Основы теории управления

JNS749

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ИНСТИТУТ СТАЛИ И СПЛАВОВ

(ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ)

Кафедра автоматизации систем управления

Выскуб В.Г.

Одобрено Методическим
советом института

Основы теории управления

Лабораторный практикум

для студентов специальностей 07019,2202

Москва 2000

АННОТАЦИЯ

Практикум включает б лабораторных работ, четыре из кото
рых посвящены линейным системам, две - нелинейным. Работы проводятся на персональных компьютерах с использованием программного пакета PARI, разработанного на факультете экономики и кибернетики МИСиС.

© Московский 
государственный

институт 
стали 
и 
сплавов

(МИСиС), 2000.

Выскуб В.Г.

Содержание

1. Краткие сведения о численном интегрировании

дифференциальных уравнений и о моделировании
в системе PAkl. 
4

2. Лабораторная работа 1. Переходная и частотная
характеристики системы управления 
9

3. Лабораторная работа 2. Параметрическая оптимизация

системы управления 
13

4. Лабораторная работа 3. Управление по вектору состояния 
17

5. Лабораторная работа 4. Линейная оптимальная система 
21

6. Лабораторная работа 5. Релейная система 
26

7. Лабораторная работа 6. Система с переменной структурой 
29

Лабораторный практикум

Краткие сведения о численной

интегрировании дифференциальных

уравнений систем управления и о

моделировании в системе PARI

При моделировании С АУ производится численное интегриро
вание дифференциальных уравнений, описывающих зги системы
При этом используются соответствующие разностные уравнения.
Решение ищут в конечном числе точек, отстоящих одна от одной на
величину шага интегрирования (квантования) 4 который должен
быть достаточно мал.

Приближенно процедуру численного решения дифференци
ального уравнения х' = flxj) можно пояснить следующим образом
Дифференциальное уравнение задает наклон касательной к кривой
x(t), являющейся решением этого уравнения. В начальный момент к
известна только одна точка Хо, через которую проходит искомая кривая. Начиная с этой точки, вычисляется наклон кривой x(t0). Передвигаясь вдоль получившейся касательной, получим точку <о+ А с новым
значением х - х\. Продолжая эту процедуру и далее, получим последовательность коротких отрезков, которые являются приближением к
искомой функции. Этот простейший метод известен как метод Эйлера Более совершенные методы интегрирования отличаются большим
объемом привлекаемой информации и проводимых вычислений для
определения одной точки кривой.

Основные проблемы, которые возникают яри численном ин
тегрировании, - точность и устойчивость счета. Для оценки близости
разностного уравнения к дифференциальному вводятся понятия погрешности и порядка аппроксимации Погрешность результатов численного интегрирования может быть оценена как 6(Д"|), где т - порядок аппроксимации уравнения.

Ошибка численного интегрирования состоит из двух состав
ляющих: методической и вычислительной. Методическая ошибка
обусловлена неточностью метода, она уменьшается с уменьшением
шага интегрирования Справедлива асимптотическая оценка методической ошибки Е = сД* при устремлении шага интегрирования к нулю,
где к, с- константы, характерные для конкретного метода численного

Выскуб ВТ.

интегрирования. Вычислительная составляющая обусловлена неточностью вычислений и возрастает при уменьшении шага интегрирования.

Для получения большей точности решения следовало бы

дифференциальное уравнение точнее аппроксимировать разностным,
но проблема точности входит в противоречие с устойчивостью решения. Ошибка и устойчивость счета зависят от шага интегрирования и
постоянных времени моделируемой системы.

Если постоянная времени моделируемого объекта очень мала,

то необходимо выбрать маленький шаг по времени, что, однако, затягивает расчет всей системы. При расчете сложной системы дифференциальных уравнений наличие в ней даже одного уравнения с маленькой постоянной времени приводит к необходимости интегрирования всей системы с маленьким шагом.

Накапливающаяся в процессе длительных вычислений по
грешность округления и усечения может привести к бессмысленным
результатам. Системы, в которых имеются сильно различающиеся
постоянные времени, называются жесткими.

Математическое моделирование систем с помощью про
граммного пакета PARI реализуется как решение обыкновенных
дифференциальных уравнений, приведенных к нормальной форме,
алгебраических зависимостей, а тахже равенств, задающих значения
параметров системы.

Математическое моделирование в системе PARI начинается с

вывода на экран компьютера основного меню вида:

Иифо Моделирование объекта Идентификация Управление

Исследование Выход

В меню выбирается пункт МОДЕЛЬ ОБЪЕКТА. В этом фраг
менте производится ввод модели объекта или системы управления с
клавиатуры или из файла, а также запись модели в файл и вывод на
принтер. Выбрав затем пункт НОВАЯ МОДЕЛЬ, вводятся уравнения
математической модели, взаимосвязи переменных и численные значения постоянных параметров. Модель вводится в виде системы
дифференциальных уравнений, используя обычные обозначения математики. Для сокращения записи можно использовать вспомогательные переменные, которые должны затем задаваться алгебраическими выражениями. При вводе уравнений нужно использовать знаки
арифметических операций и стандартные математические функции,

Лабораторный практикум

перечень которых выводится на экран при нажатии клавиши F1 на
этапе ввода новой или корректировки имеющейся модели.

Путем нажатия клавиши F7 вводится описание переменных

системы, при этом независимая переменная t вводится по умолчанию
В подпункте меню ПЕРЕМЕННЫЕ СОСТОЯНИЯ отдельные переменные модели выбираются как переменные состояния и устанавливаются пределы их изменения. Под переменными состояния понимают совокупность физических переменных, позволяющих по известным начальному состоянию и приложенным к системе воздействиям
описать будущие значения переменных состояния.

Для вывода промежуточных данных модели можно добавить

соответствующие уравнения, а выводимая вспомогательная переменная должна быть описана как переменная выхода Окончание ввода
модели указывается нажатием клавиши F2.

Вводятся начальные и другие условия моделирования нажа
тием клавиши FS согласно следующему перечню:
ВВОД УСЛОВИЙ ИЗ ФАЙЛА; СПОСОБ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ, НАЧАЛЬНЫЕ УСЛОВИЯ, ОБРАБОТКА, МЕТОД ИНТЕГРИРОВАНИЯ; УСТРОЙСТВО ВЫВОДА; УСЛОВИЕ ОСТАНОВА; ЗАПИСЬ
УСЛОВИЯ В ФАЙЛ.

Начальные условия вводятся по всем переменным состояния

Окончание ввода указывается нажатием клавиши F2
В подпункте МЕТОД ИНТЕГРИРОВАНИЯ предлагается вы
брать один из методов интегрирования. Рунге-Кутга, Адамса и др., а
также начальный шаг, число его разбиений и точность вычисления.
Следует иметь в виду, что нужная точность существенно зависит от
выбора начального шага. Гладкость полученного решения зависит от
числа разбиений интервала моделирования, но чем шаг мельче, тем
дольше вычисления. Окончание ввода указываем нажатием клавиши F2. Если при заданных начальном шаге интегрирования, и числе
разбиений заданная точность вычислений не обеспечивается, то поступает соответствующее сообщение, которое обязывает уменьшить
начальный шаг либо увеличить число разбиений.

Указание временного интервала, на котором производится ин
тегрирование, является условием окончания вычислений.

Результаты моделирования представляются в табличном или в

графическом виде. Графиков можно вывести до четырех, а на одном
графике - до десяти кривых. Окончание ввода условий задается клавишей F2.

ВыскубВГ

Начало моделирования задается в пункте меню ИССЛЕДО
ВАНИЕ и далее в подпункте МОДЕЛИРОВАНИЕ.

Пример моделирования

Модель линейной системы представляет собой дифференци
альное уравнение вида

начальные условия, хф) = 3, (dx/dt)o = 5. Результаты моделирования
представить в виде зависимости координаты х и ее производной от
времени.

Решение

Выбрав в меню МОДЕЛЬ ОБЪЕКТА и далее НОВАЯ МО
ДЕЛЬ, составим описание системы в виде:

Нажатием клавиши F7 определяем переменные х, у как пере
менные состояния, указываем диапазон изменения этих переменных

- 5 ... 5. Нажав клавишу F5, устанавливаем условия моделирования:
заданные начальные условия, метод интегрирования - Рунге-Кутта,
условие останова - время моделирования - 10 с, способ представления - в виде графика с двумя кривыми x(t), y(t). При установлении
параметров метода интегрирования указываем начальный шаг 0,1,
число разбиений 10, точность вычислений 0.0001. При установлении
способа представления указываем диапазон независимой переменной

до 3 с, диапазон изменения переменныхх,у-5 ... 5. Окончание ввода
на каждом этапе фиксируем нажатием клавиши F2. Переходя далее к
пункту ИССЛЕДОВАНИЕ и далее МОДЕЛИРОВАНИЕ, клавишей
ВВОД запускаем программу моделирования. Результатом моделирования являются кривые переходного процесса x(t), y(t). Для получения фазового портрета необходимо на этапе задания представления

Лабораторный практикум
результатов в виде графика определить по оси абсцисс переменную х,
а по оси ординат переменную .у.

ВыскубВХ

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА 1

Переходная и частотная характеристики

системы управления

(2 часа)

1. Цель работы

Целью лабораторной работы является изучение частотных и

временных характеристик систем и объектов управления как средства
их описания

2. Теоретическое введение

Переходной характеристикой (функцией) системы h(l) назы
вается реакция системы на входной сигнал g(t) = l(t) при условии, что
до приложения входного воздействия система находилось в покое.

Переходная характеристика позволяет оценить качественные

показатели системы - перерегулирование и время переходного процесса.

Перерегулирование о определяется согласно выражению

где hnm - максимальное значение переходной характеристики,

ку„ - установившееся значение переходной характеристики.

Время переходного процесса определяет быстродействие сис
темы. Под ним понимается промежуток времени, по истечении которого выполняется неравенство

= (0,01...0 )05)А у я.

Амплитудно-частотная характеристика (АЧХ) замкнутой сис
темы представляет зависимость модуля комплексного коэффициента
усиления замкнутой системы от частоты. АЧХ снимается при подаче

Лабораторный практикум
синусоидального сигнала постоянной амплитуды и переменной частоты на вход системы и регистрации амплитуды синусоидального
сигнала на ее выходе. Если амплитуда входного сигнала равна единице, то значение амплитуды сигнала на выходе системы будет численно равно значению указанной характеристики на данной частоте.

Для большинства систем амплитудно-частотная характери
стика имеет резонансный пик на частоте Шл^. Чем больше пик характеристики, тем ближе замкнутая система к границе устойчивости.
Для оценки запаса устойчивости системы вводится показатель качества М, равный отношению максимальной ординаты АЧХ замкнутой
системы к начальной ординате этой характеристики. Частота <э, при
которой начинается спад АЧХ относительно значения при о = 0 с~',
называется полосой пропускания замкнутой системы и является мерой быстродействия. Чем шире полоса пропускания, тем выше быстродействие системы. Допустимые значения показателя качества М
получены на основании опыта и анализа систем второго порядка. Если переходный процесс заканчивается за 1-2 колебания, то пользуются следующей приближенной зависимостью оценки времени переходного процесса.

<в«(1...2)2я/вмг,

Физически это связано с тем, что чем выше частота пропуска
ния системы, тем менее инерционна система в своих реакциях на
входные воздействия.

Точная связь между частотной и переходной характеристика
ми системы устанавливается выражением

*(0=<2/7l)

где Р(ш) - вещественная частотная характеристика замкнутой систе
мы.

10

Выскуб В.Г.

3. Порядок выполнения работы

1. Провести моделирование заданной структурной схемы и получить

переходный процесс. Установить влияние заданного изменяемого
параметра на переходный процесс.

2. Найти значения изменяемого параметра, при котором о = 20 %,

определить время переходного процесса.

3. Снять амплитудно-частотную характеристику замкнутой системы.

Найти полосу пропускания системы. Оценить время переходного
процесса по переходной характеристике системы.

4. Установить влияние изменяемого параметра на частотную характе
ристику.

4. Отчет о работе

Отчет должен содержать:

- 
структурную схему заданной системы, уравнения ее модели;

- 
график переходного процесса, время переходного процесса, амплитудно-частотную характеристику замкнутой системы и ее полосу пропускания;

- 
оценку времени переходного процесса по полосе пропускания.

5. Контрольные вопросы

1. Какие возможности оценки качества систем управления предостав
ляет амплитудно-частотная характеристика замкнутой системы?

2. Какие параметры частотных характеристик разомкнутой системы

определяют качество замкнутой системы?

3. Каковы пути увеличения точности, быстродействия, запаса устой
чивости замкнутой системы?

4. Что такое показатель колебательности системы?
5. Чем отличается переходная характеристика от импульсной пере
ходной характеристики?

6. Как аналитически находится переходная характеристика?
_ 
_