Теоретическая механика : статика

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ 

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ АВТОНОМНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ  
ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ  
«НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ «МИСиС» 

ИНСТИТУТА ЭКОЛОГИИ И ИНЖИНИРИНГА 

 

 
 
 

 

 

 

 
 

 

№ 2892 

Кафедра инжиниринга технологического оборудования

П.М. Вержанский 
Б.В. Воронин 
М.Н. Вьюшина 

Теоретическая механика

Статика 

Сборник курсовых задач 

Рекомендовано редакционно-издательским 
советом университета 

Москва  2017 

УДК 531.01:622 
 
В31 

Р е ц е н з е н т  
д-р техн. наук, проф. Н.И. Абрамкин 

Вержанский П.М. 
В31  
Теоретическая механика : статика : сб. курсовых заданий / 
П.М. Вержанский, Б.В. Воронин, М.Н. Вьюшина. – М. : Изд. 
Дом НИТУ «МИСиС», 2016. – 72 с. 
ISBN 978-5-906846-59-4 

Содержит общие методические указания и индивидуальные задания для 
домашних и контрольных работ по разделу «Статика». 
По каждому заданию дан алгоритм решения и приведены вопросы для 
проверки усвоения материала. 
Предназначен для студентов, обучающихся по специальности 21.05.04 
«Горное дело». 

УДК 531.01:622 

ISBN 978-5-906846-59-4 
 П.М. Вержанский, Б.В. Воронин, 
М.Н. Вьюшина, 2017 
 
 НИТУ «МИСиС», 2017 

ОГЛАВЛЕНИЕ 

Предисловие .............................................................................................. 4 
1. Общие методические указания по решению задач статики ............. 6 
2. Задание С1 Определение реакций связей твердого тела .................. 9 
3. Задание С2. Определение реакций опор и усилий 
в стержнях плоской фермы .................................................................... 20 
4. Задание С3. Определение реакций опор составной 
конструкции ............................................................................................ 35 
5. Задание С4. Равновесие системы тел с учетом сцепления 
(трения покоя) ......................................................................................... 44 
6. Задание С5. Равновесие пространственной системы сил ............... 61 
Библиографический список ................................................................... 71 
 

Предисловие 

Настоящий сборник содержит минимально необходимое количество заданий для самостоятельной работы студентов по двум разделам курса теоретической механики – статике и кинематике. Каждое 
задание имеет тридцать вариантов и сопровождается краткими методическими указаниями по его решению, примерами выполнения и 
контрольными вопросами для проверки усвоения материала.  
Курсовое задание следует выполнять на листах формата А4, используя одну сторону листа и оставляя поля для замечаний рецензента. В начале работы необходимо привести полный текст задания, исходные данные и рисунок (чертеж) заданной механической системы, 
который следует выполнить аккуратно с соблюдением стандартного 
масштаба и прочих требований ЕСКД и с учетом конкретных линейных и угловых параметров исследуемого устройства. 
Каждое задание должно быть решено методом, рекомендованным 
в методических указаниях. Если выбор метода решения предоставлен студенту, необходимо указать на целесообразность или хотя бы 
некоторые преимущества применяемого метода.  
В начале решения следует поместить расчетную схему исследуемой механической системы, где должны быть показаны координатные оси, векторы действующих внешних сил и реакций связей, направление движения (если оно известно заранее), векторы известных 
скоростей, ускорений и т.д. Однако необходимо следить за тем, чтобы схема не была перегружена избыточными параметрами. Нельзя, 
например, одновременно изображать распределенную нагрузку и 
заменяющую ее равнодействующую сосредоточенную силу. Если 
для упрощения расчетов силу раскладывают на составляющие, то на 
схеме показывают только составляющие. Если действие связи заменяется ее реакцией, то на схеме наносят реакцию или ее составляющие, а связь (опору) не изображают. В крайнем случае, например для 
промежуточного шарнира, допустимо показывать одновременно силы (реакции) действия и противодействия.  
Решение должно сопровождаться краткими пояснениями и указаниями на используемые теоремы, принципы, законы, преобразования, программы персональных компьютеров и т.п. Математические 
зависимости следует сначала записать и по возможности решить в 
общем виде, а затем подставить численные значения с сохранением 

одинаковой последовательности величин в формуле и числовом решении. Необходимо указать размерность полученных результатов.  
Все отмеченные преподавателем ошибки и погрешности должны 
быть исправлены до защиты. Если исправленная работа направляется 
на повторную рецензию, то новое решение нужно представить вместе с незачётным.  
Авторы благодарны проф. И.Н. Фальк, доцентам Ю.В. Дмитраку 
и А.М. Бусыгину за подготовку материалов к первой редакции настоящего сборника. 

1. ОБЩИЕ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ 
ПО РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ СТАТИКИ 

Приступая к решению любой задачи статики, необходимо прежде 
всего установить, равновесие какого тела (или тел) необходимо рассмотреть, чтобы определить искомые величины.  
Независимо от взаимного расположения сил, приложенных к телу, решение задачи рекомендуется проводить в следующем порядке: 
1) Выделить тело (или тела), равновесие которого должно быть 
рассмотрено. 
2) Изобразить действующие на тело внешние активные силы.  
3) Освободить тело от связей и заменить их действие реакциями 
их связей. 
4) Составить условие равновесия полученной системы сил (активных и реакций связи). Особенности составления условий равновесия 
для различных систем сил будут рассмотрены более подробно применительно к конкретным задачам.  
5) Определить искомые величины, проверить правильность решения задачи и исследовать полученные результаты.  
Обращаем внимание на основные понятия и определения, усвоение 
которых крайне важно для выполнения третьего и четвертого пунктов 
рекомендуемой последовательности процесса решения задачи. 
Связями называются тела, которые ограничивают перемещения 
данного тела в пространстве.  
Реакцией связи называется сила, с которой данная связь действует 
на тело, препятствуя тем или иным его перемещениям. Правильное 
определение направлений реакций связей при решении задач механики играет очень важную роль. 
Ниже приведены конструктивные виды связей и направления их 
реакций.  

Основные виды связи и их реакции 

Вид связи 
Реакция связи 

Гладкая поверхность или опора 
 

Гладкой называется поверхность, трением о которую можно пренебречь. 
Реакция N



 гладкой поверхности направлена 
перпендикулярно общей касательной к поверхностям соприкасающихся тел в точке их касания 
(а) и приложена в этой точке. 
Если одна из соприкасающихся поверхностей 
является точкой (б), то реакция направлена перпендикулярно к другой поверхности 

Нить (цепь, трос, канат) 
Реакция натянутой нити направлена вдоль нити 
к точке ее подвеса 

Цилиндрический шарнир 
(подшипник) 

Реакция цилиндрического шарнира 
(подшипника) может иметь любое направление в 
плоскости, перпендикулярной к оси шарнира 
(т.е. в плоскости Axy).  
При решении задач такая реакция представляется двумя ее составляющими 
a
X


 и 
a
Y , направленными вдоль координатных осей X и Y 

Подвижная шарнирная 
(катковая) опора 

Реакция N



 подвижной (катковой) опоры направлена перпендикулярно к поверхности, на 
которую опираются катки 

Неподвижная защемляющая 
опора (жесткая заделка) 

Реакция жесткой заделки включает в себя силу 

a
R


 неизвестного направления в плоскость чертежа и силу с моментом Ma. 
При решении задач сила 
a
R


 представляется 

двумя ее составляющими 
a
X


 и 
a
Y , и опреде
ляются три неизвестные величины 
a
X


 и 
a
Y  и 

a
M


Сферический (шаровой) шарнир  Реакция сферического шарнира может иметь 
любое направление в пространстве. 
При решении задач такая реакция представляется тремя ее составляющими 
a
x , 
a
y  и 
a
z вдоль 
координатных осей 

Подпятник (подшипник 
с упором) 

Реакция подпятника А может иметь любое направление в пространстве.  
При решении задач такая реакция представляется тремя ее составляющими 
a
x , 
a
y  и 
a
z  вдоль 
координатных осей. В точке В изображена реакция цилиндрического шарнира с вертикальным 
расположением оси вращения 

Невесомый стержень 
 Реакция N



 прямолинейного шарнирно прикрепленного невесомого стержня направлена вдоль 
оси стержня 

Проекцией силы на ось называется скалярная величина, равная 
произведению модуля силы на косинус угла между направлением 
силы и положительным направлением оси. Если этот угол острый – 
проекция положительна, если тупой – отрицательна, а если сила перпендикулярна оси – ее проекция на ось равна нулю. 
Скалярным моментом силы относительно какого либо центра О 
называется величина, равная взятому с соответствующим знаком 
произведению модуля силы на длину плеча:  
 
O
M
F
Fh
 

, где h – плечо силы F  относительно центра O, т.е. 

длина перпендикуляра, опущенного из точки О на линию действия 
силы. 

Момент считается положительным, если направление вращения 
вокруг точки О, указываемое силой, противоположно направлению 
хода часовой стрелки. 
Моментом силы относительно оси называется скалярная величина, 
равная моменту проекции этой силы на плоскость, перпендикулярную 
данной оси, взятому относительно точки пересечения оси с плоскостью: 
 
z
xy
M
F
F h
 

, где Fxy – модуль проекции силы F

 на плос
кость Oxy; h – плечо проекции Fxy относительно точки O пересечения 
оси z с плоскостью Oxy.  
Если определение проекции силы на плоскость, перпендикулярную оси, или плеча этой проекции относительно точки пересечения 
оси с плоскостью, затруднительно, то следует разложить силу на составляющие. Затем вместо момента силы относительно оси надо, 
применив теорему Вариньона, вычислить сумму моментов, ее составляющих, относительно этой оси.  
Знак момента положителен, если наблюдатель, глядя с положительного конца оси, видит направление вращения вокруг оси, указываемое силой, противоположно направлению хода часовой стрелки. 
Момент силы относительно оси равен нулю, если линия действия 
силы и ось параллельны или пересекаются, т.е. если сила и ось лежат 
в одной плоскости. 
Пара сил – система, состоящая из двух параллельных, равных по 
модулю и противоположно направленных сил ( F
F
 



). Действие 
пары сил на тело полностью определяет ее вектор-момент M



, направленный перпендикулярно плоскости пары так, чтобы, глядя с его 
конца, видеть вращение пары, направленное противоположно ходу 
часовой стрелки. Модуль момента 
,
M
Fh




 где h – плечо пары (рас
стояние между линиями действия ее сил). 
Скалярный момент пары M
Fh
 
; положительный знак соответствует вращению пары против хода часовой стрелки. Сумма проекций сил, составляющих пару, на любую координатную ось всегда 
равна нулю. Сумма моментов сил, составляющих пару, относительно 
любого центра всегда равна моменту пары.  

2. Задание С1. Определение реакций 
связей твердого тела 

Найти реакции связей конструкции, вызываемые действующими на 
нее нагрузками. Схемы конструкций, их размеры, м, и виды нагрузок 
приведены на рис. С1-1–С1-30, а величины нагрузок – в табл. С1-1. 

Таблица С1-1 

Величины нагрузок 

Номер 
варианта 
F, кН 
M, Н·м 
q (qm), 
кН/м 
Номер 
варианта 
F, кН 
M, Н·м 
q (qm), 
кН/м 

С1-1 
16 
4 
2 
С1-16 
20 
8 
4 

С1-2 
10 
6 
4 
С1-17 
14 
11 
1 

С1-3 
6 
5 
1 
С1-18 
12 
14 
5 

С1-4 
6 
8 
2 
С1-19 
10 
4 
2 

С1-5 
5 
3 
1,5 
С1-20 
4 
6 
4 

С1-6 
20 
4 
2 
С1-21 
16 
10 
7 

С1-7 
12 
6 
5 
С1-22 
14 
12 
6 

С1-8 
15 
10 
3 
С1-23 
- 
16 
11 

С1-9 
4 
12 
4 
С1-24 
6 
7 
8 

С1-10 
7 
8 
6 
С1-25 
10 
5 
2 

С1-11 
2 
4 
2 
С1-26 
4 
8 
3 

С1-12 
10 
- 
2 
С1-27 
15 
6 
2 

С1-13 
4 
5 
3 
С1-28 
11 
- 
12 

С1-14 
6 
2 
3 
С1-29 
13 
4 
1 

С1-15 
2 
8 
4 
С1-30 
17 
2 
3 

Методические указания 

Кроме общих методических указаний по решению задач статики, 
при выполнении этого задания необходимо иметь в виду, что для 
равновесия произвольной плоской системы сил необходимо и достаточно, чтобы сумма проекций всех сил на каждую из двух координатных осей и сумма моментов этих сил относительно произвольного центра О, лежащего в плоскости действия сил, были равны нулю:  

 


0;
0;
0.
k
k
O
k
X
Y
M
F









 

Это так называемая основная форма условий равновесия. Для этой 
же системы сил используют еще две формы условий равновесия: 

 
0;
k
X 

 


0;
A
k
M
F






0,
B
k
M
F





 

причем центры A и В не должны лежать на прямой, перпендикулярной оси x; 

 


0;
A
k
M
F






0;
B
k
M
F






0,
C
k
M
F





 

причем центры А, В и С не должны располагаться на одной прямой. 
Для получения более простых уравнений равновесия следует (если это не усложняет ход расчета): 

а) составляя уравнение проекций, выбрать координатную ось перпендикулярную какой-нибудь неизвестной силе; 
б) составляя уравнение моментов, выбрать центр моментов в точке, 
где пересекаются линии действия большего числа неизвестных сил.  
При вычислении моментов иногда бывает удобно (например, если 
плечо силы относительно центра вычислить затруднительно) разложить данную силу на две составляющие и находить момент силы как 
сумму моментов этих составляющих.