Теория игр. Ч. 2. Биматричные игры. Арбитражная схема

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ 

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ АВТОНОМНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ  
ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ  
«НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ «МИСиС» 

 

 
 
 

 

 

 

 
 

 

№ 2772 

Кафедра математики

А.А. Закиров 
Т.Л. Майзенберг 
Н.В. Семенова 

Теория игр

Часть 2. Биматричные игры. 
Арбитражная схема 

Учебное пособие 

Рекомендовано редакционно-издательским 
советом университета 

Москва  2016 

УДК 51 
 
З-18 

Р е ц е н з е н т  
д-р экон. наук, проф. Ж.К. Галиев 

Закиров А.А. 
З-18  
Теория игр. Ч. 2. Биматричные игры. Арбитражная схема : 
учеб. пособие / А.А. Закиров, Т.Л. Майзенберг, Н.В. Семенова. – 
М. : Изд. Дом МИСиС, 2016. – 39 с. 
ISBN 978-5-906846-04-4 

Настоящее пособие является второй частью учебного пособия по теории 
игр и  посвящено биматричным играм и арбитражным схемам. В пособии 
приводятся краткие теоретические сведения, решения типовых задач, а также 
дополнительный материал из других дисциплин. Для закрепления необходимых навыков предлагаются задания для самостоятельного решения. 
Предназначено для студентов, обучающихся по направлениям 38.03.01 
«Экономика», 38.03.04 «Государственное и муниципальное управление». 

УДК 51 

 
 
ISBN 978-5-906846-04-4 

 А.А Закиров, Т.Л. Майзенберг, 
Н.В. Семенова, 2016 
 НИТУ «МИСиС», 2016 

ОГЛАВЛЕНИЕ 

Предисловие .............................................................................................. 4 
1. Биматричные игры................................................................................ 5 
1.1. Общие сведения ............................................................................. 5 
1.2. Аналитическое решение игры (nn) ............................................ 8 
1.3. Задание № 1 .................................................................................. 13 
1.4. Графическое решение биматричной игры (22) ....................... 14 
1.5. Задание № 2 .................................................................................. 23 
2. Арбитражная схема ............................................................................ 25 
2.1. Аксиомы Нэша ............................................................................. 25 
2.2. Вторая теорема Нэша. Решение арбитражной схемы .............. 26 
2.3. Задание № 3 .................................................................................. 33 
Библиографический список ................................................................... 35 
Приложения ............................................................................................ 36 
 

Предисловие 

Во многих сферах жизнедеятельности человека возникают ситуации, в которых стороны-участники преследуют различные цели, а 
результат действия каждой стороны зависит от того, что предприняли другие участники. В большинстве случаев интересы участвующих 
сторон являются если и не противоположными, то, по крайней мере, 
несовпадающими. Таким образом, возникают задачи с элементами 
неопределенности. Примерами таких ситуаций являются партия игры 
в шахматы, взаимодействие хозяйствующих субъектов, задачи проектирования объектов различной природы, социальные отношения и т.д. 
Моделированию и изучению конфликтных ситуаций посвящен 
раздел математики, называемый теорией игр. Игрой называется математическая модель конфликтной ситуации; стороны, участвующие 
в конфликте, называются игроками; решением игры называется совокупность оптимальных действий (оптимальных стратегий) игроков и полученных ими выигрышей. Условие оптимальности для 
каждого типа игры определяется по-своему. 
Настоящее пособие является второй частью учебного пособия по 
теории игр и посвящено биматричным играм и арбитражным схемам. По традиции приводятся краткие теоретические сведения, а 
также необходимый материал из других дисциплин. Разобранные 
примеры позволяют понять алгоритм решения задач. Приводятся как 
аналитические, так и графические методы решения задач. Для закрепления необходимых навыков предлагаются задания для самостоятельного решения. 
Пособие предназначено для студентов, обучающихся по направлениям 38.03.01 «Экономика», 38.03.04 «Государственное и муниципальное управление». Вместе с тем очевидно, что при разработке, 
внедрении и реализации проектов и в других сферах человеческой 
деятельности приходится учитывать большое число случайных факторов, плохо управляемых и трудно прогнозируемых, что может 
привести к несовпадению интересов участвующих в производственной цепочке субъектов. Поэтому пособие может оказаться полезным 
не только студентам указанных профилей подготовки, но также 
школьникам, магистрам, аспирантам и преподавателям. 

___________ 
 Закиров А.А., Майзенберг Т.Л., Макаров П.В. Теория игр. Ч. 1. Антагонистические игры: Учеб. пособие. М.: МГГУ, 2013. 46 с. 

1. БИМАТРИЧНЫЕ ИГРЫ  

1.1. Общие сведения 

В некоторых случаях интересы участников конфликта не являются прямо противоположными, но они по-прежнему не имеют возможности договариваться, создавая какие-либо объединения. Конфликты такого рода моделируются бескоалиционными играми. В 
общем случае выигрыши игроков не являются противоположными 
(как в антагонистических играх, рассмотренных в первой части пособия), т.е. сумма выигрышей не только не равна нулю, но и не является постоянной для всех возможных ситуаций в игре (игра с переменной суммой). Если речь идет об игре двух лиц, при этом каждый 
из игроков имеет изначально конечное число стратегий (чистых 
стратегий), то выигрыши игроков могут быть записаны в виде двух 
матриц одинаковой размерности. По этой причине такие игры называются биматричными. 
Разыгрывание биматричной игры происходит следующим образом. Предположим, что игрок A имеет m  чистых стратегий 

1,...,
,...,
i
m
A
A
A , игрок B  – n чистых стратегий 
1,...,
,...,
j
n
B
B
B . То
гда матрицы выигрышей игроков (обозначим их A и B  соответственно) имеют размерность 

m
n

. При этом чистым стратегиям 
игрока A в обеих матрицах соответствуют строки, игрока B  – 
столбцы. Пусть игроки одновременно и независимо выбирают свои 
чистые стратегии 
k
A  и 
lB . В сложившейся в игре ситуации выиг
рыш игрока A составит 
kl
a
, выигрыш игрока B  – 
k l
b
. На этом 

разыгрывание игры заканчивается. Таким образом, конечные игры 
двух лиц с переменной суммой полностью определяются двумя платежными матрицами.  
В качестве примера приведем прототипную игру, известную под 
названием «Семейный спор». Муж (игрок 1) и жена (игрок 2) могут 
выбрать одно из двух вечерних развлечений: футбольный матч или 
театр. Муж предпочитает футбол, а жена – театр. Однако обоим гораздо важнее провести вечер вместе, чем участвовать в развлечении 
(хотя и предпочтительном) одному. Таким образом, каждый игрок 
имеет две чистые стратегии: 
1
1
,
A
В  – пойти на футбол, 
2
2
,
A
В  – пой
ти в театр. Эта игра может быть задана двумя матрицами: 

4
0
0
1
A


 



 и 
1
0
0
4
B


 



. 

Укажем еще один способ задания конечной биматричной игры: 

 









4 ;1
0 ; 0
0; 0
1; 4






. 

Естественно считать, что каждый из игроков стремится действовать таким образом, чтобы получить как можно больший выигрыш. 
Но функция выигрыша каждого игрока зависит не только от выбранной им стратегии, но и от выбора противника. Поэтому ситуация, 
дающая наибольший выигрыш одному игроку, может не оказаться 
таковой для второго игрока. Таким образом, понятия оптимального 
поведения и оптимальных стратегий игроков в биматричных (равно 
как и вообще в бескоалиционных) играх являются неоднозначными. 
В отличие от матричных игр здесь существует множество принципов 
оптимальности. Одним из подходов к понятию оптимальности является равновесие по Нэшу. Ситуация, сложившаяся в биматричной 
игре, является равновесной по Нэшу, если каждому игроку невыгодно отклоняться от нее в одностороннем порядке. В общем случае в 
биматричной игре может быть несколько ситуаций равновесия по 
Нэшу. Стратегия игрока, входящая хотя бы в одну ситуацию равновесия по Нэшу, называется равновесной стратегией. При этом помимо чистых стратегий игроки могут применять и смешанные стратегии. 
Напомним, что по теореме Нэша всякая бескоалиционная игра имеет 
хотя бы одну ситуацию равновесия в смешанных стратегиях. В игре «Семейный спор» имеется две равновесные по Нэшу ситуации: 


1
1
,
A
В
 и 

2
2
,
A
В
. В отличие от матричных игр выигрыши игрока в 

различных ситуациях равновесие по Нэшу могут различаться. 
Найдем решение произвольной биматричной игры. Пусть первый 
игрок имеет m  чистых стратегий, а второй – n чистых стратегий, 
тогда игра задается двумя матрицами размерности 

m
n

: 

 

11
12
1

21
22
2

1
2

n

n

m
m
mn

a
a
a

a
a
a
A

a
a
a







 


















 и 

11
12
1

21
22
2

1
2

n

n

m
m
mn

b
b
b

b
b
b
B

b
b
b







 


















. 

Обозначим 
смешанную 
стратегию 
первого 
игрока 



1
2
,
,
,
m
p
p
p

, 

1
1

m

k
k
p





, смешанную стратегию второго – 



1
2
,
,
,
n
q
q
q

, 

1
1

n

k
k
q





. Если игроки применили свои смешанные 

стратегии, то математические ожидания их выигрышей можно вычислить по формулам 





1
1
2
1
2
1
1
,
,
,
,
,
,

m
n

m
m
i
i j
j
i
j
H
p
p
p
A
q
q
q
p
a
q












T
, 
(1.1) 

 




2
1
2
1
2
1
1
,
,
,
,
,
,

m
n

m
m
i
i j
j
i
j
H
p
p
p
B
q
q
q
p
b
q












T
. (1.2) 

В векторной форме равенства (1.1), (1.2) можно записать так: 

 
1
H
p A q



 и 
2
H
p B q



, 

где 


1
2
,
,
,
m
p
p
p
p


, 


1
2
,
,
,
m
q
q
q
q


T . 

Обозначим символами 



*
*
1
1
,
V
H
p
q

 и 


*
*
2
2
,
V
H
p
q

 мате
матические ожидания игроков, соответствующие их оптимальным 
стратегиям 
*
p  и 
*
q . Если игроки выбирают стратегии, отличные от 
оптимальных, их средние выигрыши окажутся не больше 
1
V  и 
2
V  
соответственно. То есть для произвольных смешанных стратегий игроков справедливы неравенства 

 
*
*
*
p
A q
p A q





 и 
*
*
*
p
B q
p
B q





. 
(1.3) 

Неравенства (1.3) как и в случае антагонистической игры становятся равенствами, если в 
*
p  и 
*
q  все координаты положительны. 
Отметим также, что неравенства (1.3) справедливы для произвольных смешанных стратегий игроков p  и q , в том числе и для чистых 
стратегий: 

 

*
*
*
1
1
2
2
1

*
*
*
1
1
2
2
2

,
1,
,
,

,
1,
, .

i
i
in
n

j
j
m j
m

a q
a
q
a q
V
i
m

b
p
b
p
b
p
V
j
n





















 
 (1.4) 

Получаем систему 

m
n

 неравенств, решением которой явля
ются оптимальные стратегии игроков 
*
p  и 
*
q .  

1.2. Аналитическое решение игры (nn) 

Рассмотрим биматричную игру, в которой количество чистых 
стратегий у игроков одинаковое, т.е. m
n

. В этом случае матрицы 
выигрышей игроков являются квадратными. Полагая, что все чистые 
стратегии игроков являются активными, получаем систему 2n  линейных уравнений с 2n  неизвестными: 

 

*
*
*
1
1
2
2
1

*
*
*
1
1
2
2
2

,

,
1,
, .

i
i
in
n

i
i
n
ni

a q
a q
a q
V

p b
p b
p b
V
i
n


















 
 (1.5) 

Так как любая биматричная игра имеет хотя бы одно решение в 
смешанных стратегиях, систему (1.5) можно решить, используя правило Крамера, если, конечно, соответствующие матрицы являются 
невырожденными. Введем обозначения: 

A  и B  – определители платежных матриц A и B ; 

i
A  и 
i
B  – определители матриц, полученных из матрицы A за
меной ее i-го столбца на столбец из единиц и из матрицы B при аналогичной замене ее i-й строки единичной строкой;  
1 и 1 T  – единичная строка и единичный столбец размерности n. 

Учитывая, что 

1

m

i
i

p


= 

1

n

j

j
q


=1, получаем следующие выражения 

для выигрышей игроков в ситуации равновесия и их равновесных 
стратегий: 
– выигрыши игроков (первого и второго соответственно) 

 
1

1

n

i
i

A
V
A







, 
2

1

;
n

i
i

B
V

B






, 
 (1.6) 

– равновесные стратегии игроков (первого и второго соответственно) 

 
*
1
2
p
V
B 

 
1
, 
*
1
1
q
V
A 


1 T . 
 (1.7) 

Замечание 1.1. Очевидно, что в результате умножения матрицы 
1
A   на вектор-столбец 1 T  получается вектор-столбец a , элементами которого являются суммы элементов соответствующих строк 
данной матрицы: 

 
1
2
1
1
1

n
n
n

k
k
nk
k
k
k
a
a
a
a







 








T
. 

В результате умножения единичной вектор-строки 1 на матрицу 

1
B  получается вектор-строка b , состоящая из сумм элементов матрицы по столбцам: 

 
1
2
1
1
1

n
n
n

k
k
k n
k
k
k
b
a
a
a







 







. 

Отсюда следует другой вид формул (1.6), (1.7): 

 

1
1

,
1

1

n

i j
i j

V
a







 , 

1
2

,
1

1

n

i j
i j

V
b







, 
 (1.6а) 

где 
1

i j
a
  и 
1

i j
b

 – элементы матриц 
1
A   и 
1
B  ; 

 
*
2
p
V
b

 , 
*
1
q
V
a


. 
 (1.7а)  

Для того чтобы искомые вероятности были положительными, достаточно, чтобы у матриц A и B  существовали обратные матрицы с 
положительными суммами элементов по столбцам для матрицы A и 
по строкам для матрицы B . 
Рассмотрим два примера решения биматричных игр с помощью 
формул (1.6), (1.7). 

Пример 1.1. Найти решение биматричной игры, заданной матри
цами выигрышей игроков 
3
1
1
4
A


 


 , 
2
5
4
1
B


 


 . 

Решение. Выигрыши игроков в ситуации равновесия: 

 1

3
1
1
4
11
11
1
1
3 1
3
2
5
1
4
1
1

V 




, 
2

2
5
4
1
18
18
3
1
1
2
5
3
3
6
4
1
1
1

V






 


. 

Равновесные стратегии игроков (правило нахождения обратной 
матрицы приведено в прил. 1): 

 



*
1
5
1
5
1
1
1
1
1
3 1 1
4
2
4
2
18
6
6
2
2
p










 


 






















, 

 
*
4
1
1
3
3 / 5
11 1
1
1
3
1
2
2 / 5
5 11
5
q


  
 










  
 




  
 


. 

Полученные решения должны удовлетворять равенствам 

 


*
*
*
1
0
p
A q
A q





, 

 



*
*
*
0
1
p
A q
A q





, 

 
*
*
*
1

0
p
B q
p
B  




 
 
, 

 
*
*
*
0
1
p
B q
p
B  




 
 
. 

Сделаем проверку для первого и четвертого условий: 

– для первого: 


3
1
3 / 5
3
1
3 / 5
1
1
1
0
1
4
2 / 5
1
4
2 / 5
2
2

 


 








 


 




 
 


 

, 

 


3 / 5
3 / 5
5
2
3 1
2 / 5
2 / 5
2















 



, 11
11
5
5

 – верно; 

– для второго: 
2
5
3 / 5
2
5
0
1
1
1
1
4
1
2 / 5
4
1
1
2
2
2
2

 


  










 


  









 


  
, 

 




3 / 5
0
3
3
3
3
2 / 5
1


 





 


 
, 3
3

 – верно. 

Пример 1.2. Найти решение биматричной игры с матрицами выигрышей игроков  

 
2
3
2
0
2
1
0
0
1
A




 






 и 
3
0
2
0
1
1
0
0
1
B




 






. 

Решение. Матрицы треугольного вида взяты для удобства вычислений определителей. Воспользуемся снова формулами (1.6) , (1.7): 

 
1

2
3
2
0
2
1
0
0
1
4
2
1
1
1
2
3
2
2
3
2
2
1 1
0
2
1
1
1
1
0
2
1
0
0
1
0
0
1
1
1
1

V 


 



, 

 
2

3
0
2
0
1
1
0
0
1
3
3
1
1
1
3
0
2
3
0
2
1
3
2
2
0
1
1
1
1
1
0
1
1
0
0
1
0
0
1
1
1
1

V 







, 

 



*
1
0
2
1
0
2
3
1
1
1
1
1 1 1
0
3
3
0
3
3
2
3
2
2
2
0
0
3
0
0
3
p


































 

 
1
3
1
2
2







 , 

 
*
1/ 2
3 / 4
1/ 4
1
1

2
0
1/ 2
1/ 2
1
0
0
0
1
1
2
q





  



  








  



  



  



. 

Полученное решение не имеет смысла – вероятности не могут 
быть отрицательными. Возникает вопрос о причине подобной ситуации и условиях применимости формул (1.6), (1.7). Ответ на этот вопрос дает следующее замечание. 

Замечание 1.2. Очевидно, что столбцы свободных членов в каждой из систем n уравнений (1.5) состоят из одинаковых элементов 
(
1
V  и 
2
V ). Поэтому в случае неотрицательности платежных матриц A 

и B  равенства (1.5) не могут выполняться, если элементы одной строки