Теоретическая механика : сопротивление материалов

Москва 2019

МИНИС ТЕРС ТВО НАУКИ И ВЫСШ ЕГО О Б РА З О ВА Н И Я РФ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ АВТОНОМНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ
ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ
«НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ «МИСиС»

ИНСТИТУТ ЭКОТЕХНОЛОГИЙ И ИНЖИНИРИНГА

Кафедра инжиниринга технологического оборудования

И.Г. Морозова
М.Г. Наумова
И.И. Басыров

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА

Сопротивление материалов

Учебное пособие

Рекомендовано редакционно-издательским 
советом университета

№ 3436

УДК 620.1:531.01 
 
М80

Р е ц е н з е н т 
д-р техн. наук, проф. Б. А. Романцев

Морозова И. Г.
М80  
Теоретическая механика : сопротивление материалов : 
учеб. пособие / И. Г. Морозова, М. Г. Наумова, И. И. Басыров. – М. : Издательский Дом НИТУ «МИСиС», 2019. – 67 с.
ISBN 978-5-907061-37-8

В учебном пособии рассмотрены методы расчета элементов конструкций на прочность и жесткость при различных видах внешних 
нагрузок. Приведены краткие теоретические сведения, представлены основные расчетные формулы и показана последовательность расчетов на прочность и жесткость при различных видах внешних нагрузок.
Даны указания по выбору исходных данных и расчетной схемы 
для выполнения домашнего задания. Кроме того, представлены требования к оформлению отчета по домашнему заданию.
Предназначено для студентов, обучающихся в бакалавриате по направлениям подготовки 15.03.02 «Технологические машины и оборудование» (все профили) и 22.03.02 «Металлургия» (все профили).

УДК 620.1:531.01

 И.Г. Морозова, 
М.Г. Наумова, 
И.И. Басыров, 2019
ISBN 978‑5‑907061‑37‑8
 НИТУ «МИСиС», 2019

ОГЛАВЛЕНИЕ

Введение ........................................................................... 5
1 Определение опорных реакций ......................................... 6
1.1 Краткие теоретические сведения ................................. 6
1.2 Примеры решения задач ............................................ 8
2 Анализ внутренних силовых факторов при растяжении 
(сжатии). Проектный расчет бруса ....................................... 9
2.1 Краткие теоретические сведения ................................. 9
2.2 Пример решения задачи ........................................... 11
3 Анализ внутренних силовых факторов при плоском изгибе 
балок. Определение перемещений точек и сечений балки 
методом интегрирования дифференциального уравнения 
упругой линии ................................................................. 15
3.1 Краткие теоретические сведения ............................... 15
3.2 Пример решения задачи ........................................... 19
4 Расчеты при кручении брусьев круглого поперечного  
сечения .......................................................................... 25
4.1 Краткие теоретические сведения ............................... 25
4.2 Примеры решения задач .......................................... 27
5 Сложное сопротивление ................................................. 29
5.1 Краткие теоретические сведения ............................... 29
5.2 Пример решения задачи ........................................... 33
6 Геометрические характеристики плоских сечений ............ 38
6.1 Краткие теоретические сведения ............................... 38
6.2 Пример решения задачи ........................................... 40
7 Общие методические указания к выполнению домашних 
заданий .......................................................................... 41
7.1 Выбор варианта задания .......................................... 41
7.2 Порядок выполнения заданий ................................... 42
7.3 Оформление отчета и защита заданий ........................ 43
8 Домашние задания ........................................................ 46
8.1 Домашнее задание 1 ................................................ 46
Определение опорных реакций .................................... 46
Контрольные вопросы к ДЗ 1 ...................................... 50
8.2 Домашнее задание 2 ................................................ 50
Растяжение и сжатие бруса ......................................... 50
Контрольные вопросы к ДЗ 2 ...................................... 51

8.3 Домашнее задание 3 ................................................ 52
Анализ внутренних силовых факторов при изгибе балки .....52
Контрольные вопросы к ДЗ 3 ...................................... 55
8.4 Домашнее задание 4 ................................................ 55
Расчет балки на жесткость. Подбор сечения балки .......... 55
Контрольные вопросы к ДЗ 4 ...................................... 56
8.5 Домашнее задание 5 ................................................ 57
Сложное сопротивление .............................................. 57
Контрольные вопросы к ДЗ 5 ...................................... 60
Список использованных источников ................................... 61
Приложение А. Рекомендуемая форма титульного листа ...... 62
Приложение Б. Сортамент двутавров и швеллеров ............... 63

ВВЕДЕНИЕ

Машины 
и 
механизмы, 
проектированием 
которых 
занимаются различные технические службы, помимо других 
качеств 
должны 
обязательно 
обладать 
прочностью, 
т. е. 
способностью 
сопротивляться 
разрушению 
под 
действием 
приложенных к ним внешних сил (нагрузок). Для этого детали 
(элементы) этих машин и механизмов должны быть изготовлены 
из соответствующего материала и иметь необходимые размеры. 
Методы расчета элементов конструкций на прочность – первая 
задача, решаемая при конструировании машин и механизмов.
Во многих случаях приходится определять те изменения 
формы и размеров (деформации), которые возникают в элементах 
конструкций при действии нагрузок. Небольшие деформации 
не оказывают существенного влияния на законы равновесия тел, 
вследствие чего в теоретической механике ими пренебрегают. 
Однако без изучения этих деформаций невозможно решить 
очень важную практическую задачу о том, при каких условиях 
может произойти разрушение детали и, наоборот, при каких 
условиях деталь может безопасно работать. Во многих случаях 
величину деформаций, несмотря на их малость, по сравнению 
с размерами самой детали, приходится ограничивать, так 
как в противном случае нормальная эксплуатация конструкции 
может 
стать 
невозможной. 
Методы 
расчетов 
элементов 
конструкций на жесткость – вторая важная задача, решаемая 
конструкторами при создании машин и механизмов.
В данном пособии рассмотрены методы расчетов элементов 
конструкций на прочность и жесткость при различных видах 
внешних нагрузок.

1 Определение опорных реакций

1.1 Краткие теоретические сведения

Тело, которое может совершать из данного положения 
любые перемещения в пространство, называется свободным. 
Тело, перемещениям которого в пространстве препятствуют 
какие-нибудь другие, скрепленные или соприкасающиеся 
с ним тела, называется несвободным. Все то, что ограничивает 
перемещения данного тела в пространстве, называют связью.
Тело, 
стремясь 
под 
действием 
приложенных 
сил 
осуществить 
перемещение, 
которому 
препятствует 
связь, 
будет действовать на него с некоторой силой, называемой 
силой давления на связь. Одновременно по закону о равенстве 
действия и противодействия связь будет действовать на тело 
с такой же по модулю, но противоположно направленной силой. 
Сила, с которой данная связь действует на тело, препятствуя 
тем самым тем или иным его перемещениям, называется силой 
реакции (противодействия) связи, или просто реакцией связи. 
Несвободное твердое тело можно рассматривать как свободное, 
на которое, кроме задаваемых сил, действуют реакции связей 
(принцип освобождаемости твердых тел).
При плоской системе внешних нагрузок могут применяться 
следующие виды закреплений (рисунок 1):
  шарнирно-подвижная опора, в которой возникает одна 
опорная реакция;
  шарнирно-неподвижная опора, в которой возникают две 
реакции – вертикальная и горизонтальная;
  жесткое защемление, в котором возникают три реакции – 
вертикальная, горизонтальная и момент.
Пространственную систему внешних нагрузок можно 
рассматривать как совокупность плоских систем нагрузок в двух 
взаимно перпендикулярных плоскостях.

Рисунок 1 – Виды закреплений при плоской системе внешних 
нагрузок

Плоская система нагрузок описывается тремя уравнениями 
равновесия:

 
∑
=
∑
=
∑
=
0;0;0.
х
у
z
F
F
F

Пространственная 
система 
описывается 
шестью 
уравнениями равновесия:

 
∑
=
∑
=
∑
=
0;0;0;
х
у
z
F
F
F

∑
=
∑
=
∑
=
0;0;0.
х
у
z
M
M
M

Значение реакции связи зависит от других действующих 
сил и наперед неизвестно; для ее определения надо решить 
соответствующую 
задачу 
механики. 
Направлена 
реакция 
связи в сторону, противоположную той, куда связь не дает 
перемещаться телу.
Уравнения 
равновесия 
для 
определения 
опорных 
реакций можно составить несколькими способами. Выбор 
точек, направление осей и системы уравнений осуществляются 
конкретно в каждом случае так, чтобы была возможность 
совместного решения уравнений. Например:

1 ∑Z = 0; ∑Y = 0; ∑M = 0.

2 ∑Z = 0; ∑Ma = 0; ∑Mb = 0.

3 ∑Ma = 0; ∑Mb = 0; ∑Mc = 0.

1.2 Примеры решения задач

На рисунке 2 приведены примеры решения задач по 
определению опорных реакций.

∑Z = 0.
∑MA = –ql · l/2 + YBl = 0;
YB = 20 кН.
∑MB = ql · l/2 – YAl = 0;
YА = 20 кН.
Проверка: ∑Z = 0.

q = 10 кН/м; F = 10 кН; M = 20 кН/м.
∑Z = 0.
∑MA = –ql · l/2 – Fl1 – M + YB(l1 + l2) = 0;
YB = 30 кН.
∑MB = ql · l/2 + Fl2 – M – YA(l1 + l2) = 0;
YА = 20 кН.
Проверка: ∑Z = 0.

∑Z = 0.
MA = M – Fl,
MA = 20 кН.
∑MB = M – YAl = 0,
YA = MA/l,
YA = 20 кН.

∑Z = ZA + F1 + F2 = 0,
ZA = –30 кН.

Рисунок 2 – Примеры решения задач по определению 
опорных реакций

2 Анализ внутренних силовых 
факторов при растяжении (сжатии). 
Проектный расчет бруса

2.1 Краткие теоретические сведения

При нагружении стержня внешними нагрузками в его 
сечениях возникают внутренние силы и моменты, которые 
называются внутренними силовыми факторами. Деформация 
стержней и их разрушение обусловливаются не внешней 
перегрузкой, а внутренними силами и моментами. Анализ 
внутренних силовых факторов – это важнейший инструмент, 
позволяющий получить необходимую информацию о прочности 
и жесткости конструкций. Можно сказать, что без этого не 
может быть решена ни одна задача о сопротивлении материалов 
приложенным нагрузкам.
Для выявления и вычисления внутренних силовых 
факторов применяется метод сечений, включающий в себя 
следующие этапы:
  мысленно рассекаем тело на две части;
  отбрасываем одну из этих частей;
  заменяем действие отброшенной части на оставшуюся 
неизвестными внутренними силами и моментами;
  составляем уравнения равновесия для оставшейся части 
тела и определяем неизвестные внутренние силы и моменты.
В случае растяжения (сжатия) в поперечном сечении 
стержня возникает продольная сила Nz.
Проекция 
на 
какую-либо 
ось 
внутренних 
усилий 
в сечении, действующих со стороны отброшенной части стержня 
(например, правой), на оставшуюся (левую), равна и направлена 
противоположно проекции на эту ось всех внешних сил, 
приложенных к левой части.
Введем правило знаков для внутренних силовых факторов 
в поперечном сечении бруса: продольная сила Nz считается 
положительной, если она вызывает растяжение.

Продольная сила в произвольном сечении, Н:

 
=
+
∑
∑∫
.

i

z
i
i
i l
N
F
qdz

Интегрирование производится по длине каждого участка 
бруса с распределенной нагрузкой, а суммирование – по всем 
участкам по одну сторону от сечения.
Нормальное напряжение в поперечном сечении, Па:

 
σ =
,
z
z
N
A

где A – площадь поперечного сечения, м2.

Изменение длины бруса, м:

 
⋅
∆ =∑∫
,

i

z

i l

N
dz
l
EA

где E – модуль упругости при растяжении, МПа; i – номер 
участка бруса.

Относительная продольная деформация

 
.
z
z
E
σ
ε =

Относительная поперечная деформация

 
′ε = −µε ,
z

где μ – коэффициент Пуассона.

Условие прочности бруса

 
[ ]
σ
≤ σ
max
,

где [σ] – допускаемое напряжение для материала бруса.

Удлинение 
(укорочение) 
бруса 
при 
изменении 
его 
температуры:

 
(
)
∆
=
+ α⋅∆
0 1
,
tl
l
t

где 
α 
– 
коэффициент 
температурного 
расширения 
материала бруса, 1 / °С; Δt – изменение температуры бруса, °С.

2.2 Пример решения задачи

Для 
заданной 
расчетной 
схемы 
построить 
эпюру 
продольных сил и определить постоянные по участкам бруса 
площади 
квадратных 
поперечных 
сечений, 
округлив 
их 
значения до кратных 1 см2. Вычертить спроектированный 
брус и построить эпюру перемещений поперечных сечений 
в спроектированном брусе, если E = 0,8 · 105 МПа. Проверить 
жесткость спроектированного бруса, если [Δl] = 1 · 10–3l.
Исходные данные к задаче представлены в таблице 1.

Таблица 1 – Исходные данные к задаче

Обозначения 
исходных данных

l1, м

l2, м

l3, м

F1, кН

F2, кН

F3, кН

q, кН / м

A, см2

[σ]р, МПа

[σ]c, МПа

Численные значения 
исходных данных
0,5
0,2
0,6
40
40
30
120
20
60
100

Решение

Запишем аналитические выражения продольных сил 
по участкам и вычислим их на границах участков. Построим 
эпюру продольных сил (рисунок 3).
Запишем выражение для суммы проекций сил на ось Z 
для всего бруса:

 
∑
−
+
−
−
+
=
A
1
1
2
3
: 0,
Z
z
ql
F
F
F

=
−
−
+
=
⋅
−
−
+
=
A
1
1
2
3
кН.
120 0,5
40
40
30
10 
z
ql
F
F
F

Рассекаем первый участок, заменяем внешние силы 
внутренней продольной силой Nz. Записываем выражение для 
суммы проекций сил на ось Z на первом участке:

 
∑
−
+
+
=
=
−
=
−
I
I

A
A
: 0, 
10 120 ,
z
z
Z
z
qz
N
N
z
qz
z

(
)
(
)
=
=
=
=
−
⋅
= −
I
I
z
z
кН
кН
0
10 
, 
0,5
10 120 0,5
50 
.
N
z
N
z

Рассекаем второй участок. Записываем выражение для 
суммы проекций сил на ось Z на втором участке:

 
∑
−
+
−
+
=
II

A
1
1
: 0,
z
Z
z
ql
F
N

=
−
+
=
−
⋅
+
= −
II
A
1
1
кН
10 120 0,5
40
10 
.
z
N
z
ql
F

Рассекаем третий участок. Записываем выражение для 
суммы проекций сил на ось Z на третьем участке:

 
∑
−
+
−
−
+
=
III

A
1
1
2
: 0,
z
Z
z
ql
F
F
N

=
−
+
+
=
−
⋅
+
+
=
III
z
A
1
1
2
кН
10 120 0,5
40
40
30 
.
N
z
ql
F
F

Осуществляем подбор сечений бруса по участкам.

Первый участок:

 
[ ]

⋅
=
=
=
=
σ
⋅

I
3

I
I
2
2

6

с

м
мм
50 10
,0,0005 
500 
,
100 10

z
N
A
A

[ ]

⋅
=
=
=
=
σ
⋅

I
3

I
I
2
2

6
р
м
мм
10 10
,0,000167 
167 
,
60 10

z
N
A
A

=
≈
I
мм
500
22 
.
a

Второй участок:

 
[ ]

⋅
=
=
=
=
σ
⋅

II
3
II
II
2
2
6
с
м
мм
10 10
,0,0001 
100 
100 10
,
z
N
A
A

=
=
II
мм
100
10 
.
a

Третий участок:

 
[ ]

⋅
=
=
=
=
σ
⋅

III
3
III
III
2
2
6
р
м
мм
30 10
,0,0005 
500 
,
60 10

z
N
A
A

=
≈
III
мм
500
22 
.
a

Рассчитаем перемещения поперечных сечений бруса.