Нелинейные волновые процессы

МИНИСТЕРСТВО НАУКИ И ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего образования «ЮЖНЫЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

             Инженерно-технологическая академия




            А. П. ВОЛОЩЕНКО
С. П. ТАРАСОВ П. П. ПИВНЕВ




            НЕЛИНЕЙНЫЕ
            ВОЛНОВЫЕ ПРОЦЕССЫ



Учебное пособие












                   Ростов-на-Дону - Таганрог
        Издательство Южного федерального университета
2020

УДК 534.222
ББК 32.875
     В686
Печатается по решению кафедры электрогидроакустической и медицинской техники Института нанотехнологий, электроники и приборостроения Южного федерального университета (протокол № 21 от 5 февраля 2020 г.)

Рецензенты:
начальник отдела, главный конструктор АО «НИИП им. В. В. Тихомирова», кандидат технических наук А. В. Скнаря генеральный директор ООО «УльтраНК», кандидат технических наук
И. Г. Деренский
     Волощенко, А. П.
В686 Нелинейные волновые процессы : учебное пособие / А. П. Воло-щенко, С. П. Тарасов, П. П. Пивнев ; Южный федеральный университет. - Ростов-на-Дону ; Таганрог : Издательство Южного федерального университета, 2020. - 114 с.
        ISBN 978-5-9275-3572-9
        В учебном пособии изложены результаты теории и практики нелинейных акустических волн, а также сведения об основных нелинейных характеристиках, сопровождающих распространение этих волн. Приведены примеры и задачи по расчету характеристик нелинейных параметрических антенн.
        Пособие предназначено для студентов, обучающихся по направлениям 12.04.01 «Приборостроение», 12.04.04 «Биотехнические системы и технологии», а также научных работников по специальностям 01.04.06 «Акустика» и 05.11.06 «Акустические приборы и системы».
УДК 534.222
ББК 32.875
ISBN 978-5-9275-3572-9



                                 © Южный федеральный университет, 2020
                                 © Волощенко А. П., Тарасов С. П.,
                                   Пивнев П. П., 2020
                                 © Оформление. Макет. Издательство
                                   Южного федерального университета, 2020

СОДЕРЖАНИЕ


ВВЕДЕНИЕ.......................................................... 6
1. УРАВНЕНИЯ ГИДРОДИНАМИКИ И ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ............................................................ 12
  1.1. Уравнение Навье - Стокса. Уравнение непрерывности......... 12
  1.2. Уравнение состояния....................................... 13
  1.3. Закон сохранения импульса. Радиационное напряжение.        15
2. УРАВНЕНИЯ НЕЛИНЕЙНОЙ АКУСТИКИ. РАСПРОСТРАНЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ ВОЛН............................................ 20
  2.1. Числа Маха и Рейнольдса. Малые параметры.................. 20
  2.2. Уравнение нелинейной акустики с точностью до квадратичных членов..................................................... 21
  2.3. Метод медленно изменяющегося профиля. Уравнение Хохлова - Заболотской - Кузнецова для звуковых пучков............. 24
  2.4. Плоские нелинейные волны.................................. 26
   2.4.1. Уравнение Бюргерса..................................... 26
   2.4.2. Решение уравнения Бюргерса для малых чисел Рейнольдса 26
   2.4.3. Решение уравнения Бюргерса. Эффект «насыщения» ....   27
   2.4.4. Развитие нелинейных эффектов при больших числах Рейнольдса ................................................... 29
   2.4.5. Распространение нелинейных волн после образования разрыва ...................................................... 31
   2.4.6. Гармонический        состав волн конечной амплитуды ... 32
   2.4.7. Затухание волн конечной амплитуды ..................... 35
   2.4.8. Отражение волны конечной амплитуды от границы раздела ...................................................... 36
  2.5. Сферические и цилиндрические одномерные волны конечной амплитуды.................................................. 38
  2.6. Волны в средах с      дисперсией.......................... 39
   2.6.1. Уравнение Кортевега - де Вриза......................... 40
   2.6.2. Метод последовательных приближений для уравнения КДВ    41
   2.6.3. Стационарное решение уравнения КДВ. Солитоны .......... 43
   2.6.4. Волны на поверхности жидкости конечной глубины ..     45

3

Содержание

   3. ПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ..................... 47
   4. ПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ АНТЕННЫ............................ 52
    4.1. Модель излучающей и приемной антенн. Общие сведения ... 52
    4.2. Теория излучающей параметрической антенн........ 55
      4.2.1. Решение уравнения ХЗК методом последовательных приближений........................................ 55
      4.2.2. Осевое распределение амплитуды и фазы волны разностной частоты.................................... 59
      4.2.3. Диаграмма направленности.................... 61
      4.2.4. Амплитудные характеристики.................. 64
    4.3. Параметрическая антенна в режиме излучения сложных сигналов ............................................ 65
      4.3.1. Передача ЛЧМ-сигналов....................... 66
      4.3.2. Самодетектирование акустических импульсов... 67
    4.4. Влияние плоских отражающих границ .............. 68
      4.4.1. Особенности расчета поля ВРЧпри отражении... 68
      4.4.2. Анализ характеристик излучающей антенны при отражении                                               70
    4.5. Устройство излучающих параметрических антенн и некоторые особенности измерения их характеристик .......... 73
    4.6. Приемные параметрические антенны ............... 74
    4.7. Применение параметрических антенн .............. 77
   5. ЗАДАЧИ ПО РАСЧЕТУ ОСНОВНЫХ ХАРАКТЕРИСТИК ПАРАМЕТРИЧЕСКОЙ АКУСТИЧЕСКОЙ АНТЕННЫ ................. 79
    5.1. Общие сведения ................................. 79
    5.2. Соотношения для аналитического расчета акустического тракта параметрического излучателя .................. 82
    5.3. Расчет характеристик параметрического излучателя по номограммам ........................................... 83
      5.3.1. Основные параметры нелинейного акустического излучателя                                                84
      5.3.2. Некоторые особенности расчета и вопросы оптимизации параметрических излучателей............................ 85

4

Содержание

   5.3.3. Порядок расчета звукового давления ВРЧ в ближней зоне на оси излучателя по номограммам............... 88
   5.3.4. Порядок расчета звукового давления ВРЧ в дальней
   зоне (х > Ld) на оси излучателя с учетом затухания по номограммам .......................................... 90
   5.3.5. Порядок расчета ширины характеристики направленности параметрического излучателя................... 92
  5.4. Пример численного расчета типового задания...... 94
   5.4.1. Расчет максимального уровня ВРЧ и амплитудно-частотной характеристики параметрического излучателя.   95
   5.4.2. Расчет осевого распределения звукового давления параметрического излучателя............................. 98
   5.4.3. Расчет ширины характеристики направленности сигнала разностной частоты по уровню 0,7 в рабочем диапа   зоне частот........................................ 100
  5.5. Задания по расчету акустического тракта нелинейных параметрических излучателей............................. 101
ЗАКЛЮЧЕНИЕ............................................ 108
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ..................................... 110

ВВЕДЕНИЕ

      Волновое движение - одно из наиболее распространенных видов движения в природеолной называют периодическое или почти периодическое изменение в пространстве и времени некоторых параметров, например, смещения из положения равновесия, напряженности электрического поля и др. Однако это определение неполно и неточно. При распространении волны возможна ситуация, при которой периодичность во времени существует, но может не быть её в пространстве. Волна совсем не обязательно периодична в пространстве и времени. Более того, строго периодическая во времени волна является экспериментально не реализуемой моделью идеального монохроматического излучения. Возможны уединенные волны, импульсы [1-10].
      Волной в общем случае следует считать возмущение некоторого параметра (состояния среды), распространяющееся относительно среды с некоторой скоростью и переносящее энергию. Однако это определение хотя и охватывает значительно больше случаев, чем предыдущее, не является исчерпывающим. Например, в идеальной стоячей волне переноса энергии нет, вместе с тем это типично волновой процесс. Волны характеризуются:
      1.      Величинами, которые меняются в процессе распространения волны. Для упругих волн это может быть смещение из положения равновесия элемента среды (колебательное смещение, колебательная скорость, сжатие, избыточное давление); для электромагнитных волн - колебание напряженности электрического и магнитного полей; для спиновых волн -отклонение от равновесного положения вектора спонтанного намагничения. В плазменных волнах это может быть колебание плотности электронов и ряд других процессов.
      В настоящее время известно большое число различных физических процессов, которые могут иметь волновой характер [1-10]. В средах со сложными физическими свойствами при определенных условиях изменение в пространстве и времени акустических величин (смещения, колебательной скорости, давления) может сопровождаться волновым изменением других физических параметров. В этом случае говорят о связанных волнах. Например, в ферромагнетиках таким параметром является спонтанное

6

Введение

намагничение, меняющееся из-за магнитострикционного эффекта под действием давления; при этом возникает магнитоупругая волна. В полупроводниках с пьезоэффектом акустическая волна вызывает возникновение переменного электрического поля, воздействующего на носители заряда; при этом возникает акустико-электронная волна.
      2.       Спектрами временными и «пространственными». Более привычно понятие временного спектра (амплитудного и фазового) - набора идеальных монохроматических волн разных частот т с различными амплитудами и фазами, суперпозиция которых дает заданный волновой процесс. Для получения временного спектра (т-спектра) необходимо разложить волну в данной точке пространства в ряд (для периодических процессов) или интеграл Фурье по времени. Временной спектр для нелинейных волн в разных точках пространства может быть разным [1-10].
      Менее привычно понятие «пространственного» спектра. Неплоская волна может быть представлена в виде суперпозиции плоских волн с различными волновыми векторами к.. Такое представление волны векторами к и является по существу её «пространственным» спектром. Если говорить о временном спектре, то строго монохроматическая волна, как уже отмечалось, не является реальным объектом. Аналогично волна с «монохроматическим» пространственным спектром, т.е. плоская волна, является идеализацией, так как по определению фронт плоской волны неограничен. В реальных условиях к - и т-спектры волны, хотя и могут быть в достаточной мере узкими, все же не идеально «монохроматичны».
      3.       Скоростью. Для волновых процессов может быть введено несколько различных определений скорости. Скорость перемещения данной фазы волны относительно среды называется фазовой скоростью. Скорость перемещения максимума цуга волн с достаточно узким временным спектром называют групповой скоростью. В среде без дисперсии групповая скорость совпадает с фазовой. Понятие фазовой и групповой скорости, вообще говоря, применимо лишь для линейных волн. Для нелинейных волн эти понятия должны быть расширены [1-10].
      4.       Когерентностью. Это понятие введено в оптике, где излучение является случайным процессом. В акустике понятием когерентности обычно не пользуются, так как источники акустического излучения, как правило, в

7

Введение

достаточной мере когерентны. В оптике временная некогерентность возникает в результате того, что излучение длятся ограниченное время, что приводит к ограниченному цугу волн и, следовательно, к излучению не строго монохроматической волны. Обычно считают излучение близким к импульсному, если полуширина полосы излучаемых частот Av = 1/т (где т - время когерентности; I = ст - длина когерентности). Поэтому такое излучение имеет не только временную, но и пространственную некогерентность (непостоянную разность фаз в различных точках пространства) [1-10].
      5.      Характеристиками среды, реакцией её на возмущение. Выше уже говорилось о фазовой скорости, которая определяется физическими особенностями процесса, стремящегося вернуть выведенную из состояния равновесия систему в равновесие. Необходимо отметить, что неравновесный характер волнового процесса приводит к диссипативным потерям -поглощению волн [1-10].
      Реакцией среды на возмущение определяется также дисперсия - зависимость фазовой скорости распространения от частоты или волнового числа. Дисперсия связана с тем, что энергия возмущения посредством различных механизмов может передаваться на «внутренние» степени свободы, частично превращаясь в тепло, а частично возвращаясь в регулярное волновое движение.
      Различают временную и пространственную дисперсию. При временной дисперсии среда в данной точке «запоминает» состояние более раннего момента времени. При пространственной дисперсии состояние в данной точке зависит от состояний в соседних точках в один и тот же момент времени. Например, пространственную дисперсию имеют короткие волны на поверхности жидкости - капиллярные волны. Упругая сила, возникающая при поднятии (или опускании) поверхности, в этом случае определяется силами поверхностного натяжения, зависящими от кривизны поверхности и, следовательно, от состояния поверхности не только в данной, но и в соседних точках.
      Дисперсия может определяться как внутренними процессами в среде, так и геометрическими особенностями волновода, в котором распространяется волна. В последнем случае дисперсию называет геометрической. Примером последней может быть распространение звука в волноводах, в частности в стержнях. Влияние боковой границы приводит в области 8

Введение

низких частот dJX « 1 (где d - диаметр стержня; X - длина волны) к значительной дисперсии.
      6.       Стационарностью. Стационарной волной называют волну, которая не меняет своей формы по мере распространения. Для такой волны переход от координат t и г к координатам г и р = Mt — кг, где ю - круговая частота; к - волновой вектор, |к| = w/c₀; cо - фазовая скорость волны, приводит к тому, что при р =    t (в сопровождающей системе координат) форма волны не изменяется. Например, обычная волна малой амплитуды в акустике v = v₀sin(wt----кх) стационарна. Волны конечной амплитуды в акустике, как правило, нестационарны, однако можно ввести медленно меняющийся параметр, определяющий изменение формы волны. Пилообразная волна относительно стационарна в определенной области (совместное действие вязкости и нелинейности) [1-10].
      Известные в настоящее время стационарные волны формируются под действием нелинейности и дисперсии, поскольку нелинейность приводит к увеличению крутизны фронта, в то время как дисперсия, наоборот, «размывает» фронт. Таким образом, все нелинейные волны можно разделить на два класса: стационарные и нестационарные. Нестационарные волны при распространении меняет свою форму.
      Естественно, что к волнам применимо понятие об устойчивости к малым внешним возмущениям амплитуды и фазы. Реализоваться в экспериментальных условиях могут лишь устойчивые волны.
      Развитие ряда областей физики, связанных с волновыми процессами (акустики, радиофизики, оптики, теории плазмы), и требования современной науки и техники привели к чрезвычайному увеличению мощностей волн. Если порог слышимости соответствует звуковому давлению 2 • 10⁻⁵ Н/м², то в современной гидроакустике нередки звуковые давления порядка десятков и сотен атмосфер (т.е. на 11-12 порядков больше). С другой стороны, развитие экспериментальной техники способствовало обнаружению нелинейных аспектов при условиях, которые еще недавно считаясь «вполне линейными».
      Бурное развитие применения мощных волн в различных областях физики способствовало рождению её нового раздела: теории нелинейных волн. Как выяснилось, нелинейные процессы в ряде физически совершенно разнородных случаев подчиняются одним и тем же уравнениям. Что, например,

9

Введение

может быть общего между генерацией второй оптической гармоники в нелинейном кристалле и генерацией второй гармоники в капиллярной волне? Условия, казалось бы, совершенно различные: в первом случае - электромагнитная волна и твердое тело. В другом случае - волна, для которой упругой силой является сила поверхностного натяжения.
      Однако законы генерации второй гармоники при дисперсии (в обоих случаях она есть) одинаковы, поэтому оба процесса имеют много общего. Таким образом, отвлекаясь от физической природы волны, а также от конкретных условий в среде, определяющих несущественные особенности распространения, можно получать общие закономерности распространения нелинейных волн. Следует отметить, что теория нелинейных волн -отнюдь не первый случай единого рассмотрения широкого класса явлений из разных разделов физики. Близкими примерами этого могут быть теория колебания систем с ограниченным числом степеней свободы, а также теория линейных волн, где акустические и электромагнитные волны могут рассматриваться с единой точки зрения [1-10].
      Теория нелинейных волн находит более глубокое сходство между различными типами волновых процессов. Результаты развития теории нелинейных волн необходимы в целом ряде приложений: например, при исследовании морского волнения, неустойчивости плазмы, тепловых колебаний кристаллической решетки, формирования электромагнитных сигналов заданной формы (коротких импульсов), создании параметрических устройств и т.д. Области приложения нелинейной теории волн чрезвычайно разнообразны и в дальнейшем, вероятно, будут расширяться [11-23].
      Характерной особенностью нелинейных волн является нарушение принципа суперпозиции. Принцип суперпозиции в общем случае утверждает, что если существуют какие-то два поля, характеризуемые величинами ф 1 и ф2, то можно осуществить и поле ^1 + ^2.
      Как известно, принцип суперпозиции широко используется в линейной теории волн. Например, принцип Гюйгенса основан на принципе суперпозиции излучения гюйгенсовских источников. В решении дифракционных задач также широко используется принцип суперпозиции. Представление звуковых полей в виде временных рядов Фурье или в виде разложения по плоским волнам предполагает выполнение принципа суперпозиции. Однако в случае нелинейных волн поле одной из них так изменяет свойства среды,

10

Введение

что результирующее поле не может быть уже представлено в виде суммы. Волны начинают нелинейно взаимодействовать. Причиной взаимодействия является изменение свойств среды для одной из волн под действием другой. Принципиально возможно взаимодействие любого числа волн. Простейшим случаем является взаимодействие двух волн, в результате которого возникает третья волна, т.е. трехволновое взаимодействие. Невозможность использования принципа суперпозиции в существенной мере затрудняет решение нелинейных волновых задач, например задач о дифракции или о колебаниях ограниченных объемов, когда возникают стоячие волны, и заставляет искать новые пути решения этих проблем [24-34].

1. УРАВНЕНИЯ ГИДРОДИНАМИКИ И ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ

      В акустике длина волны намного больше, чем характерные межатомные расстояния. Поэтому используются уравнения механики сплошных сред. Основные уравнения механики сплошных сред нелинейны, они имеют разный вид в эйлеровых координатах. В эйлеровых координатах движение описывается в координатах неподвижного пространства. В лагранжевой системе координаты рассматриваемых точек связаны с движущимися элементами среды [1, 24, 28, 29, 31, 32, 34, 35].

1.1. Уравнение Навье - Стокса. Уравнение непрерывности

      Уравнения гидродинамики в эйлеровых координатах имеют следующий вид:
      1. Уравнение движения Навье - Стокса
р ди + p(uV)u = -Vp + nAu + (? + п) VVu.     (1)
      2. Уравнение непрерывности
d^ + V(pv) = 0.                   (2)
      Здесь р - плотность среды; v - скорость; p - давление; п, £ — соответственно сдвиговая и объемная вязкость среды.
      Система (1)-(2) - это четыре уравнения для пяти неизвестных (р, p, Ux, Uy, Uz). Система неполная и должна быть дополнена уравнением состояния.
      Иногда систему (1)-(2) дополняют уравнением сохранения энергии, учитывая, что количество тепла, выделяемое в системе в результате диссипативных процессов, равно произведению изменения энтропии S на температуру среды T:

       ' ££ + ₍₅₇₎х] . I ','■■,<.⁽Vⁱ⁾ ■ f(VS)2 ⁺ ZWT,     (3)
где х - коэффициент теплопроводности; dik - символ Кронекера.

12

1.2. Уравнение состояния

      Добавление уравнения (3) не улучшает ситуацию разрешимости системы уравнений (1)-(2), так как добавляются еще две неизвестные функции: энтропия - 5 и температура T. Требуется учесть еще термодинамические условия движения жидкости, из которых может быть получено уравнение состояния. Система уравнений (1)-(3) нелинейна.

1.2. Уравнение состояния

      Уравнение состояния для газов и жидкостей описывает зависимость между плотностью р, давлением p и энтропией 5 в среде.
      В звуковой волне при быстрых изменениях плотности не успевает происходить процесс переноса тепла между участками сжатия и растяжения. В этом случае движение изоэнтропично.
      Для газов при этом можно пользоваться адиабатическим уравнением состояния Пуассона:

р=ро(£ь                           ⁽⁴⁾
где p0 - невозмущенное давление; р0 - невозмущенная плотность среды; у = Cₚ/Cᵥ - отношение теплоемкости при постоянном давлении к теплоемкости при постоянном объеме.
      Если нужно учесть поглощение звука, то вместо выражения (4) в одномерном случае может быть использовано модельное уравнение, дополненное диссипативным членом:

V = Vo⁽^ — bTz ⁽⁵⁾
      Здесь b = 4^ + ^ + x(1/Cᵥ — 1/Cₚ) - диссипативный коэффициент среды, учитывающий кроме вязкости еще и теплопроводность. Добавочное диссипативное напряжение в уравнении (5) пропорционально ~ dv/dz, так как вязкость и теплопроводность проявляются, когда есть градиент скорости.
      Уравнение (4) справедливо для газов. Теория жидкого состояния до конца не разработана и не позволяет получить точное уравнение состояния. Однако имеется довольно много полуэмпирических и эмпирических уравнений состояния, удовлетворительно описывающих экспериментальные

13