Теоретическая механика : кинематика
Покупка
Тематика:
Теоретическая (аналитическая) механика
Издательство:
Издательский Дом НИТУ «МИСиС»
Год издания: 2019
Кол-во страниц: 60
Дополнительно
Вид издания:
Учебно-методическая литература
Уровень образования:
ВО - Бакалавриат
ISBN: 978-5-906953-99-5
Артикул: 754996.01.99
Доступ онлайн
В корзину
В сборнике заданий приведены основы теории и алгоритмы решения задач по разделу кинематика. В каждом варианте рассмотрены примеры решения задач с подробными методическими пояснениями. К каждой задаче сформулированы вопросы для проверки усвоения материала. Предназначен для студентов, обучающихся в бакалавриате по направлениям подготовки 15.03.02 «Технологические машины и оборудование» и 15.03.03 «Прикладная механика».
Тематика:
ББК:
УДК:
ОКСО:
ГРНТИ:
Скопировать запись
Фрагмент текстового слоя документа размещен для индексирующих роботов.
Для полноценной работы с документом, пожалуйста, перейдите в
ридер.
МИНИС ТЕРС ТВО НАУКИ И ВЫСШ ЕГО О Б РА З О ВА Н И Я РФ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ АВТОНОМНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ «НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ «МИСиС» ИНСТИТУТ ЭКОТЕХНОЛОГИЙ И ИНЖИНИРИНГА Кафедра инжиниринга технологического оборудования Москва 2019 № 3391 Б. В. Воронин Е. Е. Балахнина ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА КИНЕМАТИКА Сборник заданий Рекомендовано редакционно-издательским советом университета
УДК 531.01 В75 Р е ц е н з е н т д-р техн. наук, проф. Н. И. Абрамкин Воронин Б. В. В75 Теоретическая механика : кинематика : сб. заданий / Б. В. Воронин, Е. Е. Балахнина. – М. : Изд. Дом НИТУ «МИСиС», 2019. – 60 с. ISBN 978-5-906953-99-5 В сборнике заданий приведены основы теории и алгоритмы решения задач по разделу кинематика. В каждом варианте рассмотрены примеры решения задач с подробными методическими пояснениями. К каждой задаче сформулированы вопросы для проверки усвоения материала. Предназначен для студентов, обучающихся в бакалавриате по направлениям подготовки 15.03.02 «Технологические машины и оборудование» и 15.03.03 «Прикладная механика». УДК 531.01 © Б. В. Воронин, Е. Е. Балахнина, 2019 ISBN 978-5-906953-99-5 © НИТУ «МИСиС», 2019
СОДЕРЖАНИЕ Предисловие ..............................................................................................4 Задание К1. Определение уравнений движения, скорости и ускорения точки по заданным проекциям ее скорости ......................5 Контрольные вопросы и задания ......................................................... 20 Задание К2. Определение скорости и ускорения точки твердого тела при его поступательном или вращательном движении ..................................................................................................21 Контрольные вопросы и задания ......................................................... 31 Задание К3. Определение скоростей и ускорений точек твердого тела при его плоском движении ............................................33 Контрольные вопросы и задания ......................................................... 46 Задание К4. Определение параметров сложного движения точки .....48 Контрольные вопросы и задания ......................................................... 58 Библиографический список ...................................................................59
ПРЕДИСЛОВИЕ Сборник заданий содержит необходимое количество информации для самостоятельной работы студентов по разделу кинематика теоретической механики. Каждое задание сопровождается краткими методическими указаниями по его решению, примерами выполнения и контрольными вопросами для проверки усвоения материала. Курсовое домашнее задание следует выполнять на листах формата А4, используя одну сторону листа и оставляя поля для замечаний рецензента. В начале работы необходимо привести полный текст задания, исходные данные и рисунок (чертеж) заданного механизма, который следует выполнить аккуратно с соблюдением стандартного масштаба и прочих требований ЕСКД и с учетом конкретных линейных и угловых параметров исследуемого механизма. Каждый рисунок должен иметь подрисуночную надпись. Каждое задание должно быть решено методом, рекомендованным в методических указаниях. Если выбор метода решения предоставлен студенту, необходимо указать на целесообразность или хотя бы некоторые преимущества применяемого метода. В начале решения следует поместить расчетную схему исследуемых механизмов. Решение должно сопровождаться краткими пояснениями и указаниями на используемые теоремы, принципы, законы, преобразования, программы персональных компьютеров и т. п. Математические зависимости следует сначала записать и по возможности решить в общем виде, а затем подставить численные значения с сохранением одинаковой последовательности величин в формуле и числовом решении. Необходимо указать размерность полученных результатов. Все отмеченные преподавателем ошибки и погрешности должны быть исправлены до защиты. Если исправленная работа направляется на повторную рецензию, то новое решение нужно представить вместе с незачетным. Авторы выражают благодарность В. С. Перевалову, Р. В. Сагаловой, Г. А. Доброборскому, А. Л. Колосову, В. М. Рачеку, А. М. Бусыгину и другим за составление первого варианта заданий по этому разделу.
Задание К1 ОПРЕДЕЛЕНИЕ УРАВНЕНИЙ ДВИЖЕНИЯ, СКОРОСТИ И УСКОРЕНИЯ ТОЧКИ ПО ЗАДАННЫМ ПРОЕКЦИЯМ ЕЕ СКОРОСТИ По заданным проекциям скорости точки М и начальным координатам этой точки определить уравнения ее движения, установить вид траектории и для момента времени t = h, с, найти положение точки на траектории, полные скорость и ускорение, а также касательное и нормальное ускорения и радиус кривизны траектории точки. Встречающиеся в задании виды траекторий и их уравнения в декартовых координатах указаны в табл. К1-1. Таблица К1-1 Вид траектории Уравнение Астероид х2 / 3 + у2 / 3 = А2 / 3 Гипербола ху = А Кардиоид (х2 + у2)(х2 + у2 – 2Ах) = А2х2 Окружность (х – А)2 + (у – В)2 = R2 Парабола у = Ах2 + Вх + С или х = Ау2 + В1у + C1 Прямая линия у = Ах + В Роза четырехлепестковая (х2 + у2)1,5 = 2Аху Строфоид Мили (А – х)у2 = (А + х)х2 Циклоид х = Aarccos(А – у) / А ± √y(2A – y) Циссоид Диоклеса у2 = х3 / (А – х) Эллипс (х – А)2 / С2 + (у – В)2 / D2 = 1 Примечание. А, А1, В, В1, С, С1, D, E, R – некоторые постоянные величины. Исходные данные для расчета приведены в табл. К1-2 и К1-3. Таблица К1-2 Номер варианта Проекции скорости, м / c vx vy К1-1 –(π / 40) sin2φ cosφ –(π / 20) sin2φ cosφ К1-2 0,012π sin2(φ / 2) 0,006π sinφ К1-3 –(π / 150) cosφ (π / 75) sinφ К1-4 0,01π sin2φ 0,02π sin2φ К1-5 –0,01π sinφ –(π / 200) sin2φ К1-6 –0,05π sinφ 0,05π cosφ К1-7 (7π / 300) sinφ cosφ (7π / 600) sin2φ
Номер варианта Проекции скорости, м / c vx vy К1-8 –0,03π sinφ –0,02π cosφ К1-9 0,04 0,04 / (2 + t)2 К1-10 (π / 200) cosφ 0,01π sin2φ К1-11 (π / 40) cosφ (π / 40) sinφ К1-12 0,01π sinφ –(π / 150) cosφ К1-13 0,16е–4t –0,12е–4t К1-14 0,01 0,01 (2t + 1) К1-15 –0,015 – 0,06t –0,03 – 0,12t К1-16 –0,03π sinφ cos2φ 0,03π sin2φ cosφ К1-17 0,04π (1 – cosφ) 0,04π sinφ К1-18 (π / 80) sinφ –(π / 80) cosφ К1-19 0,02t (1 + t)2 –0,02 К1-20 0,08t 0,03 К1-21 –0,01π cosφ 0,01π sinφ К1-22 0,01π sin2(φ / 2) 0,005π sinφ К1-23 0,0075 + 0,03t 0,015 + 0,06t К1-24 –0,02π sin2φ cosφ 0,02π sin2φ sinφ К1-25 0,0125π sinφ –0,0075π cosφ К1-26 0,02π sin2φ 0,01π (1 – 2cos2φ + tg2φ) К1-27 0,012π (3cos2φ – 1) cosφ 0,012π (3cos2φ + 1)sinφ К1-28 –0,045π sinφ cos2φ 0,045π sin2φ cosφ К1-29 0,01π sin2φ 0,01π (2sin2φ + tg2φ) К1-30 –(3π / 40) (sinφ + sin2φ) (3π / 40) (cosφ + cos2φ) Таблица К1-3 Номер варианта Угол φ, рад Начальные координаты, м Время t1, с x0 y0 К1-1 πt / 3 0,05 0 0,75 К1-2 πt / 4 0 0 1 К1-3 πt / 3 –0,03 –0,04 1 К1-4 πt / 8 0,02 –0,07 1 К1-5 πt / 6 –0,03 0 1 К1-6 πt / 2 0,025 0,025 0,5 К1-7 πt / 6 –0,07 –0,05 2 К1-8 πt / 3 0,14 0,04 5 К1-9 – 0,08 –0,02 2 К1-10 πt / 6 0 –0,01 1 К1-11 πt / 2 –0,03 –0,025 4 / 3 Окончание табл. К1-2
Номер варианта Угол φ, рад Начальные координаты, м Время t1, с x0 y0 К1-12 πt / 6 –0,08 0 1 К1-13 – 0,04 0,03 0,25 К1-14 – 0,02 0 1 К1-15 – 0,02 0,03 1 К1-16 πt / 4 0,04 0 2 / 3 К1-17 πt / 6 0 0 2 К1-18 πt / 4 –0,05 0 1 К1-19 – –0,02 –0,02 2 К1-20 – 0,01 0 1,5 К1-21 πt / 3 –0,08 0 0,5 К1-22 πt / 5 0 0 5 К1-23 – 0,015 0,01 0 К1-24 πt / 6 0,08 0 2 К1-25 πt / 4 –0,06 0 3 К1-26 πt / 2 –0,02 0 0,5 К1-27 πt / 3 0 0 0,5 К1-28 πt / 3 0,045 0 1 К1-29 πt / 6 0 0 1 К1-30 πt / 4 0,06 0 2 Методические указания. Для решения задач кинематики точки (тела) нужно прежде всего знать закон движения этой точки (тела), т. е. положение точки (тела) относительно некоторой системы отсчета в любой момент заданного диапазона времени. Движение точки может быть задано векторным, координатным или естественным способом. При векторном способе задания движения положение точки в пространстве в любой момент времени задается с помощью вектор-функции ( ), r r t = (К1.1) где →r – проведенный из начала координат О в данную точку M радиус- вектор, величина и направление которого с течением времени изменяются по величине и направлению, т. е. зависят от аргумента t. Окончание табл. К1-3
Вектор скорости точки в данный момент времени равен первой производной от радиуса-вектора точки по времени: . dr v r dt = = (К1.2) Направлен вектор →v по касательной к траектории точки в сторону ее движения. Вектор ускорения точки равен первой производной от вектора скорости или второй производной от радиуса-вектора точки по времени: 2 2 . dv d r a v r dt dt = = = = (К1.3) Вектор ускорения →a лежит в плоскости, соприкасающейся с кривой в данной точке М, и направлен в сторону вогнутости кривой. Для плоской кривой соприкасающаяся плоскость совпадает с плоскостью этой кривой и является общей для всех ее точек. Уравнения движения точки при координатном способе задания движения представляют собой зависимости координат этой точки от времени: ( ) ( ) ( ) 1 2 3 , , . = = = x f t y f t z f t (К1.4) В этом случае проекции векторов скорости и ускорения точки на координатные оси определяются по формулам , , , = = = = = = x y z dx dy dz v x v y v z dt dt dt (К1.5) 2 2 2 2 2 2 , , . x x x y y y z z z dv d x a v x dt dt dv d y a v y dt dt dv d z a v z dt dt = = = = = = = = = = = = (К1.6)
Модули векторов →v и →a: 2 2 2 ; v x y z = + + (К1.7) 2 2 2 . a x y z = + + (К1.8) Естественным способом задания движения пользуются в том случае, когда траектория движущейся точки известна заранее. Тогда задаются началом отсчета О на траектории, положительным и отрицательным направлением отсчета и законом движения точки вдоль траектории: ( ), s f t = (К1.9) где s – дуговая координата точки, равная расстоянию от точки О до точки М, измеренному вдоль дуги траектории и взятому с соответствующим знаком. Отметим, что координата s в общем случае не равна перемещению точки за время t, так как точка за этот промежуток времени могла двигаться сначала в одном направлении, а затем – в обратном, поэтому пройденный ею путь равен сумме перемещений в обоих направлениях, а координата s – разности этих перемещений. Для вычисления скорости и ускорения точки M при естественном способе задания ее движения используют формулы ; ds v s dt = = (К1.10) 2 2 2 ; ; ; , n n n v a a a a a v s a a a τ τ τ = + = = = = + ρ (К1.11) где s – дуговая координата точки, заданная как функция времени; ρ – радиус кривизны траектории; аn и аτ – нормальное и тангенциальное (касательное) ускорения, которые также можно определить по формулам ; n v a a v × = (К1.12)
( ). v a a v τ ⋅ = (К1.13) Если точка движется в плоскости, то в соответствии с этими формулами имеем 2 2 ; n xy yx a x y − = + (К1.14) ( ) 2 2 . xx yy a x y τ + = + (К1.15) Если v > 0, то скорость направлена в сторону положительного отсчета координаты s. Направление касательного ускорения →aτ зависит от знака проекции aτ. Криволинейное движение точки называется равномерным, если числовое значение скорости все время остается постоянным. При этом аτ = dv / dt = 0 и полное ускорение →a точки равно одному только нормальному ускорению an. Закон равномерного криволинейного движения имеет вид 0 . s s vt = + (К1.16) Если касательное ускорение все время остается постоянным (аτ = = dv / dt = const), то такое движение называется равнопеременным. Если при этом аτ > 0, то модуль скорости возрастает и движение называется равноускоренным, а если аτ < 0, то модуль скорости убывает и движение называется равнозамедленным. Закон равнопеременного криволинейного движения 2 0 0 , 2 a t s s v t τ = + + (К1.17) скорость такого движения 0 . v v a t τ = + (К1.18) Формулы (К1.16) – (К1.18) соответствуют также законам равномерного или равнопеременного прямолинейного движения точки, если считать s = x и аτ = а (а – ускорение точки).
Если путем прямого исключения параметра t из найденных уравнений движения не удастся сразу получить одно из уравнений, приведенных в табл. К1-1, т. е. выяснить вид траектории, следует сначала определить вид заданной траектории путем подбора подходящего уравнения (при этом после подстановки параметрических уравнений движения в выбранное уравнение траектории должно получиться тождество). Затем остается найти способ преобразования параметрических уравнений движения в уже известное уравнение траектории. Пример 1 выполнения задания К1. При водопадном режиме движения загрузки в шаровой мельнице (рис. К1-1) шар M, вращающийся вместе с барабаном, отделяется от стенки с начальной скоростью v0 = πRn / 30 м / с, где R – радиус кривизны внутренней поверхности барабана, м; п – частота вращения (число оборотов в минуту) барабана, мин–1. Положение точки отрыва шара от стенки определяется углом α = arccos[v02 / (Rg)], где g – ускорение силы тяжести, м / с2. Дальнейшее движение шара (свободное падение) происходит с ускорением g и заканчивается ударом о стенку барабана. Рис. К1-1 Найти уравнение движения и траекторию шара, а для момента времени t = t1 = 0,7 с определить положение шара на траектории, его полные скорость и ускорение, а также касательное и нормальное ускорения и радиус кривизны траектории. R = 2,25 м; п = 16,5 мин–1; g = 9,81 м / с2. Решение. Составим уравнения движения шара М как материальной точки в системе отсчета хАу.
Доступ онлайн
В корзину