Сопротивление материалов

ОГЛАВЛЕНИЕ 

Предисловие 
5 

1. Основные понятия статики 
6 

2. Основные положения сопротивления материалов 
11 

2.1. Допущения и гипотезы 
11 

2.2. Метод сечений 
13 

2.3. Напряжения и деформации 
14 

3. Геометрические характеристики плоских сечений 
16 

3.1. Статические моменты и моменты инерции сечения 
16 

3.2. Теорема штейнера о параллельном переносе осей 
18 

3.3. Изменение моментов инерции при повороте осей 
19 

3.4. Моменты инерции простых сечений 
21 

4. Центральное растяжение и сжатие 
24 

4.1. Закон гука 
24 

4.2. Статически неопределимые системы 
27 

4.3. Механические свойства материалов 
30 

4.4. Расчеты на прочность и жесткость при растяжении и сжатии 
32 

5. Сдвиг и смятие 
34 

5.1. Сдвиг 
34 

5.2. Смятие 
35 

6. Кручение 
37 

6.1. Напряжения и угловые деформации при кручении 
37 

6.2. Полярные моменты сопротивления простых сечений 
39 

6.3. Расчеты на прочность и жесткость при кручении 
41 

7. Прямой изгиб 
42 

7.1. Нейтральный слой при изгибе 
42 

7.2. Дифференциальные зависимости при изгибе 
44 

7.3. Нормальные напряжения при изгибе 
45 

7.4. Моменты сопротивления простых сечений 
47 

7.5. Расчеты на прочность при изгибе 
48 

7.6. Касательные напряжения при изгибе 
48 

7.7. Дифффенциальное уравнение упругой линии балки при изгибе...49 
7.8. Расчет на жесткость при изгибе 
50 

8. Напряженно-деформированное состояние в точке 
51 

8.1. Тензор напряжений 
51 

8.2. Главные площадки и главные напряжения 
53 

8.3. Виды напряженного состояния 
54 

8.4. Обобщенный закон гука 
62 

3 

9. Теории прочности 
64 

10. Сложное сопротивление 
67 

10.1. Косой изгиб 
67 

10.2. Изгиб с растяжением (сжатием) 
69 

10.3. Внецентренное растяжение (сжатие) 
71 

10.4. Кручение с изгибом 
75 

11. Устойчивость сжатых стержней 
78 

11.1. Формула Эйлера 
78 

11.2. Влияние способов закрепления концов стержня 

на критическую силу 
80 

11.3. Формула ЯСИНСКОГО 
81 

11.4. Расчеты на устойчивость 
82 

12. Прочность при переменных напряжениях 
83 

12.1. Усталость материалов 
83 

12.2. Предел выносливости 
84 

12.3. Диаграммы предельных напряжений 
86 

12.4. Факторы, влияющие на предел выносливости 
86 

Библиографический список 
88 

Приложение. Сокращенный сортамент прокатной стали 
89 

4 

ПРЕДИСЛОВИЕ 

Настоящий курс лекций предназначен для студентов металлургических специальностей вузов, изучающих сопротивление материалов 
в уменьшенном объеме. Малое количество учебных часов требует 
рационального отбора учебного материала и правильного планирования учебных занятий. При этом студентам необходима учебная 
литература, строго соответствующая как объему учебного материала, так и его распределению по разделам. Большинство существующих многочисленных учебников имеют несколько сотен страниц в 
объеме, что вызывает большие трудности у студентов при их изучении. Поэтому автор поставил перед собой задачу написать краткий 
курс лекций, включающий в себя основные разделы сопротивления 
материалов. Теоретический материал написан достаточно сжато, что 
соответствует практике его изложения в аудиторных условиях. Все 
используемые формулы и теоремы строго математически обоснованы. Приведен сокращенный сортамент прокатной стали, необходимый для выполнения расчетно-графических работ, и обширный список учебной литературы, носящий справочный характер. Курс лекций должен помочь студентам в их самостоятельной работе при решении задач и подготовке к экзаменам и зачетам. 

5 

1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ СТАТИКИ 

Сила есть мера механического взаимодействия твердых тел, в результате которого тела могут приобретать ускорения или деформироваться. Сила есть векторная величина и характеризуется модулем, 
точкой приложения и направлением (линией действия силы) (рис. 1.1). 

кх 

Твердое тело 

I 

Линия 
У 
действия 
силы 

Сила 

О 
j 
у 

Точка приложения силы 

Рис. 1.1 

F = F~i + Fy] + FJi, 
[ F ] = Н, 
F = Д / F / + F / + F / - модуль, 

ij,k-единичные 
орты, 
Ч\ = \]\ = 1^1 = 1. 

Главным вектором системы сил |Fi,...,F„| называется их геометрическая сумма (рис. 1.2) 

1 [F 
;} 

Fi 
F2 

Полюс О 

Fn 
Твердое тело 

Рис. 1.2 

Fn 

Z 

1 

X 

6 

Fo Ф. 

i=i 

Fo = {^c ,Fo^,FoA F, 
Ox'-'Oy 
= (^ i„F,y,F,J, 

i=l 
i=l 
i=l 

Главный вектор не зависит от выбора полюса (точки). 
Моментом силы относительно точки называется векторное произведение радиус-вектора точки приложения силы на вектор силы 

М (F)=r-xF = 

J 

X 

Fx 

j 

у 

Fy 

к 
z 

F^ 

= 

= j{yF^ - zFy)+ j{zF^ -XFJ + k{xFy -yF^)^ 
[м.^МоуМоЛ 

где MQ^ = yF^ - zFy, M^^ = zF^ - xF^, M^^ = xF^ - yF^ - моменты 

силы относительно осей х, у и z (рис. 1.3). На рис. h - плечо. 

Mo(F) 

Против хода 
часовой стрелки 

Рис. 1.3 

Момент силы М^ перпендикулярен радиус-вектору F и вектору 

силы F . 

Действительно, скалярные произведения 

M,-F^M,rcos(M„FHyF^-zFy)x^ 
[zF^ - xF^ )у + [xFy - J F J Z = О, 

Mo-F^MQFCOS(MO,F) 
= (yF, -zF^)F^ + {ZF^-XF^)Fy 
+ (xF^ -yF^)F, 
= 0 

7 

Следовательно, cos(M„r)^0, 
COS{M„F)^0. 

Положительным направлением момента силы считается направление, откуда поворот силы виден происходящим против хода часовой стрелки. В механике плечом называется кратчайшее расстояние 
от точки до линии действия силы. По абсолютной величине момент 
силы относительно точки равен произведению | силы на плечо | 

\М = |FxFUrFsin(F,F) = F(rsin(F,F)) = Fh. 

Для определения направления момента силы удобно пользоваться 
правилом правой руки (рис. 1.4). 

Правило правой руки 

Рис. 1.4 

Направляем указательный палец правой руки вдоль радиусвектора г, а средний палец правой руки - вдоль вектора силы F. 
Тогда направление момента M O { F ) = F X F будет совпадать с направлением большого пальца правой руки. 

Плоскостью действия момента M^{F)^¥XF 
называется ПЛОСКОСТЬ, образованная радиус-вектором г и вектором силы F . Момент 
силы перпендикулярен его плоскости действия. 

Главным моментом системы сил относительно выбранной точки называется геометрическая сумма моментов всех сил относительно этой точки 

Мс -±мМ)-± 

i=\ 
i=\ 

\х 
r^xF. 

8 

Главный момент системы сил зависит от выбора полюса. Действительно, относительно произвольных точек ^ и В он равен: 

И 
И 
/ 
\ 
И 
И 

М,^ЫхР,+М,. 

Отсюда следует, что если главный вектор и главный момент системы 
сил одновременно равны нулю относительно одной точки, то они 
равны нулю относительно любой другой точки. 

Необходимым и достаточным условием равновесия системы 
сил является равенство нулю главного вектора и главного момента 
этой системы сил 

Fo - О, Mo - 0. 

Эти два векторных равенства эквивалентны шести скалярным равенствам: 

Парой сил называется совокупность двух сил { F , - F } , равных по 
модулю и противоположных по направлению. Главный вектор 
пары сил равен нулю, а момент пары сил не зависит от выбора 
полюса. 

Действительно, 

F o = F - F = 0, 
Mg^BAxF^+M^^M^. 

Плоскостью действия момента пары сил называется плоскость 
действия пары сил. 

В теоретической 
механике 
доказывается 
теорема 
Пуансо 
(рис. 1.5) о том, что «любую систему сил, действующую на абсолютно твердое тело, можно привести относительно произвольно выбранного полюса к эквивалентной системе, состоящей из главного 
вектора F^, выходящего из этого полюса, и пары сил с моментом, 

9 

равным главному моменту этой системы сил М^ относительно того 

же полюса». 

Fi 

Твердое тело 

Рис. 1.5 

Основные опоры и их опорные реакции в сопротивлении материалов имеют вид, пред ставленый на рис. 1.6: а- 
цилиндрическая 
шарнирно-неподвижная 
опора; 
б- 
цилиндрическая 
шарнирноподвижная опора; в - жесткая заделка. 

а) 

УА 

б) 

А 

К=УА 

в) 

Л 

Рис. 1.6 

10 

2. ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ СОПРОТИВЛЕНИЯ 
МАТЕРИАЛОВ 

Сопротивление материалов - раздел механики деформируемого 
твердого тела, в котором рассматриваются методы расчета элементов 
машин и сооружений на прочность, жесткость и устойчивость. 

Прочностью называется способность материала сопротивляться 
воздействию внешних сил, не разрушаясь и без появления остаточных деформаций. Расчеты на прочность дают возможность определить размеры и форму деталей, выдерживающих заданную нагрузку, 
при наименьшей затрате материала. 

Жесткостью называется способность тела сопротивляться образованию деформаций. Расчеты на жесткость гарантируют, что изменения формы и размеров тела не превзойдут допустимых норм. 

Устойчивостью называется способность конструкций сопротивляться усилиям, стремящимся вывести их из состояния равновесия. 
Расчеты на устойчивость предотвращают внезапную потерю равновесия и искривление элементов конструкции. 

2.1. Допущения и гипотезы 

Виды тел 

Брусом называется тело, длина которого значительно больше его 
поперечных размеров (рис. 2.1). Линия центров тяжестей поперечных 
сечений бруса называется осью бруса. Оболочкой называется тело, 
длина и ширина которого значительно больше его толщины. Плоская 
оболочка называется пластиной. Массивом (массивным телом) называется тело, все три размера которого имеют один порядок. 

Центр 
тяжести 
сечения 

Ось бруса 

Поперечное 
сечение 

Оболочка 

Массив 

Брус 
Пластина 

Рис. 2.1 

11 

Виды внешних нагрузок 

По видам приложения внешние нагрузки (ВН) делятся на сосредоточенные 
силы 
(размерность 
[Г]^И) 
и 
распределенные 

(рис. 2.2). В свою очередь, распределенные нагрузки делятся на объемные (силы тяжести, инерции, электромагнитные силы и т.д.; размерность [у] = H V ) , поверхностные (давление воды, ветра и т.д.; 
размерность [р] = Н/м^ = Па) и линейные (размерность И = П/м, 
погонный вес). 

Сосредоточенные 
силы 

Объемные 
силы 

р 

Поверхностные силы 
Линейные 
силы 

Рис. 2.2 

По характеру действия внешние нагрузки делятся на статические 
и динамические (ударные, циклические и т.д.) нагрузки. Внешние 
нагрузки также делятся на активные нагрузки и опорные реакции, 
которые находят из уравнений равновесия статики. 

Допущения о свойствах 
материала 

Материал считается сплошным, однородным, изотропным и идеально упругим. 

При сплошности материал считается непрерывным. Однородность означает одинаковые физические свойства материала во всех 
его точках. Изотропность - одинаковые свойства материала по всем 
направлениям. Идеальная упругость - свойство материала (тела) 
полностью восстанавливать свою форму и размеры после устранения 
причин, вызвавших деформацию. 

Допущения о деформациях 

Допущения о деформациях включают: 
1) гипотезу об отсутствии первоначальных внутренних усилий; 
2) принцип неизменности начальных размеров - деформации малы по сравнению с первоначальными размерами тела; 

12 

3) гипотезу о линейной деформируемости тел - деформации прямо пропорциональны приложенным силам (закон Гука); 

4) принцип независимости действия сил; 
5) гипотезу плоских сечепий Берпулли - плоские поперечные 
сечения бруса до деформации остаются плоскими и нормальными к 
оси бруса после деформации; 

6) принцип Сен-Вепана - напряженное состояние тела на достаточном удалении от области действия локальных нагрузок очень мало зависит от детального способа их приложения. 

2.2. Метод сечений 

Для определения внутренних сил в теле применяют метод сечепий: 
1) мысленно рассекают брус на две части поперечной плоскостью, перпендикулярной оси бруса; 

2) отбрасывают одну из частей; 
3) заменяют действие отброшенной части на оставленную часть шестью впутренпими силовыми факторами (ВСФ) - продольной (нормальной) силой N„ двумя поперечными силами Q, и Qy, крутящим моментом Л4 и двумя изгибающими моментами М, и My (рис. 2.3); 

4) определяют ВСФ из уравнений равновесия статики; 
5) по третьему закону Ньютона ВСФ отброшенной части равны 
по модулю и противоположны по направлению ВСФ оставленной 
части. 

л у 

Nz 

Ось бруса 

М, 

Рис. 2.3 

13 

Z 

2.3. Напряжения и деформации 

Рассмотрим произвольную точку М в произвольном сечении 
твердого тела (рис. 2.4). Пусть А - площадь сечения. Проведем в 

точке М единичную нормаль й, 
й =1, к плоскости сечения. Выделим вблизи точки М площадку АЛ . Пусть на площадке М действует сила AF. 

АА 

а 

р 

Рис. 2.4 

Полным напряжением в точке М называется векторная величина, численно равная 

Разложим полное напряжение на нормальное напряжение а и 
касательное напряжение х : 

^ = а + х, alx, 
а М 
х||й, 
о^~р-п, 
х = д / Т ^ 
Пусть после деформации тела внутренний отрезок АВ переходит 
в отрезок A'ff (рис. 2.5). 

Деформация 

Рис. 2.5 

14 

"