Методы принятия оптимальных управленческих решений : моделирование принятия решений

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ 

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ АВТОНОМНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ  
ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ  
«НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ «МИСиС» 

 

 
 
 

 

 

 

 
 

 

№ 2188 

Кафедра бизнес-информатики и систем управления
производством 

В.Е. Пятецкий 
В.С. Литвяк 
И.З. Литвин 

Методы принятия оптимальных 
управленческих решений 

Моделирование принятия решений 

Учебное пособие 

Рекомендовано редакционно-издательским 
советом университета 

Москва  2014 

УДК 65.01 
 
П99 

Р е ц е н з е н т  
канд. техн. наук, ст. науч. сотр. К.С. Гинсберг (Институт проблем управления РАН) 

Пятецкий В.Е. 
П99  
Методы принятия оптимальных управленческих решений : 
моделирование принятия решений : учеб. пособие / В.Е. Пятецкий, В.С. Литвяк, И.З. Литвин. – М. : Изд. Дом МИСиС, 
2014. – 133 с. 
ISBN 978-5-87623-849-8 

В пособии рассмотрены методы моделирования и оптимизации решений с 
точки зрения системного подхода к управлению производственно-экономическими системами. Рассмотрено понятие производственно-экономической системы как сложной системы управления. Показаны особенности таких систем и значение системного анализа как важнейшего инструмента исследования и моделирования производственно-экономических систем. Приведены общая схема 
управления производственно-экономическими системами, основные подсистемы, участвующие в процессе выработки и принятия решений. Рассмотрены 
такие  методы моделирования управленческих решений, как динамическое 
программирование, моделирование на основе случайных процессов, в том 
числе марковских, использование Парето-оптимальных решений, методы 
учета неопределенных факторов, методы экспертного оценивания в принятии 
решений. 
Учебное пособие предназначено для бакалавров, обучающихся по направлению 080500 «Бизнес-информатика». Может быть полезно для обучающихся по направлениям «Экономика» и «Менеджмент». 

УДК 65.01 

ISBN 978-5-87623-849-8 
© В.Е. Пятецкий, В.С. Литвяк, 
И.З. Литвин, 2014 

ОГЛАВЛЕНИЕ 

Предисловие..........................................................................................5 
1. Основные принципы системного подхода в исследовании 
и моделировании производственно-экономических систем ............7 
1.1. Понятие системы. Основные определения..............................7 
1.2. Классификация систем и их характеристика ..........................12 
1.3. Системный анализ в исследовании и моделировании............15 
1.4. Особенности производственно-экономических систем.........18 
1.5. Управление системой. Критерий эффективности...................21 
2. Метод математического моделирования как инструмент 
исследования производственно-экономических систем...................26 
2.1. Понятия «модель» и «моделирование»....................................26 
2.2. Этапы экономико-математического моделирования. 
Принципы построения экономико-математических моделей ......29 
2.3. Классификация экономико-математических методов 
и моделей ...........................................................................................33 
2.4. Основные понятия идентификации систем.............................38 
3. Модели производственных функций..............................................48 
3.1. Основные понятия теории производственных функций. 
Однофакторные производственные функции ................................48 
3.2. Производственные функции и теоремы 
дифференциального исчисления .....................................................52 
3.3. Эластичность и ее свойства. Эластичности 
элементарных функций ....................................................................56 
3.4. Многофакторные производственные функции.......................59 
4. Балансовые экономические модели................................................62 
4.1. Модель Леонтьева многоотраслевой экономики....................62 
4.2. Продуктивные модели Леонтьева ............................................67 
4.3. Динамическая модель межотраслевого баланса .....................68 
4.4. Модель равновесных цен ..........................................................70 
5. Выбор оптимальных решений и исследование операций 
в производственно-экономических системах ....................................73 
5.1. Оптимизационные модели в экономике ..................................73 
5.2. Исследование операций, как инструмент 
оптимизации сложных систем.........................................................74 
5.3. Постановка задачи математического программирования......77 
6. Использование метода динамического программирования 
в оптимизации управленческих решений...........................................82 
6.1. Динамическое программирование и принцип Беллмана .......82 

6.2. Общая структура задач динамического 
программирования............................................................................85 
6.3. Примеры построения моделей задач динамического 
программирования............................................................................85 
7. Моделирование систем на основе случайных процессов.............89 
7.1. Моделирование потоков событий ............................................90 
7.2. Марковские случайные процессы с дискретным 
временем............................................................................................92 
7.3. Процессы гибели и размножения.............................................95 
8. Принятие решений в условиях многокритериальности................98 
8.1. Многокритериальные оценки и принцип Парето ...................98 
8.2. Учет пассивных неопределенных факторов............................106 
9. Использование экспертных оценок в принятии 
управленческих решений.....................................................................112 
9.1. Сущность метода экспертных оценок......................................112 
9.2. Подбор экспертов.......................................................................112 
9.3. Опрос экспертов.........................................................................113 
9.4. Обработка экспертных оценок..................................................117 
9.5. Пример решения задачи оценки проектов...............................126 
Библиографический список.................................................................131 
 

ПРЕДИСЛОВИЕ 

Важнейшим инструментом повышения эффективности функционирования производственно-экономических систем является применение методов математического моделирования и оптимизации в выработке и принятии управленческих решений. Для формирования 
компетенций, связанных с использованием этих методов, в базовой 
части дисциплин математического и естественно-научного цикла бакалавриата бизнес-информатики читается дисциплина «Методы оптимальных управленческих решений».  
Целью учебной дисциплины является формирование теоретических знаний о математических методах моделирования и оптимизации управленческих решений, а также получения умений и навыков 
их практического применения в своей профессиональной области.  
В данном пособии приведены некоторые методы моделирования и 
оптимизации с точки зрения системного подхода к управлению производственно-экономическими системами. Рассмотрено понятие 
производственно-экономической системы как сложной системы 
управления. Показаны особенности таких систем и значение системного анализа как важнейшего инструмента исследования и моделирования производственно-экономических систем. Приведены общая 
схема управления производственно-экономическими системами, основные подсистемы, участвующие в процессе выработки и принятия 
решений. Даны основные понятия идентификации систем. Рассмотрены метод математического моделирования, основные принципы и 
этапы построения экономико-математических моделей. Здесь необходимо отметить, что «оптимальность» принимаемых решений зачастую во многом определяется эффективностью процедур подготовки информации о функционирования объекта управления. В этой 
связи в пособии рассмотрены производственные функции и балансовые модели Леонтьева, которые напрямую не являются оптимизационными моделями, а являются инструментом подготовки необходимой информации для принятия управленческих решений. Наряду с 
этим в пособии рассмотрены такие получившие широкое распространение в последнее время методы моделирования управленческих 
решений, как динамическое программирование, моделирование на 
основе случайных процессов, в том числе марковских, использование Парето-оптимальных решений, методы учета неопределенных 
факторов, методы экспертного оценивания в принятии решений. 

В большинстве методов рассмотрены конкретные примеры, позволяющие обучающемуся представить, где и каким образом могут 
быть использованы рассмотренные модели и методы.  
Пособие может быть использовано для чтения лекций и проведения практических занятий по курсу «Методы оптимальных управленческих решений». Будет полезно для студентов бакалавриата 
бизнес-информатики, экономики и менеджмента. 

1. ОСНОВНЫЕ ПРИНЦИПЫ СИСТЕМНОГО ПОДХОДА 
В ИССЛЕДОВАНИИ И МОДЕЛИРОВАНИИ 
ПРОИЗВОДСТВЕННО-ЭКОНОМИЧЕСКИХ СИСТЕМ 

1.1. Понятие системы. Основные определения 

По своему построению вся Вселенная состоит из множества систем, каждая из которых содержится в более масштабной системе. 
Термин «система» греческого происхождения и означает целое, составленное из отдельных частей. В настоящее время существует достаточно большое количество определений понятия «система». Если 
суммировать общие моменты, которые присущи этим определениям, 
то под системой, как правило, понимается целенаправленный комплекс (совокупность) взаимосвязанных элементов любой природы и 
отношений между ними. Обязательное существование целей т.е. конечного результата, на который преднамеренно направлен процесс 
функционирования системы, определяет общие для всех элементов 
целенаправленные правила взаимосвязей, обусловливающие целенаправленность системы в целом. В некотором смысле понятие «система» может рассматриваться как противоположное понятию «хаос». 
Элемент – это такая часть системы, которая выполняет определенную специфическую функцию и не подлежит дальнейшему разбиению с точки зрения рассматриваемого процесса функционирования системы. Очевидно при этом, что разделение исследуемых объектов на элементы и системы относительно. Каждая система может 
быть представлена как элемент (подсистема) системы большего 
масштаба, в свою очередь любой элемент можно рассматривать в 
качестве относительно самостоятельной системы, состоящей из соответствующих элементов. 
Взаимодействие отдельных элементов системы порождает у нее 
такие свойства, которыми не обладает ни один элемент данной 
системы в отдельности. Другими словами, система, в отличие от 
просто совокупности элементов, – это такой объект, свойства которого не сводятся без остатка к свойствам составляющих его элементов. Этот принцип появления у целого свойств, не выводимых из наблюдаемых свойств частей, У.Р. Эшби был назван принципом 
эмерджентности (от англ. emergence – возникающий, неожиданно 
появляющийся). Эмерджентность является одной из форм проявления принципа перехода количественных изменений в качест

венные. Очевидно, что необходимость в системном анализе объекта возникает именно тогда, когда выявляются его эмерджентные 
свойства, не выявляемые при поэлементном исследовании объекта. 
С учетом вышесказанного, определение понятия «система» можно 
уточнить следующим образом. Система – это совокупность элементов и/или отношений, целенаправленно связанных в единое целое, 
которое обладает свойствами, отсутствующими у элементов и отношений его образующих. 
Другим важным понятием в теории систем является понятие синергии (греч. συνεργία, от греч. syn – вместе, ergos – действующий, 
действие) – суммирующего эффекта взаимодействия двух или более 
элементов (факторов), характеризующегося тем, что их действие существенно превосходит эффект каждого отдельного компонента в 
виде их простой суммы. 
С точки зрения математики определение системы можно условно 
сопоставить с определением множества. Исходя из этого, можно сделать вывод, что для математического описания системы можно использовать аппарат теории множеств. Тогда систему S можно представить следующим образом: 

 
{ ,
},
S
X Y
= Δ
 
(1.1) 

где Δ – функция перехода; X = {xi, i = 1, 2, …, n} – множество элементов, входящих в систему; Y = {yj, j = 1, 2, …, m} – множество элементов, выходящих из системы. 
Множества X и Y являются конечными, так как определяют некоторую систему, выделенную из реальной жизни и дискретную по 
своей сущности. Поэтому их можно рассматривать как граф, что позволяет использовать для описания таких систем теорию графов. 
Любая система может быть представлена в виде графа, вершинами 
которого являются элементы системы, а ребрами – отношения между 
ними (рис. 1.1). 
При исследовании систем одним из важных условий является определение следующих понятий: 
– информация; 
– информационные ресурсы; 
– элементы; 
– подсистемы; 
– связи; 
– информационные ресурсы внешней среды; 
– информационные ресурсы внутренней среды; 

– структура; 
– функция; 
– целевая функция; 
– управление. 

 

Рис. 1.1. Взаимосвязь системы с внешней средой 

Информация – сведения (сообщения, данные), которыми обмениваются люди и технические устройства, между собой, обмен сигналами в животном и растительном мире. Понятие «информация» 
состоит из двух аспектов: содержательного и материального. Содержательный или смысловой аспект информации состоит в наличии 
определенных знаний, сведений или осведомленности о состоянии 
внешней и внутренней среды системы. Материальный аспект связан 
с тем, что передача и хранение информации требует материальных 
носителей, на которых она фиксируется и затем передается. Понятие 
«информация» позволяет подойти с единой точки зрения к изучению 
процессов взаимодействия явлений в природе. Информация никогда 
не создается. Она только принимается и передается, но при этом может утрачиваться и исчезать. 
Информационные ресурсы представляют собой систематизированные знания, сведения, данные, полученные в результате развития 
науки и практической деятельности людей, используемые в общественном производстве и управлении как фактор повышения эффективности 
производства.  

Элементы. Элемент – неделимая часть системы. Дальнейшее деление элемента приводит к разрушению его функциональных связей 
с другими элементами и получению свойств выделенной совокупности, не адекватной свойствам элемента как целого. 
Подсистемы. Подсистема – выделенное по определенным правилам и признакам целенаправленное подмножество взаимосвязанных элементов любой природы. Каждую подсистему в свою очередь 
можно разделить на еще более мелкие подсистемы. Системы отличаются от подсистем только лишь правилом и признаками объединения элементов. Для системы правило является более общим, а для 
подсистемы – более индивидуальным. Исходя из этого, можно сделать вывод, что система представляет собой нечто целое, состоящее 
из подсистем, каждую из которых можно рассматривать как самостоятельную систему. В то же время любая система является подсистемой некоторой более большой системы. 
Подсистемы, выделенные на одном горизонте, являются подсистемами одного уровня. Деление подсистем на подсистемы более низкого уровня называют иерархией (от греч. слова деление и означает 
порядок подчинения более низких звеньев системы более высоким). 
При иерархическом построении системы, в целях наиболее эффективного достижения цели, должно всегда соблюдаться основное правило, заключающееся в том, что подсистема более низкого уровня 
должна подчиняться подсистеме более высокого уровня. 
Связи – это то, что соединяет элементы и свойства системы в 
единое целое. Любая связь между какими-либо двумя элементами в 
соответствии с ее направленностью от одного элемента к другому 
является выходом первого из них и в то же время входом второго. 
Связи между подсистемами одного и того же уровня называются горизонтальными, а связи системы со всеми подсистемами соподчиненных иерархических уровней – вертикальными. 
Для каждой системы связи со всеми подсистемами и между ними 
называются внутренними, а все остальные связи – внешними. Взаимодействие системы с внешней средой осуществляется с помощью 
целенаправленных связей. 
Информационные ресурсы внешней среды – множество элементов любой природы, существующие вне системы и оказывающие 
на нее влияние. Для того чтобы элементы внешней среды могли влиять на систему или испытывать ее воздействие, необходимы связи.  
Информационные ресурсы внутренней среды. Это ситуационные факторы между элементами во внутренней среде системы опре

деленной природы. В организациях, создаваемых людьми, элементы 
во внутренней среде являются результатом управленческих решений 
и постоянно меняются под влиянием внешней среды. Основными 
переменными во внутренней среде организаций, требующих внимания руководства, являются цели, структура, функции, связи, технические средства, технологии и люди. 
Структура – совокупность связей между элементами системы, 
отражающих их взаимодействие (латинское слово structura – строение, порядок). У каждой подсистемы определенного уровня существуют соподчиненные подсистемы либо непосредственно, либо через 
промежуточные подсистемы. Множество подсистем, которые стоят 
ниже и подчинены данной подсистеме, называют ее вертикалью. 
Функции – целенаправленный набор действий, операций или 
процедур (английское слово function – обязанности, действия). 
Функции системы обычно представляются в виде набора некоторых 
преобразований, которые, как правило, делятся на две группы. Первая группа функций связана с преобразованием входов в систему. 
Это значит, что при определенном наборе значений входных данных 
осуществляется такое преобразование, при котором система придет в 
состояние, характеризуемое набором некоторых внутренних ее параметров. Вторая группа преобразований связывает состояние системы 
с ее выходами. При определенном наборе значений внутренних параметров преобразования обеспечивают некоторый набор значений 
выходных параметров. С точки зрения внешней среды функции системы заключаются в том, что при определенном наборе значений 
входных параметров выходные параметры принимают соответствующие этому набору значения.  
Целевая функция. Функция в экстремальных задачах, минимум 
или максимум которой необходимо найти, называется целевой. Экстремальному значению целевой функции обычно соответствует оптимальное решение. Различают линейные, нелинейные, выпуклые и 
другие целевые функции. В том случае, если допустимое множество 
экстремальной задачи есть пространство функций, то используют 
термин «целевой функционал». 
Любая система должна характеризоваться единством функции и 
структуры. Естественно, что в процессе функционирования и развития системы происходят изменения в системе и внешней среде, что 
ведет к изменениям функции и структуры, в результате чего их согласованность может быть нарушена, при этом эффективность системы может снизиться. 

Управление – это целенаправленное воздействие управляющего 
объекта на управляемый для организации его функционирования заданным образом. Оказывается, самые разнообразные процессы 
управления (в природе, обществе, технических устройствах) происходят сходным образом, основаны на одних и тех же принципах. 
Любое управляющее воздействие, в какой бы форме оно не производилось, можно рассматривать как информацию, передаваемую в 
форме команд. Для того чтобы была возможность реагировать на изменения реальной ситуации, управляющий объект должен получать 
информацию от управляемого объекта и в зависимости от его состояния так или иначе менять управляющее воздействие. 
Для передачи информации о состоянии управляемого объекта служит обратная связь. Системы управления, содержащие ветвь обратной 
связи, называются замкнутыми, а не имеющие ее – разомкнутыми. 

1.2. Классификация систем и их характеристика 

Множество систем, существующих в мире, можно классифицировать в зависимости от ряда признаков. Классификация – научный метод, заключающийся в дифференциации всего множества объектов и 
последующее их объединение в определенные группы на основе какого-либо признака. При общем подходе к классификации систем 
выделяются следующие признаки (рис. 1.2): 
– по происхождению; 
– объективности существования; 
– взаимодействия с окружающей средой; 
– возможности действия системы от времени; 
– обусловленности действия; 
– степени сложности. 
По происхождению. В зависимости от происхождения системы 
могут быть естественными и искусственными. К естественным, или 
природным, следует отнести галактики, Солнечную систему, планеты, материки, экосистемы, биологические системы (в том числе и 
человека). Искусственные (антропогенные) системы обязаны своим 
происхождением труду человека. Их можно разбить в основном на 
два подкласса – физические, социально-экономические. 
Физические системы олицетворяют такие системы, у которых в качестве элементов выступают неживые составляющие. К таким системам 
относятся машины, оборудование, транспортные средства и т.п.