Организация эксперимента : планирование эксперимента в процессах ОМД

УДК 519.242 
0-64 

Р е ц е н з е н т 
кандидат технических наук, доцент ЕЛ. Малое 

Организация эксперимента. Планирование эксперимента в 
0-64 
процессах ОМД: Метод, указания/ С.Д. Прокошкин, Е.В. Никитин, В.А. Трусов, Б.М. Федосов. - М.: МИСиС, 2003. - 39 с. 

Рассмотрена методика нланирования эксперимента. Описан порядок выполнения курсовой работы по разделу «Планирование эксперимента» с использованием полного факторного эксперимента 2"* и приведен пример выполнения курсовой работы. 

Пособие предназначено для студентов, обучающихся по специальности 
110600 «Обработка металлов давлением». 

© Московский государственный институт 
стали и сплавов(Технологический 
университет) (МИСиС), 2003 

ОГЛАВЛЕНИЕ 

Введение 
4 

1. Планирование эксперимента 
5 

1.1. Краткие сведения о методах планирования эксперимента 
5 

1.2. Полный факторный эксперимент 
8 

1.3. Свойства полного факторного эксперимента 
10 

1.4. Обработка результатов эксперимента 
11 

1.4.1. Расчет коэффициентов модели 
11 

1.4.2. Определение погрешности эксперимента 
13 

1.4.3. Проверка значимости коэффициентов уравнения модели ...14 
1.4.4. Проверка адекватности модели 
15 

2. Последовательность выполнения курсовой работы 
16 

2.1. Уширение при прокатке и влияние на него внешних зон 
16 

2.2. Выбор факторов и области факторного пространства 
18 

2.3. Матрица планирования полного факторного эксперимента....22 
2.4. Эксперимент на компьютере 
24 

2.5. Обработка результатов эксперимента 
25 

3. Пример выполнения работы по курсу «Организация эксперимента»..28 

3.1. Планирование эксперимента 
28 

3.1.1. Выбор факторов эксперимента 
28 

3.1.2. Исходные данные 
28 

3.1.3. Область определения факторов эксперимента 
29 

3.1.4. Матрица планирования ПФЭ 2^ 
30 

3.2. Проведение эксперимента на ЭВМ и обработка его результатов ...31 

3.2.1. Реализация эксперимента на ЭВМ 
31 

3.2.2. Обработка результатов эксперимента 
31 

3.2.3. Проверка значимости коэффициентов уравнения 
33 

3.2.4. Проверка адекватности модели 
33 

3.2.5. Перевод уравнения модели к натуральному виду 
35 

Библиографический список 
36 

Приложение 
37 

3 

Введение 

Планирование эксперимента в промышленном производстве, использующем способы обработки металлов давлением, крайне трудоемко. Различными научными школами, в том числе преподавателями 
и научными сотрудниками МИСиС, предложены математические 
модели, достаточно успешно описывающие процессы, происходящие 
при обработке металлов давлением. Применяя эти модели в экспериментальных исследованиях, можно получить технологические и экономические эффекты. 

Пособие рассчитано на студентов, специализирующихся в области обработки металлов давлением. Целью данного пособия является изложить математическую теорию планирования эксперимента, научить студентов планировать и проводить эксперимент, а 
затем математически обрабатывать его результаты и делать выводы 
о влиянии учитываемых в эксперименте факторов. В первой части 
описана методика проведения полного факторного эксперимента и 
последующая обработка экспериментальных данных. Так как данное пособие предназначено для того, чтобы помочь студенту выполнить курсовую работу по разделу планирования эксперимента в 
курсе «Экспериментальные исследования», то после теоретического введения рассматривается последовательность проведения опытов и обработки откликов, полученных с помощью компьютерной 
модели. Приведен пример выполнения курсовой работы. В приложении даны справочные таблицы, которые используются при выполнении курсовой работы. 

Авторы работы благодарят сотрудников вычислительной лаборатории кафедры ПДСС Е.Р. Коржавину, О.Г. Манухина, М.Л. Якимова, О.М. Пауменко за помощь при подготовке данного пособия. 

4 

1. ПЛАНИРОВАНИЕ ЭКСПЕРИМЕНТА 

1.1. Краткие сведения о методах планирования 
эксперимента 

При экспериментальных исследованиях важную роль играют поиски рациональной последовательности и объема получения опытных данных, характеризующих изучаемый объект. План эксперимента необходимо составить так, чтобы получить максимум информации 
при минимальных затратах средств и времени. Разработанные методы математического планирования экспериментов позволяют достаточно быстро и экономно приблизиться к поставленной цели эксперимента и упростить статистическую обработку результатов. Использование методов математического планирования достигает наибольшего эффекта тогда, когда задача поставлена корректно, а исходные данные выбраны рационально, что характеризует квалификацию и опыт экспериментатора. 

Цель планирования эксперимента заключается в построении количественной зависимости между воздействующими на объект факторами и реакцией объекта (Y^) на эти воздействия. 

Назовем объект исследования «черным ящиком» (рис. 1.1), так 
как мы можем фиксировать воздействующие на объект факторы и 
реакцию объекта на воздействие, но не можем менять содержимого 
объекта. 

^i 

Ui 
1 

Т 

Рис. 1.1. Объект исследования: 

Х^ - контролируемые факторы; Y^ - реакция объекта на воздействие; 

С/, - видимые неконтролируемые факторы; F, - невидимые 

неконтролируемые факторы 

Y 

5 

Количественные взаимоотношения между воздействующими факторами и реакцией объекта формализуются математическими зависимостями. Способы накопления информации в процессе эксперимента можно разделить на пассивные и активные. Пассивный эксперимент регистрирует самопроизвольно изменяющиеся значения контролируемых факторов и соответствующие значения реакции объекта исследования. Такой эксперимент часто, когда изучается действующий промышленный объект, является единственно возможным. 
Но он не позволяет из-за отсутствия возможности проведения параллельных опытов оценить погрешность эксперимента. Активный эксперимент позволяет регулировать воздействие на объект всех управляемых факторов. Но и он имеет определенные недостатки: 

- модель объекта составляется только по управляемым факторам 
Xi и не учитывает влияние неуправляемых; 

- при больших интервалах варьирования факторов возможно возникновение аварийных режимов; 

-при небольших интервалах варьирования факторов требуется 
жесткая стабилизация неуправляемых независимых переменных, 
чтобы их влияние не превысило влияние управляемых. 

Четкая формулировка цели исследования, требования к точности 
и надежности результатов повышают его эффективность и уменьшают затраты. 

На практике одному значению воздействующего фактора X может 
соответствовать совокупность параметров Y. Нас интересует, как в 
среднем изменяется величина 7 при изменении X и насколько хорошо это изменение позволяет прогнозировать поведение величины Y. 

Изменение одной величины при изменении других изучается с 
помощью условного математического ожидания одной величины при 
фиксированных значениях других величин - с помощью регрессионной зависимости. 

В этом случае между величинами X и 7 предполагаются корреляционные связи, которые можно оценить и исследовать методом регрессионного анализа. 

7=/(ХьХ2, ...,Х, ...Х,У?ьУ?2, .-АХ 
(1-1) 

где Р, - коэффициенты уравнения, отображающие влияние факторов 
на объект. 

6 

функция/(;^, рь р2, ...рт ) представляст собой теоретическое 
среднее из возможных результатов экспериментов в г-й точке. Выражение (1.1) называют уравнением регрессии. Идентификация реакции объекта воздействиям на объект называется регрессионной моделью. 

Планирование эксперимента - это процедура выбора числа и условий проведения опытов, достаточных для решения поставленной 
задачи с требуемой точностью. Переменные, определяющие в своей 
совокупности состояние воздействия на объект, будем называть факторами и обозначаем буквой X. Контролируемые количественно факторы образуют факторное пространство. 

Переменную, характеризующую реакцию объекта, будем называть откликом или параметром оптимизации и обозначим буквой Y. 
Зависимость 7 от X назовем функцией отклика, а ее геометрический 
образ - поверхностью отклика. Каждый фактор может принимать в 
опыте одно из нескольких значений, называемых уровнями. Фиксированный набор уровней факторов определяет условия проведения 
одного опыта. При планировании эксперимента объект исследования 
должен позволять многократно повторять опыт - обладать воспроизводимостью и быть управляемым, т.е. позволять в случае необходимости активное вмешательство исследователя в ход эксперимента. 

При одинаковом числе уровней для каждого фактора число опытов (ЛО вычисляется по формуле 

где Р - число уровней каждого фактора; 
yt-число факторов. 

Фактор считается заданным, если задана область его определения. 
Воздействующие на объект факторы должны: 
- задаваться числом; 
- поддерживаться постоянными в течение опыта; 
- воздействовать непосредственно на объект. 

Требованиями к совокупности факторов являются их совместимость 
и независимость. Требованием к модели является ее способность 
предсказывать направление дальнейших опытов с требуемой точностью, точность предсказания не должна зависеть от направления. 

7 

1.2. Полный факторный эксперимент 

Эксперимент, в котором предусмотрены все комбинации значений факторов, называется полным факторным экспериментом 
(ПФЭ). В ПФЭ для каждого фактора выбирается обычно два уровня: 
Р^2. 
Поэтому, число опытов, необходимых для ПФЭ, будет равно 
N-2\ 
Например, при четырех факторах к-А, 
число опытов будет 

Для реализации ПФЭ сначала необходимо определить область 
факторного пространства. Далее принимаем что, индекс i- номер 
опыта, 7 - номер фактора. 

Для каждого из факторов определяется основной уровень фактора 
4 . За основной уровень принимается среднее значение фактора. Далее определяется интервал варьирования фактора Щ . Важное значение при выборе интервала варьирования имеет опыт исследователя. При малом значении ЛХ^ реакция объекта на данное изменение 
фактора будет мало ощутима на фоне помех; при очень большой величине Щ модель может выйти за пределы реально допустимых 
значений. После выбора X,' и Щ определяются верхний и нижний 
уровни для каждого фактора. Прибавлением интервала варьирования 
к основному уровню получаем верхний уровень - Х^. Вычитанием 
интервала варьирования из основного уровня получаем нижний уровень -Х;. Так появляются два уровня для каждого фактора. 

Кодирование факторов - это процедура преобразования значений 
Xj в условную величину. Кодированное значение фактора определяется по формуле 

xl = {XJ-4)l^XJ. 

Па верхнем уровне кодированное значение фактора 

{х;-х,')1щ-+\, 

на нижнем уровне кодированное значение фактора 

{x;-4)l^XJ 
= -\. 

При заполнении таблиц-матриц планов эксперимента единицу 
опускают, сохраняя значение для верхнего уровня «+», для нижнего 
уровня «-». После определения доверительной области всех факторов составляют матрицу планирования эксперимента (табл. 1.1). 

8 

Таблица 1.1 

Матрица планирования ПФЭ 2^ 

№ опыта 

1 
+ 
+ 
7i 

Xi 
Хг 

2 
- 
+ 
72 

3 
+ 
- 
7з 

4 
- 
- 
74 

В матрице планирования ПФЭ зафиксированы уровни возможных 
значений факторов X и полученные экспериментально соответствующие каждому опыту значения откликов 7. 

Графическая интерпретация ПФЭ представлена на рис. 1.2. Цифры указывают номер опыта в матрице планирования. 

х' 
• 

X, 

i 

2 
1 

41 
i 
31 

о! 
х: 

Xf 
Af Xf 
Xi 

Рис. 1.2. ПФЭ 2^ 

При большом числе факторов используют следующий прием построения матриц планирования эксперимента. Рассмотрим его на 
примере составления матрицы планирования для ПФЭ 2' (табл. 1.2). 

7 

9 

Таблица 1.2 

Матрица планирования ПФЭ 2* 

№ опыта 

1 
2 
3 
4 
5 
6 
7 
8 
9 
10 
11 
12 
13 
14 
15 
16 

-^1 
+ 
+ 
+ 
+ 
+ 
+ 
+ 
+ 

Xj 
+ 
+ 
+ 
+ 
+ 
+ 
+ 
+ 

Хз 
+ 
+ 
+ 
+ 
+ 
+ 
+ 
+ 

Х4 
+ 
+ 
+ 
+ 
+ 
+ 
+ 
+ 

7 

^1 
Уг 
Уз 

УА 
У5 
Уб 
У? 
Уя 
Ус, 

У 10 
У и 

У 12 

у 13 
Уи 

у 15 

у 16 

При составлении этого плана для фактора Xj значения верхнего и 
нижнего уровней чередуются последовательно. Для фактора Хг значения чередуются через два, соответственно для фактора Хз - через 
четыре, а для фактора Xt - через восемь. 

Таким образом, перебираются все комбинации сочетаний значений факторов. 

1.3. Свойства полного факторного эксперимента' 

1. Симметричность значений относительно центра эксперимента, 
т.е. сумма элементов столбца каждого фактора равна нулю. 

^ji = О, 

гдеу-номер фактора; 
i - номер опыта. 

2. Условие нормировки, т.е. сумма квадратов элементов столбца 
каждого фактора равна числу опытов 

^Использовано правило А. Эйнштейна и исключение из него А. Лурье. 
10 

3. Ортогональность 
матрицы. 
Факторы, расположены симметрично относительно центра эксперимента и коэффициенты уравнения регрессии оцениваются с минимальной дисперсией, т.е. сумма 
произведений столбцов любых двух факторов равна нулю 

XiJXiq = Q,jфq. 

4. Ротатабельность 
и униформность 
эксперимента. Точность 
предсказания значений одинакова по всему объему факторного пространства и не зависит от направления. 

1.4. Обработка результатов эксперимента 

1.4.1. Расчет коэффициентов 
модели 

После получения значений параметров У, во всех опытах вычисляются значения коэффициентов уравнения регрессии. 

Методика вычисления коэффициентов уравнения модели поясняется на примере ПФЭ 21 

В матрицу ПФЭ 2' введен вспомогательный фактор Хс 
На первом этапе ставим задачу отыскания направления к оптимуму. Для этого достаточно построить линейную модель вида: 

Y^bo + biXi+b2X2. 
(1.2) 

Для вычисления коэффициентов используем метод наименьших 
квадратов (МНК). Минимизируется функция 

ф = (у^-уд\ 
(1-3) 

где yi - значение отклика в г'-м опыте; 

yi - расчетное значение отклика в г'-м опыте. 

Перепишем уравнение (1.2), вводя в него вспомогательный фактор Хо: 

Y^boXo + biXi + b2X2. 

Тогда уравнение (1.3 ) будет иметь вид 

ф^(у^.ЬоХо-ЬгХ-Ь2Х2)\ 

Приравнивания к нулю частные производные функции Ф по коэффициентам bo, h, b2, находим минимум функции 

дЬо 
дЬ^ 
дЬ2 

11 

После дифференцирования и некоторых преобразований получим 
систему уравнений: 

ЬоХо^ + hXoXu + ЬгХоХъ=Хо,у,, 

ЬоХо^Хи + hXu' + b2X,^2i =Х,у,, 

boX,^2i + hX,^2i + ЪгХг^ =Хг^, 

После обнуления некоторых членов этой системы вследствие ортогональности матрицы планирования система уравнений примет вид: 

hx,^=x,^„ 

ъ^=х^, 

Очевидно, что каждый коэффициент уравнения вычисляется соответственно 

В общем виде 

brx^al 

По условию нормировки X,f = N, тогда h = Х^Ш. 

Для нашего примера ПФЭ t коэффициенты уравнения 

Й0 = (>'1+>'2+>'3+>'4)/4, 

Ь2 = 
{-УХ-У2+УЪ+УА)1^. 

Величина коэффициента указывает на степень значимости фактора. 
Знак коэффициента указывает на направление влияния фактора на 
отклик. Знаки откликов внутри формул для расчета коэффициентов 
зависят от знаков соответствующих факторов (табл. 1.3). Часто имеет 
место взаимодействие нескольких факторов. Пользуясь правилом 
перемножения факторов, получаем все возможные столбцы произведений факторов в различных сочетаниях. Для примера добавим в 
уравнение (1.2) член, учитывающий влияние двух факторов, 

7= йо + hX^ + ЬгХг + ЬпХ^Хг. 

12