Книжная полка Сохранить
Размер шрифта:
А
А
А
|  Шрифт:
Arial
Times
|  Интервал:
Стандартный
Средний
Большой
|  Цвет сайта:
Ц
Ц
Ц
Ц
Ц

Теоретическая механика : кинематика

Покупка
Артикул: 754996.01.99
Доступ онлайн
2 000 ₽
В корзину
В сборнике заданий приведены основы теории и алгоритмы решения задач по разделу кинематика. В каждом варианте рассмотрены примеры решения задач с подробными методическими пояснениями. К каждой задаче сформулированы вопросы для проверки усвоения материала. Предназначен для студентов, обучающихся в бакалавриате по направлениям подготовки 15.03.02 «Технологические машины и оборудование» и 15.03.03 «Прикладная механика».
Воронин, Б. В. Теоретическая механика : кинематика : сборник заданий / Б. В. Воронин, Е. Е. Балахнина. - Москва : Изд. Дом НИТУ «МИСиС», 2019. - 60 с. - ISBN 978-5-906953-99-5. - Текст : электронный. - URL: https://znanium.com/catalog/product/1248595 (дата обращения: 29.03.2024). – Режим доступа: по подписке.
Фрагмент текстового слоя документа размещен для индексирующих роботов. Для полноценной работы с документом, пожалуйста, перейдите в ридер.
МИНИС ТЕРС ТВО НАУКИ И ВЫСШ ЕГО О Б РА З О ВА Н И Я РФ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ АВТОНОМНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ 
ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ 
«НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ «МИСиС»

ИНСТИТУТ ЭКОТЕХНОЛОГИЙ И ИНЖИНИРИНГА 
 
Кафедра инжиниринга технологического оборудования

Москва 2019

№ 3391

Б. В. Воронин
Е. Е. Балахнина

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА

КИНЕМАТИКА

Сборник заданий

Рекомендовано редакционно-издательским  
советом университета

УДК 531.01 
 
В75

Р е ц е н з е н т 
д-р техн. наук, проф. Н. И. Абрамкин

Воронин Б. В.
В75  
Теоретическая механика : кинематика : сб. заданий / Б. В. Воронин, Е. Е. Балахнина. – М. : Изд. Дом НИТУ «МИСиС», 
2019. – 60 с.
ISBN 978-5-906953-99-5

В сборнике заданий приведены основы теории и алгоритмы решения задач по разделу кинематика. В каждом варианте рассмотрены примеры решения задач с подробными методическими пояснениями. К каждой задаче сформулированы вопросы для проверки усвоения материала.
Предназначен для студентов, обучающихся в бакалавриате по направлениям подготовки 15.03.02 «Технологические машины и оборудование» 
и 15.03.03 «Прикладная механика».

УДК 531.01

© Б. В. Воронин,  
Е. Е. Балахнина, 2019
ISBN 978-5-906953-99-5
© НИТУ «МИСиС», 2019

СОДЕРЖАНИЕ

Предисловие ..............................................................................................4
Задание К1. Определение уравнений движения, скорости  
и ускорения точки по заданным проекциям ее скорости ......................5
Контрольные вопросы и задания ......................................................... 20
Задание К2. Определение скорости и ускорения точки  
твердого тела при его поступательном или вращательном  
движении ..................................................................................................21
Контрольные вопросы и задания ......................................................... 31
Задание К3. Определение скоростей и ускорений точек  
твердого тела при его плоском движении ............................................33
Контрольные вопросы и задания ......................................................... 46
Задание К4. Определение параметров сложного движения точки .....48
Контрольные вопросы и задания ......................................................... 58
Библиографический список ...................................................................59

ПРЕДИСЛОВИЕ

Сборник заданий содержит необходимое количество информации 
для самостоятельной работы студентов по разделу кинематика теоретической механики.
Каждое задание сопровождается краткими методическими указаниями по его решению, примерами выполнения и контрольными вопросами для проверки усвоения материала.
Курсовое домашнее задание следует выполнять на листах формата А4, используя одну сторону листа и оставляя поля для замечаний 
рецензента. В начале работы необходимо привести полный текст задания, исходные данные и рисунок (чертеж) заданного механизма, 
который следует выполнить аккуратно с соблюдением стандартного 
масштаба и прочих требований ЕСКД и с учетом конкретных линейных и угловых параметров исследуемого механизма. Каждый рисунок 
должен иметь подрисуночную надпись.
Каждое задание должно быть решено методом, рекомендованным 
в методических указаниях. Если выбор метода решения предоставлен 
студенту, необходимо указать на целесообразность или хотя бы некоторые преимущества применяемого метода.
В начале решения следует поместить расчетную схему исследуемых механизмов. Решение должно сопровождаться краткими пояснениями и указаниями на используемые теоремы, принципы, законы, 
преобразования, программы персональных компьютеров и т. п. Математические зависимости следует сначала записать и по возможности решить в общем виде, а затем подставить численные значения 
с сохранением одинаковой последовательности величин в формуле 
и числовом решении. Необходимо указать размерность полученных 
результатов.
Все отмеченные преподавателем ошибки и погрешности должны 
быть исправлены до защиты. Если исправленная работа направляется 
на повторную рецензию, то новое решение нужно представить вместе 
с незачетным.
Авторы выражают благодарность В. С. Перевалову, Р. В. Сагаловой, Г. А. Доброборскому, А. Л. Колосову, В. М. Рачеку, А. М. Бусыгину и другим за составление первого варианта заданий по этому разделу.

Задание К1

ОПРЕДЕЛЕНИЕ УРАВНЕНИЙ ДВИЖЕНИЯ, 
СКОРОСТИ И УСКОРЕНИЯ ТОЧКИ 
ПО ЗАДАННЫМ ПРОЕКЦИЯМ ЕЕ 
СКОРОСТИ

По заданным проекциям скорости точки М и начальным координатам этой точки определить уравнения ее движения, установить вид 
траектории и для момента времени t = h, с, найти положение точки 
на траектории, полные скорость и ускорение, а также касательное 
и нормальное ускорения и радиус кривизны траектории точки. Встречающиеся в задании виды траекторий и их уравнения в декартовых 
координатах указаны в табл. К1-1.

Таблица К1-1

Вид траектории
Уравнение
Астероид
х2 / 3 + у2 / 3 = А2 / 3

Гипербола
ху = А
Кардиоид
(х2 + у2)(х2 + у2 – 2Ах) = А2х2

Окружность
(х – А)2 + (у – В)2 = R2

Парабола
у = Ах2 + Вх + С или х = Ау2 + В1у + C1
Прямая линия
у = Ах + В
Роза четырехлепестковая
(х2 + у2)1,5 = 2Аху
Строфоид Мили
(А – х)у2 = (А + х)х2

Циклоид
х = Aarccos(А – у) / А ± √y(2A – y)
Циссоид Диоклеса
у2 = х3 / (А – х)
Эллипс
(х – А)2 / С2 + (у – В)2 / D2 = 1

Примечание. А, А1, В, В1, С, С1, D, E, R – некоторые постоянные величины.

Исходные данные для расчета приведены в табл. К1-2 и К1-3.

Таблица К1-2

Номер  
варианта
Проекции скорости, м / c
vx
vy
К1-1
–(π / 40) sin2φ cosφ
–(π / 20) sin2φ cosφ
К1-2
0,012π sin2(φ / 2)
0,006π sinφ
К1-3
–(π / 150) cosφ
(π / 75) sinφ
К1-4
0,01π sin2φ
0,02π sin2φ
К1-5
–0,01π sinφ
–(π / 200) sin2φ
К1-6
–0,05π sinφ
0,05π cosφ
К1-7
(7π / 300) sinφ cosφ
(7π / 600) sin2φ

Номер  
варианта
Проекции скорости, м / c
vx
vy
К1-8
–0,03π sinφ
–0,02π cosφ
К1-9
0,04
0,04 / (2 + t)2

К1-10
(π / 200) cosφ
0,01π sin2φ
К1-11
(π / 40) cosφ
(π / 40) sinφ
К1-12
0,01π sinφ
–(π / 150) cosφ
К1-13
0,16е–4t
–0,12е–4t

К1-14
0,01
0,01 (2t + 1)
К1-15
–0,015 – 0,06t
–0,03 – 0,12t
К1-16
–0,03π sinφ cos2φ
0,03π sin2φ cosφ
К1-17
0,04π (1 – cosφ)
0,04π sinφ
К1-18
(π / 80) sinφ
–(π / 80) cosφ
К1-19
0,02t (1 + t)2
–0,02
К1-20
0,08t
0,03
К1-21
–0,01π cosφ
0,01π sinφ
К1-22
0,01π sin2(φ / 2)
0,005π sinφ
К1-23
0,0075 + 0,03t
0,015 + 0,06t
К1-24
–0,02π sin2φ cosφ
0,02π sin2φ sinφ
К1-25
0,0125π sinφ
–0,0075π cosφ
К1-26
0,02π sin2φ
0,01π (1 – 2cos2φ + tg2φ)
К1-27
0,012π (3cos2φ – 1) cosφ
0,012π (3cos2φ + 1)sinφ
К1-28
–0,045π sinφ cos2φ
0,045π sin2φ cosφ
К1-29
0,01π sin2φ
0,01π (2sin2φ + tg2φ)
К1-30
–(3π / 40) (sinφ + sin2φ)
(3π / 40) (cosφ + cos2φ)

Таблица К1-3

Номер 
варианта
Угол φ, 
рад
Начальные координаты, м
Время 
t1, с
x0
y0
К1-1
πt / 3
0,05
0
0,75
К1-2
πt / 4
0
0
1
К1-3
πt / 3
–0,03
–0,04
1
К1-4
πt / 8
0,02
–0,07
1
К1-5
πt / 6
–0,03
0
1
К1-6
πt / 2
0,025
0,025
0,5
К1-7
πt / 6
–0,07
–0,05
2
К1-8
πt / 3
0,14
0,04
5
К1-9
–
0,08
–0,02
2
К1-10
πt / 6
0
–0,01
1
К1-11
πt / 2
–0,03
–0,025
4 / 3

Окончание табл. К1-2

Номер 
варианта
Угол φ, 
рад
Начальные координаты, м
Время 
t1, с
x0
y0
К1-12
πt / 6
–0,08
0
1
К1-13
–
0,04
0,03
0,25
К1-14
–
0,02
0
1
К1-15
–
0,02
0,03
1
К1-16
πt / 4
0,04
0
2 / 3
К1-17
πt / 6
0
0
2
К1-18
πt / 4
–0,05
0
1
К1-19
–
–0,02
–0,02
2
К1-20
–
0,01
0
1,5
К1-21
πt / 3
–0,08
0
0,5
К1-22
πt / 5
0
0
5
К1-23
–
0,015
0,01
0
К1-24
πt / 6
0,08
0
2
К1-25
πt / 4
–0,06
0
3
К1-26
πt / 2
–0,02
0
0,5
К1-27
πt / 3
0
0
0,5
К1-28
πt / 3
0,045
0
1
К1-29
πt / 6
0
0
1
К1-30
πt / 4
0,06
0
2

Методические указания. Для решения задач кинематики точки 
(тела) нужно прежде всего знать закон движения этой точки (тела), 
т. е. положение точки (тела) относительно некоторой системы отсчета 
в любой момент заданного диапазона времени.
Движение точки может быть задано векторным, координатным 
или естественным способом.
При векторном способе задания движения положение точки в пространстве в любой момент времени задается с помощью вектор-функции

 
( ),
r
r t
=


 
(К1.1)

где 

→r – проведенный из начала координат О в данную точку M радиус- 
вектор, величина и направление которого с течением времени 
изменяются по величине и направлению, т. е. зависят от аргумента t.

Окончание табл. К1-3

Вектор скорости точки в данный момент времени равен первой 
производной от радиуса-вектора точки по времени:

 
.
dr
v
r
dt
=
=


  
(К1.2)

Направлен вектор 

→v по касательной к траектории точки в сторону 
ее движения.
Вектор ускорения точки равен первой производной от вектора скорости или второй производной от радиуса-вектора точки по времени:

 

2

2
.
dv
d r
a
v
r
dt
dt
=
=
=
=






  
(К1.3)

Вектор ускорения 

→a лежит в плоскости, соприкасающейся с кривой в данной точке М, и направлен в сторону вогнутости кривой. Для 
плоской кривой соприкасающаяся плоскость совпадает с плоскостью 
этой кривой и является общей для всех ее точек.
Уравнения движения точки при координатном способе задания 
движения представляют собой зависимости координат этой точки 
от времени:

 
( )
( )
( )
1
2
3
, 
, 
.
=
=
=
x
f
t
y
f
t
z
f
t
 
(К1.4)

В этом случае проекции векторов скорости и ускорения точки на 
координатные оси определяются по формулам

 
, 
, 
,
=
=
=
=
=
=



x
y
z
dx
dy
dz
v
x v
y v
z
dt
dt
dt
 
(К1.5)

 

2

2

2

2

2

2

,

,

.

x
x
x

y
y
y

z
z
z

dv
d x
a
v
x
dt
dt
dv
d y
a
v
y
dt
dt
dv
d z
a
v
z
dt
dt


=
=
=
=



=
=
=
=



=
=
=
=












 
(К1.6)

Модули векторов 

→v и 

→a:

 
2
2
2 ;
v
x
y
z
=
+
+



 
(К1.7)

 
2
2
2 .
a
x
y
z
=
+
+



 
(К1.8)

Естественным способом задания движения пользуются в том случае, когда траектория движущейся точки известна заранее. Тогда задаются началом отсчета О на траектории, положительным и отрицательным направлением отсчета и законом движения точки вдоль 
траектории:

 
( ),
s
f t
=
 
(К1.9)

где s – дуговая координата точки, равная расстоянию от точки О до 
точки М, измеренному вдоль дуги траектории и взятому с соответствующим знаком.

Отметим, что координата s в общем случае не равна перемещению точки за время t, так как точка за этот промежуток времени могла 
двигаться сначала в одном направлении, а затем – в обратном, поэтому пройденный ею путь равен сумме перемещений в обоих направлениях, а координата s – разности этих перемещений.
Для вычисления скорости и ускорения точки M при естественном 
способе задания ее движения используют формулы

 
;
ds
v
s
dt
=
=   
(К1.10)

 

2
2
2
;
;
;
,
 
 
 
n
n
n
v
a
a
a
a
a
v
s a
a
a
τ
τ
τ
=
+
=
=
=
=
+
ρ





 
(К1.11)

где s – дуговая координата точки, заданная как функция времени; 
ρ – радиус кривизны траектории; аn и аτ – нормальное и тангенциальное (касательное) ускорения, которые также можно определить по формулам

 
;
n
v
a
a
v

×
=



 
(К1.12)

(
).
v a
a
v
τ
⋅
=
 

 
(К1.13)

Если точка движется в плоскости, то в соответствии с этими формулами имеем

 
2
2 ;
n
xy
yx
a
x
y

−
=
+







 
(К1.14)

 
(
)

2
2 .
xx
yy
a
x
y
τ
+
=
+







 
(К1.15)

Если v > 0, то скорость направлена в сторону положительного отсчета координаты s. Направление касательного ускорения 

→aτ зависит 
от знака проекции aτ.
Криволинейное движение точки называется равномерным, если 
числовое значение скорости все время остается постоянным. При 
этом аτ = dv / dt = 0 и полное ускорение 

→a точки равно одному только 
нормальному ускорению an.
Закон равномерного криволинейного движения имеет вид

 
0
.
s
s
vt
=
+
 
(К1.16)

Если касательное ускорение все время остается постоянным (аτ = 
= dv / dt = const), то такое движение называется равнопеременным. 
Если при этом аτ > 0, то модуль скорости возрастает и движение называется равноускоренным, а если аτ < 0, то модуль скорости убывает 
и движение называется равнозамедленным.
Закон равнопеременного криволинейного движения

 

2

0
0
,
2
a t
s
s
v t
τ
=
+
+
 
(К1.17)

скорость такого движения

 
0
.
v
v
a t
τ
=
+
 
(К1.18)

Формулы (К1.16) – (К1.18) соответствуют также законам равномерного или равнопеременного прямолинейного движения точки, 
если считать s = x и аτ = а (а – ускорение точки).

Если путем прямого исключения параметра t из найденных уравнений движения не удастся сразу получить одно из уравнений, приведенных в табл. К1-1, т. е. выяснить вид траектории, следует сначала определить вид заданной траектории путем подбора подходящего 
уравнения (при этом после подстановки параметрических уравнений 
движения в выбранное уравнение траектории должно получиться 
тождество). Затем остается найти способ преобразования параметрических уравнений движения в уже известное уравнение траектории.

Пример 1 выполнения задания К1. При водопадном режиме движения загрузки в шаровой мельнице (рис. К1-1) шар M, вращающийся вместе с барабаном, отделяется от стенки с начальной скоростью 
v0 = πRn / 30 м / с, где R – радиус кривизны внутренней поверхности барабана, м; п – частота вращения (число оборотов в минуту) барабана, 
мин–1. Положение точки отрыва шара от стенки определяется углом 
α = arccos[v02 / (Rg)], где g – ускорение силы тяжести, м / с2. Дальнейшее движение шара (свободное падение) происходит с ускорением g 
и заканчивается ударом о стенку барабана.

Рис. К1-1

Найти уравнение движения и траекторию шара, а для момента времени t = t1 = 0,7 с определить положение шара на траектории, 
его полные скорость и ускорение, а также касательное и нормальное 
ускорения и радиус кривизны траектории. R = 2,25 м; п = 16,5 мин–1; 
g = 9,81 м / с2.
Решение. Составим уравнения движения шара М как материальной точки в системе отсчета хАу.

Доступ онлайн
2 000 ₽
В корзину