Математические методы и информационные технологии управления в науке, образовании и правоохранительной сфере

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ  
РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ 
ФЕДЕРАЛЬНАЯ СЛУЖБА ИСПОЛНЕНИЯ НАКАЗАНИЙ  

Московский государственный технический университет  
имени Н. Э. Баумана 

Академия ФСИН России 
Рязанский государственный университет имени С. А. Есенина 

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ  
И ИНФОРМАЦИОННЫЕ ТЕХНОЛОГИИ УПРАВЛЕНИЯ  
В НАУКЕ, ОБРАЗОВАНИИ  
И ПРАВООХРАНИТЕЛЬНОЙ СФЕРЕ 

Сборник материалов 
Всероссийской научно-технической конференции 
(Москва – Рязань, 27–28 апреля 2017 г.) 

Под общей редакцией  
доктора технических наук, профессора В. А. Минаева 

Рязань 
2017 

ББК 32.81 
        М34 
Редакционная коллегия: 
В. А. Минаев, профессор кафедры ИУ10 – «Защита информации» 
МГТУ имени Н. Э. Баумана, заслуженный работник высшей школы 
Российской Федерации, доктор технических наук, профессор; 
В. П. Корячко, заслуженный деятель науки и техники Российской Федерации, почетный работник высшего профессионального образования Российской Федерации, профессор кафедры математики и информационных технологий управления Академии ФСИН России, доктор 
технических наук, профессор; М. Т. Терехин, профессор кафедры математики и методики преподавания математических дисциплин Рязанского государственного университета имени С. А. Есенина, доктор 
физико-математических наук, профессор; А. О. Фаддеев, профессор 
кафедры математики и информационных технологий управления Академии ФСИН России, доктор технических наук, доцент; Е. М. Фулина, 
преподаватель кафедры математики и информационных технологий 
управления Академии ФСИН России (секретарь) 

М34 
Математические методы и информационные технологии 
управления в науке, образовании и правоохранительной сфере : 
сб. материалов Всерос. науч.-техн. конф. (Москва – Рязань, 
27–28 апреля 2017 г.) / под общ. ред. В. А. Минаева. – Рязань : Академия ФСИН России, 2017. –  340 с.  

ISBN 978-5-7743-0815-6 

В сборник включена труды участников Всероссийской научнотехнической конференции «Математические методы и информационные 
технологии управления в науке, образовании и правоохранительной 
сфере» (ММИТ-2017). Рассматриваются вопросы разработки и использования информационных технологий и математических методов для 
решения задач в различных областях. В частности, приводятся результаты перспективных исследований проблем информационной безопасности, теории дифференциальных уравнений, математического моделирования, создания и внедрения информационных технологий, систем и 
программных средств, обсуждаются инновационные подходы к преподаванию дисциплин математического и информационного цикла. 

ISBN 978-5-7743-0815-6 

             ББК 32.81 
© Академия ФСИН России, 2017 

СОДЕРЖАНИЕ 
 
  
Секция  
ПРИКЛАДНЫЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ И МОДЕЛИ 

11 Бобович Н. М. Об одной методике количественного анализа живучести критически важных объектов информации 

13 Дорошина Н. В. Обзор методов расчета фрактальной размерности 

временных рядов 

17 Егин М. М. Использование многоцелевого эволюционного алго
ритма оптимизации для настройки параметров бинарного классификатора 

19 Ильин М. Е. Прикладная математическая модель управления движением электромеханической системы 

23 Конюхов А. Н., Дюбуа А. Б., Сафошкин А. С. Компьютерное моделирование некоторых лингвистических модификаторов нечетких множеств 

27 Лискина Е. Ю., Гальцева Ю. Д. Идентификация регрессионной модели инвестиций методом анализа панельных данных 

31 
Минаев В. А., Фаддеев А. О., Невдах Т. М., Кузьменко Н. А. О моделировании миграции эндогенно-геологической энергии 

36 Пружинина О. П. Применение метода анализа иерархий для оценки 

рисков закупочного цикла в системе закупок товаров, работ, услуг 
для обеспечения государственных нужд 

39 
Савин А. С. Об одной модели развития многоотраслевой экономики 

41 
Терехин М. Т., Белова Ю. Е. Математическая модель развития многосекционной страховой компании 

44 Терехин М. Т., Политов К. О. Математическая модель циклического развития экономической системы при наличии уравнений 
связи 

46 
Терехин М. Т., Шуварикова Е. В. Математическая модель развития 
многосекторной экономической системы 

48 
Трепакова В. С. Идентификация регрессионной модели продаж методом анализа панельных данных 

51 
Шабанова В. Г., Василькин Н. В., Поверинов А. И. О методике прогнозирования роста капитала предприятия 

Секция  
ТЕХНОЛОГИИ И ПРИНЦИПЫ ОБЕСПЕЧЕНИЯ 
ИНФОРМАЦИОННОЙ БЕЗОПАСНОСТИ 

56 
Кочедыков С. С., Сумин В. И., Дубровин А. С., Долматова Я. Г. Постановка задачи математического моделирования противодействия 
несанкционированному доступу к автоматизированной информационной системе специального назначения 

59 
Дручевская К. А., Андреева О. А. Построение модели ролевого разграничения доступа информационной системы 

62 
Дудкин Ю. А. Моделирование угроз безопасности информации стохастическими сетями Петри 

65 
Ивличев П. С., Ивличева Н. А. Современные средства идентификации 
и аутентификации пользователей популярных информационных ресурсов и методы их обхода злоумышленниками 

69 
Коротких Л. П., Кольцов А. С., Паринов А. В. Методика определения 
категории важности при организации защиты инфокоммуникационных систем силовых ведомств 

72 
Коротких Л. П., Лукьянова Ю. К., Попов Н. Н. Анализ проблем 
обеспечения информационной безопасности инновационных инфокоммуникационных систем: оценки и рекомендации 

76 
Коротких Л. П., Ситюгин Р. В., Кольцов А. С. Особенности интеграции технологий обнаружения и предотвращения вторжения в сетевой инфраструктуре учреждений УИС 

78 
Лапонина О. Р. Оптимизация сетевой топологии при использовании SDN-архитектуры 

85 
Луценко И. В. Математические методы моделирования защиты информации в компьютерной сети 

89 
Минаев В. А., Сычёв М. П., Вайц Е. В., Грачёва Ю. В. Моделирование 
вирусных эпидемий в компьютерной сети с использованием принципов системной динамики 

94 
Минаев В. А., Сычёв М. П., Вайц Е. В., Грачёва Ю. В. Моделирование 
информационного противоборства с использованием принципов 
системной динамики 

98 
Кочедыков С. С., Душкин А. В., Новосельцев В. И., Назмиев Р. Р. Алгоритм имитационной модели противодействия несанкционированному доступу к автоматизированной информационной системе специального назначения средствами защиты информации 

103 Поташникова С. В., Синегубов С. В. Моделирование сетевых атак на 
технические средства охраны 

105 Чудиловская Т. Г. Вопросы защиты информации в среде облачных 
вычислений 

 
 

  
Секция  
ТЕОРИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ  
И ЕЕ ПРИЛОЖЕНИЯ 

108 Абрамов В. В. К вопросу об устойчивости при постоянно действующих возмущениях для нормальных систем дифференциальных уравнений с малым параметром 

111 Гасанов Ш. Ш. Дифференциальные инварианты преобразований по 
состоянию для уравнений с управлением первого порядка 

112 Горинов А. А. Конечномерные динамики систем эволюционных дифференциальных уравнений 

114 Ионова И. В. Условия существования гиперболических предельных 
циклов второго рода системы фазовой автоподстройки частоты 

115 Клочкова И. Ю. К исследованию динамической системы прыжка парашютиста 

118 Ковалев В. А. Оценка стоимости европейского опциона колл (call) 

120 Кушнер Г. А. Расчет собственных частот поперечных колебаний балки, лежащей на упругом основании переменной жесткости 

123 Кушнер Е. Н. Особенности решений обобщенных систем дифферен
циальных уравнений Эйлера 

123 Кушнер А. Г., Мачоган О. Ю. Конечномерные динамики эволюцион
ных дифференциальных уравнений третьего порядка 

126 Мамедова Т. Ф., Егорова Д. К., Десяев Е. В. Об устойчивости решений 

по части переменных в математических моделях вольтерровского типа 

130 Нечепуренко И. А. Исследование состояний равновесия односекторной динамической модели экономики региона 

133 Рооп М. Д. Компьютерное моделирование затопленных струй 

134 Савотченко С. Е. Контактная краевая задача для нелинейного уравне
ния Шредингера с распределенными параметрами и сингулярностью 

139 Фулина Е. М. Условия устойчивости невозмущенного движения 
в одном критическом случае 

Секция  
ИНФОРМАЦИОННЫЕ ТЕХНОЛОГИИ     
И МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ПРОЦЕССОВ УПРАВЛЕНИЯ 

143 Алексеев Д. А., Ноев А. Н., Кисарев А. С. Разработка требований к 
математической модели автоматизированной системы управления 
критически важными объектами 

144 Дубровин А. С., Кочедыков С. С., Сидоров Е. П., Сенькин А. А. К вопросу имитационного моделирования процессов обработки информации в автоматизированных системах управления критически важных объектов 

148 Душкин А. В., Приходько А. П., Сахаров С. Л., Мещерякова К. О. Разработка структуры автоматизированной системы управления критически важными объектами на примере единой системы организации 
воздушного движения 

151 Кочедыков С. С., Долматова Я. Г., Мещерякова К. О. Оценка рисков 
устойчивого 
функционирования 
автоматизированной 
системы 
управления критически важными объектами 

153 Кочедыков С. С., Смидюк А. О., Голиков А. А. Разработка показателя 
эффективности обработки информации в автоматизированных системах управления критически важных объектов 

156 Ноев А. Н., Орлова Д. Е. Вероятностные методы диагностирования 
кризисных ситуаций в системах критического назначения 

158 Россихина Л. В., Кочедыков С. С., Елизаров А. Е., Кисарев А. С. Разработка структуры программных компонентов автоматизированной 
системы управления критически важных объектов 

160 Скворцов С. В., 
Хрюкин В. И. Аналитико-графический 
метод 
синтеза пропорционально-интегрально-дифференцирующего регулятора 

163 Сташкова О. В. Математическое моделирование в сельском хозяй
стве: формирование исходной базы данных и ее анализ 

165 Сумин В. И., Апсалямова Р. Д., Кочедыков С. С., Дайнеко Д. Д. Результаты вычислительного эксперимента по оценке эффективности 
обработки информации в автоматизированных системах управления 
критически важных объектов 

170 Сумин В. И., Щекин В. А., Сахаров С. Л., Сидельников Л. А. Формирование требований при разработке автоматизированной системы 
управления охранной деятельностью 

173 Чураков Д. Ю., Царькова Е. Г. Решение задачи оптимального управления процессом обучения курсантов военного вуза с учетом уровня 
успеваемости 

 
 

  
Секция  
ИНФОРМАЦИОННЫЕ СИСТЕМЫ, ПРОЦЕССЫ  
И ПРОГРАММНО-ИНСТРУМЕНТАЛЬНЫЕ СРЕДСТВА 

178 Бакнин М. Д., Коваленко А. О. Исследование влияния влажности 
на электрические параметры почвы 

179 Жданкина Е. А., Решетова В. С., Софьин Е. А. Реализация алгоритмов 

сжатия изображений на базе вейвлет-преобразования и их сравнение 

183 Жильников А. А., Жулев В. И., Жильников Т. А. Вопросы актуально
сти разработки информационно-измерительных систем магнитоиндукционного исследования ферромагнитных тел внутри объектов 

188 Жильников А. А., Жулев В. И., Жильников Т. А. Информационно
измерительная система магнитоиндукционного исследования ферромагнитных тел внутри объектов 

191 Жильников А. А., Жулев В. И., Жильников Т. А. Макетирование сис
темы магнитоиндукционного исследования ферромагнитных тел 
внутри объектов 

194 Зарубский В. Г. 
Некоторые 
аспекты 
разработки 
структурноустойчивых управляющих компьютеров перспективных интегрированных систем безопасности 

198 Киселев А. А., Кобзистый С. Ю., Исаев О. В. Анализ особенностей и 
перспективы использования современных носимых видеорегистраторов в учреждениях ФСИН России 

202 Коваленко А. О., Бакнин М. Д. Экспериментальная установка для 

проведения исследований и выявления особенностей возникновения, 
распространения и регистрации виброакустических сигналов от проезжающих транспортных средств 

204 Кольцов А. С., Щекин В. А., Кравченко А. С., Дайнеко Д. Д. Исследование зависимости задержек при беспроводной передаче данных между модулями с априорно неизвестным удалением друг от 
друга 

209 Коротких Л. П., Кольцов А. С., Паринов А. В. Исследование задержек 
в беспроводной передаче данных в сетевом сегменте инфокоммуникационной системы 

212 Коротких Л. П., Лукьянова Ю. К. Предложения по снижению риска 
нарушения 
качеств 
актуальности 
и 
ценности 
информации 
в инновационных инфокоммуникационных системах 

214 Купцов И. М., Железняк Г. И., Диких Д. А. Экспериментальная установка и программное обеспечение измерения потерь энергии при 
электромагнитном ускорении масс 

221 Михайлов А. А. Практическое сравнение подходов к дизайну игрового программного обеспечения 

224 Морозов В. О., Панычев С. Н., Самоцвет Н. А. Метод формирования 
прямошумовой помехи с заданным законом распределения для 
оценки радиоэлектронной защиты РЭС 

226 Попов Г. А., Скворцов С. В. Параллельное решение задачи коммивояжера методом ветвей и границ 

228 Пюрова Т. А., Скворцов С. В. Модификация алгоритмов поиска данных для реализации на платформе CUDA 

231 Ручкин В. Н., Фулин В. А., Костров Б. В. Интеллектуальные кибер
физические системы принятия решений управления 

237 Яблочников С. Л., Яблочникова И. О. Информационная экология как 

новое направление в науке 

 
 

  
Секция  

ИНФОРМАЦИОННЫЕ ТЕХНОЛОГИИ 

В СОЦИАЛЬНО-ЭКОНОМИЧЕСКИХ СИСТЕМАХ 

239 Астахова Н. Н., Демидова Л. А. Модели прогнозирования на основе 

строго бинарных деревьев и модифицированного алгоритма клонального отбора в задаче оценки фрактальной размерности временных рядов 

242 Демидова Л. А., Клюева И. А. Оптимизация поиска параметров 

SMOTE алгоритма в задаче SVM классификации несбалансированных наборов данных 

245 Дручевская К. А., Кольцов А. С. Использование технологии радиочастотной идентификации в задачах инвентаризации службы тылового обеспечения 

248 Елистратова К. П. Применение анализа временных рядов для по
строения математической модели уровня безработицы 

250 Еременко В. Т., Мишин Д. С. Системные аспекты процессов управления региональных социальных и экономических систем 

254 Жданкина Е. А., Решетова В. С. Реализация мобильного приложения 

на платформе 1С:Предприятие 8.3.8 «Сканер штрих-кодов» 

257 Исаев О. В., Дручевская К. А., Гусев А. В. Штрих-код как персональный 

идентификатор пользователей систем контроля и управления доступом 

261 Исаев О. В., Лисицына Д. Д., Кобзистый С. Ю. Бесконтактная карта 
как персональный идентификатор пользователей систем контроля и 
управления доступом 

264 Исаев О. В., Наумов К. С. Контактная память как персональный идентификатор пользователей систем контроля и управления доступом 

267 Конев В. А., Конева М. С. Применение алгоритма динамического выравнивания временных рядов 

268 Лисицына Д. Д., Андреева О. А. Повышение эффективности взаимодействия с пользователями служб технической поддержки 

271 Мишин Д. С., Ельцова Н. С. Применение методики обнаружения и 
устранения несанкционированных прерываний процессов обработки 
информации в сетях передачи данных АСУП 

274 Мишин Д. С., Мишин Я. Д. Разработка математической модели процессов обмена данными в сетях АСУТП на основе полевых шин 

277 Морозова Л. А. Использование информационных технологий и сис
тем в сельском хозяйстве 

281 Павлова С. А. Программные методы исследования психологических 
особенностей курсантов и студентов Академии ФСИН России 

282 Слободская И. Н., Филипова Е. Е., Малиновский Ю. Н., Колеватых Е. А. 
К вопросу об автоматизации отдельных процессов производственной 
деятельности учреждений УИС 

 
 

  
Секция 
МЕТОДИКА ПРЕПОДАВАНИЯ ДИСЦИПЛИН 
МАТЕМАТИЧЕСКОГО И ИНФОРМАЦИОННОГО ЦИКЛА 
(ВЫСШЕЕ ОБРАЗОВАНИЕ) 

285 Акапьев В. Л., Дрога А. А., Савотченко С. Е. Некоторые аспекты использования в учебном процессе контрольно-обучающих программ 

288 Богомолова Е. В. Методика обучения дисциплине «Информационные технологии в профессиональной деятельности» 

290 Власова Л. А., Жаркова А. М. Особенности преподавания дисциплин 
математического цикла студентам-психологам 

292 Грязнов С. А. Интеграция образовательного процесса юридического 
вуза в электронную образовательную среду 

296 Давыдочкина С. В. Способ создания электронной формы рабочей 
тетради, предназначенной для организации самостоятельной работы 
студентов, изучающих дисциплину «Статистика» 

299 Зацепина О. В. К вопросу о преподавании темы «Расстояние между 
скрещивающимися прямыми» 

301 Кирьянов А. Ю., Фокин Р. В. Использование мобильных телефонов и 
планшетных устройств в образовательном процессе на основе WI-FI 
технологии 

303 Ковенева Ю. И. Преподавание дисциплины «Математические мето
ды в экономике» 

306 Крючкова В. В. О некоторых проблемах методической составляющей 
в магистерской подготовке преподавателей математики 

310 Лунькова Е. Ю. Методические особенности преподавания математики студентам в рамках ФГОС 

312 Маскина М. С. Опыт организации интерактивного обучения математике с курсантами младших курсов 

318 Овсянникова А. Н. Линейные дифференциальные уравнения второго 
порядка с постоянными коэффициентами в таблицах 

321 Ромакина Л. Н. Метод визуализации фигур «вблизи бесконечности» 

323 Рычаго М. Е., Тихомиров Р. Н. Применение имитационных моделей при 

изучении курса «Информационная безопасность» в юридическом вузе 

325 Слесарева Е. А. Математические методы в психологии как средство 

обработки экспериментальных данных 

329 Улендеева Н. И. Формирование познавательной самостоятельности 

студентов в ходе организации проектной деятельности в курсе «Информатика и информационные технологии в профессиональной деятельности» (на примере изучения темы «Система управления базами 
данных MS Access») 

333 Федоров А. И., Плотникова Е. И. Совершенствование уровня подготовки будущих командиров (начальников) в сфере информационных 
технологий 

336 Фокин Р. В., Кирьянов А. Ю. Определение эффективности использования виртуальных симуляторов при проведении лабораторных работ по 
дисциплине «Электротехника и электроника» у курсантов, обучающихся по специальности 56.05.01 Тыловое обеспечение 

Секция  
ПРИКЛАДНЫЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ  
И МОДЕЛИ 
 
 
УДК 519.876 
Н. М. Бобович 
(Академия МВД Республики Беларусь) 
 
ОБ ОДНОЙ МЕТОДИКЕ КОЛИЧЕСТВЕННОГО АНАЛИЗА1 
ЖИВУЧЕСТИ КРИТИЧЕСКИ ВАЖНЫХ ОБЪЕКТОВ 
ИНФОРМАТИЗАЦИИ 
  
В докладе рассматриваются вопросы выбора, обоснования использования 
методики количественного анализа живучести критически важных объектов 
информатизации, основанной на использовании метода анализа случайных 
структур (систем) по производительности. 
Способность критически важных объектов информатизации (КВОИ) выполнять возлагаемые на них задачи в условиях внешних дестабилизирующих 
воздействий определяется их живучестью [1]. 
Основой исследования живучести сложных систем является прогноз их 
возможных состояний при внешних дестабилизирующих воздействиях и анализ 
возможных путей управления факторами, формирующими эти состояния. Для 
оценки возможных состояний сложных функционирующих систем наиболее 
востребованными являются две взаимосвязанные характеристики: материальный и функциональный ущербы [2]. 
Материальный ущерб характеризует потери людей (пользователи, обслуживающий персонал) и технических средств КВОИ. Функциональный 
ущерб определяется как величина снижения работоспособности КВОИ при 
выходе из строя его элементов под воздействием дестабилизирующих факторов. Функциональный ущерб зависит от взаимосвязи между элементами 
системы (от структуры) и от распределения потерь между структурными 
элементами. Так как потери элементов (материальный ущерб) является случайной величиной, то зависящий от этих потерь функциональный ущерб, 
также является случайной величиной. Следовательно, характеристиками 
функционального ущерба являются функции распределения и числовые характеристики величины снижения максимальной производительности (работоспособности) системы. 
Разница между относительной величиной материального ущерба и относительной величиной функционального ущерба обусловлена функциональной 
структурой КВОИ и выходом из строя его элементов при наличии потерь. Эта 
разница называется структурным ущербом.  

                                                 
© Бобович Н. М., 2017 

Состояние КВОИ или отдельной его подсистемы по их способности к 
функционированию может быть определено сохраняемой производительностью: 
 

 


I
M
I
I
M



0

~
, 
 
где   I~  – сохраняемая производительность; 
I0 – значение максимальной производительности системы в исходном состоянии; 

I
  – величина снижения максимальной производительности системы. 
Анализ методов расчета живучести сложных организационно-технических 
систем показывает, что для количественной оценки живучести КВОИ по выбранному показателю «сохраняемая производительность» может быть использован метод анализа случайных структур (систем) по производительности [2]. 
Суть данного метода состоит в определении производительности исследуемой системы путем анализа ее структуры и устойчивости структурных элементов к воздействию дестабилизирующих факторов. 
Использование метода анализа случайных структур (систем) по производительности для анализа сложных структур, расчета материального и функционального ущербов, показателя живучести КВОИ основывается на разработке 
следующего комплекса математических моделей: 
– пространственно-временной модели КВОИ; 
– структурно-функциональной модели КВОИ; 
– пространственно-временной модели воздействий; 
– модели потерь; 
– модели восстановления; 
– модели управления. 
Пространственно-временная модель КВОИ определяет перечень элементов 
системы, их численность, пространственное размещение и защищенность на 
момент воздействий.  
Структурно-функциональная модель КВОИ представляет собой систему 
данных о производительности отдельных элементов системы и оператор сопряжения их по производительности. Данная модель строится на основе двух 
элементарных структур: 
– бесструктурная совокупность (элементарное звено) – объединение однотипных взаимозаменяемых элементов. Оператор сопряжения по производительности – суммирование производительностей объединяемых элементов; 
– элементарная цепь – объединение невзаимозаменяемых элементов, каждый из которых абсолютно необходим для функционирования структуры. Оператором сопряжения по производительности является выбор элемента с наименьшей производительностью. 
В исходном состоянии, характеризующем отсутствие воздействий, структура системы является неслучайной и оптимизирована по расстановке кадров и 
использованию технических средств. 

Пространственно-временная модель воздействий представляет собой систему данных о целенаправленных и нецеленаправленных воздействиях по 
КВОИ и его элементам (подсистемам). 
Модель потерь включает в себя систему характеристик уязвимости элементов КВОИ и алгоритмы расчета ущербов. 
Модель восстановления на временном интервале, соответствующем удовлетворению запросов пользователей, вводится в расчет в виде «мгновенного» 
восстановления структуры за счет предусмотренной штатным расписанием 
КВОИ взаимозаменяемостью его элементов. 
Модель управления вводится в расчет в неявном виде. Во-первых, 
управление до воздействия определяет конкретное состояние элементов 
системы. Во-вторых, после воздействия предполагается оптимальное управление сохранившимся ресурсом, который осуществляется через максимальную производительность. Оптимальные функции управления сохранившимся ресурсом реализованы в алгоритмах эквивалентных преобразований реальных функциональных связей в их последовательно-параллельные 
аналоги. 
 
Список литературы 
1. Бобович Н. М. Оценка состояния КВОИ по их способности к функционированию в условиях воздействия дестабилизирующих факторов // Вестн. унта граждан. защиты МЧС Беларуси. Минск, 2017. С. 94–98. 
2. Бобович Н. М., Маликов В. В. Методы оценки ущербов в задачах количественного анализа живучести критически важных объектов информатизации: 
доклады БГУИР 4(82). Минск, 2014. С. 59–66. 
 

УДК 519.6 

Н. В. Дорошина 

(Рязанский государственный медицинский университет 

имени академика И. П. Павлова, 

Рязанский государственный 

 радиотехнический университет) 

ОБЗОР МЕТОДОВ РАСЧЕТА ФРАКТАЛЬНОЙ РАЗМЕРНОСТИ 

ВРЕМЕННЫХ РЯДОВ2

Актуальность анализа временных рядов (ВР) на сегодняшний день не вы
зывает сомнений. Этой проблеме посвящено большое количество научных исследований. 
                                                
© Дорошина Н. В., 2017 

В последние годы получают распространение методы обработки ВР, осно
ванные на фрактальном анализе, позволяющем раскрыть особенности их локальных структур [1], а также учитывающий поведение системы не только на 
данный момент, но и его предысторию. 

Фракталы – это структуры, которые, несмотря на свою крайнюю нерегу
лярность на разных масштабах, выглядят примерно одинаково. В полной мере 
это можно отнести к временным рядам. Фрактальные временные ряды возникают, в частности, при измерениях различных естественных процессов: солнечной активности, уровня разливов рек, шумов электронных приборов, геофизической и геомагнитной активности, физиологических характеристик организма 
человека и т. д. [2]. 

Основными фрактальными характеристиками ВР являются размерность 

Хаусдорфа D (фрактальная размерность), показатель Херста H, индекс фрактальности µ, спектральный показатель b [3]. Сопоставление фрактальных характеристик при обработки временных рядов показывает, что они согласуются 
друг с другом при определении характера временного ряда, но отличаются точностью. Значения H и D свидетельствуют о степени «изломанности», «зазубренности» ВР [4].  

Помимо понятия хаусдорфовой, существуют и другие типы фрактальной 

размерности, например, такие, как размерность Минковского, информационная 
размерность, корреляционная размерность, обобщенная размерность Реньи, 
размерность Ляпунова [8].  Все эти размерности, вообще говоря, неэквивалентны, но они могут совпадать лишь для некоторых природных фрактальных объектов.  

Фрактальная хаусдорфова размерность является показателем сложно
сти динамического процесса, по величине которой можно предсказывать 
поведение системы, и диагностировать нестабильные состояния, например, в медицине при измерениях физиологических характеристик организма человека [5]. Поэтому изучение динамики фрактальной размерности временных рядов является одним из самых перспективных направлений фрактального анализа. Однако, оценка фрактальной размерности не 
является тривиальной задачей. Это обусловлено как самой природой хаотических временных рядов, размерность которых изменяется во времени, 
так и тем, что ни один метод ее оценки не может считаться универсальным, и все они зависят от длины ряда. Таким образом, поиск точного и 
быстрого метода оценки фрактальной размерности является важной научной задачей [6]. 

Рассмотрим некоторые устойчивые методы определения фрактальной раз
мерности Хаусдорфа временных рядов. Как отмечается в ряде работ [4, 6, 7], 
главными недостатками таких методов являются большие временные затраты и 
невозможность работы с короткими временными рядами. 

Классический клеточный метод покрытия объекта – временного ряда –

некоторыми заранее известными метриками. Этот метод реализует оценку величины 

где   N – число клеток, занятых объектом, δ – размер клетки. 

Соответственно, если изучаемый объект близок к фракталу, то зависи
мость числа кубов, занятых объектом от размера элементарной ячейки будет 
расти в степенной зависимости. А в дважды логарифмических координатах 
данная зависимость будет стремиться к прямой линии. Фрактальная размерность определяется как тангенс угла наклона этой линии. К этой группе можно 
отнести исторически первый метод Ричардсона (покрытие отрезками), метод 
Колмогорова (покрытие объекта при различной степени огрубления его представления), более точный метод Минковского (покрытие окружностями). Более 
подробно об этих методах говорится в [9]. 

R/S метод был предложен Бенуа Мандельбротом. Этот метод базируется 

на исследованиях, проведенных английским исследователем Херстом, и является одним из самых предпочтительных в силу своей быстроты. Он построен на 
анализе размаха параметра (наибольшим и наименьшим значением на изучаемом отрезке) и среднеквадратичного отклонения.  

Херст обнаружил, что для временных рядов различных естественных про
цессов наблюдаемый нормированный размах R/S хорошо описывается эмпирическим соотношением 

R/S = (t/2)H, 

где  
– размах временного ряда за период t; 

– стандартное отклонение за период t;  

          x(t) – значение ряда в момент времени t, 
 – среднее значение ряда за пе
риод t; H – показатель Херста. 

Временные ряды, демонстрирующие подобное поведение являются естест
венными фракталами, причем их размерность может быть определена по формуле D = 2-H. 

Данный метод устойчив, содержит минимальные предположения о систе
ме, продуцирующей ряд, его можно применять для параметризации и классификации ВР. Кроме того, существует множество модификаций метода Херста, 
например, алгоритм Расса, а также алгоритм RSM [9]. 

Метод, основанный на изменении длины кривой в зависимости от масшта
ба. Если кривая близка к фрактальной, то с уменьшением масштаба длина кривой будет возрастать степенным образом [10]. 

Алгоритм Хигучи. Этот алгоритм использует небольшие временные про
межутки (от 100 до 500 точек временного ряда). Алгоритм Хигучи основан на 
измерении длины кривой L(k), использующий k шаблонов как единиц измере

ния. Значение фрактальной размерности  D рассчитывается подгонкой методом 
наименьших квадратов линии регрессии углового коэффициента на логарифмическом графике уравнения L(k)=ak-D . Отсюда получаем  

, 
, 

где yk = ln(L(k)), xk = ln(1/k), k = [kmin, kmax],  
       n – общее число различных значений k из интервала  [kmin, kmax] для которых рассчитываются значения длины кривой L(k). 

Существует и ряд других разнообразных методов для определения фракталь
ных размерностей временных рядов: для исследования корреляционных зависимостей детрендовый анализ флуктуаций и его модификации, детрендовый анализ 
скользящих средних, вейвлет-анализ, анализ на основе фрактальных сплайнов [6], 
анализ функции спектра мощности временного ряда [7] и т. д. Все эти методы 
требуют в той или иной степени уточнения их достоинств и недостатков. 

Существенным моментом является наличие критического значения фракталь
ной размерности временной кривой, при приближении к которому система теряет 
устойчивость и переходит в нестабильное состояние и параметр  быстро либо возрастает, либо убывает, в зависимости от тенденции, имеющей место в данное время. 

Например, проследив изменение динамики фрактальной размерности вре
менного ряда, можно заметить резкий подъем фрактальной размерности непосредственно перед скачком курса доллара. То есть фрактальная размерность 
определенной величины может использоваться как индикатор кризиса или 
«флаг» катастрофы – скачкообразного изменения, возникающего в виде внезапного ответа системы на плавное изменение внешних условий [11]. 

Список литературы 
1. Амосов О. С., Муллер Н. В. Исследование временных рядов с примене
нием методов фрактального и вейвлет анализа // Интернет-журнал «Науковедение». Вып. 3. 2014. С. 76–89. 

2. Старченко Н. В. Индекс фрактальности и локальный анализ хаотических 

временных рядов : дис. … канд. физ.-мат. наук. М., 2005.  

3. Кроновер Р. М. Фракталы и хаос в динамических системах. Основы тео
рии. М., 2000. 352 с. 

4. Сизов А. Л. Модели, способы и программные средства поддержки при
нятия решений на основе прогнозирования временных рядов с переменной 
структурой : дис. … канд. техн. наук. Смоленск, 2014. 

5. Costa M. Golderberger A. L. Peng C. K. Multiscale entropy analisys of 

complex physiologic time series // Phys. rev. lett., 2002. V. 89. № 6. 

6. Новикова О. Б., Шелевицкий И. В. Оценка фрактальной размерности 

временных рядов с помощью фрактальных сплайнов // Актуальные проблемы 
гуманитарных и естественных наук. 2014 . № 10. С. 50–55. 

7. Анализ методов определения методов фрактальной размерности / 

В. И. Курдюков и др. // Вестн. Кузбас. гос. техн. ун-та. 2008. № 5. С. 46–49.  

8. Червова А. А. Разработка методов оценивания фрактальных характери
стик временных рядов и их оценивание для целей контроля состояния технических и других объектов : автореф. дис. … канд. техн. наук. М., 2016. 

9. Латыпова Н. В. Компьютерная обработка данных. Фракталы : учеб. по
собие. Ижевск, 2012. 78 с.  

10. Секержицкий М. А., Цветков И. В., Чохонелидзе А. Н. Управление со
циально-экономическими процессами на основе фрактального анализа. М.,  
2014. 176 с. 

11. Кривоносова Е. К., Первадчук В. П., Кривоносова Е. А. Сравнение 

фрактальных характеристик временных рядов экономических показателей // 
Современные проблемы науки и образования. 2014. № 6. 
 

 
 
 
УДК 004.855.5 

М. М. Егин 

(Рязанский государственный 

 радиотехнический университет) 

ИСПОЛЬЗОВАНИЕ МНОГОЦЕЛЕВОГО  

ЭВОЛЮЦИОННОГО АЛГОРИТМА ОПТИМИЗАЦИИ  

ДЛЯ НАСТРОЙКИ ПАРАМЕТРОВ БИНАРНОГО КЛАССИФИКАТОРА3

В докладе рассматривается применение многоцелевого генетического ал
горитма для настройки параметров классификатора, реализующего алгоритм 
опорных векторов или SVM-алгоритм [1–6]. 

SVM-алгоритм – это один из алгоритмов «обучения с учителем», позволяю
щий решать задачи бинарной классификации с помощью разделения множеств 
классов гиперплоскостью. По обеим сторонам от нее на максимальном расстоянии друг от друга строятся две параллельные гиперплоскости, являющиеся границами классов. Опорные векторы – это векторы характеристик объектов, находящиеся на ближайшем расстоянии к параллельным гиперплоскостям. 

В зависимости от расположения некоторого объекта, описываемого векто
ром характеристик, относительно гиперплоскости можно отнести этот объект к 
одному из классов. Таким образом, SVM-алгоритм осуществляет поиск оптимальной разделяющей гиперплоскости для обеспечения большей точности 
классификации. 

В рамках доклада исследуется случай линейной неразделимости классов, 

когда для использования SVM-алгоритма необходимо вводить функции ядра, 
                                                
© Егин М. М., 2017 

позволяющие в пространстве более высокой размерности реализовать линейную разделимость классов. 

Так как показатели качества разработанного SVM-классификатора являют
ся многоэкстремальными функциями, считается, что эффективнее вместо классических оптимизационных алгоритмов использовать эволюционные алгоритмы оптимизации. 

В качестве такого алгоритма предлагается генетический алгоритм, пред
ложенный Д. Холландом. Основные принципы ГА заключаются в скрещивании, селекции и формировании нового поколения [7–8]. При многоцелевой оптимизации используются принципы Парето-доминирования, в результате формируется Парето-множество эффективных точек (решений). 

Решение многокритериальной задачи оптимизации целесообразно выби
рать из множества Парето, так как любое другое, очевидно, может быть улучшено некоторой точкой Парето как минимум по одному критерию без ухудшения других критериев. 

Все хромосомы в популяции решений на каждой итерации представляют 

собой характеристики модели классификатора: параметр регуляризации и параметр функции ядра. 

Для каждой модели высчитываются функции, отражающие следующие по
казатели качества классификации: общий показатель успеха, полнота, чувствительность, специфичность. В зависимости от условий задачи выбирается набор 
наиболее значимых показателей для максимизации, кроме того, минимизируется число опорных векторов. 

Список литературы 
1. Воронцов К. В. Математические методы обучения по прецедентам (тео
рия обучения машин). URL : http//www.MachineLearning.ru (дата обращения: 
27.12.2016). 

2. Вьюгин В. В. Элементы математической теории машинного обучения : 

учеб. пособие. М., 2010. 252 с. 

3. Vapnik V. Statistical learning theory. New York, 1998. 732 p. 
4. Демидова Л. А., Соколова Ю. С. Аспекты применения алгоритма роя 

частиц в задаче разработки SVM-классификатора // Вестн. Ряз. гос. радиотех.  
ун-та. 2015. № 53. С. 84–92. 

5. Демидова Л. А., Никульчев Е. В., Соколова Ю. С. Классификация 

больших данных: использование SVM-ансамблей и SVM-классификаторов с 
модифицированным роевым алгоритмом // Cloud of science. 2016. Т. 3. № 1. 
С. 5–42. 

6. Демидова 
Л. А., 
Соколова 
Ю. С. 
Разработка 
ансамбля 
SVM
классификаторов с использованием декорреляционного алгоритма максимизации // Информатика и системы управления. 2016. № 1 (47). С. 95–105. 

7. Кремер О. Б., Подвальный С. Л. Программная реализация решения оп
тимизационных задач методом генетического алгоритма // Вестн. Воронеж. гос.  
технич. ун-та. 2012. № 3 (8). С. 21–24.