Прикладная механика : сопротивление материалов

Москва  2019

МИНИС ТЕРС ТВО НАУКИ И ВЫСШ ЕГО О Б РА З О ВА Н И Я РФ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ АВТОНОМНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ 
ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ 
«НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ «МИСиС»

ИНСТИТУТ ЭКОТЕХНОЛОГИЙ И ИНЖИНИРИНГА 
 
Кафедра инжиниринга технологического оборудования

В.Е. Кондратенко
В.В. Девятьярова 
А.А. Герасимова

ПРИКЛАДНАЯ МЕХАНИКА

СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ

Учебное пособие для практических занятий

Рекомендовано редакционно-издательским 
советом университета

№ 3459

УДК 621.01:531.8:622 
 
К64

Р е ц е н з е н т 
д-р техн. наук, проф. Панкратенко А.Н.

Кондратенко В.Е.
К64  
Прикладная механика : cопротивление материалов : 
учеб. пособие для практических занятий / В.Е. Кондратенко, В.В. Девятьярова, А.А. Герасимова. – М. : Изд. 
Дом НИТУ «МИСиС», 2019. – 48 с.
ISBN 978-5-907061-28-6

Трудности, которые возникают у студентов в процессе изучения 
курса «Сопротивление материалов», связаны в первую очередь с овладением практическими методами и приемами выполнения расчетов элементов конструкций на прочность, жесткость и устойчивость. 
Особенно наглядно это проявляется при выполнении студентами контрольных работ, что и явилось главным побудительным мотивом к 
написанию данного пособия.
Пособие охватывает те разделы курса, по которым студентам необходимо выполнить контрольные работы. Оно включает в себя примеры решения типовых задач сопротивления материалов с достаточно подробным их разбором с тем, чтобы студенты получили в полном 
объеме сведения по методике решения каждой задачи, по рациональной последовательности действия и правильному оформлению расчетной записки.
Пособие предназначено для студентов направления 21.05.04 «Горное дело», но может быть использовано также студентами других специальностей по интересующим их разделам изучаемого курса.

УДК 621.01:531.8:622

 В.Е. Кондратенко, 
В.В. Девятьярова, 
А.А. Герасимова, 2019
ISBN 978-5-907061-28-6
 НИТУ «МИСиС», 2019

ОГЛАВЛЕНИЕ

Общие сведения ................................................................. 4
1. Определение геометрических характеристик  
плоских сечений ................................................................ 8
2. Расчет на  прочность при изгибе, построение эпюр  
внутренних усилий .......................................................... 12
3. Расчет на прочность при растяжении (сжатии)  
статически определимого бруса .......................................... 16
4. Расчет на прочность при растяжении (сжатии)  
статически неопределимой балки ....................................... 20
5. Расчет на прочность при кручении .................................. 23
6. Расчет стальной балки на прочность при изгибе  
с подбором сечений ........................................................... 27
7. Расчет статически неопределимой балки .......................... 34
8. Расчет на прочность круглого стержня при изгибе 
с кручением .................................................................... 38
9. Расчет стержня на устойчивость ..................................... 43
Библиографический список ............................................... 47

ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ

Брус как объект изучения в курсе сопротивления 
материалов

Брусом называется тело, одно из измерений которого (длина) 
существенно больше двух других. Геометрически брус может 
быть образован путем перемещения плоской фигуры вдоль некоторой кривой, называемой осью бруса.
Плоская фигура, имеющая центр тяжести на оси и перпендикулярная к ней, называется поперечным сечением. Поперечное 
сечение может быть переменным, может также поворачиваться 
вокруг оси.  В последнем случае брус носит название естественно 
закрученного.
Если осью бруса является прямая, то в этом случае брус называется стержнем. Ось бруса может быть кривой в плоскости или 
пространстве.
С поперечным сечением связана координатная система, которую образуют главные центральные оси х, у, расположенные в 
плоскости сечения, и ось z, направленная перпендикулярно сечению. Эта ось направлена по касательной к оси бруса, если она 
кривая или совпадает с осью стержня.
Особо выделим случай, когда брус не является естественно 
закрученным, ось бруса – плоская кривая и одна из главных 
центральных осей каждого поперечного сечения лежит в плоскости кривизны бруса. В этом случае плоскость кривизны бруса называется главной.
При расчете бруса, имеющего главную плоскость, изображают лишь его ось, подразумевая при этом, что главная плоскость 
совпадает с плоскостью чертежа.

Соединения и опоры

При изучении реального объекта последний считается состоящим из отдельных элементов, соединенных между собой в узлах.
Под плоской системой понимается система брусьев, соединенных между собой и имеющих общую главную плоскость. Различают несколько типов соединений в плоских системах.

При таком соединении концы элементов, сходящихся в узле, 
не смещаются и не поворачиваются один относительно другого. 
При деформации элементов угол между ними в узле не меняется.
В шарнирном узле концы элементов могут поворачиваться 
один относительно другого. Шарнир считается идеальным, т.е. в 
нем отсутствует трение. Это соединение препятствует лишь взаимным линейным смещениям концов элементов. Шарнир может 
соединять два элемента и больше двух элементов. В первом случае шарнир называется простым, во втором – кратным.
Соединение препятствует взаимному повороту концов элементов и смещению в одном из направлений.
Соединения препятствуют взаимному смещению концов элементов в одном из направлений, но не препятствуют смещению 
в другом направлении, а также повороту. Соединения или связи, 
расположенные на границе между рассматриваемым объектом 
и окружающими его телами, называются опорными или просто 
опорами.
Некоторые типы плоских опор.
Жесткая заделка (защемление) исключает всякое перемещение конца элемента.
Шарнирно-подвижная опора исключает линейные перемещения, но не препятствует повороту.
Скользящая заделка ограничивает возможность углового и 
одного линейного перемещения.
Шарнирно-подвижная опора ограничивает смещение лишь в 
одном направлении.
Если все соединения стержней, включая опорные, являются шарнирными, то система называется шарнирно-стержневой. 
Стержневая система, элементы которой во всех или нескольких 
узлах жестко соединены между собой, называется рамой. 

Классификация внешних сил

При расчете конструкция рассматривается изолированно от 
окружающих тел. Действие последних на конструкцию заменяется силами, которые называются внешними.
Объемные силы непрерывно распределены по объему тела и 
приложены к каждой его частице. К ним относятся силы собственного веса, центробежные и магнитные силы.

Поверхностные силы приложены к участкам поверхности и 
характеризуют непосредственное контактное взаимодействие 
рассматриваемого объекта с окружающими телами.

Различают четыре вида поверхностных сил

Силы, непрерывно распределенные по поверхности, например ветровая или снеговая нагрузки. Величина такой нагрузки 
характеризуется давлением – силой, приходящейся на единицу 
площади.
Силы, непрерывно распределенные по линии, – результат 
приведения нагрузки первого типа к плоскости. Она характеризуется интенсивностью q – величиной силы, приходящейся на 
единицу длины. Размерность – Н/м, кН/м.
Характер изменения интенсивности по длине обычно показывают в виде графика эпюры. Равнодействующая распределенной по линии нагрузки равна площади эпюры и проходит через 
центр тяжести этой эпюры.

Сосредоточенные силы. Если площадь действия нагрузки 
мала по сравнению с размерами тела, то считают, что нагрузка 
приложена в точке в виде сосредоточенной силы F .
 Сосредоточенные пары или моменты сил. Если плечо пары 
сил мало по сравнению с размерами тела, действие пары сил заменяется сосредоточенной парой сил, величина которой характеризуется моментом этой пары.
В число внешних сил входят не только заданные силы (их еще 
называют активными или нагрузкой), но также и реакции связей (реактивные силы), которые, как правило, при расчете необходимо определить.
Способы вычисления опорных реакций рассматриваются в 
курсе теоретической механики. Поэтому ограничимся замечаниями практического характера и рассмотрим несколько примеров.
Сначала необходимо установить, где и какие реакции возникают, и указать на расчетной схеме их предполагаемые направления.
Нужно стремиться к такой последовательности записи уравнений равновесия, чтобы в каждом из них было не более одной 

неизвестной величины. В этом случае отпадает необходимость 
решать систему уравнений.
Например, если брус опирается на две шарнирные опоры, 
то записывают суммы моментов всех внешних сил относительно опорных шарниров. В более сложных системах часто можно 
найти точку, в которой пересекаются все не интересующие нас 
опорные реакции. Из суммы моментов относительно этой точки 
находят искомую реакцию.
Если в результате решения задачи реакция получится отрицательной, это означает, что предварительно направление было 
выбрано неверно. Его следует изменить на расчетной схеме и в 
дальнейших расчетах учитывать положительное значение опорной реакции.
Наиболее простые уравнения – суммы проекций на оси координат – удобно составлять для контроля правильности найденных значений опорных реакций.
Если на брус действует распределенная нагрузка, то при вычислении реакций ее заменяют равнодействующей.
При записи уравнений равновесия необязательно придерживаться одного правила знаков. Но в каждом отдельном уравнении моментам и силам разных направлений должны быть приписаны разные знаки.

1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ 
ХАРАКТЕРИСТИК ПЛОСКИХ СЕЧЕНИЙ

Для сечения, составленного из простых геометрических фигур (рис. 1), определить значения главных центральных моментов инерции, моментов сопротивления и главных радиусов инерции. Сечение симметрично относительно вертикальной оси.
Решение
Разбиваем сечение на простые геометрические фигуры, обозначив их цифрами 1 (треугольник), 2 (прямоугольник), 3 (полукруг). В дальнейшем все величины, относящиеся к этим элементам, будут иметь соответствующие указанной нумерации 
индексы (римскими или арабскими цифрами).
Порядок решения задачи
В определенном масштабе вычерчиваем сечение и проводим 
центральные оси каждой фигуры, входящей в состав составного 
сечения. Выбираем систему координатных осей ХОY, совмещая 
вертикальную ось Y с осью симметрии сечения, а ось Х – с нижним контуром сечения. При этом расстояния между осью Х и соответствующей осью каждой фигуры равны (см. рис. 1):

1
1
3
3,33
3
a
a
a
a
=
+
=
;

а2 = 1,5а;

3
4
4
0,42
3
3
R
a
a
a
=
⋅
=
=
π
π
.

Площади фигур:

2
1
1 2
2
A
a a
a
=
⋅
⋅
=
;

А2 = 2а · 3а = 6а2;

2
2
3
1,57
2
a
A
a
π⋅
=
=
.

Полная площадь:

А = А1 + А2 – А3  = а2 + 6а2 – 1,57а2 = 5,43а2.

Площадь А3 вычитается, так как полукруг представляет собой вырез в материальном теле.

Рис. 1

Определяем положение центра тяжести заданного сечения в 
выбранной системе координатных осей ХОY:

=
С
Y
S
X
A ;     
=
С
X
S
Y
A .

Поскольку сечение симметрично относительно оси Y, то ХС = 0.
Статический момент площади сечения относительно оси Х:

SХ = А1а1 + А2а2 – А3а3 =  
= а2 · 3,33а + 6а2 · 1,5а – 1,57а2 · 0,42а = 11,67 а3.

Таким образом,

=
=

3

C
2
11,67
2,15
5,43
a
Y
a

a

.

Откладывая значение YC на чертеже (см. рис. 1), находим положение точки С центра тяжести сечения и проводим через нее 
центральные оси ХC и YC параллельно осям Х и Y (оси YC и Y в 
данном случае совпадают). Оси ХC и YC являются также главными центральными осями, поскольку одна из них (YC) является 
осью симметрии сечения. Расстояния между осью ХC и соответствующей осью каждой фигуры равны:

а4 = а1 – YC = 3,33а – 2,15а = 1,18а;

а5 = YC – а2 = 2,15а – 1,5а = 0,65а;

а6 = YC – а3 = 2,15а – 0,42а = 1,73а.

Определяем значения моментов инерции каждой фигуры относительно собственных центральных осей:

⋅
=
=

3
4
Х1
2
0,056
36
a a
I
a ; IY1 = 2a · a3 = 0,17a4;

=
=

3
4
X2
2 (3 )
4,5
12
a
a
I
a ; 
=
=

3
4
Y2
3 (2 )
2
12
a
a
I
a ;

π
π


=
−
=


π



2
4
2
4
X3
4
0,11
8
4
3
a
a
a
I
a ; 
π⋅
=
=

4
4
Y3
0,39
8
a
I
a .

Определяем значение главного центрального момента инерции сечения относительно Хс:

IXC = IXCI + IXCII + IXCIII .

Используя правило вычисления моментов инерции для параллельных осей, имеем:

IXCI  = IX1 + A1 · a42 = 0,056a4 + a2(1,18a)2 = 1,45a4;

IXCII = IX2 + A2(– a5)2 = 4,5a4 + 6a2(– 0,65a)2 = 7,04a4;

IXCIII = IX3 + A3(– a6)2 = 0,11a4 + 1,57a2(– 1,73a)2 = 4,81a4.

Следовательно: определяем значение главного центрального 
момента инерции сечения относительно оси YC:

IYC = IYCI + IYCII + IYCIII = IY1 + IY2 – IY3 =  
= 0,17a4 + 2a4 – 0,39a4 = 1,78a4.

Вычисляем значения главных радиусов инерции сечения:

=
=
=

4
XC
XC
2
5,13
0,97
5,43

I
a
i
a
A
a

;

=
=
=

4
YC
YC
2
1,78
0,57
5,43

I
a
i
a
A
a

.

Определяем значения моментов сопротивления сечения относительно осей Хc и Yc

=
=
=

4
3
Xc
max

5,13
2,39
2,15

Xc
I
a
W
a
Y
a
;

=
=
=

4
3

max

1,8
1,78
Yc
Yc
I
a
W
a
X
a
.

Здесь 
max
Y
 и 
max
X
 – расстояния соответственно от осей Xс и 
Ус до наиболее удаленной точки сечения (см. рис. 1). Значения 
Уmах и Хmaх следует подставлять в формулы по модулю (без учета 
знака).