Сопротивление материалов

|sjQ 1529 
московский ГОСУДАРСТВЕННЫЙ 

ИНСТИТУТ СТАЛИ и СПЛАВОВ » 
^щ 

Технологический университет Ш 
«*^**< < 

МИСиС 
ψ 

Кафедра теоретической механики и сопротивления материалов 

Архангельский А.В. 

Олобрсно 

АЮТОДИЧССКИМ 
советом института 

СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ 

Учебное пособие 

для практических занятий 
ст>дснтов специальностей 1106, 5104, 0709, 1209 и 1703 

МОСКВА. 200(> 

АННОТАЦИЯ 

в 
пособии изтожены 
решения основных 
задач κ\ψΰΛ 
сопротивления материалов излагаемого стчдентам специальностей 
1106 5104 0709 1209 1703 

Большое внимание 
\ делено вопросам 
вызывающим \ 
студентов тр\дности 
при 
решении 
задач 
(построения эпЮр 
вн\тренних силовых факторов, составление дифференциального 
уравнения 
vnpvroit 
линии 
в 
универсальной 
форме 
и 
eto 
интегрирование, применение метода сил и энергетических методов 
определения перемещений и др ) Легко усваиваемые методы решения 
задач описаны кратко, почти конспективно 

Для лучшего усвоения методов решения задач рекомендуется 
после их изучения по пособию решить эти задачи самостоятельно, без 
помощи пособия, а затем сравнить ход решения и полученные 
результаты с изложенными в пособии 

Московский государственный 
институт стали и сплавов 
(Технологический 
университет) (МИСиС) 2000 

СОДЕРЖАНИЕ 

0 точности вычислений в инженерных расчетах 
5 

1 Анализ внутренних силовых факторов 
8 

II Краткие теоретические сведения 
8 

1.2. По<?гросниеэпюр 
10 

12.1. Эпюры продольных сил при растяжении и сжатии 
10 

1.2 2 Эпюры кр>тящих моментов 
13 

1.2 3. Эпюры перерезывающих сил и изгибающих 

.моментов при плоском изгибе балок 
15 

1.2.4. Построение эпюр вн\тренних силовых факторов 

в плоских рамах 
24 

2. Осевое растяжение и сжатие 
32 

2.1. Расчет статически определимых систем 
32 

2.1.1 Краткие теоретические сведения 
32 

2.1.2. Расчет на прочность 
34 

2.1.3. Подбор поперечного сечения 
'.. 39 

2.1.4. Определение допустимой нафузки 
41 

2.2. Расчет статически неопределимых систем 
45 

2.2 1. Краткие теоретические сведения 
45 

2 2.2. Расчет на прочность 
47 

2.2.3. Расчет температ\рных напряжений 
54 

2 2 4. Расчет монтажных напряжений при сборке 

констр\тсций 
59 

3. Напряженное и деформированное состояние 
62 

3 1. Краткие теоретические сведения 
62 

3.2 гасчет напряжений и деформаций 
67 

3.2.1. Определение напряжений при одаоосном действии 

сил 
68 

3.2.2. Определение напряжений при плоском 
напряженном состоянии 
71 

3.2 3. Расчеты с применением обобщенного закона Гука 
75 

4 Геометрические характеристики плоских сечений 
77 

4.1. Краткие теоретические сведения 
77 

4.2. Вычисление геометрических характеристик плоских 

сечений 
80 

СОДЕРЖАНИЕ 
5. Расчеты при кручении брусьев круглого поперечного 
сечения 
87 

5.1. Краткие теоретические сведения 
87 

5.2. Расчеты на прочность и жесткость 
90 

5.3. Статически неопределимые задачи кр>чения 
94 

6. Прямой изгиб балок 
98 

6.1. Краткие теоретические сведения 
, 
98 

6.2. Расчет балок на прочность 
100 

6.3. Определение перемещений точек и сечений .методом 
интегрирования дифференциального уравнения з'пругой 
линии 
,.., 
107 

7. Применение теорий прочности к расчету валов 
114 

7.1. Краткие теоретические сведения ...,;., 
,. 
114 

7.2. Расчет валов на прочность 
,......., 
116 

8. Определение перемещений энергетическим методом 
121 

8.1. Краткие теоретические сведения 
121 

8.2. Вычисление перемещений с помощью интефала Мора 
124 

8.3. Вычисление перемещений способом Верещагина 
130 

9. Расчет статически неопределимых систем методом сил . 139 
9.1. Краткие теоретические сведения 
139 

9.2. Примеры раскрытия статической неопределимости 
142 

9.3. Определение перемещений в статически неопределимых 
системах 
, 
151 

10. Расчеты сложного сопротивления 
154 

10.1.Краткиете(фетичесхие сведения 
154 

10.2.КОСОЙ изгиб 
156 

Ю.З.Внецентренное растяжение и сжатие 
161 

11. Устойчивость равновесия упругих стержней 
167 

11.1. Краткие теоретические сведения 
167 

11.2.Расчеты по ф(фмуле Эйлера 
169 

1 ].З.Расчеты нагрузок за пределом упругости 
172 

11.4.Расчет на устойчивость по коэффициентам φ продольного 

изгиба 
., 
173 

Литература 
176 

о точности ВЫЧИСЛЕНИЙ в 
ИНЖЕНЕРНЫХ РАСЧЕТАХ 

в механике степень точности рсз>льтатов расчета ограничивается предпосылками и гипотеза.ми. положенными в се основу, а также 
точностью измерений линейных размеров рассчитываемой конструкции, механических характеристик ее маггериала и величин приложенных нагрузок. Поэтому, в расчетах приходится иметь дело с приближенными значениями величин. Эти числа записываются в соответствии с наиболее распространенным правилом - выписывать значащими цифрами все верные цифры и первую сомнительную. Например, 
модуль упр> гости стали /i = 2,1 10 МПа есть число с двумя значащи.ми цифрами - 2 и I. В этом числе сомнительной цифрой будет 
единица. Это связано с тем, что модуль упругости вычисляют как отношение дв^тс независимо определяемых величин - нафузки и деформации -которые из.мсряют с некоторыми погрешностями. Значит, 
для стали может быть так: Ε = 2,2 10* Мпа или Ε - 2,0 10 Мпа. 

В числе 0,0005 сомнительной цифрой будет 5, поскольку истинное значение этого числа может лежать в .интервале от 0,0004 до 
0,0006, а может и в более широком интервале. 

При действиях с приближенными числами не следует стре.миться к высокой абсолютной точмости расчета, обеспечиваемой возможностями современных вычислительных машин. Большое количество значащих цифр в числе еще не говорит о его точности. 

Пример. 
Пусть нам известно, что при осевом растяжении стержня 
продольная сила равна 23 МН, а площадь поперечного 
сечения ртержня - 0,17 м^ 
Разделив силу на п.тощадь, получим напряжение в сечении 
25 МН -=147,0588 МПа. 
0,17 м 
Казалось бы, напряжение вычислено с очень высокой степенью точности. Однако нагрузка задана приближенно и цифра 5 является сомнительной. В площади поперечного сечения сомнительна последняя цифра 7. Эти последние цифры могут быть ошибочными 

_ 

Арчангечьский А В 

на±1 Учтя эт> ошибку мы полх-чим следующие рсз\льтаты 

26 МН -=162.5 
МПа. 

016м^ 

24 МН 

- = 133.3 МПа 

0,18 м^ 

Из этого примера видно, что в пол>-ченныч рез>льтатах цифра 
в разряде десятков уже является сомнительной, приближенной Поэтому ответ может быть только с двумя значащими цифрами 
1,5 10'МПа 

Ниже приведены некоторые правила записи чисел, которых 
следует придерживаться при решении задач механики и в инженерных вычислениях вообще 
1 При сложении (вычитании) приближенных чисел можно с большой в^юятностъю считать, что сумма (разность) имест такое же 
число знаков после запятой, что и исходное число, имеющее наименьшее число этих знаков 

Пример. 1,5423 + 0,29 + 2,137 = 3,97 

В этом примере число 1,5423 округлено до 1,54 отбрасыванием 
двух последних цифр, а число 2,137 - до 2,14 прибавлением единицы во втором ря-^ояде после запятой 

2 При умножении (делении) можно с большой вероятностью считгпъ, что результат имеет столько значащих цифр, сколько их имеет наименьшее по количеству значащих цифр исходное число 

Пример. 
Умножим 1,974 на 0,6 Округлив множимое до одной 
значащей цифры, как во множителе, т е до 2, найдем, 
что произведение, в котором сохраняем одну значащую 
цифру, равно 1 
Действительно, учитывая сомнительность цифры 6 множителя, можно получить результаты 
1,974 X 0,6 =1,1844 β 1, 
1.974x0,5 = 0,9870*1, 
1,974x0,7=1,3818»! 
Здесь результаты первой ц второй строчек, второй и треть

о ю'цккш Βΐ,ΐΜΐκ teiiiiii н inrAci'ep'n.is расчетах 

си строчек раз1ичаются \же в целых единицах и поэтом\ 
нет cMbicia выпнсывап. четыре знака посае запятой 

3 При возведении в квадрат (к\б) в поллменном результате след>ет 
сохранить столько же значащих цифр, сколько их имеет основание 
степени при возведении в четвертлю степень - \меньшить число 
значащих цифр на единищ 

Пример 1. 1 49* = 2 22 тогда как при «точном» расчете - 2.2201 

Пример 2. 0.5^ = О 1 «Точный» результат 0,125 не имеет смысла при 
сомнительной цифре 5 в основании степени, ибо 
0,б' = 0,216. а 0,4^ = 0,064 и результаты различаются уже 
на уровне десятых долей 
Если бы число было записано в форме 0,500' (три значащих цифры), то результат 0,125 был бы правильным. 

4 При извлечении квадратного (кубического) корня можно с большой вероятностью считать, что результат имеет не больше значащих цифр, чем подкоренное число 

Пример. л/0,0625 = 0,250, 
^1,177 = 1,21 

Таким образом, в расчетах, содержащих действия умножения, 
деаения, возведения в степень и извлечения корня нужно все данные 
прибпиженные числа окрутлить до одинакового числа значащих 
цифр и резу 1ьтат вычистсний округлить до того же числа значащих 
цифр 

Применяя указанные выше правила, следует иметь в виду, что 
последняя цифра рс''\ 1ьтата в отдельных случаях может иметь погрешность в несколько единиц, но малые погрешности более вероятны, чем большие 

Так, в первом рассмотренном нами примере, напряжение в 
поперечном сечении стержня оказалось равным 1,5 
10^ МПа Пусть 
допускаемое напряжение равно 160 МПа Как оценить прочность 
стержня'^ 

Значение рассчитанного напряжения имеет две значащие 
цифры, следовательно, оно может находиться в интервале значений 
140 
160 МПа или, что менее вероятно, 130 
170 МПа Взяв более 
вероятное значение величины напряжения, можно считать, что прочность стержня обеспечена, так как (140 
160) МПа S 160 МПа 

1. АНАЛИЗ ВНУТРЕННИХ СИЛОВЫХ 
ФАКТОРОВ 

1.1. Краткие теоретические сведения 

При наф>жснии стержня внешними нагрчзками в его сечениях возникают внутренние силы и моменты, которые называются 
внутренними силовыми факторами. Деформация стержней и их разрушение обусловливаются не внешней перегрузкой, а внутренними 
силами и моментами. Анализ внутренних силовых факторов - этх) 
важнейший инструмент, позволяющий получить необходимую информацию о прочности и жесткости конструкций. Можно сказать, без 
которого не может быть решена ни одна задача о сопротивлении материалов приложенным нагрузкам. 

Для выявления и вычисления внутренних силовых факторов 
применяется метод сечений, включающий в себя следующие этапы: 
- 
мысленно рассекаем тело на две части; 

- 
отбрасываем одну из этих частей; 

- 
заменяем действие отброшенной части на оставшуюся неизвестными внутренними силами и моментами; 

- 
составляем уравнения равновесия для оставшейся части тела и 
определяем неизвестные внутренние силы и моменты. 

В самом общем случае в поперечном сечении стержня могут 
возникнуть шесть внутренних силовых факторов (внутренних усилий): 

А4 
~ продольная сила; 

QxKQy 
~ п^)ерезывающие силы; 

Μχ и My 
- изгибающие моменты; 

Л/г = Мк 
- крутящий момент. 

Проекция на какую-либо ось внутренних усилий в сечении, 
действующих со стороны отброшенной части ст^жня (например, 
правой) на оставшуюся (левую) равна и направлена противоположно 
проекции на эту ось всех внешних сил, приложенных к левой части. 

Аналогично, момент относительно какой-либо оси внутренних 
усилий в сечении, действующих со стороны правой части стержня на 

8 

Лиали! вттрешшч саювыч факюров 

лев\ю равен и направлен противоположно моментл всех внешних 
сил. приложенных к левой части стержня относительно этой оси 

Введем правы to шаков для внхтренних силовых факторов в 
поперечном сечении бр\са 
- 
продольная сила N считается положительной, если она вызывает 
растяжение (рис 1 \,а) 

- 
кр\тящем> момент\ обычно не приписывают никакого знака, 

- 
для балок, испытывающих плоский изгиб, перерезывающая сила 
Q положительна, если левая часть балки под действием внешних, 
приложенных к ней сил, стремится переместиться вверх относительно правой ее части (рис 1 1, б), а изгибающий момент Μ положителен, если радиус кривизны деформированной оси балки 
направ1ен вверх, в сторону положительного направления оси у 
(рис 1 1, в) 

Рис 1 1 Схемы к опредепению знака 

а - продольного усилия N,6- перере:яааюшрй силы Q, 

в - изгибающего момеигаЛ/(р -радиус 1С1МЮиэны изогнутой оси 

башси) 

ЛрчашельскийА В 

В результате анализа внутренних силовых факторов строятся 
эпюры внутренних ааовых факторов, показывающие графически 
изменение устий и моментов в сечении при псремсшснии сечения 
вдоль оси стержня Вычисленные значения вттренних силовых факторов откладываются от базы - линии, параллельной оси стержня, в 
злобном для построения масштабе 

1.2. Построение эпюр 

1.2 1. Эпюры продольных сил при растяжении и 

сжатии 

Задача 1.1. Построить эпюру продольных сил для стержня, показанного на рис 1 2 Дано Р\ - в кН, Pz = Л кН, 
а = 0,4м,Ь = 0.3 м, С = 0,8 м, / = 2 м 

Решение 

Вычерчиваем расчетную схему в удобном масштабе с указанием численных значений размеров стержня и сил (рис 1 2, а) и выбираем направление координатных осей Обозначаем характерные 
участки по длине бруса между точками приложения сил I, II, III и 
IV Далее, применяя метод сечений, определяем неизвестные продольные усилия в поперечных сечениях стержня 

Рассекаем стержень на IV участке (Z > 1,5 м). и, чтобы не определять опорную реакцию, отбрасываем левую часть (вместе с неизвестной опорной реакцией), заменяем действие отброшенной части на 
оставшуюся положительной внутренней силой ^2 
(рис 1 2, б) и 
составляем уравнение равновесия части бруса в проекции на ось ζ 
~Ni 
= О Следовательно, на IV участке внутренние силы отсутствуют 

Аналогично поступаем с остальными участками стержня 
участок III (рис 1 2, в) 
-Л/^'" + 3=0, 
/ / j " ' = 3 кН, 

участок II (рис 1 2, г) 
~NJ^ -4 + 3 = 0, 
Л^^" = -1 кН, 

здесь знак (-) указывает, что направление внутренней силы было выбрано неправильно, τ е она являетсж сжимающей, а не растягивающей, 
10 

Аяапт вттренних силовых факторов 

/ 

.^-&0.^^ 

^ 
Р2 
К 

щ,—__£ 
ψ. 

ί 

6<Ц 
4К/Г 
ЗкЙ 

^
^ 

1 
и. 

Ζ - * 

^s^ 

ЬкН 

/Ус €к4 

μ>3κ·κ 

.дьь 
^Ktf 

Ά-.^^ 

f^-^xK 

1ϋ мш 

CL· 

ί 

1 

Рис I 2 Схема нагружения стержня к задаче I I 

а - расчетная схема, б, в, г, д - участки стержш для определения 
продолшого усилия, соответствашо, на IV, Ш, Π и I участкач. с 
-чпора продолыюго усилия 

Π 

АрчакгельскиЙ А В 

участок I (рис 12.<ί) 
-^^2^ + 6 - 4 + 3 = 0, 
NJ = 5KH 

После определения внутренних сил по всей длине бруса строим эпюр\ силы Ni в хдобном для построения масштабе с \тказанием 
численных значений и знака вн\'треннего продольного \силия 
(рис 1 2, е) 

Вн>треннее усилие на I >°частке бр\са численно равно неизвестной опорной реакции в заделке Действительно, отбрасывая 
опорное закрепление и заменяя его действие опорной реакцией R из 
Зфавнения равновесия, пол)'чим /? = 6 - 4 + 3 = 5кН Таким образом, 
для брусьев типа консоль (защемленных жестко с одного конца) 
предварительное определение опорных реакций не обязательно 

Задача 1.2. Построить этору продольных сил для стержня с распределенной нагр>'зкой (рис I 3) 

3QH4 

Рж 13 Рвсчетаая схема стержня к задаче 1.2, 

β - левая or сечения часп> стержня дпя определения Л/"л б - эпкфы 

продольной сипы 

12