И., Космачев О.С. Фо кусирующие свойства электростатического зеркала с цилиндрическим полем // ЖТФ, 1966, т. 36, вып. 1. С. 132–137. 10. Абрамовиц В.А., Стиган И. Справочник по специаль ным функциям. М.: Наука, 1979. 830 с. Институт аналитического приборостроения РАН, Санкт-Петербург Контакты: Шевченко Сергей Иванович, nyro2@yandex.ru Материал поступил в редакцию 30.12.2020