Книжная полка Сохранить
Размер шрифта:
А
А
А
|  Шрифт:
Arial
Times
|  Интервал:
Стандартный
Средний
Большой
|  Цвет сайта:
Ц
Ц
Ц
Ц
Ц

Математические методы в экономике : методы и модели финансовой математики

Покупка
Артикул: 755836.01.99
Доступ онлайн
2 000 ₽
В корзину
При реализации инвестиционных проектов, основной проблемой является их финансирование. В данной работе рассмотрены основные аспекты привлечения заемных средств при различных схемах финансирования. Приведены основные расчетные формулы, представлены рекомендации по повышению финансовой устойчивости предприятия. Пособие предназначено для студентов специальности 060800, изучающих курс «Финансовый менеджмент», а также может быть полезно при выполнении дипломного проекта.
Рожков, И. М. Математические методы в экономике : методы и модели финансовой математики : учебное пособие / И. М. Рожков, В. И. Сычев. - Москва : ИД МИСиС, 2002. - 48 с. - Текст : электронный. - URL: https://znanium.com/catalog/product/1281204 (дата обращения: 28.03.2024). – Режим доступа: по подписке.
Фрагмент текстового слоя документа размещен для индексирующих роботов. Для полноценной работы с документом, пожалуйста, перейдите в ридер.
№1778 

Кафедра экономики и менеджмента 

И.М. Рожков, В.И. Сычев 

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ 
В ЭКОНОМИКЕ 

Методы и модели финансовой математики 

Учебное пособие 

для студентов специальности 060800 

Рекомендовано редакционно-издательским 
советом института 

МОСКВА 2002 

УДК 519.86 
Р63 

Рожков И.М., Сычев В.И. 

Р63 
Математические методы в экономике: Методы и модели 

финансовой математики: Учебное пособие.- М.: МИСиС, 
2002. - 48 с. 

При реализации инвестиционных проектов, основной проблемой является их финансирование. В данной работе рассмотрены основные аспекты 
привлечения заемных средств при различных схемах финансирования. Приведены основные расчетные формулы, представлены рекомендации по повышению финансовой устойчивости предприятия. 

Пособие предназначено для студентов специальности 060800, изучающих курс «Финансовый менеджмент», а также может быть полезно при выполнении дипломного проекта. 

© Московский государственный институт 
стали и сплавов (Технологический 
университет) (МИСиС), 2002 

ОГЛАВЛЕНИЕ 

1. Финансовые вычисления на основе простых процентов 
4 

2. Финансовые вычисления на основе сложных и смешанных 

процентов 
7 

3. Дисконтирование 
10 

4. Принцип эквивалентности процентных ставок 
15 

5. Наращение процентов в условиях инфляции 
18 

6. Денежные потоки и их использование в инвестиционном 

анализе 
20 

7. Модели управления финансами предприятия 
30 

8. Контрольные вопросы 
36 

9. Контрольные задания 
42 

10. Литература 
46 

1. ФИНАНСОВЫЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ 
НА ОСНОВЕ ПРОСТЫХ ПРОЦЕНТОВ 

Начисление простых процентов осуществляется дискретно за месяц, квартал, полугодие, год. Наращенная денежная сумма S 
при использовании простых процентов имеет вид 

S = S0(1 + ni), 

где i - процентная ставка за период наращения; 
n - время, годы. 

Доход кредитора (процентный платеж) определяется соотношением 

I = S - S0 = S0ni. 

С учетом различий в измерении временной базы используют 
три типа простых процентов: 

–обыкновенные проценты с приближенным числом дней 
пользования ссудой (год принимается за 360 дней, а любой месяц - за 30 дней); 

– обычные проценты с точным числом дней ссуды (год принимается за 360 дней, а срок, на который выбрана ссуда, определяется по календарю); 

– точные проценты с точным числом дней ссуды. 
Формулы для расчета наращенной денежной суммы в каждом 
из указанных случаев имеют вид 

S =S0 1н 
i ; 

I 
360 

S — S0 

360 

у 
365 J 

где dприбл и d™,H - соответственно приближенное и точное число дней 
ссуды. 

Затем осваивают простейшие коммерческие расчеты: определение величины задолженности с использованием переменной став
4 

; 

ки процентов; при пользовании ломбардным кредитом; составление 
плана погашения краткосрочного кредита при начислении процентов 
на остаток долга; установление наиболее выгодного способа погашения долга. 

При использовании переменной ставки процентов формула 
для определения наращенной суммы имеет вид 

S = S0(1 + n1 i1 + n2i2 + ... + nkik), 

где n 1, n2, ..., nk - рассматриваемые периоды времени; 
i1, i2, ..., ik - процентные ставки. 

Ломбардным называется кредит, который заемщик должен 
обеспечивать ценными бумагами или материальными ценностями. 
Сумма кредита обычно рассчитывается, исходя из 75 - 80 % текущей 
курсовой стоимости ценных бумаг, предоставляемых в залог. При 
выдаче ломбардного кредита на короткий отрезок времени процентный платеж часто изымается сразу при выдаче кредита. Изымаются 
также затраты банка по обслуживанию кредита. 

Потребительский кредит- 
одна из наиболее распространенных форм кредитования населения, стимулирования спроса на 
товары, которые население не могло бы приобрести только за заработную плату. Процентный платеж за пользование краткосрочным 
потребительским кредитом определяется следующим образом. Для 
первого месяца он рассчитывается на всю величину долга, а для каждого следующего - на остаток. Общая величина выплат процентов за 
пользование таким кредитом в течение m месяцев 

/ = 
Spi 

12-100 ...-Щ.-Ц....Ц-^[^.. 
т) 
У 
т) 
т 
т 

-т, 
2 

где S0 - сумма кредита; 

i - годовая процентная ставка. 

Необходимо уметь составлять план погашения кредита 

(амортизационный план). Предположим, что кредит выдан на 6 месяцев. Тогда процентный платеж 1-го месяца I1 = S 0 i ; 

1200 

1200 С 
e)""^'^" 

второго месяца - /j = 

5 

шестого месяца - /g = j V 

1200^ 
Общая величина процентных платежей составит 

6j 

S0 i f 1 
1200 i^6 

• 6 . 

Например, для долга, равного 12 000 ден. ед., при i = 12 % годовых амортизационный план погашения кредита, выданного на 
шесть месяцев имеет вид: 

Месяц 

1-й 
2-й 
3-й 
4-й 
5-й 
6-й 

Итого 

Долг 
10 000 
8 000 
6 000 
4 000 
2 000 

– 
– 

Процентный платеж 

120 
100 
80 
60 
40 
20 
420 

Выплата долга 

2 000 
2 000 
2 000 
2 000 
2 000 
2 000 
12 000 

Месячный взнос 

2 120 
2 100 
2 080 
2 060 
2 040 
2 020 
12 420 

При выплате кредита равными долями ежемесячный взнос 
составил бы 12 420 : 6 = 2 070 ден. ед. 

Девизы - платежные и кредитные документы (векселя, чеки, 
переводы), выраженные в иностранной валюте. В более широком 
смысле девизы - не только платежные документы, но и сама иностранная валюта. Вопросы установления курса девиз и выбора их вида с целью наиболее выгодного погашения долга освещены в литературе [2]. В качестве математического аппарата здесь применяются 
обычные пропорции, цепные подстановки. 

6 

2. ФИНАНСОВЫЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ 

НА ОСНОВЕ СЛОЖНЫХ 

И СМЕШАННЫХ ПРОЦЕНТОВ 

Операция реинвестирования заключается в том, что после 
начисления процентов полученную сумму присоединяют к исходной 
величине и далее вновь начисляют проценты. При использовании 
реинвестирования наращенная сумма вычисляется по формуле 

S = S0 (1 + n1i1) (1 + n2i2) ... (1 + nkik), 

Где n1, n2, ..., nk - продолжительность периодов наращивания денег; 
i1, i2, ..., ik - ставки, при которых происходит реинвестирование. 

При равных периодах начисления и ставках: 

S = S0 (1 + ni)k , 

где k - число операций реинвестирования. 

Реинвестирование позволяет лучше понять суть вычислений 
при начислении сложных процентов. Следует убедиться в том, что 
операция реинвестирования всегда выгодна вкладчику, сопоставив 
результаты расчета наращенной денежной суммы по формуле простых процентов и с использованием реинвестирования за один и тот 
же период времени. 

Затем переходят к изучению двух способов начисления 
сложных процентов: декурсивного (последующего) и антисипативного(предварительного). 

Декурсивное начисление сложных процентов - начисление и 
добавление процентного платежа к капиталу в конце каждого периода - является традиционным для отечественной практики. При этом 
наращенная денежная сумма определяется по формуле 

S = S 0(1 + i ) n. 

Изменение ставки сложных процентов для различных периодов времени n 1, n2, ..., nk приводит к следующей формуле для определения наращенной суммы: 

s^s,{\+i,r{\ 
+ i,y\..{\+i,) "к 

При антисипативном расчете процентный платеж начисляется в начале каждого периода. Сумму капитала S0 В начале расчетного периода можно представить как разницу между суммой S 1 в 
конце расчетного периода и процентным платежом на сумму S1, вычисленным антисипативно: S0 = S1 - S1i. 

Отсюда S1 = S0 / (1 - i), аналогично S2 = S1 / (1 - i) = S0 / (1 - i)n 
и т.д. В итоге после n-го шага получим: S = S0 / (1 - i)n. 

С помощью соответствующих расчетов желательно убедиться, что при антисипативном способе начисления сложных процентов 
получается больший доход, чем при декурсивном. Заметим, что в 
мировой практике антисипативный способ расчета используется в 
условиях высокой инфляции. 

Далее в основном уделяется внимание декурсивному способу 
начисления сложных процентов. Нужно уметь рассчитывать наращенную денежную сумму при периодах начисления процентов месяц, квартал, год, а также при непрерывной капитализации, оценивать период удвоения исходной суммы при использовании простых и 
сложных процентов. 

Начисление процентов может осуществляться не один, а несколько раз в году. В этом случае оговаривается номинальная ставка 
процентов iном - годовая ставка, по которой определяется величина 
ставки процентов, применяемой на каждом интервале начисления. 

Формула для расчета наращенной суммы при начислении 
сложных процентов m в году имеет вид 

S = S0(1 + i^Q^/ m) mn. 

Таким образом, при ежемесячном начислении процентов 
данная формула будет иметь вид 

S = S0(1 + iном / 12)12 n, 

а при ежеквартальном S = S0(1 + iном / 4)4 n . 

Желательно сопоставить результаты расчета наращенной 
суммы по простым и сложным процентам при их непрерывном и 
дискретном исчислении. 

Необходимо также сопоставить результаты начисления простых 
и сложных процентов для периодов менее и более года и убедиться, что 
при периоде менее года использование простых процентов более выгодно вкладчику, чем сложных. Если же кредит выдает банк, то для периода менее года ему также более выгодно использование простых 
процентов. 

8 

в то же время существует практика, в соответствии с которой 
крупные коммерческие структуры для дополнительного смягчения 
условий сделок выдают предприятиям своей системы кредиты на 
срок более года под простые проценты. 

При расчете периода удвоения денежных сумм поступают 
следующим образом. В случае простых процентов рассматривают 
равенство (1+ ni) = Nраз. Отсюда nороет = (N - 1) / i и при N = 2 
nпрост = 1 / i. В случае сложных процентов пользуются соотношением 
(1 + i)n = Nраз. Тогда nслож = lgN / lg(1 + i ) и для периода удвоения 
(N = 2) получим: nслож = lg2 / lg(1 + i). Для i = 1 периоды удвоения, 
рассчитанные для случаев простых и сложных процентов, совпадают 
и равны одному году: 

nпрост = 1 / 1 = 1; nслож = lg2 / lg2 = 1. 

Далее рассмотрим смешанные проценты, которые используются для расчета наращенной денежной суммы за дробное число лет. 
По формуле смешанных процентов наращенная денежная сумма 
оценивается следующим образом: 

ScMeni = S 0(1 + i ) a(1 + 
bi), 

где a - целое число лет; 
b - дробная часть года. 

Понятно, что Sсмеш большс наращснной суммы, вычисленной 
по формуле сложных процентов, S,,,^ = S0(1 + i) a+b , поскольку 
(1 + bi) > (1 + i)b при b < 1. 

В расчетах с дробным числом лет может применяться номинальная годовая ставка процентов iHOM- В этом случае наращенная 
сумма может определяться либо по формуле сложных процентов: 

Sслож=S01 
+ ^
1 
f 1 + 
^
l
, 

1^ 
m ) 
\ 
m ) 

либо по смешанному методу: 

/ 
i 
\ 
m
a 
/ 
b i 

i^ 
m ) 
\ 
m 

9 

3. ДИСКОНТИРОВАНИЕ 

В финансовой практике часто сталкиваются с задачей, обратной определению наращенной суммы: по заданной сумме S, которую 
следует уплатить через некоторое время, определить сумму полученной ссуды SQ . Такая ситуация может возникать, например, при разработке условий контракта. Кроме того, задача расчета S^ и S возникает и тогда, когда проценты с суммы удерживают непосредственно при выдаче ссуды. В этом случае говорят, что сумма S дисконтируется. Сам процесс начисления и удержания процентов называется 
учетом, а разность S - SQ - дисконтом. 

Исходя из целей дисконтирования и вида ставки применяют 
четыре способа расчетов: 

- 
математическое дисконтирование (простая ставка процентов); 

- 
банковский учет (простая учетная ставка); 

- 
дисконтирование по сложной ставке (сложная ставка 
процентов); 

- 
банковский учет (сложная учетная ставка). 

С этими способами связаны соответственно следующие методы определения наращенной денежной суммы: 

- 
расчет по формуле простых процентов; 

- 
наращение суммы по простой учетной ставке; 

- 
расчет по формуле сложных процентов; 

- 
наращение суммы по сложной учетной ставке. 

Кроме того, используется одновременное начисление простых процентов и учет по простой учетной ставке. 

Изучение темы начинают с обсуждения понятия «дисконтирование», с одной стороны, как термина, эквивалентного понятию 
«учет векселей», а с другой стороны, как операции, применяемой при 
приведении денежных сумм к одному и тому же моменту времени, в 
частности, к начальному. 

Затем следует изучить операцию математического дисконтирования; освоить традиционные расчеты, которые необходимы при 
разработке условий сделки [1]: определение номинальной величины 
векселя, ставки, сроков ссуды. 

10 

Простейший способ определения номинальной величины векселя сводится к следующему. Предположим, что предприятие выдало 
т векселей для получения некоторой денежной суммы 5*0 . Па первом шаге определяются сроки погашения каждого векселя. Эти сроки 
суммируются и рассчитывается средний срок погашения векселя d в 
днях. Тогда номинальная величина всех т векселей 

\ 
360 j 

где i - годовая ставка процентов, под которую выданы векселя. 

Поминальная же величина векселя составит S / т^. 
При математическом дисконтировании сумма, которую следует выдать в долг на п лет, чтобы при начислении на нее процентов 
по ставке i получить наращенную сумму, равную S, рассчитывается 
по формуле 

Если требуется предварительно определить ставку i, используемую в расчетах, то пользуются соотношением 

S — S 
S — S , ^ 

i ~ 
в 0 ~ 
0^год, 

S0 п 
S0d 

где d - средний срок ссуды в днях, а ТУгод = 360 или 365 (366) дней. 
Сам же срок ссуды рассчитывается по формулам 
п — (S/S0 — 1)/i 
или 
d — (S/S0 — 1)Л^год /i . 
Затем переходят к рассмотрению банковского учета по простой учетной ставке. По определению, простая годовая учетная ставка iуч (ставка для процентов «вперед») равна 

В то время как годовая простая ставка процентов i (ставка для процентов «потом») находится как 

i — (S — S0)/(S0 
• п). 

11 

Доступ онлайн
2 000 ₽
В корзину