Численное моделирование процессов тепломассопереноса. Раздел : решение сопряженных задач теплообмена

№233 

м о с к о в с к и й ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ИНСТИТУТ СТАЛИ и СПЛАВОВ 
(ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ) 

Кафедра теплофизики и экологии металлзфгического производства 

Арутюнов В.А., Крупенников СА., Левицкий И.А. 

Одобрено Методическим 
советом института 

Численное моделирование процессов 
тепломассопереноса 

Раздел: Решение сопряженных задач теплообмена 

Лабораторный практикум 

для студентов специальности 11.03 

Москва 2000 

АННОТАЦИЯ 

практикум составлен в соответствии с программой курса 
"Численное моделирование процессов тепломассопереноса" для студентов специальности 11.03 и предназначен для проведения лабораторных занятий в компьютерном классе. В приложении приведены 
краткие справочные сведения по реализации различных разностных 
схем решения задач теплопроводности, которые могут быть использованы при выполнении курсовых работ. 

© Московский 
государственный 
институт 
стали 
и 
сплавов 
(МИСиС), 2000. 

Арутюнов В.Л., Крупенников С.А., Левицкий И.А. 

СОДЕРЖАНИЕ 

Предисловие 
5 

Вводное занятие. 
Постановка сопряженной задачи теплообмена 
7 

Лабораторная работа 1. 
Расчет нагрева термически тонкого тела в системе 
"газ-кладка-металл" при заданной температуре газа и адиабатной кладке 
14 

1.1. Уточнение постановки задачи 
14 

1.2. Аналитическое решение сопряженной 

задачи теплообмена 
15 

1.3.Численное решение задачи 
17 

1.3.1 .Явная разностная схема 
18 

1.3.2.Неявная разностная схема 
18 

1.4. Повышение эффективности разностных схем 
19 

1.3.3 .Применение итерационного метода Ньютона 
19 

1.3.4.Использование коэффициента 

теплоотдачи излучением 
19 

1.3.5.Применение экспоненциальной разностной 

схемы 
21 

1.5.Порядок выполнения работы 
22 

1 .б.Контрольные вопросы 
23 

Лабораторная работа 2. 
Расчет нагрева термически массивного тела в системе 
"газ-кладка-металл" при заданной температуре газа и 
адиабатной кладке 
25 

2.1 .Уточнение постановки задачи 
25 

2.2.Численное решение задачи 
27 

2.2.1. Разностный аналог задачи теплопроводности 
27 

2.2.2. Решение системы разностных уравнений методом 

прогонки 
28 

2.2.3. Повышение эффективности неявных разностных 
схем 
29 

2.3.Порядок выполнения работы 
31 

Лабораторный практикум 

2.4.Контрольные вопросы 
32 

Лабораторная работа 3. 
Расчет нагрева термически тонкого тела в системе 
"газ-кладка-металл" ори заданном расходе топлива 
34 

ЗЛ.Уточнение постановки задачи 
34 

3.2.Применение резольвентного зонального метода 
для решения задачи теплообмена в системе 
"газ-кладка-металл" 
35 

3.3.Методы сопряжения решений внутренней и внешней 

задач 
39 

3.3.1. Последовательное решение внешней и 
внутренней задач с согласованием во внешнем итерационном цикле 
39 

3.3.2. Совместное решение внешней и внутренней задач..41 

3.4.Порядок выполнения работы 
42 

3.S.Контрольные вопросы 
43 

Лабораторная работа 4. 
Расчет нагрева термически массивного тела в системе 
"газ-кладка-металл" при заданном расходе топлива 
45 

4.1 .Уточнение постановки задачи 

45 

4.2.Методы сопряжения решений внутренней и внешней задач ..46 
4.2.1.Последовательное решение внешней и 
внутренней задач с согласованием 
во внешнем итерационном цикле 
47 

4.2.2.Совместное решение внешней и внутренней 

задач 
48 

4.3.Порядок выполнения работы 
50 

4.4.Контрольные вопросы 
51 

Приложение. Реализация метода прогонки при решении 
линейной задачи теплопроводности для тел 
правильной геометрической формы 
52 

Арутюнов В.А., Крупенников G.A., Левицкий И.А. 

ПРЕДИСЛОВИЕ 

Лабораторный практикум составлен в соответствии с программой курса "Численное моделирование тепломассопереноса" для 
студентов специальности 11.03 . 

Целью лабораторного практикума является освоение методов 
решения задач сопряженйого теплообмена в промышленных печах и 
построения вычислительньк алгоритмов с учетом особенностей конкретной постановки задачи, а также приобретение навыков разработки соответствующих компьютерных программ. 

Практикум предусматривает проведение вводного занятия 
№ 1 (2 часа) и четырех лабораторных работ № 2 - 5 (по 4 часа ) в течение первой половины седьмого семестра; на последующих занятиях, посвященных исследованию тепловой работы промышленных печей, используется пакет прикладных программ, созданных по ранее 
изученной методике. 

Все лабораторные работы выполняются в компьютерном 
классе индивидуально в соответствии с вариантом, указанным преподавателем. В процессе подготовки к занятию студенг изучает теоретический материал, содержащийся в описании работы и дополнительной литературе (см. ниже), составляет конспект с изложением 
постановки задачи и структуры применяемых для ее решения вычислительных алгоритмов, а также - в соответствии с индивидуальным 
заданием - подготавливает текст компьютерной профаммы. После 
ввода и отладки программы проводится вычислительный эксперимент, результаты которого заносятся в отчет. По окончании вычислений отчет дополняется пояснением полученных результатов, выводами и ответами на контрольные вопросы. Конспект и оформленный 
отчет является необходимым условием для защиты каждой лабораторной работы. 

При подготовке к лабораторным занятиям рекомендуется использовать следующую литературу: 

1. Арутюнов В.А.,Бухмиров В.В.,Крупенников С.А. Математическое моделирование тепловой работы промышленных 
печей: Учебник для вузов. - М.:Металлургия,1990. 

Лабораггорный практикум 

2. Арутюнов В.А.,Крупенников С.А. Элементы теории систем 
и численное моделирование тепломассопереноса. Раздел: 
Численное моделирование процессов тепломассопереноса: 
Учебное пособие. - М.:МИСиС,1990. 

К лабораторным работам: 
№1-[1],с.101-103; 
№ 2 - [1], с.34-54; [2], с.95-98; 
Ко 3 - [1], с.155-163; [2], с.40-46; 
№4-[1],с.34-44. 

Методы решения задач сопряженного теплообмена, изучаемые в настоящем пракппопме, в дальнейшем ( в течение восьмого семестра ) применяются при выполнении курсовой работы по расчету 
нагрева тел различной термической массивности и формы в печах 
периодического и непрерывного дейстъия. При этом рекомендуется 
использовать справочные сведения по реализации разностных схем 
решения задачи теплопроводности, приведенные в Приложении. 

Арутюнов В.А., Крупснников С.А., Левицкий И.А. 

ВВОДНОЕ ЗАНЯТИЕ. 

Постановка сопряженной задачи 

теплообмена 

при построении математических моделей тепловой работы 
промышленных печей следуегт учитывать различие физических механизмов (а следовательно, и математического описания) процессов 
переноса тепла в рабочем пространстве печи и отдельных его элементах. Так, в рабочем пространстве топливных нагревательных печей 
протекают процессы сложного ( радиационно-конвективного ) теплообмена. 

Для математического описания этих процессов формулируются внешние задачи теплообмена, целью решения которых является 
расчет распределения температуры в рабочем пространстве печи. В 
нагреваемых телах и футеровке печи происходят процессы переноса 
тепла теплопроводностью, для описания которых формулируются 
внутренние задачи теплообмена, определяющие температурные поля 
нагреваемых тел и футеровки. Поскольку процессы внешнего и внутреннего теплообмена тесно взаимосвязаны, для получения полной 
картины тепловой работы печи необходимо произвести совместное (в 
рамках единой системы уравнений) решение внешних и внутренних 
задач, т.е. решить сопряженную задачу теплообмена. 

Процедура решения сопряженной задачи, однако, не всегда 
подразумевает именно совместное решение уравнений, описываюших 
внешние и внутренние задачи. При практической реализации математических моделей сопряженного теплообмена их обычно разбивают 
на блоки, в которых формулируются отдельные внешние и внутренние задачи. В этом случае для решения сопряженной задачи теплообмена необходимо согласовать решения внешних и внутренних задач, 
что требует разработки некоторой специальной процедуры сопряжения. 

Будем называть поверхности раздела областей, в которых 
производятся решения внешних и внугренних задач, поверхностями 
сопряжения или поверхностями нагрева. Обозначим через Г»., температуру /-ОЙ поверхности сопряжения, а через qy,, плотность проходя

Лабораторный праетикум 
щего через нее теплового потока (/ = 1,...,п, где п - число поверхностей сопряжения). Согласование решений внешних и внутренних задач может быть произведено с помощью кгерационного алгоритма, 
предусматривающего последовательное вьтолнение следующих операций (сопряжение по температурам поверхностей нагрева). 

1. Задание начального приближения температур T^i, i = I,—,п. 
2. Решение внешних задач: нахождение распределения температуры в рабочем пространстве и плотностей тепловых потоков qwi, 
соответствующих заданным значениям Т^, (температуры Т„, называются в этом случае определяющими температурами поверхностей 
сопряжения): 

q^i = F(T^i,...,Twn), i = i.-.n; 

здесь через F обозначена процедура решения внешних задач. 

3. Решение внутренних задач: определение температурных 
полей нагреваемых тел и уточненных значений температур Т^', соответствуюищх найденным в п.2 плотностям внешних тепловьлх потоков q^i qwn' 

Ту,' = G(q^i,...,q^, i = 1,...,п; 

здесь через G обозначена процедура решения внутренних задач. 

4. Присваивание T„i = Т^ и возврат к п.2 в том случае, если 
последующее приближение температур поверхностей сопряжения 
отличается от предыдущего на величину, превышающую заданный 
по условию уровень допустимой погрешности. 

Отметим, что в рамках данной расчетной схемы при решении 
внешних задач зональным методом все поверхности сопряжения рассматриваются как зоны 1-го рода, а внутренние задачи представляют 
собой задачи теплопроводности с граничными условиями 2-го рода. 

С формальной точки зрения описанный выше алгоритм реализует решение системы уравнений вида 

Г»,, = G[F(Ty,i Г«^7,' = Ь--.я, 

Арутюнов В.А., Крупенникой С.А., Левицкий И.А. 

методом простой итерации, который часто оказывается малоэффективным и обладает узкой областью сходимости. Поэтому одной из 
главных проблем, возникающих при построении алгоритмов расчета 
сопряженного теплообмена, является проблема обеспечения (или ускорения) сходимости итеращ1й. Отметим, что решение этой проблемы существенно облегчается, если (за счет принятия определенных 
упрощающих допущений) зависимости q^ = F{T^i 
Т^) или 

Tvi = G(^wA ..^wn) для некоторых внутренних или внешних (или тех и 
других) задач удается представить в явном аналитическом виде. 

Применение численных методов дня решения сопряженных 
задач нестационарного теплообмена предполагает введение дискретного времени 4 = (* - 1) • А^. где к = 0,1,2,.., а Д/ - шаг по времени. В 
этом случае в качестве определяющей температуры поверхности нафева при расчете каждого шага по времени используется некоторое 
промежуточное ее значение в пределах данного шага 

Г„,=(1-ц)-7;*-'+ц.Г^*,; 
(1) 

здесь Г^,"' и rj', значения температуры Гц,/ в начале и конце *-го шага; 
\i. - степень неявности расчетной схемы (для явной схемы ц = О, для 
чисто неявной схемы ц = 1 и для схемы Кранка-Николсона \х = 0,5). 
Согласованность решений внешней и внутренней задач заключается, 
таким образом, в том, что внешний тепловой поток, обеспечивающий 
изменение температуры поверхности нагрева в течение шага по времени от Г^,"' до Г^, определяется ее промежуточной температурой (1). 

Методы решения сопряженных задач теплообмена изучаются 
в настоящем пособии на примере самой простой математической модели тепловой работы камерной топливной печи. Нагреваемое тело 
здесь рассматривается как плоская пластина, имеющая одну тепловоспринимающую поверхность, а в рабочем пространстве печи выделяются три зоны: 1 - тепловоспринимающая поверхность нагреваемого тела ("металл"), 2 - внутренняя поверхность футеровки печи 
("кладка") и 3 - объём продуктов сгорания топлива ("газ"). Данная 
модель, строго говоря, должна включать в себя три блока, описывающих одну внешнюю задачу (сложный теплообмен в системе "газ

Лабораторный практикум 
кладка-металл") и две внутренних задачи (перенос тепла теплопроводностью в HaqjeeacMOM теле и футеровке печи). Поверхностями 
сопряжения в данном случае являются тешювоспринимающая поверхность металла и внутренняя поверхность футеровки. 

Для упрощения постановки задачи примем допущение о стационарности теплового состояния футеровки, позволяющее записать 
для ее внутренней поверхности уравнение теплового баланса, выражающее решение соответствующей внутренней задачи (стационарной 
задачи теплопроводности) в явном виде 

Я'г + 
яГ'-Яг; 
(2) 

здесь д^ — плотность потока результирующего излучения на внутренней поверхности футеровки; 
qf"" = а2°"* аг • (7з - Гг) - плотность потока конвективной теплоотдачи; ^2 = 'fer • (^2 - Т'о) - плотность 
потока тепловых потерь в окружающую среду; Гг и Ту- температуры 
внутренней поверхности футеровки и продуктов сгорания топлива; 
а^""* - коэффициент теплоотдачи от дымовых газов к внутренней 
поверхности футеровки; к^- коэффициент теплопередачи через футеровку в окружающую среду; Го- температура окружающей среды. 

Если счкгать, кроме этого, что поток тепловых потерь приближенно равен потоку конвективной теплоотдачи (^2 « 92°™ )> ^**^' 
сто (2) получим еще более простое соотношение - условие адиабатности кладки по отношению к лучистой составляющей плотности 
теплового потока 

Я^=0. 
(3) 

в процессе расчета внешнего теплообмена зональным методом соотношение (2) (или (3)) можно учесть, рассматривая внутреннюю поверхность кладки как зону 3-го (или 2-го) рода. 

Таким образом, для решения данной сопряженной задачи остается обеспечить согласование решений внешней и внутренней задач на единственной поверхности сопряжения - тепловоспринимающей поверхности нагреваемого тела. 

10 

Арутюнов В.А., Крупенников С.А., Левицкий И.А. 

Целью решения внешней задачи теплообмена является при 
этом нахождение суммарной плотности теплового потока на поверхности нагрева 

Ч\ = ?1 + 4i 
, 
(4) 

(q^ - плотность потока результирующего излучения, 9Г**"" ~ плотность потока конвективной теплоотдачи) при заданной температуре 
этой поверхности, а целью решения внутренней задачи - расчет изменения температурного поля нагреваемого тела при заданной плотности внешнего теплового потока q\. 

Методы решения сопряженной задачи теплообмена (согласования решений внешней и внутренней задач) рассматриваются в лабораторных работах 1 - 4 на следующих примерах. 

1. Расчет нагрева термически тонкой заготовки при заданной температуре продуктов сгорания топлива. 

При заданной температуре газа и адиабатной кладке внешняя 
задача теплообмена в системе "газ-кладка-металл" имеет явное решение (плотность потока результирующего излучения определяется 
формулой Тимофеева-Невского, плотность потока конвективной теплоотдачи - законом Ньютона-Рихмана). 

Решение внутренней задачи для термически тонкого тела определяется уравнением мгновенного теплового баланса, связывающим скорость изменения теплосодержания тела с тепловым потоком, 
поступающим на его поверхность. 

Для совместного решения внешней и внутренней задач в данном случае достаточно подставить выражение для плотности внешнего теплового потока в уравнение теплового баланса для нагреваемого 
тела. Сопряженная задача теплообмена, таким образом, вырождается 
и сводится к нелинейному обыкновенному дифференциальному уравнению. 

2. Расчет нагрева термически массивной заготовки при заданной температуре продуктов сгорания топлива. 

Лабораторный практикум 

При заданной температуре газа и адиабатной кладке внешняя 
задача теплообмена в системе "газ-кладка-металл" - так же как в п. 1 имеет явное решение. 

Решение внутренней задачи для термически массивной пластины определяется уравнением теплопроводности с граничным условием второго рода (при заданной величине плотности внешнего 
теплового потока). 

Для совместного решения внешней и внутренней задач в данном случае достаточно подставить выражение для плотности внешнего теплового потока в фаничное условие уравнения теплопроводности. Сопряженная задача теплообмена, таким образом, вырождается и 
сводится к задаче теплопроводности с нелинейным граничным условием третьего рода. 

3. Расчет нагрева термически тонкой заготовки при заданном расходе топлива. 

Если заданной по условию величиной является расход топлива (а не температура продуктов сгорания), то расчет внешнего теплообмена в системе "газ-кладка-металл" производится путем численного 
решения системы нелинейных зональных уравнений относительно 
температур кладки и газа с последующим определением плотности 
теплового потока на поверхности нагрева, отвечающего заданной 
температуре этой поверхности. 

Решение внутренней задачи для термически тонкого тела, так 
же, как и в первом примере, определяется уравнением мгновенного 
теплового баланса, связывающим скорость изменения теплосодержания тела с тепловым потоком, поступающим на его поверхность. 

Согласование решений внешней и внутренней задач требует 
(при ц > 0) организации некоторой итерационной процедуры. Наиболее эффективную расчетную схему можно получить, если уравнение 
теплового баланса для нагреваемого термически тонкого тела, определяющее решение внутренней задачи, использовать уже на этапе 
решения системы зональных уравнений. Для этого данному уравнению нужно придать форму дополнительного зонального уравнения 
для поверхности нагрева, рассматривая ее как зону 3-го рода. Расчет 
сопряженного теплообмена, таким образом, сводится к решению 
расширенной системы нелинейных зональных уравнений. 

12